Тема ПВГ (Покори Воробьёвы Горы)

ПВГ - задания по годам → .10 ПВГ 2018

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела пвг (покори воробьёвы горы)

Разделы подтемы ПВГ - задания по годам

ПВГ до 2010

ПВГ 2010

ПВГ 2011

ПВГ 2012

ПВГ 2013

ПВГ 2014

ПВГ 2015

ПВГ 2016

ПВГ 2017

ПВГ 2018

ПВГ 2019

ПВГ 2020

ПВГ 2021

ПВГ 2022

ПВГ 2023

ПВГ 2024

ПВГ 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#32857

Решите неравенство

------1----- -------2------ √x2-− x-− 2− 2 ≤ √x2-+14x+-40− 4.

Источники: ПВГ-2018, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В первую очередь надо записать ограничения на икс, так как подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Теперь можно заметить, что в одной части в числителе 1, а в другой 2, для чего так сделано?

Подсказка 2

Перенесём всё налево и попробуем привести дроби к общему знаменателю. Тогда в числителе -4 сократится с (-2) * (-2). Так вот зачем взяли такие числители! Осталось дорешать неравенство обобщённым методом интервалов. То есть найти нули числителя и знаменателя, отметить их на числовой прямой, причём выколоть нули знаменателя, расставить знаки на каждом промежутке, взять нужные промежутки.

Подсказка 3

Не забыли про ограничения? Их нужно пересечь с полученным множеством!

Показать ответ и решение

ОДЗ задаётся четырьмя условиями:

2 x − x− 2= (x +1)(x− 2)≥ 0,

(x +1)(x − 2)⁄= 4,

x2 +14x+ 40 =(x+ 4)(x+ 10)≥0,

x2+ 4x +40⁄= 16;

пересекая которые, получаем

x ∈(−∞; −12)∪ (− 12;−10]∪[−4;− 2)∪ (−2;− 1]∪ [2;3)∪ (3;+∞ )

Приведём дроби из условия к общему знаменателю

√-2-------- √-2------ -√-2x-+-14x-+40√−-22-x-−-x−-2-- ≤0 ( x − x− 2− 2)( x +14x+ 40− 4)

Знак разницы неотрицательных чисел (в данном случае корней из каких-то выражений) совпадает со знаком разницы их квадратов, потому что разность квадратов раскладывается в произведение разности этих чисел (знак которой нам и надо понять) и суммы этих чисел (которая и так неотрицательна, так что не влияет на знак). Поэтому неравенство равносильно:

x2+-14x-+40−-4(x2−-x−-2) ---3(x−-8)(x+-2)--- (x2− x− 6)(x2+ 14x +24) ≤0 ⇐ ⇒ (x − 3)(x+ 2)2(x+ 12) ≥0

Откуда по методу интервалов $x ∈(−∞; −12)∪ (−2;3]∪[8;+ ∞)$ .

Пересекаем с ОДЗ $(−∞;−12)∪(−12;−10]∪ [− 4;−2)∪ (−2;−1]∪[2;3)∪(3;+∞ )$ и получаем ответ.

Ответ:

$(−∞;− 12)∪ (− 2;−1]∪ [2;3)∪ [8;+∞ )$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#43267

Решите уравнение

( 3 4) 3 arcsin5 − arccos5 ⋅x +π =2arctg3+ arctg4.

Источники: ПВГ-2018, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте поработаем со скобкой слева. Подумаем, чему она вообще равна: для этого найдем cos(arcsin(3/5)), потому что закрадывается мысль, что на самом деле эти арксинус и арккосинус равны между собой по модулю. Остается обратить внимание на то, какого знака этот арксинус.

Подсказка 2

И да, так оно и оказывается, что скобка равна нулю. Значит, уравнение по сути независимо от х, и нам остается убедиться в том или опровергнуть то, что правая сторона равна π. Для этого, во-первых, надо понять, в каких пределах находится правая скобка.

