Тема ПВГ (Покори Воробьёвы Горы)

ПВГ - задания по годам → .11 ПВГ 2019

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела пвг (покори воробьёвы горы)

Разделы подтемы ПВГ - задания по годам

ПВГ до 2010

ПВГ 2010

ПВГ 2011

ПВГ 2012

ПВГ 2013

ПВГ 2014

ПВГ 2015

ПВГ 2016

ПВГ 2017

ПВГ 2018

ПВГ 2019

ПВГ 2020

ПВГ 2021

ПВГ 2022

ПВГ 2023

ПВГ 2024

ПВГ 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31286

Все 11-классники спецшколы разделены на три отдельные категории: экономисты, историки и филологи. На каждых двоих филологов приходится 3 человека, считающихся экономистами или историками, а на каждых пятерых экономистов приходится 7 человек, считающихся историками или филологами. Найдите количество историков, если 11-классников в школе не более 100.

Источники: ПВГ-2019, 11.1 (см. rsr-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Введем переменные для количеств экономистов (x), историков (y) и филологов (z), и составим уравнения.

Подсказка 2

Уравнения составлены, но у нас три неизвестные и два уравнения - однозначно найти все не получится. Хочется выразить все переменные через одну, например, через z.

Подсказка 3

Все переменные - целые. Значит, мы можем воспользоваться делимостью! Действительно, если 11z = 24y и 25z = 24x, то z должно делиться на 24. Вспомним условие: школьников всего <= 100. Какие ограничения оно накладывает?

Подсказка 4

Из условия следует, что x + y + z <= 100. Осталось доказать, что при слишком больших z (z >= 48) это условие не будет выполняться.

Показать ответ и решение

Пусть экономистов, историков и филологов соответственно $x$ , $y$ и $z$ , тогда:

{ -z-= 2 { 3z = 2x+ 2y { 11z = 24y x+xy 35 =⇒ =⇒ z+y = 7 5z = 7x− 5y 25z = 24x

Все числа натуральные, потому $z$ кратно 24. Если $z ≥48$ , то $y ≥ 22,x ≥50$ , откуда сумма больше 100, а иначе $z = 24,y =11,x= 25$ .

Ответ:

$11$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#32156

Решите уравнение

2 x +8{x+ 4}− 9 =0

Источники: ПВГ-2019, 11.5 (см. rsr-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Важный метод решения уравнений с целой и дробной частями: оценки сверху и снизу. Можно избавиться от большого количества иксов на оси справа, от большого количества иксов на оси слева и свести задачу к рассмотрению случаев: на каждом маленьком промежутке мы точно поймём, как раскроется дробная часть

Подсказка 2

Подумайте, так ли важна нам четвёрка внутри дробной части. Если мы к какому-то числу прибавим целое число, то изменится ли от этого дробная часть? Используйте оценку дробной части и это знание, чтобы оценить x^2-9, а потом и сам икс, сверху и снизу!

Подсказка 3

Осталось правильно разбить полученный промежуток на промежутки поменьше, чтобы дробная часть на них раскрылась однозначно. В каждом таком случае мы либо подставляем конкретный икс, либо получаем квадратное уравнение на икс с ограничениями на его значения (не забывайте эти ограничения при поиске корней учитывать!)

Показать ответ и решение

Так как ${x+ 4} ={x}= x− [x],$ то получаем

2 2 9 − x = 8x− 8[x] ⇐ ⇒ x + 8(x− [x])− 9= 0

Так как $0≤ {x+ 4}<1,$ то

2 0≤ 9− x = 8{x +4}< 8

1< x2 ≤9

Нужно рассмотреть случаи исходя из этой оценки

$∙$ Если $x= 3$ , то уравнение $x2+8(x− 3)− 9= 0$ обращается в тождество.

$∙$ Если $2≤x < 3$ , то $x2+8(x− 2)− 9= 0$ . Корни этого уравнения $− 4± √41$ и корень $− 4+ √41$ попадает в нужный полуинтервал.

