Тема ПВГ (Покори Воробьёвы Горы)

ПВГ - задания по годам .14 ПВГ 2022

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела пвг (покори воробьёвы горы)
Разделы подтемы ПВГ - задания по годам
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#69856

Какое число окажется на 2022-м месте в бесконечной последовательности 6,7,8,9,10,...  , если в ней удалить все квадраты и кубы каких-либо натуральных чисел (то есть удалить числа     3    2     2   )
8= 2 ,9 =3 ,16= 4,... ?

Источники: ПВГ-2022, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Наверное, чтобы найти число, которое стоит на 2022 месте, надо посчитать количество полных квадратов и кубов среди чисел от 6 до 2027. Как это можно сделать?

Подсказка 2

Для начала найдем количество квадратов. Можно заметить, что 2116=46²>2027>45²=2025. Поэтому количество квадратов равно 43 (1² и 2² не лежат в нашей последовательности). А сколько кубов находится в этой последовательности...

Подсказка 3

Их 11, ведь 2197=13³>2027>12³=1728 (1³ мы не считаем). Кажется, что некоторые числа мы посчитали дважды... Какие же?

Подсказка 4

Если n=t⁶, то n мы посчитали дважды. Таких n всего 2: 64 и 729. Как завершить решение?

Подсказка 5

Так как мы вычеркнули 43+11-2=52 числа, то надо прибавить к 2027 52. Осталось только проверить, не было ли среди чисел от 2027 до 2079 точных квадратов или кубов и наслаждаться победой!

Показать ответ и решение

Так как чисел от 1 до 5 нет в последовательности, то изначально на 2022  месте стоит число 2027.

Среди первых 2022  членов последовательности 43  полных квадрата, так как   2
46 = 2116  уже больше 2027, а   2
45 = 2025  ещё меньше и при этом из 45 первых квадратов не учитываются  2
1  и  2
2 .

Среди первых 2022  членов последовательности 11  полных кубов, так как  3
13 =2197  уже больше 2027, а   3
12 = 1728  ещё меньше и при этом из 12 первых кубов не учитывается  3
1 .

При удалении квадратов и кубов числа, являющиеся 6  степенью натуральных чисел, были посчитаны дважды. Их среди первых 2022  членов последовательности 2  , а именно  6   6
2 и 3  , так как       6
4096= 4  уже больше, чем 2027, а  6
3 =729  ещё меньше, и при этом  6
1  учитывать не надо.

Итак, после удалений на 2022  месте будет стоять число 2027+ 43+ 11 − 2= 2079.

Ответ: 2079

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#71439

Решите неравенство

(              )                 (   1       √3  )
 8x3+ 4x2− 18x− 9⋅arccos(x − 1)≤ arccos 4cos40∘ + 4cos50∘

Источники: ПВГ-2022, 11.2 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какое некрасивое выражение стоит в правой части, очень хочется от него избавиться...

Подсказка 2

Давайте приведем слагаемые в аргументе к общему знаменателю, поделим числитель и знаменатель на 2, тогда в числителе получится что-то красивое! Сворачивайте!

Подсказка 3

Знаменатель тоже можно преобразовать по тригонометрическим формулам. Ого, оказывается эта страшилка равна единице, значит арккосинус равен нулю!

Подсказка 4

Левая часть легко раскладывается на линейные множители, ну а ноль арккосинуса мы знаем (x=1). Решаем неравенство!

Подсказка 5

Не забывайте, пожалуйста, об ОДЗ! Арккосинус требует соблюдения всех условий!

Показать ответ и решение

Так как

   1      √3-       1      √3-    sin30∘⋅sin40∘+cos30∘ ⋅cos40∘
4cos40∘ +4cos50∘ = 4cos40∘ +4sin40∘ =------2sin40∘cos40∘-------=

       ∘   ∘          ∘
= cos(40-− 3∘0-)=--cos(1∘0-)∘-= 1,
     sin80      sin(90 − 10 )

то получается неравенство

(8x3 +4x2− 18x − 9)⋅arccos(x− 1)≤0

Левая его часть определена при |x − 1|≤ 1,  поэтому x∈ [0;2].  На этом отрезке первый сомножитель

(8x3+ 4x2− 18x− 9)= (2x +1)(2x− 3)(2x+ 3)

неотрицателен при    [   ]
x∈  3;2
    2 и отрицателен при   [   )
x∈ 0;3  .
     2  Второй сомножитель всегда неотрицателен и равен нулю при x =2.