Подсказка 3

Заметим, что по сути мы складываем три арктангенса с положительными аргументами, значит, их сумма положительна и сверху ограничена 3π/2. Из этого понимаем, что все-таки это выражение вполне может быть равно π (если бы оно было, например, от -π/2 до π/2, то тогда оно бы точно не равнялось π - значит, мы бы сразу ответ дали). Тогда посчитаем tg(2arctg(3)), используя формулу тангенса двойного угла, а затем посчитаем тангенс от всей правой части. Кажется, теперь мы смогли решить эту задачу!

Показать ответ и решение

Так как $cos(arcsin 3)= ∘1−--9= 4 5 25 5$ , а $arcsin 3∈(0,π) 5 2$ , то $arcsin 3= arccos4 5 5$ . Тогда уравнение выглядит как $π = 2arctg 3+arctg 3 4$ , то есть надо проверить, либо это тождество и подходят любые значения $x$ , либо это неверное равенство, так что решений нет.

Очевидно, что $3 ( 3 ) 2arctg3+ arctg 4 ∈ 0,2π$ по определению арктангенса и так как аргумент положительный. При этом

6 3 tg(2arctg(3))= 1−-9 = − 4

( ) tg 2arctg3 +arctg 3 = 0 4

Значит, $2arctg3+arctg 34 = πk$ и $2arctg 3+arctg 34 ∈(0,32π)$ . Пересекая эти условия, получаем $2arctg3+ arctg 34 = π$ .

Ответ:

$x ∈ℝ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#43268

Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости неравенством

π (2 ) arcsin(2x)+ arccos(2x)≥ 4 ⋅y − 2 .

Источники: ПВГ-2018, 11.2 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы работаем с арксинусом/арккосинусом -> они должны существовать, отсюда получаем ограничение на х. Затем увидим, что левая часть равна π/2 (почему?).

Подсказка 2

Обработав условие на у, получаем, что |y| и |x| ограничены сверху, и если мы перенесем доступные нам значения х и у на координатную плоскость, то получим прямоугольник, площадь которого легко считается.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $|x|≤ 1. 2$

Заметим, что $π arcsin(2x)+arccos(2x)= 2.$

Значит, нас интересует фигура $2 y − 2≤ 2$ и $1 |x|≤ 2.$

Это прямоугольник $|y|≤ 2$ и $1 |x|≤ 2$ . Его площадь равна $4.$

Ответ:

$4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#45071

В треугольник $ABC$ , в котором сумма сторон $AC$ и $BC$ в $9 5$ раз больше стороны $AB$ , вписана окружность, касающаяся сторон $BC,AC$ и $AB$ в точках $M,N$ и $K$ соответственно. Отношение площади треугольника $MNC$ к площади треугольника $ABC$ равно $r$ . Найдите при данных условиях:

а) наименьшее значение $r$ ;

б) все возможные значения $r$ .

Источники: ПВГ-2018, 11.4 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Для начала посмотрим на пункт а. Заметим, что у нас тут есть какие-то отрезки касательных, может быть мы можем выразить их через стороны треугольника как-то..?

Подсказка 2!

Верно! MC = NC = Полупериметр - c! А еще в треугольнике MNC две равных стороны, которые мы можем так выразить. Тааааааак, а как бы нам теперь зная много сторон найти отношение площадей?

Подсказка 3!

В таких случаях мы пишем отношение площадей через формулу двух сторон и угла между ними! Было бы здорово, если бы угол был общий, попробуйте угол С?

Подсказка 4!

А теперь в получившейся формуле осталось прийти к минимуму! (a+b) и ab, что-то знакомое..

Подсказка 5!

Хм, а пункт б? Раскроем скобки в последнем выражении для отношения площадей и сделаем замену t = a/b! Тогда что будет в скобках? В точности t+1/t+2. Осталось найти возможные значения t!

Показать ответ и решение

$PIC$

а) По формуле отрезков касательных для вписанной окружности имеем $MC = NC = p− c, p = a+b2+c, a,b,c$ — стороны $BC, AC,AB$ треугольника, отсюда

2 2 2 SMNC-= (p−-c)-= (a+-b−-c)-= 4(a+-b)-. SABC ab 4ab 81ab

Используем неравенство о средних $a+ b≥ 2√ab-$ (знак равно достигается, только в случае $a =b$ ), то $16(a+b)2 ≥ 4⋅4ab= 16 81ab 81ab 81$ .