$∙$ Если $1< x< 2$ , то $x2+8(x− 1)− 9= 0$ . Корни этого уравнения $− 4± √33$ и корень $− 4 +√33$ попадает в нужный полуинтервал.

$∙$ Если $− 2≤x < −1$ , то $x2+ 8(x+ 2)− 9 =0$ . Корни этого уравнения $− 7,−1$ и ни один не попадает в полуинтервал.

$∙$ Если $− 3≤x < −2$ , то $x2+ 8(x+ 3)− 9 =0$ . Корни этого уравнения $− 5,−3$ и корень $− 3$ подойдёт.

Ответ:

${−3;−4+ √33;−4+ √41;3}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#37114

Две смежные боковые грани пирамиды, в основании которой лежит квадрат, перпендикулярны плоскости основания. Двугранный угол между двумя другими боковыми гранями равен $2π 3$ . Найдите отношение высоты пирамиды к стороне основания.

Источники: ПВГ-2019, 11.3 (см. rsr-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В задаче уже есть прямые углы, поэтому давайте опустим из A и C высоты на BS, чтобы прямых углов появилось еще больше!;) Что можно сказать про эти высоты?

Подсказка 2

Проведенные высоты попадают в одну точку H на SB! Тогда можно построить плоскость AHC ;) ЧТо интересного можно сказать об этой плоскости?

Подсказка 3

BS перпендикулярная плоскости AHC! Значит, мы можем найти еще прямые углы, образованные прямой BS!

Подсказка 4

Пусть O — середина AC. Тогда угол OHS прямой! Как это можно связать с треугольником DSB?

Подсказка 5

Отлично, треугольники DSB и HOB подобны! Осталось всё аккуратно посчитать ;)

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть это пирамида $ABCDS$ , где $SD ⊥ ABCD$ (то есть основанию перпендикулярны $ASD$ и $CSD$ ). Обозначим сторону квадрата из основания за $a$ .

В силу симметрии высоты $AH$ и $CH$ к $BS$ пересекаются в одной точке. Тогда из условия $∠AHC =120∘$ , как угол между высотами к общей прямой двух плоскостей. Далее в силу той же симметрии $AH =HC$ и $AO = OC$ , то есть $AC ⊥ OH$ и $∠HCA = ∠HAC = 30∘$ . Отсюда $OH = OC tg30∘ = √a2 ⋅ 1√3 = √a6$ . Далее заметим, что $SB ⊥ ACH$ , поскольку перпендикулярна двум прямым $AH$ и $CH$ , откуда $OH ⊥ BS$ . Тогда $△BHO ∼ △BDS$ . Тогда $ODHS-= BBHD-$ . Осталось найти

∘---------------- ∘ --2-----2 2 (-a- --1--)2 ∘ -2--2-2 -a- BH = BC − CH = a − √2-⋅cos30∘ = a − 3a = √3 =⇒

a √- DS = OH-⋅BD- = √6 ⋅-2a-=a BH a√3

То есть высота пирамиды равна стороне основания.

Ответ:

$1 :1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#39761

Сумма шести первых членов геометрической прогрессии, состоящей из положительных чисел, в $344$ раза больше суммы трех ее первых членов. Найдите знаменатель прогрессии.

Источники: ПВГ-2019, 11.1 (см. rsr-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обозначим первый член прогрессии b, а знаменатель q. Тогда что хорошего можно увидеть, когда мы запишем равенство на суммы из условия?

Подсказка 2

Верно, и слева, и справа есть b, на которое можно сократить и получить уравнение относительно одной переменной. Теперь применим формулу для суммы геометрической прогрессии. У нас получается там 6 степень... Как можно упростить себе жизнь, вспомнив, что это q^3 в квадрате?

Подсказка 3

Ага, мы можем разложить скобку слева по формуле разности квадратов! Теперь мы можем сократить общую часть и легко найти q.