Поэтому    [   ]
x ∈ 0;3 ∪ {2}.
      2

Ответ:

[0;3]∪ {2}
  2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#71440

Среди всех вписанных четырёхугольников найдите четырёхугольник ABCD  с наименьшим периметром, в котором AB = BC =CD  и все попарные расстояния между точками A,B  , C  и D  выражаются целыми числами. Чему при этом равен радиус описанной вокруг ABCD  окружности?

Источники: ПВГ-2022, 11.3 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сначала нужно понять что это за вписанный четырехугольник с тремя равными сторонами. Поотмечать уголки, выяснить тип фигуры.

Подсказка 2

Действительно, это равнобокая трапеция. Удобнее обозначить равные стороны за a, а другую - за b. Тогда периметр можно выразить через a и b и минимизировать его.

Подсказка 3

Проведите высоту, так Вам удобнее будет выражать диагонали, саму высоту. Посчитайте маленько(много Пифагора)! Посмотрите на одну из диагоналей!

Подсказка 4

Нам очень помогает условие целостности на попарные расстояния. Так, мы можем поперебирать значения a,b. Помним о неравенстве ломаной, переменных, целых числах, квадрате диагонали.

Подсказка 5

Помним про наименьший периметр, вовремя остановимся и проверим, достигается ли равенство.

Показать ответ и решение

Так как хорды AB  и CD  равны, то равны и дуги AB  и CD,  а значит, равны вписанные углы CAD  и BCA.  Это означает, что BC ∥ AD  , и ABCD  — трапеция с равными боковыми сторонами AB  и CD  . Пусть AB =BC = CD = a,AD  =b,  AC = BD =c.

PIC

Высоту h= BH  выразим по теореме Пифагора

        (    )2
h2 = a2− b−-a
          2

c2 = h2+ (a+-b)2 = a2− (b−-a)2+ (a-+b)2 =a2+ ab
           2            2        2

Заметим, что это же можно было получить с помощью теоремы Птолемея:

AB ⋅CD + BC⋅AD = AC ⋅BD ⇔ a2+ab= c2

Таким образом,

2
c =a(a+ b),

где a,b,c  — натуральные числа. Кроме того, 3a> b,  то есть b≤ 3a− 1.

  • Если a =1,  то b∈[1;2],  и уравнение c2 = 1(1+ b)  целых решений не имеет.
  • Если a =2,  то b∈[1;5],  и уравнение c2 = 2(2+ b)  целых решений не имеет.
  • Если a =3,  то b∈[1;8],  и уравнение c2 = 3(3+ b)  целых решений не имеет.
  • Если a= 4,  то b∈ [1;11],  и уравнение c2 =4(4+ b)  имеет единственное целое решение b= 5,  c= 6.  Тогда периметр равен 3a+ b=17.
  • При a ≥5  периметр будет больше 17, так как если 3a+ b≤17,  то a =5.  Но тогда или b= 1,   2
c = 30,  или      2
b= 2,c =35  — то и другое невозможно.

Итак, AB = BC = CD =4,AD = 5,AC = BD = 6,  периметр равен 17. Тогда высота трапеции равна ∘ ---------  √ -
  42− (5−24)2 = 327 ,  синус угла при основании равен sinA= 3√7 = 3√7,
      2⋅4   8  а искомый радиус находится по теореме синусов

2R = BD--= 6⋅√8 ⇒ R= √8-
     sinA   3 7        7
Ответ:

√8-
  7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#71441

Последовательность a
 n  задана формулами

    4043-       3   2
a1 = 2022,an+1 = an− 3an +3an.

Найдется ли натуральное число n  такое, что

     2022
|an|≤ 2021?

Обоснуйте свой ответ.

Источники: ПВГ-2022, 11.4 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу заметим кое-что в формуле последовательности: да это же выглядит как полный куб! Только единички не хватает) Как тогда будет выглядеть наша последовательность?

Подсказка 2

Раз там не хватало единицы, прибавим ее к обеим частям. Тогда, например, раз a_n = 1 + 2021/2022, то a2+1 = 1 + (2021/2022)^3. Можете ли вы тогда вывести формулу для последовательности?