б) Перепишем отношение площадей в следующем виде:

SMNC-= 4(a+b)2= -4( a+ 2+ b)= -4 (t+ 1+ 2) SABC 81ab 81 b a 81 t

где $a t= b$ . По неравенству треугольника $a+ b> c,a+ c> b,b+ c> a$ . Учитывая то, что $5(a+b)- c= 9$ последние неравенства равносильны $7 a 2 2 > b > 7$ . Отсюда $2 7 t∈(7,2)$ . Функция $4 ( 1 ) f(t)= 81-t+ t +2$ монотонно убывает на $(0;1)$ и возрастает на $(1;+∞ )$ , она симметрична относительно $1$ , откуда $2 7 2 f(7)= f(2)= 7$ . В итоге находим множество значений $16 7 2 f(t) : f(1) =81 ≤f(t)≤ f(2)= 7$ на отрезке $2 7 (7,2)$ . Любое промежуточное значение можно задать выбором $a$ и $b$ .

Ответ:

а) $16 81$

б) $16 2 [81;7)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#45584

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

x x x x 2 16 − 6⋅8 + 8⋅4 + (2− 2a)⋅2 − a + 2a− 1 =0

имеет ровно три различных корня.

Источники: ПВГ-2018, 11.5 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какое-то страшное уравнение дали... Давайте попробуем хоть что-то поделать с ним! Как говорится: "Дорогу осилит идущий" :)

Подсказка 2

Верно, давайте просто заменим 2^x на t, где t>0, и будем уже для этого уравнения решать задачу. Понятно, что нам не дали бы такую бяку, если бы она не раскладывалась во что-то хорошее. Давайте попробуем это сделать. Видим, что двойку в одном слагаемом можем вынести. Получается удвоенное произведение. А не соберутся ли там хорошо полные квадраты? Тогда стало бы совсем легко.

Подсказка 3

Точно, там хорошо собирается разность квадратов, с которой дальше уже можно работать! Хм... Видим, что произведение двух скобок равно нулю. И в них параметр а входит везде в первой степени. Тогда каким способом можно добить эту задачу?

Подсказка 4

Да, можно графически порешать в плоскости tOa. Осталось только аккуратно построить графики и выяснить подходящие значения а.

Показать ответ и решение

После замены $t= 2x > 0$ нам требуется ровно три различных положительных корня от уравнения

4 3 2 2 t − 6t + 8t − 2(a − 1)t− (a− 1) = 0

2 2 2 2 2 (t − 3t) − (t+ a− 1) = 0 ⇐⇒ (t− 2t+a− 1)(t − 4t− a+ 1)=0

Первое решение.

Построим графики

a =− (t2− 2t− 1)= −(t− 1)2 +2,a= t2− 4t+1 =(t− 2)2− 3

в координатах $tOa$ и посмотрим, когда горизонтальная прямая пересекает части парабол в области $t> 0$ ровно в трёх точках:

$PIC$

Это происходит строго между прямыми, показанными на графике. Из представления парабол выше очевидно, что горизонтальными касательными к параболам являются прямые $a= 2$ и $a= −3$ . Пересекаются параболы при

2 2 2 −(t − 2t− 1)= t − 4t+ 1 ⇐⇒ 2t− 6t= 0 ⇐ ⇒ t∈ {0;3}

При $t= 0$ получаем

a= 0− 0+1

При $t= 3$ получаем

a =9− 12+ 1= −2

Второе решение.

Заметим, что в случае наличия корней у уравнений

t2− 2t+ (a− 1)= 0

t2− 4t− (a− 1)= 0

их произведения имеют разные знаки, поэтому всего быть $4$ положительных корней не может (иначе оба коэффициента были бы положительны по теореме Виета). А сумма же корней всегда положительна, поэтому двух отрицательных корней быть не может.

Значит, нужно обеспечить наличие двух корней у обоих уравнений. Это обеспечивается условием на положительность дискриминантов

4(1− a+ 1)>0,4(4+ a− 1)> 0

При $a= 1$ среди корней есть два нуля, а иначе за счёт теоремы Виета у одного будут два положительных корня, у другого — один положительный и один отрицательный.

