Тема ММО (Московская математическая олимпиада)

ММО - задания по годам → .05 ММО 2013

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела ммо (московская математическая олимпиада)

Разделы подтемы ММО - задания по годам

ММО до 2010

ММО 2010

ММО 2011

ММО 2012

ММО 2013

ММО 2014

ММО 2015

ММО 2016

ММО 2017

ММО 2018

ММО 2019

ММО 2020

ММО 2021

ММО 2022

ММО 2023

ММО 2024

ММО 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#71260

Пусть $I$ — центр вписанной окружности неравнобедренного треугольника $ABC.$ Через $A 1$ обозначим середину дуги $BC$ описанной окружности треугольника $ABC,$ не содержащей точки $A,$ а через $A2$ — середину дуги $BAC.$ Перпендикуляр, опущенный из точки $A1$ на прямую $A2I,$ пересекает прямую $BC$ в точке $′ A .$ Аналогично определяются точки $′ B$ и $′ C .$

(a) Докажите, что точки $A′,B′$ и $C′$ лежат на одной прямой.

(b) Докажите, что эта прямая перпендикулярна прямой $OI,$ где $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC.$

Источники: ММО - 2013, 10.6(см. mmo.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала хотелось бы красиво нарисовать чертеж по условию, поэтому имеет смысл подумать, где находится основание X перпендикуляра из A₁ на A₂I. Хочется точку A' определить как-то удобнее и изящнее...

Подсказка 2

Т.к. X лежит на описанной окружности ABC, то A₁X - это хорда, на продолжении которой лежит точка A'. Значит, можно попробовать определить A' как радикальный центр трех окружностей, одна из которых - ABC. А какие остальные?

Подсказка 3

BIC и XIA₁. А как связаны эти окружности? Если возвращаться к требуемому в задаче, то становится ясно, что хочется найти радикальную ось, на которой будут лежать точки A', B', C'. Какая окружность у нас не меняется в рассуждениях при определении точек B' и C'?

Подсказка 4

Окружность ABC. Осталось лишь найти еще одну окружность, чтобы A', B' и C' лежали на радикальной оси ее и ABC. Помним, что A'I² = A'B * A'C!

Показать доказательство

Обозначим точку пересечения прямой $A A ′ 1$ с прямой $A I 2$ через $X , A$ а описанную окружность $△ABC$ через $ω.$ По условию $∘ ∠A2XAA1 = 90.$ Так как $A2A1$ — диаметр $ω,$ точка $XA$ лежит на $ω.$

$PIC$

Рассмотрим теперь описанные окружности треугольников $ABC,BIC$ и $IXAA1.$ Радикальная ось первой и второй окружностей есть прямая $BC,$ а первой и третьей $− XAA1$ (это прямые, содержащие общие хорды этих окружностей). Значит, радикальным центром всех этих трех окружностей является точка $A′.$ Заметим, что

∠IBA1 = ∠IBC +∠CBA1 = ∠IBA +∠A1AC = = ∠IBA+ ∠BAA1 = ∠BIA1.

Следовательно, $A1I = A1B = A1C.$ То есть точка $A1$ является центром описанной окружности треугольника $BIC.$ Так как угол $IXAA1$ прямой, то $IA1$ — диаметр описанной окружности треугольника $A1IXA.$ Следовательно, описанные окружности треугольников $BIC$ и $XAIA1$ касаются в точке $I.$ Значит, касательная к этим окружностям, проведенная в точке $I,$ проходит через $A ′.$ Причем по свойству степени точки $A′$ относительно описанной окружности $△BIC$ верно

A′I2 = A′B ⋅A′C

Рассмотрим $ω$ и точку $I,$ как вырожденную в точку окружность. Из последнего равенства следует, что точка $A ′$ лежит на радикальной оси этих двух окружностей. По аналогичным причинам на этой радикальной оси лежат и точки $B′$ и $C′.$ Так как радикальная ось двух окружностей — прямая, то все эти три точки лежат на одной прямой, перпендикулярной линии центров этих окружностей, то есть прямой $OI.$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#76410

Дан такой выпуклый четырёхугольник $ABCD$ , что $AB = BC$ и $AD =DC.$ Точки $K,L$ и $M$ – середины отрезков $AB, CD$ и $AC$ соответственно. Перпендикуляр, проведённый из точки $A$ к прямой $BC$ , пересекается с перпендикуляром, проведённым из точки $C$ к прямой $AD$ , в точке $H.$ Докажите, что прямые $KL$ и $HM$ перпендикулярны.