Подсказка 3

Конечно можете! Это будет a_n = 1 + (2021/2022)^(3^n)! Т.е. у нас какое-то число, меньшее единицы по модулю, возводится в все большую и большую степень....Что это значит?

Подсказка 4

Это значит, что оно уменьшается все время) Теперь просто попробуйте подобрать n, чтобы выполнялось условие!

Показать ответ и решение

Перепишем данную в условии формулу в виде

            3
an+1 = (an− 1) +1

Находим, что если an = 1+ 𝜀  , то an+1 =1 +𝜀3.  В предложенной задаче a1 = 1+ 2021,
       2022  поэтому

      ( 2021)3           (2021)3n−1
a2 =1 + 2022- ,...,an = 1+ 2022

Так как

a ≤ 2022⇔ 1+ (2021)3n−1 ≤ 1+-1--⇔ (2021)3n−1 ≤--1-
 n  2021      2022          2021    2022       2021

Это неравенство при достаточно больших n  выполняется. Для того, чтобы это утверждать, нужно или доказать, что предел этой последовательности равен 0 , или сделать оценку

           (  1 )            (       1 )
3n−1 ≥ log22002122 2021- ⇔ n≥ 1+ log3 log202022122021-

Отсюда следует, что для любого

    [     (         )]
n ≥ 1+ log3 log 2022-2021  + 1
              2021

неравенство выполняется.

Ответ: да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#71442

В треугольной пирамиде SABC  в основании лежит равнобедренный прямоугольный треугольник ABC  с гипотенузой AC.  Боковые грани SAB  и SAC  перпендикулярны плоскости ABC.  Сфера радиусом, равным AC,  с центром в точке S  делит пирамиду на две части. Найдите объём большей из этих частей, если SA= AB = 2.

Источники: ПВГ-2022, 11.5 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Из условия сразу можно понять, что SA перпендикулярно плоскости ABC. Работать просто так с пирамидой не очень удобно, к тому же у нас ещё присутствует сфера в задаче. Видим, что у нас прямой угол в основании и прямой угол между ребром и основанием! Тогда до чего можно достроить нашу пирамиду?

Подсказка 2

Верно, можно сначала отразить симметрично пирамиду относительно AC. А дальше понятно, что это большая пирамида будет 1/3 от куба, до которого тоже в силу равенства отрезков можно достроить. Но хватит ли этого нам? У нас есть сфера, которая отсекает от исходной пирамиды часть, и не совсем понятно, как вообще этот объём искать... Как можно задействовать неиспользуемую часть, после чего всё станет намного проще?

Подсказка 3

Да, можно наш куб со стороной равной двум достроить ещё до куба со стороной 4. Теперь какой же объём нас интересует?

Подсказка 4

Верно, нам нужен объём, который получается, как разность объёма сферы и 6 сегментов, выходящих наружу за куб. А точнее, потом нам нужно поделить его на 48. Отлично! Осталось аккуратно посчитать эти объёмы, и потом ещё проверить, что вы нашли больший из них. Например, можно проверить, что найденный объём больше половины объёма исходной пирамиды. Победа!

Показать ответ и решение

Из условия задачи вытекает, что ребро SA  пирамиды перпендикулярно основанию ABC.

Обозначим SA = AB =a.  Пирамида SABCD  является 1∕48  частью изображённого на рисунке куба с ребром 2a,  причём все 48 пирамид, образующих этот куб, располагаются центрально-симметрично относительно общей вершины S :

PIC

Поэтому искомый объём есть 1∕48  объёма тела, представляющего собой пересечение шара радиуса      -
R =√ 2a  и данного куба. Это пересечение есть шар без шести шаровых сегментов с высотой шарового сегмента h= (√2− 1)a :

PIC

Объём этого тела:

             (     )       √-      √-    ( √-  √-   )
V = 43πR3 − 6πh2 R − h3 = 43π⋅2 2a3− 6π( 2− 1)2 2− -23− 1 a3 =

  8√2-  3      √ -  √-     3  2   3  √-    √-       2   3    √ -
=  3 πa − 2(3− 2 2)(2 2+ 1)πa = 3 ⋅πa(4 2− 3(4 2 − 5))= 3 ⋅πa(15− 8 2)

Значит, искомый объём равен

            √ -    3     √-          √-
32⋅48-⋅πa3(15− 8 2) = πa-(157−2 8-2) = π(15−98-2)

Отметим, что объём всей пирамиды равен 13 ⋅ 2⋅22 ⋅2 = 43  (или, что то же самое, 1∕48  части куба, то есть 4438 = 43  ) Найденный объём части пирамиды больше, чем 1∕2  объема пирамиды, так как

π(15− 8√2)  2       √-   6       √-             6
----9----> 3 ⇔ 15− 8 2> π ⇔ 15− 8 2> 15− 12 =3 >π

Это подтверждает, что мы нашли именно объём большей части пирамиды.