Итак, имеем три положительных корня и один отрицательный. Стоит ещё проверить, могут ли положительные корни в разных скобках совпасть, то есть при одном и том же $t> 0$ верно

2 2 t − 2t+a − 1 =0,t − 4t− a+1 =0

Отсюда

2 4t− 2t= 2(1− a) ⇐ ⇒ t= 1− a =⇒ (1− a) − 3(1− a)= 0 =⇒ a= 1,a =−2

Эти значения исключим из ответа.

Ответ:

$(−3;−2)∪(−2;1)∪ (1;2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#61647

Число в семеричной системе счисления является трёхзначным. В системе счисления с основанием 11 оно записывается теми же тремя цифрами, но в обратном порядке. Какова его запись в десятичной системе счисления? Найдите все возможные значения.

Источники: ПВГ-2018, 11.2 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как записать числа в семеричной системе счисления?

Подсказка 2

Например, 121 = 2 ⋅ 7² + 3 ⋅ 7¹ + 2 ⋅ 7⁰.

Подсказка 3

Представим аналогичным образом число в обеих системах счисления. Можем приравнять 2 полученных выражения.

Показать ответ и решение

Первое условие говорит нам, что число представимо в виде $49a+ 7b+c,a⁄= 0$ , а второе — что в виде $121c+ 11b+a$ . Приравняв, получим

120c+ 4b =48a ⇐⇒ 30c +b= 12a

Отсюда сразу же следует, что $b$ кратно шести, поскольку $12$ и $30$ делятся на это число. Значит, $b=0,6$ , разберём эти случаи

$b= 0 ⇐⇒ 30c= 12a ⇐⇒ 5c= 2a$ . Здесь $a= 0,5$ (кратно пяти), но первое значение невозможно по условию, потому подходит только $a =5,c= 2$ . В итоге получаем число $49⋅5+ 2= 247$ .
$b= 6 ⇐⇒ 30c+6 =12a ⇐⇒ 5c+1 =2a$ . Отсюда $a =3,c= 1$ , получаем $49⋅3+ 7⋅6+1 =190$ .

Ответ:

$190,247$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#63599

Найдите наименьшее значение $|x− y|$ при условии

( 4 )( 4 ) 3 2 cosx +1 4cos y+ 1 = 8cos xcosy,

[π 3π] x ∈[π;2π], y ∈ 2;2

Источники: ПВГ-2018, 11.5 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем оценить левую часть уравнения. Что напоминают слагаемые в скобках?

Подсказка 2

Складываются квадраты — очень похоже на разложение квадрата суммы или разности:) А мы ведь помним, что квадрат неотрицателен!

Подсказка 3

Оцените каждую скобку левой части при помощи удвоенного произведения слагаемых.

Подсказка 4

Итак, левая часть не меньше, чем 8cos²xcos²y. Это очень похоже на выражение справа, но можно провести ещё одну оценку ;)

Подсказка 5

В каком случае в цепочке неравенств достигаются равенства? Осталось решить систему!

Показать ответ и решение

Так как при любых значениях $x,y$ верны неравенства:

{ (cos2x − 1)2 ≥0 ⇐ ⇒ cos4x+ 1≥2cos2x (2cos2y − 1)2 ≥ 0 ⇐ ⇒ 4cos4y+ 1≥4 cos2y

то

(cos4 x+1)(4cos4y +1)≥ 8cos2xcos2 y

А так же в силу $cos2x≥ cos3x$ в итоге получаем, что левая часть уравнения

(cos4 x+1)(4cos4y+ 1)= 8cos3xcos2 y

всегда не меньше правой части, а равенство может достигаться если только если в каждом из неравенств выше достигается равенство. То есть уравнение равносильно системе:

(| (cos2x− 1)2 ≥ 0 (|| cosx= ±1 { (2cos2y− 1)2 ≥ 0 ⇐⇒ { cosy = ±√1 |( cos2x= cos3x ||( cosx= 0 и2ли cosx =1

