СПБГУ - задания по годам → .11 СПБГУ 2025
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На столе в ряд стоит 
чашек, занумерованных слева направо числами от 
до 
В каждой чашке лежит не более 
вишен, а
количество вишен в любых соседних чашках отличается ровно на один. В чашках с номерами 
вместе 
вишен. Какое
наибольшее количество вишен может быть во всех чашках?
Источники:
Подсказка 1
Количество ягод в соседних чашках отличается на 1. Стало быть, чётность тоже отличается...
Подсказка 2
Какое наибольшее количество может быть в двух соседних чашках, учитывая чётность?
Подсказка 3
Мы знаем суммарное количество ягод в чашках 1, 4, 7, ..., 40. А можно ли оценить количество ягод в остальных чашках, используя предыдущие подсказки?
Заметим, что для каждой пары соседних чашек в одной четное число вишен, а в другой — нечетное. Тогда в них вместе нечетное,
не превосходящее 
число вишен. Значит, в каждой паре соседних чашек не более 
вишен. Тогда в каждой из пар
не более 
вишен, а во всех этих парах вместе не более 
вишен. Тогда всего в чашках не более
вишен.
Приведем пример размещения 
ягод. В чашки с нечетными номерами положим по 
вишен, а в чашки с четными номерами по 
вишен. Всего получится 
вишен. Далее съедим по две вишни из чашек с номерами 
и 
Останется 
вишни.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вещественные числа 
и 
удовлетворяют условию 
Найдите наибольшее значение выражения 
Источники:
Подсказка 1
Сумма квадратов чисел и сумма их попарных произведений с какими-то знаками — выражения, которые друг с другом хорошо сочетаются. Быть может, стоит как-то оценить ab + bc - ca сверху с помощью суммы квадратов?
Подсказка 2
Домножьте ab + bc - ca на 2, чтобы произведения получились удвоенными. А что если сравнить это выражение с суммой квадратов?
При 
и 
имеем
Докажем, что 
Для этого, умножив обе части на 
и применив условие, покажем, что 
или, что то же самое, 
Но это следствие неравенства о средних для двух чисел: 
Ч.Т.Д.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Три простые числа 
и 
больше трех и удовлетворяют условию 
Для какого наибольшего 
число 
всегда будет
делиться на 
Источники:
Подсказка 1
Чтобы угадать ответ, попробуйте записать число p + q + r, используя равенство из условия.
Подсказка 2
Скорее всего, вы поняли, что работать надо с делимостью на 3. Быть может, повезёт и даже с девяткой получится.
Подсказка 3
Рассмотрите варианты остатков p и q при делении на 3. Чтобы доказать, что больше 9 нельзя, подберите два примера, чтобы НОД значений p + q + r был 9.
Покажем, что 
всегда делится на 
Действительно, по условию 
поэтому
Заметим, что
поэтому если 
и 
дают остатки 
и 
от деления на три, то 
делится на три и больше трех, поэтому 
не может быть
простым числом. Значит, 
и 
дают одинаковые остатки от деления на три. Тогда 
делится на три, а, значит, 
делится
на 
Подберем две различных тройки простых: если 
и 
то 
— простое число и 
Если 
и
то 
— простое число и 
Поэтому для чисел из условия задачи 
гарантированно может
делиться только на 
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть 
и 
— две такие окружности с центрами 
и 
соответственно, что окружность 
проходит через точку 
На окружности
вне окружности 
выбрана точка 
Касательные к 
проходящие через 
касаются 
в точках 
и 
и вторично
пересекают 
в точках 
и 
Отрезки 
и 
пересекаются в точке 
Докажите, что прямые 
и 
перпендикулярны.
Источники:
Подсказка 1
Одна окружность проходит через центр другой не просто так. Пользуйтесь этим. Чем является прямая OM в угле AMB? А что можно сказать про отрезки CO, OD и точки C, D?
Подсказка 2
Итак, предлагается следующая идея. Давайте обозначим точку пересечения CD и OP через E' и докажем, что она лежит на AB.
Подсказка 3
Для реализации подсказки 2 нужно просто немного посчитать углы. С этим вам поможет вписанный четырёхугольник ACE'O.
Для начала заметим, что поскольку 
и 
— касательные к окружности 
а точка 
— центр 
то 
Значит,
т. е. дуги 
и 
окружности 
равны, т. е. точки 
и 
симметричны относительно прямой
Пусть 
— точка пересечения прямых 
и 
В силу симметрии 
и 
мы знаем, что 
Докажем, что 
Для этого достаточно проверить, что 
лежит на прямой 
Пусть 
Вписанный угол в два раза меньше центрального, поэтому
Поскольку 
из равнобедренного треугольника 
получаем, что 
Далее, в четырёхугольнике 
известно, что 
(первое равенство — угол между радиусом и касательной, второе равенство доказано выше), поэтому
этот четырёхугольник вписанный и
где второе равенство следует из симметрии точек 
и 
а третье — из того, что вписанный угол в два раза меньше центрального,
опирающегося на ту же дугу. Итак, точка 
лежит на том же луче, выходящем из точки 
что и точка 
поэтому 
лежит на 
откуда 
что и требовалось.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В школе 
учеников. У директора есть много карточек с числами от 
до 
Он раздал карточки ученикам так, что ученик
мог получить несколько карточек (возможно, ни одной или одну), при этом каждый ученик получил не более чем одну
карточку каждого вида. Любые два ученика получили разные наборы карточек. Оказалось, что если карточка с числом 
есть более чем у 
учеников, то она есть хотя бы у 
учеников. При каком наибольшем 
такое
возможно?
Источники:
Подсказка 1
Исходя из условия про m-100 учеников, можно сделать одну хитрую махинацию с карточкой, которая есть у хотя бы 101 ученика, которая приведёт к тому, что карточка с любым номером будет не более чем у 100 учеников.
Подсказка 2
Что, если все такие карточки отнять у учеников, у которых они есть и отдать тем, у кого их нет? Почему условие задачи не нарушится?
Подсказка 3
Пусть у l учеников одна карточка. Сколько тогда максимум может быть учеников, у которых их хотя бы две? Попробуйте, учитывая предыдущие подсказки, оценить суммарное количество карточек у учеников. Также оцените l.
Пусть карточка с числом 
есть более чем у 
ученика. Отберём её у всех учеников, у кого она есть, и дадим по одной карточке с
числом 
каждому из остальных учеников. Несложно видеть, что после такой замены всё ещё любые два ученика получили разные наборы
карточек. После такой замены карточка с любым числом будет не более чем у 
учеников, т.е. всего карточек у всех учеников не более
Пусть есть 
учеников, у которых не более одной карточки. Тогда оставшиеся не более чем 
карточек находятся у
учеников, у которых хотя бы две карточки. Поэтому всего учеников не более
где 
отвечает за, возможно, одного ученика совсем без карточек, а 
поскольку всего сто разных карточек и нет учеников с
одинаковым набором из одной карточки.
Пример легко построить из оценки: возьмём ученика без карточек, 
учеников с одной карточкой, а также 
учеников со всеми возможными 
парами карточек. Тогда каждое конкретное число встречается ровно у 
учеников.
