СПБГУ - задания по годам → .10 СПБГУ 2024

Процесс прыжков можно описать следующим образом: прыжков кузнечика — это сумма первых членов арифметической прогрессии , в которой перед каждым членом стоит или . Ясно, что за прыжков кузнечик сможет оказаться не более, чем в — сумма первых членов, в которой все члены взяты с . Значит, необходимо, чтобы было не меньше . То есть .

Пусть кузнечик прыгал влево некоторое количество прыжков, и суммарно он прыгнул влево на единиц, тогда после прыжков он окажется в точке . Значит, чтобы попасть в , необходимо, чтобы было чётным. Значит, и прыжков не хватит. В качестве примера на можно прыгнуть влево на и на прыжках, а на остальных — вправо.

Вспомним формулу тангенса суммы:

Проведём с ней некоторые махинации:

Домножим на знаменатель:

Если аналогично рассмотреть выражение , то мы получим, что

Таким образом,

Следовательно, .

Положим для краткости , тогда и . По условию

и, значит, .

Следовательно,

и четырехугольник вписанный.

Таким образом, , значит, треугольник равнобедренный и, в частности, . Поскольку биссектриса угла , а прямые и параллельны, . Следовательно, четырехугольник является вписанным

В силу вписанности

стало быть, точка является центром описанной окружности треугольника и, значит, . Осталось заметить, что

откуда получаем ответ .

Числа и являются целыми числами, следовательно, каждое из чисел и являются целыми, а значит, и их сумма является целыми числом, таким образом, число также является целым, т.е. число целое, откуда .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть . Тогда делится на 11, поскольку каждое из чисел 2024 и 33 кратно 11, но не делится на , т.к. первое слагаемое кратно , а второе — нет.

Пусть число дает остаток 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 при делении на 11, тогда число дает соответственно остаток 0, 1, 4, 9, 5, 3, 3, 5, 9, 4, 1 при делении на 11. Докажем, что если хотя бы одно из чисел и не делится на 11, то и число не делится на 11.

Предположим обратное, тогда сумма остатков чисел и равна 11, следовательно, ровно одно из чисел и даёт четный остаток при делении 11, а значит, соответствующий квадрат даёт остаток 0 или 4 при делении на 11, но тогда второй остаток равен 0 или 7, что невозможно. Таким образом, каждое из чисел и кратно 11, следовательно, каждое из чисел и кратно , таким образом, кратно , но не кратно .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Тогда или

Пусть . Тогда , следовательно, кратно , а значит, как мы показали выше, каждое из чисел и кратно 11. Пусть , , где и являются целыми числами, следовательно, . Легко убедиться, что всеми решениями данного уравнения являются неупорядоченные пары Следовательно, все пары решений это , .

Пусть . Тогда . Если каждое из чисел и не превосходит по модулю 4, то сумма их квадратов не превосходит 32, следовательно, наибольшее из чисел и по модулю не меньше 5. С другой стороны, если какое-то из чисел по модулю больше 5, то его квадрат не меньше 36, что невозможно. Таким образом, в паре чисел хотя бы одно равно 5 по модулю, тогда второе равно 3 по модулю. Тем самым, мы показали, что все пары решений есть , .

Рассмотрим граф, в котором города — вершины, а авиалинии — рёбра. Рассмотрим подграф из вершин с наибольшим количеством рёбер и подграф из оставшихся вершин.

Пусть вершина из подграфа соединена с наименьшим количеством вершин в этом подграфе ( вершин). Предположим, что в подграфе имеется вершина , которая соединена с хотя бы вершиной из подграфа . В таком случае вершину можно переместить в подграф вместо вершины и в нём будет больше авиалиний, что противоречит выбору подграфа . Следовательно, любая вершина из подграфа связана не более чем с вершинами из подграфа .

Значит, между этими подграфами не более рёбер. Внутри же каждого из этих подграфов не более рёбер. Значит, всего в графе не более

Как известно, — это наименьшая степень вершины в подграфе . Значит, в не менее рёбер. С другой стороны, в этом подграфе не более рёбер, откуда . Теперь мы можем оценить количество рёбер в графе: .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Приведём пример на рёбер. Разбиваем города на групп по городов. Внутри групп между городами авиалиний нет, а между городами из разных групп — есть.

Пусть выбрано городов так, что из них город из первой группы, из второй, , — из -й. Тогда количество пар, не соединённых авиалиниями, будет не менее

по неравенству между средним квадратическим и средним арифметическим

Мы показали, что для произвольного подграфа в примере выполняется условие задачи.