{ { cosx= 1 ⇐ ⇒ x= 2πn,n ∈ℤ cosy = ±√12 y = π4 + πm2-,m ∈ ℤ

На заданных в условии промежутках

x ∈[π;2π], y ∈ [π∕2;3π∕2]

получаем

x= 2π,y ∈{3π∕4,5π∕4}

Нетрудно видеть, что минимальное значение модуля разности равно $3π- 4 .$

Ответ:

$3π 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#75156

Решите уравнение

-----1------- ------1------ --------1-------- √x+-2+ √x+-3 + √x-+3-+√x-+4-+...+ √x+-2017+ √x-+2018 = 42

Источники: ПВГ 2018

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первое, чего хочется при виде такого выражения, это как минимум избавиться от таких знаменателей. Каким самим простым приёмом это можно сделать?

Подсказка 2

Понятно, что от корней в знаменателе ничего хорошего не будет. То есть нужно, чтобы оба корня возвели в квадрат. Какой способ "легально" позволяет это сделать?

Подсказка 3

Да, конечно, нужно умножить на сопряженное число числитель и знаменатель. Тогда в знаменателе вовсе получится единица, а далее вся сумма хорошо сократится, и останется уравнение для корней, которое уже несложно решить. Можно два раза возвести в квадрат, либо же проделать снова умножение на сопряженное и воспользоваться монотонностью. Победа!

Показать ответ и решение

Избавимся от иррациональности в знаменателе каждого из слагаемых, домножив каждое из них на соответственное сопряжённое. Получим:

√x+-3− √x+-2 √x-+4− √x-+3 √x-+-2018− √x-+2017 (x-+3)−-(x+-2) + (x+-4)−-(x+-3)-+...+-(x+-2018)−-(x+2017)

Заметим, что в знаменателе в каждом слагаемом стоит $1,$ а большинство слагаемых в числителях входят с чередующимися знаками плюс и минус. Тогда после приведения подобных слагаемых в левой части наше уравнение превратится в:

√x-+-2018− √x+-2= 42

Снова домножим на сопряжённое к левой части, получим:

√------- √ ---- (x +2018)− (x+ 2)=2016= 42( x +2018+ x+ 2)

√------- √---- 48= x +2018+ x+ 2

В правой части находится монотонная функция, а значит она пересекает горизонтальную прямую $y = 48$ не более, чем в одной точке, заметим, что $x =7$ подходит, а, значит, и является единственным решением.

Ответ:

$7$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#80266

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых сумма длин промежутков, составляющих множество (возможно пустое) решений неравенства

(2 2 ) log2 x +4ax+ 4a − a < 2,

меньше 2.

Источники: ПВГ 2018

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу видно, что логарифм можно выкинуть (не забыв при этом про одз). Хочется также собрать квадрат, чтобы не таскать за собой много слагаемых: (x+2a)²-a. Какие неравенства будут эквиваленты изначальному, при отбрасывании логарифма?

Подсказка 2

Все верно, a<(x+2a)²<4+a. Мы имеем два квадратных неравенства, что не очень удобно при нахождении промежутков решения. Будет легко, если мы будем иметь только одно неравенство. Давайте так и сделаем, и для начала рассмотрим случай a≤0...

Подсказка 3

При таком условии на a существенным будет только неравенство (x+2a)²<4+a, которое равносильно |x+2a|<√(4+a), при a≥-4. Давайте теперь посмотрим на случай a≥0. Каковы промежутки решения неравенств √a<|x+2a|<√(4+a)?

Подсказка 4

У левого неравенства решением будет x<-√a-2a и x>√a-2a, а у правого -2a-√(4+a)<x<-2a+√(4+a). Видно, что пересечением будут интервалы -2a-√(4+a)<x<-√a-2a и √a-2a<x<-2a+√(4+a). Вам остается лишь найти a, при которых сумма их длин не больше 2!

Показать ответ и решение

Неравенство равносильно следующим неравенствам

2 2 0< (x+ 2a) − a< 4 ⇔ a <(x+ 2a)< 4+ a

(a) Если $a< 0,$ то получаем неравенство $(x+2a)2 < 4+a,$ удовлетворяющее требованию задачи, когда

4+a <1 ⇔ a< −3.