Показать ответ и решение

Пусть $b = b,b = bq. 1 2$ Тогда условие можно переписать в виде

5 2 1−-q6 1− q3 b+ bq +...bq = 344(b+ bq+ bq) ⇐⇒ 1− q = 3441− q ⇐ ⇒

⇐⇒ (1− q3)(1+ q3)= 344(1− q3) ⇐ ⇒ q = 7

Здесь мы считаем $q ⁄=1,$ однако легко видеть, что при $q = 1$ условие не выполнено.

Ответ:

$7$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#40086

Аня выписала одно за другим $2018$ чисел

1⋅2 2⋅3 3⋅4 2018-⋅2019 2 , 2 , 2 ,..., 2

и вычислила их. Сколько из получившихся чисел имеют в десятичной записи последнюю цифру 5?

Источники: ПВГ-2019, 11.2 (см. rsr-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Итак, в задаче надо выяснить, как часто последняя цифра будет 5. Давайте просто возьмем и попробуем написать последние цифры у некоторого количества чисел из последовательности.

Подсказка 2!

Так как нам нужно посчитать, как часто встречается 5, было бы здорово заметить какую-то периодичность... Можно, конечно, просто повыписывать числа, но давайте попробуем проанализировать. Нам даны числа вида N(N+1)/2 и мы хотим чтобы у этого совпала последняя цифра с каким-то (N+X)(N+1+X)/2, это будет значить, что у нас период длины Х!. Что же это может быть за Х...

Подсказка 3!

Ага, нехитрыми алгебраическими вычислениями заметим, что 20 подойдет! Ну все, самое важное мы уже сделали, осталось как-то хитро (или не очень) подсчитать 5ки!

Показать ответ и решение

Поскольку для любого натурального $n$ от $1$ до $(2018− 20)$ разность $(n+20)⋅(n+21)-− n⋅(n+1)= 20n +210 2 2$ делится на $10,$ то числа $(n+20)⋅(n+21) 2$ и $n⋅(n+1) 2$ заканчиваются на одну и ту же цифру, то есть последовательность последних цифр данных в условии чисел периодическая с периодом $T = 20.$

Также заметим, что $n⋅(n+1) 2 = 1+ ...+n.$ Можно легко выписать последние цифры первых $20$ чисел, прибавляя к предыдущему номер текущего числа и беря остаток по модулю $10:1,3,6,0,5,1,8,6,5,5,6,8,1,5,0,6,3,1,0,0.$

В группе из $20$ чисел цифра $5$ встречается $4$ раза. Среди $2018$ чисел есть $100$ групп по $20$ чисел и последняя группа на $18$ чисел, а которой также четыре пятёрки. В итоге всего пятёрок $100⋅4 +4 =404$ штуки.

Ответ:

$404$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#45074

В равнобедренном треугольнике $ABC$ на высоте $BH$ , равной основанию $AC$ , как на диаметре построена окружность, пересекающая боковую сторону $BC$ в точке $F$ . Каково отношение площади треугольника $FCH$ к площади треугольника $ABC?$ Какая часть площади треугольника $ABC$ находится внутри окружности?

Источники: ПВГ-2019, 11.4 (см. rsr-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Давайте обозначит CF за x и попробуем посмотреть, что у нас получается. Основание треугольника обозначим за 2a. Давайте обозначим еще оснаток BF за y. Мы знаем, что трегуольник BFH прямоугольный, тогда давайте воспользуемся теоремой о соотношении катетов в прямоугольном треугольнике! Попробуйте найти отношение y/x.

Подсказка 2!

Да, записав теорему мы получим, что это соотношение равно 4. Осталось только найти соотношение площадей)

Подсказка 3!

Так, займемся пунктом b. Было бы здорово попробовать избавиться от x и выразить его через a. Для нахождения площади сегментов окружности, нам придется обратиться к цглам и центру. Отметьте центр окружности и заметим, что тогда в треугольнике BOF можно написать теорему косинусов! Остается аккуратно посчитать и ответить на вопрос.