Ответ:

 π(15−-8√2)
    9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#77785

Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых множество решений неравенства

| 3   2      | | 3   2      |   2
|x + 2x + x+ a|+|x − 2x + x− a|<4x + 8x

представляет собой на числовой прямой промежуток длиной 1.

Источники: ПВГ - 2022, 11.6 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем сначала разобраться с модулями. Если сумма модулей меньше какого-то числа, то какие выводы можно сделать о модуле суммы и разности этих двух чисел?

Подсказка 2

Сумма - это максимум из всевозможных сумм и разностей двух чисел, взятых как с минусом, так и с плюсом(всего 4 комбинации). Значит, мы можем записать целых 4 неравенства, с которыми гораздо удобнее работать, так еще и без модулей. Что теперь можно сказать про a?

Подсказка 3

Порассуждаем, когда же ответов будет промежуток длины 1. Удобнее всего нарисовать отрезок и как-то ограничить и разобрать случаи a.

Показать ответ и решение

В силу того, что

|u|+|v|= max|u± v|=max{u+ v,−u− v,u − v,−u+ v}
(1)

Пусть     |           |    |            |
|u|= |x3+ 2x2 +x +a|,|v|=|x3− 2x2 +x− a|.  Тогда исходное равенство можно переписать в следующем виде:

max |u± v|<4x2+ 8x

Следовательно, максимум меньше 4x2+ 8x,  значит каждое из выражений из (1)  тоже меньше 4x2+ 8x,  следовательно исходное неравенство равносильно системе

(
|||| 2x3+ 2x < 4x2+ 8x
{ −2x3− 2x< 4x2+8x
|||| 4x2+ 2a <4x2+ 8x
( −4x2− 2a< 4x2 +8x

(||  x(x− 3)(x+ 1)<0
||{  x(x2+ 2x+5)> 0
||  x> a
||(  (2x+41)2+ a− 1> 0

(|{ 0< x< 3
  x> a4
|( (x+ 1)2 > 1−a.
      2     4

1) Если a> 1,  то 1− a <0,  третье неравенство выполнено при любом x.  Тогда согласно условию, что ответ промежуток длины  1,  получаем, что выражение 3− a4 =1  выполняется при a= 8.

2) Если a≤ 1,  то третье неравенство верно при

   (  -----      )
    ∘ 1−-a  1
x∈      4 − 2;+∞  ,  т.к. x > 0.

Т.к. a4 ≤ 14,  то 3− a4 ≥ 3− 14 = 2,75,  т.е. не подходит под условие задачи. Тогда

   (∘ -----  )      ∘ -----
3−    1−-a− 1  = 1⇒   1−-a− 1= 2⇔ a =− 24.
        4   2          4    2
Ответ:

− 24;8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#92993

Сравните числа 100-⋅ 102-⋅...⋅ 1020-⋅ 1022-
101  103     1021  1023  и 5.
16

Источники: ПВГ - 2022

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем как-то телескопировать произведение в левой части неравенства. Для этого умножим его на число B = 101/102 × 103/104 × ... × 1023/1024. Пусть левая часть неравенства равна A. Можно ли сравнить A и B?

Подсказка 2

Конечно, n/(n+1) < (n+1)/(n+2), поэтому A < B! Теперь, зная число AB, можно ли доказать неравенство?

Показать доказательство

Заметим, что -n-< n+1.
n+1  n+2  Поэтому

    100  102      1020- 1022
A = 101 × 103 × ...× 1021 × 1023 <

  101  103      1021   1023
< 102 × 104 × ...× 1022-× 1024-=B

Перемножив и сократив дроби, получим                  (  )
A ×B = 1100204 =22556 = 5162.  С другой стороны, поскольку A <B,  то            ( )
A2 < A× B = 516-2.

Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!