СПБГУ - задания по годам → .09 СПБГУ 2023

В одной строке не менее 10 различных чисел, поэтому в следующих трех строках вместе появляется не более 5 новых чисел. Стало быть, первые четыре строки содержат не более 15 различных чисел, а каждые следующие три строки дают не более 5 новых чисел и всего чисел не больше, чем

Приведем пример на 175 чисел. Занумеруем строки числами от 1 до 100. В первой строке поставим числа от 1 до 10, а в строке с номерами от до поставим числа 1 до 5 и числа от до Тогда в каждой строке будет 5 уникальных чисел и еще числа от 1 до 5, т.е. ровно 10 различных чисел, а в каждых четырех строках будет ровно 15 различных чисел. Таким образом, в таблице будут числа от до

Замечание.

Доказать, что количество различных чисел в таблице не превосходит 175, можно по индукции. А именно, доказать, что в любых подряд идущих строках расположено не более чем различных чисел. База верна по условию. Установим переход от к Рассмотрим подряд идущие строки. Пусть в четвертой с конца строке имеется различных чисел. Тогда в трех самых нижних строках не более чем различных чисел. А в оставшихся строке по индукционному предположению не больше чисел. Поэтому всего различных чисел будет более чем

Пусть

тогда

Поэтому одно из чисел 2, и кратно Если 2 кратно то что невозможно, поскольку не является удвоенным квадратом.

Первый способ.

Из неравенства следует, что

Таким образом, имеем систему из двух уравнений

Решаем её

Значит,

Следовательно,

Второй способ.

Если делится на то

Значит, это невозможно. Следовательно, делится на Заметим, что

Тогда если то

Значит,

Стало быть,

Но этого не может быть. Таким образом, осталось рассмотреть случаи и В первых двух из них не является удвоенным квадратом, а подходит.

Первое решение. По неравенству о средних для четырех чисел имеем

Просуммируем это неравенство с тремя аналогичными и получим, что

Равенство достигается, когда

Второе решение. По неравенству Коши–Буняковского для наборов чисел и имеем

А по неравенству Коши–Буняковского для наборов и имеем

Значит, Аналогично по неравенству Коши–Буняковского для наборов и имеем

Значит, Следовательно,

Равенство достигается, когда

Третье решение. По неравенству Коши–Буняковского для наборов чисел , и имеем

Оценим по-отдельности сомножители в правой части. По неравенству о средних для двух чисел поэтому

Аналогично по неравенству о средних для двух чисел

Значит,

Следовательно,

Равенство достигается, когда

Пусть — основание высоты из точки а — основание перпендикуляра, опущенного из точки на Прямая — серединный перпендикуляр к отрезку поэтому она параллельна высоте

По свойству ортоцентра и По условию прямые и параллельны, следовательно, — прямоугольник и

Первое решение.

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому Треугольники и подобны по двум углам ( как вертикальные, и их коэффициент подобия равен 2. Пусть тогда и поскольку — середина стороны Стало быть, и так как треугольники и подобны. Пусть тогда и Следовательно, и Таким образом,

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

По условию прямые и параллельны, а прямая перпендикулярна прямой поэтому По условию параллелограмм, значит, Отрезок — средняя линия треугольника поэтому Кроме того, и перпендикулярны поэтому точки и лежат на одной прямой. Таким образом, и параллельна Стало быть, — параллелограмм. Пусть — точка пересечения его диагоналей, тогда Следовательно, и — медианы треугольника , а — точка их пересечения, поэтому и, значит, Из подобия треугольников и следует, что Тогда если то и а, значит, и

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Третье решение.

Пусть точка — пересечение этой высоты с описанной окружностью треугольника точка диаметрально противоположна точке на этой окружности, а точка — вторая точка пересечения прямой с этой окружностью. Из параллельности прямых и следует, что прямая перпендикулярна высоте Поскольку — диаметр окружности, и, значит, прямые и параллельны. Стало быть, — средняя линия треугольника поэтому Далее,

поэтому в треугольнике отрезок является биссектрисой и высотой, а, значит, и медианой. Таким образом, Из равенств и получаем, что

По условию прямые и параллельны, а прямая перпендикулярна прямой поэтому и точки и диаметрально противоположны. Следовательно, и поэтому прямые и параллельны. Таким образом, четырехугольник является параллелограммом. Стало быть, и отрезок является медианой в треугольнике Но отрезок также является медианой в этом треугольнике. Следовательно, — точка пересечения медиан этого треугольника и Тогда по теореме Фалеса Но мы уже знаем, что поэтому

По условию мальчики получили карточки с числами от 1 до а девочки карточки с числами от до Предположим, что у всех девочек на листочках оказалось написано число Тогда сумма всех чисел на листочках равна с другой стороны она может быть получена следующим образом: надо сложить все числа, которые есть у девочек и добавить к ним удвоенную сумму всех чисел, которые есть у мальчиков.

Следовательно,

Стало быть, и — нечетно. Пусть тогда Для примера надо последовательно раздать карточки мальчикам от 1 до идя через одного. Если теперь для каждой девочки посмотреть на сумму чисел, на карточках соседних с ней мальчиков, то по одному разу получатся все суммы от до Дальше нужно дополнить их числами от до (раздав соответствующие карточки девочкам) так, чтобы все суммы стали равны Пример раздачи карточек для и показан на рисунке.

Рассмотрим граф, в котором вершины — числа, ребро проводится, если модуль разности этих чисел — простое число. Будем красить каждую компоненту связности этого графа в два цвета: сначала покрасим любую вершину в красный. Затем покрасим всех её соседей в синий. Затем всех соседей синих, которые ещё не покрашены, в красный. Затем соседей красных в синий. И так далее. Легко видеть, что у каждой красной вершины будет хотя бы один синий сосед, а у каждой синей — хотя бы один красный. В каждой компоненте связности выберем цвет, вершин которого не более половины, и подчеркнем вершины этого цвета. Каждая неподчеркнутая вершина будет соединена хотя бы с одной подчеркнутой.