Источники: ММО - 2013, первый день, 11.3(см. mmo.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В задаче у нас очень много перпендикулярных прямых. Ещё заметим, что фигура у нас получается дельтоид, так как ABD и BCD симметричные треугольники относительно BD(это пригодится в дальнейшем). Как в первую очередь можно сформулировать вопрос задачи на языке векторов?

Подсказка 2

Верно, перпендикулярность двух отрезков означает, что их произведение через векторы равно нулю. Теперь нужно ввести удобные обозначения. Раз нам по условию дали перпендикулярные отрезки BC, AH и HC, AD, то их и будет удобно обозначить a, c и d, b. Как теперь можно выразить наши отрезки в вопросе задачи через эти?

Подсказка 3

Верно, эти удвоенные вектора будут равны c+d и a+b, так как HM это медиана, а KL средняя линия четырёхугольника. То есть нам нужно, чтобы (c+d)(a+b)=0. Попробуйте теперь выразить удобным способом не сумму этих векторов, а разность. Что хорошего там получается?

Подсказка 4

Ага, хорошо получается, что и произведение (a-b)(d-c)=0. Теперь осталось только вспомнить, что произведение a, c и b, d по условию равно нулю. Это помогает окончательно решить задачу. Победа!

Показать доказательство

Обозначим вектор $−−→BC$ через $⃗a$ , вектор $−−A→D−$ через $⃗b$ , вектор $−H−→A −$ через $⃗c$ и вектор $−H−→C −$ через $⃗d$ (рис). Заметим, что

−−→ −−→ −→ −−→ −→ KL = KB + ⃗a+CL = KA +⃗b+DL

Отсюда получаем, что $2−−K→L =⃗a +⃗b.$ Заметим также, что

2−H−→M = ⃗c+ ⃗d.

Следовательно, прямые $KL$ и $HM$ перпендикулярны тогда и только тогда, когда

(⃗a+ ⃗b)⋅(⃗c+ ⃗d)=0.

$PIC$

Так как по условию $AB = BC$ и $AD = DC$ , то прямая $BD−$ серединный перпендикуляр к отрезку $AC.$ Следовательно, точка $M$ лежит на прямой $BD$ и $BD ⊥AC.$ Рассмотрим вектор

⃗ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −→ ⃗ ⃗a −b= BM + MC + DM + MA = BM +DM ⊥AC = d− ⃗c

Таким образом,

⃗ ⃗ (⃗a− b)⋅(d− ⃗c)= 0

Поскольку по условию $HA ⊥ BC$ и $HC ⊥AD$ , то $⃗a⋅⃗c= 0$ и $⃗b⋅ ⃗d= 0$ . Следовательно,

(⃗a +⃗b)⋅(⃗c + ⃗d)= ⃗a⋅⃗c+⃗a ⋅d ⃗+⃗b⋅⃗c+ ⃗b⋅ ⃗d= ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ = −⃗a⋅⃗c+ ⃗a⋅d+ b⋅⃗c− b⋅d= (⃗a−b)⋅(d− ⃗c)= 0.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#82936

Можно ли так раскрасить все клетки бесконечной клетчатой плоскости в белый и черный цвета, чтобы каждая вертикальная прямая и каждая горизонтальная прямая пересекали конечное число белых клеток, а каждая наклонная прямая — конечное число черных?

Источники: ММО-2013, задача 11.4(см. mmo.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Можно ли на белой плоскости выделить черную фигуру так, чтобы в одном направлении сумма черных отрезков, высекаемой на прямой, проведенной в данном направлении, была бесконечной, а в любом другом - конечной?

