Тема ПВГ (Покори Воробьёвы Горы)

ПВГ - задания по годам → .13 ПВГ 2021

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела пвг (покори воробьёвы горы)

Разделы подтемы ПВГ - задания по годам

ПВГ до 2010

ПВГ 2010

ПВГ 2011

ПВГ 2012

ПВГ 2013

ПВГ 2014

ПВГ 2015

ПВГ 2016

ПВГ 2017

ПВГ 2018

ПВГ 2019

ПВГ 2020

ПВГ 2021

ПВГ 2022

ПВГ 2023

ПВГ 2024

ПВГ 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#90866

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение

|x|− arcsin x+ b⋅(arccosx+|x|− 1)+ a= 0

при любом значении $b$ имеет хотя бы одно решение.

Источники: ПВГ - 2021, 11.2 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы имеем не очень приятное выражение одновременно с x, arccos(x) и arcsin(x). Попробуйте немного улучшить вид нашего уравнения: выразить arcsin(x) через arccos(x), оставить всё, что связано с переменной x в левой части, а всё остальное перекинуть в правую.

Подсказка 2

Ясно, что обычными алгебраическими преобразованиями задачу не решить. А также мы имеем сильное ограничение на x в силу ОДЗ. Попробуйте оценить левую часть и понять, какие значения может принимать правая при любых b.

Подсказка 3

Итак, мы получили, что левая часть меньше π, а правая почти всегда может быть сколь угодно большим числом за счёт параметра b. Тогда нам нужно сделать так, чтобы b никак не мог менять правую часть. В каком же случае это выполняется?

Подсказка 4

Да, верно! Когда числитель правой части равен 0. Осталось лишь показать, что в этом случае всегда найдется корень.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $|x|≤ 1$

Мы знаем, что $( π π) arcsinx∈ − 2,2$ , $arccosx∈ (0,π)$ и $π arccosx+ arcsin x= 2$ . Значит,

π |x|+arccosx− 2 +b⋅(arccosx +|x|− 1)+ a= 0

π − 1 − a arccosx +|x|− 1= 2-b+-1-

Заметим, что если $π2 − 1− a⁄= 0$ , то правая часть может быт сколь угодно большим числом (так как $b$ любое), а левая часть $arccosx+ |x|− 1< π+ 1− 1=π$ ?!

Значит, если при любом значении $b$ есть хотя бы одно решение, то $a = π2 − 1$ . Тогда есть решение $x= 1$ для любого $b$ .

Ответ:

$π − 1 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#92318

Натуральные числа, начиная с $20$ , выписали в одну строку: $20212223....$ Какая цифра стоит в получившейся последовательности цифр на $2021$ -м месте?

Источники: ПВГ - 2021, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте просто поймём, цифра какого числа стоит на 2021 месте. Для начала нужно определить количество знаков в этом числе. Может ли оно быть двухзначным?

Подсказка 2

Не может! Ведь каждое двузначное число занимает 2 места, а используем мы максимум 80 таких чисел. А может ли число быть трёхзначным? Осталось только определить, что же это за число, и задачка будет решена!

Показать ответ и решение

Цифры чисел с $20$ по $99$ занимают в этом ряду первые $80 ⋅2 =160$ мест. Осталось $2021 − 160= 1861$ места. Цифры чисел от $100$ до $719$ занимают следующие $(719− 99)⋅3 =1860$ мест. Значит, на $2021$ месте стоит первая цифра числа $720,$ то есть цифра $7.$

Ответ:

$7$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#94086

Сколько корней имеет уравнение

lg(x2−3) x2− 2 2 = lg2 ?

Источники: ПВГ - 2021, 11.3 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хм, для начала хотелось бы увидеть похожие выражения, чтобы приблизиться к разгадке, как такое решать. Для этого можно сразу сделать замену и воспользоваться свойствами логарифмов. И не забудьте про ОДЗ!