Показать ответ и решение

$PIC$

Введем обозначения: $BH = 2a,HC =a,BF = y,F C = x$ . Поскольку угол $BF H$ - прямой, то по теореме об соотношениях в прямоугольном треугольнике для двух катетов $BH,HC$ будем иметь:

{ a2 = x(y+ x), ⇒ y= 4⇒ y = 4x 4a2 =y(x+ y) x

Из отношения площадей треугольников с общим углом находим ответ на первый вопрос:

SFSCH- = 2a(axx+-y) = 110 ABC

Из теоремы Пифагора для $△BHC$ имеем $5a2 = 25x2 =⇒ x= √a 5$ . Далее пусть $O$ — центр окружности из условия, а также $∠HOF =α$ , запишем теорему косинусов для $△BOF$

(-4a-)2 2 2 3 4 √5- = 2a +2a cosα ⇒ cosα = 5 ⇒ sin α= 5

Обозначим площадь сектора $HOF$ через $S1$ . Тогда $1 2 4 S1 = 2a ⋅arcsin 5$ . Внутри окружности у треугольника два таких сектора. Кроме того, внутри окружности два треугольника одинаковой площади (симметрия относительно $BH$ ). Найдем площадь $S2$ $1 2 △BOF :S2 = 2a2sinδ = 5a2$ . Тогда ответ на второй вопрос будет следующий: $2(S +S) 1( 4 4) -S1ABC2-= 2 arcsin5 +5$ .

Ответ:

$-1, 1(arcsin4 + 4) 10 2 5 5$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#47066

Определите значение функции:

5 4 3 2 f(x)=x + ax + bx + cx +dx+ e

в точке $x= 2018$ , если

f(2019)= f(2023)= 0, f(2020)=f(2022)= −3, f(2021)= −4.

Источники: ПВГ-2019, 11.5 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Давайте попробуем сделать условие более симметричным - например, завести новую функцию g(x) = f(x + 2021)

Подсказка 2!

Наша цель - узнать что-то полезное про это равенство пятой степени. Для этого давайте попробуем сделать такую функцию, чтобы все наши значения были ее корнями.

Подсказка 3!

Например, подойдет m(x) = g(x) - x^2 + 4. Заметим, что теперь все наши числа из условия дают 0 этой функции. Осталось проанализировать получившееся!

Показать ответ и решение

Рассмотрим $g(x)= f(x +2021)$ . Тогда

5 4 3 2 g(x)= x +px + qx +vx + ux+ w,

при этом

g(−2)=g(2)= 0,g(−1)=g(1)=− 3,g(0) =− 4.

Рассмотрим $h(x) =g(x)− x2+ 4.$ Тогда

h(−2)= h(2) =0− 4+ 4= 0,h(−1)= h(1)= −3− 1+ 4= 0,h(0)=g(0)− 0+ 4= 0.

При этом $h(x)$ также остаётся многочленом пятой степени. Поэтому он имеет не больше пяти корней, при этом пять корней мы уже нашли, так что по теореме Безу $h(x)= x(x − 1)(x +1)(x − 2)(x +2).$

Искомое значение

f(2018)= f(− 3+2021)= g(−3)= h(− 3)+ (−3)2 − 4=

= −3⋅8⋅5+ 9− 4= −120+5 =− 115.

Ответ:

$− 115$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#63894

В основании пирамиды $SABC$ лежит треугольник $ABC$ со сторонами $AB = BC = 3√2-$ и $AC =2√6$ . Высота пирамиды равна $√ - 6$ и видна из вершин $A$ и $C$ под одним и тем же углом, равным $√1 arcsin 3$ . Под каким углом она видна из вершины $B?$

Источники: ПВГ-2019, 11.4 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть SH – высота пирамиды, подумайте, на каком значимом отрезке в треугольнике лежит точка Н?

