ММО - задания по годам → .04 ММО 2012
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В стране Далёкой провинция называется крупной, если в ней живёт более 
жителей этой страны. Известно, что для каждой крупной
провинции найдутся такие две провинции с меньшим населением, что их суммарное население больше, чем у этой крупной провинции. Какое
наименьшее число провинций может быть в стране Далёкой?
Источники:
Подсказка 1
Ясно, что общее количество провинций меньше, если количество крупных провинций больше. Как можно, исходя из этой идеи, оценить минимальное число провинций?
Подсказка 2
Упорядочим провинции по возрастанию населения. Какие провинции могут быть крупными?
Подсказка 3
Вообще говоря, каждая провинция, начиная с третьей может являться крупной, поскольку для первых двух не найдутся две провинции с меньшим населением. Будем предполагать, что каждая провинция, начиная с третьей, действительно крупная. Как тогда оценить наименьшее число провинций?
Подсказка 4
В первых двух провинциях, поскольку они крупными не являются, проживает не более 7% населения, а вместе не более 14%. Тогда в третьей провинции проживает менее 14% населения. Можно ли оценить наименьшее число провинций, продолжая рассуждать аналогично?
Сначала упорядочим все провинции по возрастанию населения. Первая и вторая провинция крупными являться не могут, поскольку две
провинции с меньшим населением для них просто не найдутся. Чем больше крупных провинций, тем меньше число провинций, поэтому
для нижней оценки можно полагать, что каждая новая провинция крупная. В третьей провинции живет не более 
населения, поскольку в первой и второй провинции в сумме проживает не более 
жителей. Аналогично получаем, что в
четвертой провинции не более 
жителей, а в пятой не более 
Теперь заметим, что суммарно в первых пяти
провинциях проживает не более 
процентов жителей страны. Таким образом, провинций не менее 
В качестве примера берем 
провинций со следующим распределением доли жителей: 
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Для заданных значений 
и 
оказалось, что графики функций 
и 
имеют ровно одну общую точку.
Докажите, что графики функций 
и 
также имеют ровно одну общую точку.
Источники:
Подсказка 1
Графики функций y = 2a + 1/(x-b) и y = 2c + 1/(x-d) центрально-симметричны. А есть ли у них общая точка симметрии?
Подсказка 2
Верно, есть! Это точка ((b+d)/2, a+c)! Тогда при каких условиях они имеют единственную общую точку?
Подсказка 3
Точно! При x = (b+d)/2 имеется равенство 2a + 1/(x-b) = 2c + 1/(x-d) = a + c, что равносильно (a-c)(b-d) = 2. Но ведь то, что нужно доказать, имеет примерно такой же вид, как условие, значит, надо попробовать сделать что-то аналогичное!
Графики функций 
и 
центрально-симметричны относительно точки с координатами 
и,
следовательно, имеют ровно одну общую точку тогда и только тогда, когда
при 
Это условие эквивалентно равенству 
Аналогично доказывается, что это равенство также
эквивалентно тому условию, что центрально-симметричные относительно точки с координатами 
графики функций
и 
имеют ровно одну общую точку.