Выражение должно быть меньше $1,$ так как тогда решения будут принадлежать интервалу $(− 1− 2a; 1 − 2a)$

(b) Если же $a≥ 0,$ то получаем неравенство

√a <|x+ 2a|< √4-+a ⇔ 0< |x +2a|− √a-< √4+-a− √a

удовлетворяющее требованию задачи, когда

√4-+-a− √a-< 1 ⇔ √4-+a-<√a + 1 ⇔ a > 9 4

Ответ:

$(−∞;− 3)∪(9;+∞ ) 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#80582

Решите уравнение

6tgx− tg2x+ 5ctg3x =0

Источники: ПВГ-2018, 11.2 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В уравнении есть и тангенс, и котангенс, быть может, попробуем из связать при помощи какой-то замены?

Подсказка 2

Сделайте замену ctg(x) = t.

Подсказка 3

После замены у нас получится выражение с дробями, у которого, если привести всё к общему знаменателю, можно заметить кое-что интересное в числителе со степенями t ;)

Подсказка 4

Степени в числителе только чётные! Тогда мы можем вновь сделать замену для удобства дальнейшего решения ;)

Подсказка 5

После замены y = t² получим кубическое уравнение, в котором несложно найти один из корней! Тогда выражение можно будет разложить на множители!

Показать ответ и решение

Если $ctgx= t,$ то

1 --2t-- t3−-3t tgx= t, tg2x= t2− 1 , ctg3x= 3t2− 1;

поэтому после такой замены получаем уравнение

6 2t 5t3− 15t t − t2− 1-+ 3t2−-1-=0

Запомним условие

6(t2− 1)(3t2− 1)− 2t2(3t2− 1)+5(t3 − 3t)(t3 − t)= 0

Заменим $t2 = y ≥ 0:$

6(3y2− 4y+ 1)− 6y2+ 2y+ 5(y3− 4y2+ 3y)= 0

5y3− 8y2 − 7y+ 6= 0

(y+ 1)(5y2− 13y+6)= 0

(y+ 1)(5y− 3)(y − 2)= 0

⌊ y =2 | y =0,6 ⌈ y =− 1

При обратной замене подходят только два значения:

[ ctg2x= 2 ctg2x= 0,6

В итоге

[ x = ±arcctg√2+ πk, k∈ ℤ x = ±arcctg√0,6+ πk, k ∈ℤ

Ответ:

$±arcctg√2+ πk;±arcctg√0,6+ πk (k ∈ℤ)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#82709

Найдите такое наименьшее натуральное число, что его половина есть пятая степень некоторого целого числа, а пятая часть есть квадрат некоторого целого числа.

Источники: ПВГ 2018

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Запишите условие задачи в форме системы уравнений.

Подсказка 2

Воспользуйтесь тем, что 2 и 5 — взаимно простые числа.

Подсказка 3

Проанализируйте делимость искомого числа на 2 и 5 и представьте его в виде 2ᵏ5ᵐtⁿ.

Показать ответ и решение

Пусть $n$ — число, удовлетворяющее условию задачи. Тогда существуют такие целые числа $p$ и $s,$ что верна система

{ 1n =p5 21 2 5n =s

Умножаем на $2$ и $5$ соответственно первое и второе уравнение. Система приобретает вид

{ n =2p5 n =5s2

Из первого получаем, что $n ... 2.$ Тогда из второго уравнения, так как числа 2 и 5 взаимно просты, следует, что $s2 ... 2,$ то есть $s ... 2,$ и, стало быть, $. n .. 4.$ Аналогично получаем, что $. 55.. n.$

Пусть $n= 22 ⋅55k.$ Подставим в систему

{ 22⋅55k = 2p5 22⋅55k = 5s2

Сокращаем на 2 и 5 уравнения соответственно

{ 2⋅55k= p5 22⋅54k= s2

Из первого уравнения получаем, что $2 ... p,$ следовательно, $k ... 24.$ Наименьшее $k,$ удовлетворяющее этому условию равно $4 2 .$ Пусть $4 k= 2 ,$ тогда $6 5 n = 2⋅5 .$ Видим, что оно удовлетворяет системе, значит, это и есть нужное минимальное число.