Подсказка 2

Да, просто так уравнение не решается, поэтому в дело вступает работа с функциями! Попробуйте понять, как они себя ведут, нарисовать эскизы графиков, тогда можно будет найти количество точек пересечения

Показать ответ и решение

Уравнение преобразуется к виду

α 2 t =α(t+ 1), α = lg2∈ (0,1), t=x − 3> 0,

причём:

1) левая часть уравнения — степенная функция, выпуклая вверх (так как $α ∈ (0,1)$ ), определенная при $t≥ 0$ ;

2) правая часть уравнения — линейная функция с положительным угловым коэффициентом;

3) при $t=0$ значение левой части меньше, чем значение правой части; при $t= 1$ значение левой части, наоборот, больше значения правой, так как

α 1 = lg10> lg4= α⋅(1 +1);

при достаточно больших значениях $t$ правая часть уравнения будет больше левой, так как после деления их на $t$ левая будет стремиться к 0 , а правая к $α > 0.$

Поэтому, так как функция выпуклая, то графики этих функций пересекаются ровно в двух точках (одна между 0 и 1 , другая правее 1 ).

Каждое из этих двух положительных значений $t$ порождает по два корня $x$ исходного уравнения. Таким образом, всего корней 4.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#94089

Решите систему

(| 2x− 3y+-1 =6, |{ xy1 ||( 3z− 6x+ xz1 = 2, 6y− 2z+ yz = 3.

Источники: ПВГ - 2021, 11.4 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

С первого взгляда не очень понятно, что тут можно сделать... Однако оказывается, что здесь очень хорошо подобраны коэффициенты — попробуйте правые части уравнений домножить на разность соответствующих слагаемых в левой и сложить!

Подсказка 2

Ага, получился 0! А давайте тогда попробуем сделать с дробями то же самое, что получится? А значит, к какому следствию из системы хорошо бы перейти?

Показать ответ и решение

Умножив первое уравнение на $(2x− 3y)$ , второе — на $(3z− 6x)$ , третье — на $(6y− 2z)$ и сложив, получаем уравнение-следствие:

2 2 2 2x−-3y- 3z− 6x 6y-− 2z (2x− 3y)+ (3z − 6x) +(6y− 2z) + xy + xz + yz = 6(2x − 3y)+ 2(3z− 6x)+ 3(6y− 2z)

(2x − 3y)2+(3z− 6x)2+ (6y− 2z)2 = 0

2x= 3y = z

Подстановка $2x =3y =z$ в систему приводит к ответу: $1 1 x= 2,y = 3,z = 1$ и $1 1 x= −2,y = − 3,z = −1.$

Ответ:

$(1,1,1) ,(− 1,− 1,− 1) 2 3 2 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#94092

Бумажный квадрат площади 17 согнули по прямой, проходящей через его центр, после чего соприкасающиеся части склеили. Найдите максимально возможную площадь получившейся бумажной фигуры.

Источники: ПВГ - 2021, 11.5 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть квадрат согнуло по прямой PR (R лежит на BC, P - на AD, RC = AP = x < a/2). Попробуйте вычислить длину AQ. Для этого нужно выразить через a и x какую-нибудь тригонометрическую функцию угла между RP и AD.

Подсказка 2

Заметим, что площадь искомой фигуры равна половине площади квадрата и ещё площади двух треугольников. Для нахождения их площади как раз нужно было выражение для длины AQ.

Подсказка 3

Полученную функцию относительно x нужно исследовать с помощью производной и найти максимум.

Показать ответ и решение

Обозначим сторону квадрата через $a.$ Пусть прямая отсекает от стороны квадрата $AD$ отрезок $AP =x < a. 2$ Найдём $AQ$ .

$PIC$

Обозначим $∠RP S = ∠RP Q= α,∠QPA = β$ . Поскольку из треугольника $PRS$ (здесь $S$ это проекция точки $R$ на основание $AD$ ) находим $tgα =a−a2x$ , то