Подсказка 2

Она лежит на медиане, биссектрисе и высоте треугольника △АВС! Тогда мы без труда сможем выразить ВН через стороны треугольника и данные/интересующие нас уголочки (только не забудьте рассмотреть два случая: ведь точка Н может лежать как внутри, так и вне треугольника △АВС), откуда мы и можем найти тригонометрическую функцию искомого угла

Показать ответ и решение

Поскольку высота $SH$ пирамиды видна из вершин $A$ и $C$ под одним и тем же углом, точка $H$ лежит на медиане (она же биссектриса и высота) $BM$ треугольника $ABC$ или её продолжении.

$PIC$

Если $SH =h,AB = BC =a$ , $AC = b$ и $∠SAH = ∠SCH = α$ , а искомый угол $∠SBH = β$ , то имеем

∘------ ∘ ----------- BH = hctgβ =BM ±MH = a2− b2± h2 ctg2α− b2, 4 4

откуда, подставляя данные задачи, получаем $√- ctgβ = 2± 1$ , в зависимости от того, лежит ли точка $H$ внутри треугольника $ABC$ или вне него. Значит, $π β = 8$ или $3π β = 8 .$

Ответ:

$π∕8$ или $3π∕8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#65353

Найдите все возможные значения величины

-----f(t)−-f(0)----- T = f (t2)+f(t)− 2f(0)+ 2,

если $f(2x+ y)− f(x+ y)= 2x$ для всех действительных значений $x$ и $y.$

Источники: ПВГ-2019, 11.3 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вначале забудем про T и попробуем решить фуру. Тут есть очень удобная подстановка, которая позволяет избавиться от одной из переменных. Какая?

Подсказка 2

Можно подставить y=-x, и тогда сразу находим функцию f(x)=2x+C.

Подсказка 3

Теперь подставляем в T и получаем выражение, значения которого можно исследовать с помощью производной.

Показать ответ и решение

Если подставить в функциональное равенство $y =− x$ , мы получим, что $f(x)− f(0)= 2x$ . Следовательно, числитель $T$ равен $2t.$

Если подставить $2 2 x= t,y = −t$ , мы получим, что $2 2 f(t )− f(0)=2t$ . Следовательно, знаменатель $T$ равен $2 2t+ 2t+2.$

Таким образом, $--t-- T = t2+t+1.$

С помощью производной или неравенства о средних можно выяснить, что:

при $1 --1-- 1 t> 0 1+ t+ t ≥ 3 =⇒ 0< T = 1+t+1t ≤ 3;$

при $t= 0 T =0;$

при $1 1 t< 0 1+ t+ t ≤ −1 =⇒ − 1≤ T = 1+t+-1t < 0.$

Ответ:

$[−1;1] 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#67143

Найдите все тройки натуральных чисел $(m,n,k)$ такие, что

3 3 m +n = k!+32

Источники: ПВГ-2019, 11.4 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Когда в задаче на натуральные числа внезапно начинают фигурировать кубы, то пусть у вас всегда возникает мысль, что надо работать по модулю 7 или 9. Это потому, что там очень мало остатков получается. Поработаем, к примеру, с 7. Что мы можем сказать про правую часть при k > 6?

Подсказка 2

Верно, справа по модулю 7 будет 4, так как k! делится на 7, а остаток 32 по модулю 7 это 4. А слева какие вообще выражения могут быть по модулю 7? Какие вообще значения может принимать куб числа по модулю 7?

Подсказка 3

Верно, левая часть по модулю 7 никогда не сравняется с правой, а значит, мы ограничили k сверху шестёркой. Остается перебрать все возможные k и попытаться найти для них подходящие натуральные m и n. Задача решена!