Ответ:

$26⋅55$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#85308

Решите неравенство

1 2 2 3 3tg x +3ctg x≤ 2cos 3x

Источники: ПВГ - 2018, Уфа, 11.3 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как можно связать слагаемые в левой части?

Подсказка 2

Заметим, что левая часть имеет вид x + 1/x.

Подсказка 3

Оцените выражение x + 1/x.

Подсказка 4

Какие значения может принимать 2cos³(3x)?

Показать ответ и решение

По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим

1 2 2 3tg x+ 3ctg x≥ 2,

причём равенство возможно только если

1 3tg2x =3 ctg2x

√ - tgx= ± 3

π x =± 3 + πk,k∈ ℤ

При этом $2cos33x ≤2$ , причём равенство возможно только если $x = 2πm3-,m ∈ ℤ$ . Найденные серии пересекаются по множеству

x = ±2π+ 2πn,n∈ℤ 3

Ответ:

$± 2π +2πn,n∈ ℤ 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#89258

Незнайка собирается приготовить ко дню своего рождения три бочки малинового морса, смешивая малину с водой, причём процентное содержание малины в бочках будет таково, что если смешать содержимое бочек в отношении $1:2:3$ , то получится $10%$ морс, а если в пропорции $5:4:3$ , то получится $25%$ морс. Каким будет процентное содержание малины в морсе при смешивании равных количеств исходных трёх растворов? Каким планируется содержание малины в третьей бочке?

Источники: ПВГ 2018

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В первую очередь хочется понять, а что нам вообще дано изначально. Запишите систему из двух уравнений, пользуясь данными из условия.

Подсказка 2

Пусть p, q, r – объем малины в одном литре растворов в первой, второй и третей бочках соответственно. Как мы видим, у нас получается два уравнения и три неизвестных. Ситуация не из приятных. Но обратите внимание на коэффициенты и свободные члены уравнений. Как мы можем получить значение сразу двух переменных за несколько действий?

Подсказка 3

Мы имеем два уравнения p + 2q + 3r = 6*0,1 и 5p + 4q + 3r = 12*0,25. Умножим первое на 5 и вычтем из него второе. Получили, что 6q + 12r = 0. Что нам дает это уравнение? Вспомните, какие значения могут принимать p, q, r.

Показать ответ и решение

Пусть $p,q,r$ - объемы малины в одном литре (процентное содержание) растворов в первой, второй и третьей бочках соответственно. Заметим, что $0≤ p,q,r≤1$ . Планы Незнайки означают

{ p+ 2q+ 3r= 6⋅0,1, 5p+4q+ 3r= 12 ⋅0,25

p+ q+ r= 0,6= 3⋅0,2

Далее из системы, умножая первое уравнение на 5, и вычитая из полученного второе, получаем

6q+ 12r= 0

q = r= 0

Ответ:

В морсе при смешивании будет $20%$ малины, а в третьей бочке малины не будет ( $0%$ ).

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#91542

На выборах кандидат получил от $50,332%$ до $50,333%$ голосов. Какое при этом могло быть наименьшее число избирателей?

Источники: ПВГ 2018

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть было n избирателей, и за кандидата отдали k голосов. Хотим оценить n, как это лучше сделать?

Подсказка 2

Приведите неравенство к виду x ≤ n ≤ y.

Подсказка 3

Переберите различные значения k.

Показать ответ и решение

Пусть было $n$ избирателей, и за данного кандидата отдано $k$ голосов. Тогда

k 0,50332≤ n ≤0,50333

2k 1,00664≤ n-≤ 1,00666

Если обозначить $m= 2k− n$ , то

0,00664≤ m-≤ 0,00666 n

a) Если $m =1$ , то

150,1< ---1--≤ n≤ ---1--< 150,7 0,00666 0,00664

Целых решений нет.

б) Если $m =2$ , то

--2--- --2--- 300< 0,00666 ≤ n≤ 0,00664 < 302.

Но если $n= 301$ и $m= 2$ , то соответствующего значения $k$ не существует.