Подсказка 2

Да, такой фигурой является, например, парабола со своими "внутренностями". Как можно отметить несколько таких парабол, чтобы сумма белых отрезков, высекаемых на любой горизонтальной или вертикальной прямой, была конечна, как и сумма черных отрезков, высекаемых на любой прямой, проведенной в другом направлении.

Подсказка 3

Можно отметить две пары парабол с перпендикулярными осями, а внутри каждой пары - ветви парабол направлены в разные стороны. Поймите, как это помогает придумать пример для клетчатой плоскости.

Показать ответ и решение

Введем такую систему координат $Oxy,$ чтобы вертикальные и горизонтальные линии сетки имели уравнения $x =n$ ( $n$ — целое) и $y = m$ ( $m$ — целое). Раскрасим в черный цвет те и только те клетки, все точки которых удовлетворяют одному из четырех неравенств $2 2 2 y ≥x ,y ≤ −x ,x ≥y$ или $2 x≤ −y$ (см.рис.), остальные клетки покрасим в белый цвет.

$PIC$

Тогда всякая вертикальная прямая будет пересекать конечное число белых клеток между параболами $y = ±x2,$ всякая горизонтальная прямая будет пересекать конечное число белых клеток между параболами $x = ±y2.$ Заметим также, что всякая наклонная прямая будет пересекать лишь конечное число черных клеток, так как ее пересечение с каждой из областей

y ≥ x2, y ≤ −x2, x ≥y2 и x≤ −y2

может быть либо пустым, либо являться точкой, либо отрезком.

Ответ:

Можно

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#86063

Дан такой выпуклый четырехугольник $ABCD,$ что $AB = BC$ и $AD = DC.$ Точки $K,L$ и $M$ — середины отрезков $AB,CD$ и $AC$ соответственно. Перпендикуляр, проведенный из точки $A$ к прямой $BC,$ пересекается с перпендикуляром, проведенным из точки $C$ к прямой $AD,$ в точке $H.$ Докажите, что прямые $KL$ и $HM$ перпендикулярны.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала введём обозначения. S — основание перпендикуляра из А на BC, P — основание перпендикуляра из С на AD. Что мы имеем. ∠ASC = ∠APC = 90°. Какой тогда вывод можно сделать?

Подсказка 2

Верно! A,S,C,P лежат на окружности с диаметром AC. Что же можно сказать про центр этой окружности?

Подсказка 3

Это точка M — середина диаметра. Самостоятельно докажите, что BM — перпендикуляр к AC. Аналогично докажите, что BSMA, CMPD — вписанный.

Подсказка 4

Хотим доказать перпендикулярность прямых, у нас есть много окружностей с общими точками. На что же это намекает?

Подсказка 5

Именно! На радикальные оси и центры окружностей. Самостоятельно докажите, что H — радикальный центр трёх найденных окружностей. Также M — общая точка окружностей BSMA и DPMC. Какой вывод можно сделать?

Подсказка 6

HM — рад. ось BSMA и CMPD, осталось доказать, что KL — линия центров. Успехов!

Показать доказательство

Обозначим основание перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на $BC,$ через $S,$ а основание перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на $AD,$ — через $P.$

Точки $B$ и $D$ равноудалены от концов отрезка $AC,$ значит $BD$ — серединный перпендикуляр к $AC.$ Заметим, что точки $S$ и $P$ лежат на окружности с диаметром $AC,$ точки $S$ и $M$ — на окружности с диаметром $AB,$ а точки $M$ и $P$ — на окружности с диаметром $CD.$

$PIC$

Прямая $AS$ является радикальной осью окружностей $ASBM$ и $ASCP,$ а прямая $PC$ — радикальной осью окружностей $MCDP$ и $ASCP.$ Поэтому точка $H$ пересечения этих прямых — радикальный центр трёх указанных окружностей. Следовательно, $HM$ — радикальная ось окружностей $ASBM$ и $MCDP$ и, значит, перпендикулярна их линии центров $KL.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#91093

Ваня записал несколько простых чисел, использовав ровно по одному разу все цифры от $1$ до $9.$ Сумма этих простых чисел оказалась равной $225.$ Можно ли, использовав ровно по одному разу те же цифры, записать несколько простых чисел так, чтобы их сумма оказалась меньше?