Показать ответ и решение

Посмотрим по модулю $7.$ Нетрудно проверить, что кубы натуральных могут давать только остатки $0,1,−1$ (можно для удобства заменить остаток $6$ на $− 1,$ очевидно, что разница кратна $7$ ). Поэтому если $k≥ 7,$ то правая часть даёт остаток $4$ по модулю $7$ (такой же, как $32$ ). При этом остатки левой части могут быть только ${−2,−1,0,1,2}.$ Все они отличаются от $4$ по модулю $7,$ поэтому равенство невозможно. Значит, $k ≤6.$ Остаётся перебрать случаи

$3 3 k =1.m + n = 33,$ решений нет.
$3 3 k =2.m + n = 34,$ решений нет.
$3 3 k =3.m + n = 38,$ решений нет.
$k =4.m3+ n3 = 56,$ решений нет.
$k =5.m3+ n3 = 152,$ решения $(3,5),(5,3).$
$k =6.m3+ n3 = 752,$ решений нет.

Все проверки осуществляются простым перебором (достаточно взять $n,m ≤9,$ поскольку $93 = 729$ для последнего случая, а для других намного меньше).

Замечание. Аналогичные рассуждения можно было провести для модуля $9,$ тогда не потребовалось бы рассматривать $k =6.$

Ответ:

$(5,3,5),(3,5,5)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#67534

Все 11-классники спецшколы разделены на три отдельные категории: физики, химики и биологи. На каждых двоих биологов приходится 5 человек, считающихся физиками или химиками, а на каждых троих физиков приходится 7 человек, считающихся химиками или биологами. Найдите количество химиков, если 11-классников в школе не более 100.

Источники: ПВГ-2019, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть x, y, z — количество учеников в категории: биологии, химики, физики. Перепишите условие задачи в данных терминах.

Подсказка 2

Можно подобрать значения и убедиться, что одиннадцатиклассников в школе не более 100.

Показать ответ и решение

Пусть $x,y,z$ — количество учеников в категории: биологии, химики, физики. Тогда по условию задачи получим систему уравнений:

({ 5x= 2(y+z) ( 7z = 3(x+y)

( { 5x − 2y = 2z ( 7z =3x+ 3y

( { 5x− 14z3-+2x= 2z|⋅3 ( 7z y = 3 − x|⋅21

({ 21x= 20z ( 21y = 49z− 20z = 29z

({ 21x= 20z ( 21y = 29z.

Это значит, что минимальные значения могут быть только: $x= 20,y = 29,z =21.$

Ответ:

$29$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#80265

Решите неравенство

∘--------√----- ∘ --------√----- ( 17) 4x+ 1− 12 x− 2+ 4x+ 8− 16 x− 2 ≤log1∕4 x− 4

Источники: ПВГ 2019

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Корень под корнем - не самая приятная вещь, давайте проведём замену t=√(x-2). Тогда x=t²+2. При подстановке в выражении выделяются полные квадраты, корни исчезают, и остаётся просто неравенство с логарифмом и модулями. Что мы можем сказать о возможных значениях t?

Подсказка 2

Конечно, из ОДЗ на x следует, что t больше 3/2. Давайте теперь посмотрим, как раскрываются модули при разных значениях t.

Подсказка 3

Верно, при t≤2 все t сокращаются. Тогда остаётся рассмотреть отдельно эти два случая (когда t сокращается и когда нет) и аккуратно найти объединение решений в каждом из случаев

Показать ответ и решение

Сделаем замену $t=√x-−-2, t≥0.$ Тогда сведем неравенство к следующему виду, предварительно собрав полные квадраты

( 17) |2t− 3|+ |2t− 4|≤ log14 x− 4

Так как $x> 174 ,$ то $t> 32.$

При $( ] t∈ 32;2$ получаем

( ) 1≤ log14 x− 17 , 4

откуда $x ∈(147;92]$

При $t> 2$ получаем

( ) 4t− 7 ≤log1 x− 17 4 4

Так как $t> 2,$ то левая часть уравнения больше $1.$ С другой стороны при $t> 2$ получаем , что $x> 6,$ а тогда $( 17) x− 4 >1$ и $( 17) log14 x− 4 <0.$