в) Если $m =3$ , то

450< ---3--≤ n≤ ---3--< 452 0,00666 0,00664

Значит, $n= 451$ и $k =227$ , и все неравенства выполняются.

Ответ: только 451

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#105110

Внутри треугольника $ABC$ взята такая точка $D,$ что $∠ABD = ∠CBD = 40∘,$ $∠ACD = 20∘,∠CAD = 30∘.$ Найдите:

a) углы $∠BAD$ и $∠BCD;$

б) расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников $ABC$ и $BCD,$ если $BC = 3.$

Источники: ПВГ 2018

Подсказки к задаче

Пункт а, подсказка 1

Что можно сказать о расположении точки D? Быть может, она не так случайно построена, как кажется ;) Давайте посчитаем некоторые углы на картинке!

Пункт а, подсказка 2

D лежит на биссектрисе угла B! А чему равен ∠ADC? Так ли много таких точек?)

Пункт а, подсказка 3

Докажите, что D — точка пересечения биссектрис треугольника ABC!

Пункт б, подсказка 1

Отлично, теперь мы знаем углы и одну сторону треугольников, у которых изучаем описанные окружности! Какая теорема может нам в этом помочь?

Пункт б, подсказка 2

Воспользуйтесь теоремой синусов для треугольников ABC и BDC!

Пункт б, подсказка 3

Ого, у нас окружности с равными радиусами! Что тогда можно сказать про отрезок между их центрами? Как он пересекает общую хорду?

Пункт б, подсказка 4

Отрезок, соединяющий центры окружностей с равными радиусами, делится общей хордой пополам ;)

Показать ответ и решение

$PIC$

По теореме о сумме углов в треугольнике $∘ ∘ ∘ ∘ ∠ADC =180 − 20 − 30 = 130 .$ Пусть $I$ — центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности. Тогда угол между биссектрисами $∘ 1 ∘ ∠AIC =90 + 2∠ABC = 130 .$ Получается, что из точек $D$ и $I$ отрезок $AC$ виден под одинаковым углом, тогда они лежат на одной окружности вместе с $A,C$ . При этом из условия следует, что ещё они обе лежат на одной прямой (на биссектрисе угла $ABC$ ), поэтому либо совпадают, либо являются противоположными вершинами прямоугольника (вписанного параллелограмма) $ADCI$ . Но так как $130∘ ⁄=90∘,$ то может быть только случай $D≡ I.$ Следовательно, $∠BAD =∠CAD =30∘$ и $∠BCD =∠ACD = 20∘$ .

Замечание. Для доказательства $D = I$ можно было также воспользоваться условием, что точка $D$ дана внутри треугольника, и упростить часть рассуждений.

б)

$PIC$

Радиус окружности, описанной вокруг треугольника $ABC$ , равен

--BC-- = -3√--=√3. 2sin60∘ 223

Но

∠BDC = 180∘− 40∘− 20∘ =120∘,

поэтому радиус окружности, описанной вокруг треугольника $BCD$ , также равен

--BC--- √- 2sin120∘ = 3.

Значит, их общая хорда $BC$ пересекает отрезок между центрами в его середине, а длина этого отрезка равна $∘---9 √- 2 3 −4 = 3$ .

Ответ:

а) $30∘$ и $20∘$

б) $√- 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#113661

Решите неравенство

∘ --------- ∘ ----------- 2 x2− 4x+ 5+ 3x2− 12x+ 13 ≤4x− x − 2.

Источники: ПВГ 2018

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хмм, под корнями и в правой части мы видим квадратные трёхчлены, при этом слагаемые x² - 4x наталкивают на мысль о том, что можно выделить полный квадрат. Попробуйте это сделать.

Подсказка 2

О, получилось, что обе части неравенства — это какие-то уравнения относительно (x-2). Тогда сделаем замену t=x-2 и получим неравенство гораздо проще исходного!

Подсказка 3

Рассмотрим функцию от t, которая является разностью левой и правой частей уравнения. Как она расположена относительно оси абсцисс?

Показать ответ и решение

После выделения полных квадратов, неравенство принимает вид