Ответ:

$(17;9] 4 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#80267

Для каждого значения параметра $a$ решите уравнение

|| sin21(2a)|| || −4tg(3a)|| ( -π)2( -π) ||x− 2 ||+ |x− 2 |+a a +12 a− 12 =0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

По-видимому, нормальным решением уравнения здесь и не пахнет... Когда кажется, что все печально, в голову приходит супер-мысль: вспомнить про метод оценки! У нас слева стоит сумма двух модулей и какое-то выражение. Тогда рассчитывать на решения стоит тогда, когда это выражение неположительное...

Подсказка 2

Оно неположительно, когда 0≤a≤π/12 или a=-π/12. У нас имеется сумма двух модулей, поэтому очень хочется воспользоваться неравенством |x|+|y|≥|x-y|...

Подсказка 3

В силу монотонности синуса 1/sin²2a≥1/sin²(π/6)=4 при a∈(0;π/12], а также -4tg3a<0. Поэтому модуль разности наших модулей будет больше 15. Покажите, что при a∈(0;π/12] выражение a(a+π/12)²(a-π/12) не будет превосходить 1 и доведите решение до конца!

Показать ответ и решение

Решение может существовать только если

{ π-} ( π-] a ∈ − 12 ∪ 0; 12

поскольку иначе левая часть уравнения или не определена, или строго положительна.

При $π a= − 12-$ уравнение имеет вид

2|x− 16|=0

Следовательно, при $-π a= −12$ получаем решение $x= 16.$

Если $( π-] a∈ 0;12 ,$ то

--1-- 2 sin2(2a) > 16, 2−4tg(3a) < 1

Поэтому минимум функции

||| sin12(2a)||| || −4tg(3a)|| f(x)= |x − 2 |+ |x − 2 |

не меньше $15.$ С другой стороны абсолютное значение выражения

( ) ( ) g(a)= a a+ -π 2 a− π- 12 12

на полуинтервале $(0; π12)$ заведомо не больше $1 :$

|g(a)|< a(a+ π-)3 < 1 12

Поэтому при $a∈(0; π-] 12$ решений нет.

Ответ:

$x =16$ при $a= −-π; 12$

при остальных значениях $a$ решений нет.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#80581

Решите неравенство

arcsin(sin|x|)≥arccos|cos3x|

Источники: ПВГ 2019

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте заметить симметрию.

Подсказка 2

Если x нам подойдет, тогда -x — тоже. Будем теперь считать, что x ≥ 0. Какой еще значение может подойти, если x подходит?

Подсказка 3

Если x — подходит, тогда и x + 2π подходит. Будем считать, что x меньше 2π.

Подсказка 4

Оцените величины аркфункций на интервале [0; 2π).

Подсказка 5

Заметим, что интервал (π; 2π) нам не подходит.

Показать ответ и решение

Заметим, что если $x$ подходит, то и $− x$ подходит. Тогда давайте считать, что $x≥ 0$ .

Так же если $x$ , $x +2π$ больше 0 и $x$ подходит, то и $x+ 2π$ подходит. Значит, можно считать, что $x∈ [0,2π)$ .

Теперь заметим, что $x ∈(π,2π)$ не подходит, так как тогда $arcsin(sin|x|)<0 ≤arccos|cos3x|$ .

Нарисуем график для $x∈[0,π]$ . На этом интервале нам подходят $[π 3π] x∈ 4,4$ . Значит, на интервале $[0;2π]$ нам подходит только $[π 3π] x ∈ 4, 4$ . Осталось распространить это на всю прямую. Значит,

[π 3π ] [ −3π π ] x∈ ∪k≥0 4 + 2πk,4 +2πk ∪k≥0 -4-− 2πk,− 4p− 2πk

Ответ:

$[π + 2πk,3π+ 2πk]∪[−3π− 2πk,− πp− 2πk],k∈ {0} ∪ℕ 4 4 4 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#86091

Решите уравнение в целых числах:

2 3xy− x− y = 2019− 3x

Источники: ПВГ 2019

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как было бы удобнее работать с данным уравнением?

Подсказка 2

Перенесите все неизвестные в левую часть и разложите на множители.

Подсказка 3

Посмотрите на остатки.

Показать ответ и решение

Перенесём все неизвестные в одну сторону и разложим на множители:

2 3x + 3xy− x − y =2019

3x(x +y)− (x +y)= 2019

(3x− 1)(x+ y)=2019

Заметим, что $2019 =3⋅673,$ где каждый сомножитель простой, и что выражение в первой скобке даёт остаток 2 по модулю 3, значит, оно должно быть равно числу с остатком 2 по модулю 3. Посмотрим остатки всех целых делителей числа 2019 по модулю 3: у 2019 остаток 0, у 673 остаток 1, у 3 остаток 0, у 1 остаток 1, у $− 1$ остаток 2, у $− 3$ остаток 0, у $− 673$ остаток 2, у $− 2019$ остаток 0.

Следовательно, возможно только два случая

{ { 3x − 1 =− 1 3x− 1= −673 x+y =− 2019 и x+ y = −3

{ { x= 0 и x = −224 y = −2019 y =221

Ответ:

$(0;− 2019),(−224;221)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#92323

Найдите десятичную запись числа

5 ( 2) - (∘ 3√----) 10-⋅-2x− x-+ 2(3√2+ 1)(3 --2− 1) 666 3

если $x =0,999.$

Источники: ПВГ 2019

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первое слагаемое придется честно вычислить. Для этого удобно сначала вычислить 2x - x² = x(2-x), заметив, что 0,999 = 1 - 0,001. А как можно вычислить второе слагаемое?

Подсказка 2

Ясно, что простыми тождественными преобразованиями тут не обойтись. В выражении второго слагаемого фигурирует много кубических корней. Как можно уменьшить их количество?

Подсказка 3

Верно! Вместо самого второго слагаемого сначала попробуем вычислить его куб! Что тогда получится?

Показать ответ и решение

Так как $x= 1− 10−3,$ то

2 ( −3)( −3) −6 2x− x = x(2 − x)= 1− 10 1+10 = 1− 10 =0,999999

Поэтому

(2x − x2)⋅105 99999,9 ----666-----= -666--= 150,15

Обозначим второе слагаемое $3√- (∘3√32−1) 2( 2 +1) --3- = y.$ Так как

( 3√- ) √3- √3- 3√- y3 = 8(3√2+ 1)3 -2-− 1 = 8⋅ (2+3-4+3--2+-1)(-2−-1) √- 3√- √- √- √-3 =8 ⋅ 232+-3⋅2+-334+-32−-2−-334−-332−-1-=8 3

то $y = 2$ (понятно, что $y >0,$ так как все множители положительные).

Ответ:

$152,15$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#113664

При каких значениях $a$ существует $b$ такое, что уравнение

2 2 sin bsinx+ cos bcosx =a

не имеет решений?

Источники: ПВГ 2019

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как можно преобразовать выражение в левой части?

Подсказка 2

Примените метод вспомогательного аргумента, введя f(b) = √(sin⁴b + cos⁴b).

Подсказка 3

Воспользуйтесь тем, что косинус по модулю не превосходит единицу.

Показать ответ и решение

Пользуясь методом вспомогательного аргумента, приходим к уравнению

a= f(b)cos(x− f(b)),

где

∘ --4-----4- f(b)= sin b+ cos b

Если $| a-|≤ 1 f(b)$ при любых $b,$ то найдётся, например, решение $x= f(b)+ arccos-a. f(b)$ А если же при каком-то $b$ выполнено $| a-|> 1, f(b)$ то у уравнения решений нет, так как косинус по модулю не больше единицы.