Тема Физтех и вступительные по математике в МФТИ

Физтех - задания по годам → .16 Физтех 2024

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела физтех и вступительные по математике в мфти

Разделы подтемы Физтех - задания по годам

Физтех до 2010 и вступительные на Физтех

Физтех 2010

Физтех 2011

Физтех 2012

Физтех 2013

Физтех 2014

Физтех 2015

Физтех 2016

Физтех 2017

Физтех 2018

Физтех 2019

Физтех 2020

Физтех 2021

Физтех 2022

Физтех 2023

Физтех 2024

Физтех 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#80754

Углы выпуклого многоугольника образуют арифметическую прогрессию, имеющую разность $2∘$ и начинающуюся с угла $143∘.$ Какое наибольшее число вершин может быть у такого многоугольника?

Источники: Физтех - 2024, 11.1 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вспомним формулу для подсчета суммы углов у выпуклого многоугольника и формулу суммы арифметической прогрессии.

Подсказка 2

Приравняв эти суммы, сможем получить квадратное уравнение. Но точно ли все значения этого уравнения подойдут?

Показать ответ и решение

Пусть $n$ — искомое число вершин. Тогда сумма углов многоугольника равна $180∘⋅(n− 2).$ С другой стороны, эту же сумму можно выразить через сумму арифметической прогрессии, которая равна $∘ n(n−1) ∘ 143 ⋅n+ 2 ⋅2 .$ Приравняем эти суммы и получим следующее уравнение:

∘ ∘ n(n − 1) ∘ 180 ⋅(n − 2)= 143 ⋅n +--2---⋅2

n2− n+ 143n − 180n+ 360= 0

2 n − 38n+ 360= 0

Получаем, что $n= 18$ или $n= 20.$ Но $n =20$ не подходит, так как тогда наибольший угол многоугольника равен $143∘+2∘⋅19= 181∘,$ что больше $180∘.$

Ответ: 18

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#80755

Найдите все действительные значения $x,$ при каждом из которых существует геометрическая прогрессия, состоящая из действительных чисел и такая, что её четвёртый член равен $∘ 15x+6- (x−3)3,$ десятый член равен $x+ 4,$ а двенадцатый член равен $∘ ------------ (15x+ 6)(x− 3).$

Источники: Физтех - 2024, 11.1 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если нам даны какие это конкретно члены прогрессии, то давайте просто запишем чему они равны через знаменатель прогрессии и первый член. При этом, хотелось бы в таком случае получить равенство на х, ведь тогда мы получим уравнение на 1 переменную, а не на 3. Какое равенство можно написать, используя 4, 10 и 12 член геометрической прогрессии?

Подсказка 2

К примеру, можно написать вот такое равенство: (bq^9)^4 = (bq^11)^3*(bq^3). Значит, получили уравнение на х, так как и 4, и 10, и 12 член выражены только через х. Осталось преобразовать уравнение к виду (15x + 6)^2 = (x + 4)^4 , разложить на сумму квадратов и получить ответ.

Показать ответ и решение

Пусть первый член прогрессии это $b,$ а знаменатель прогрессии это $q.$ Тогда запишем систему, исходя из условий задачи

(| ∘ 15x+-6- ||||{ bq3 = (x−-3)3 ||||| bq9 =x∘+4----------- ( bq11 = (15x+ 6)(x− 3)

Заметим, что $(bq9)4 =(bq11)3⋅(bq3).$ Запишем это равенство через $x$ :

∘------- (∘ (15x+-6)(x−-3))3⋅ 15x-+6-= (x +4)4 (x − 3)3

2 4 2 2 (15x+ 6) =(x+ 4) ⇔ (x − 7x+ 10)(x +23x+ 22)=0

Из последнего уравнения получаем следующую совокупность решений

⌊ x= −22— не подходит, так как bq9 и bq11 разных знаков || x= −1 || x= 2— не подходит под ОД З ⌈ x= 5

В итоге, получаем, что $x =− 1$ или $x =5$ .

Ответ:

${−1; 5}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#80762

Целые числа $x,y,z$ удовлетворяют равенству $xln16+ yln8+ zln24= ln 6.$ Найдите наименьшее возможное значение выражения $2 2 2 x + y + z.$

Источники: Физтех - 2024, 11.2 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем. У нас есть сумма произведений каких-то констант на х, y, z. При этом, нам надо максимизировать x^2 + y^2 + z^2. Какое неравенство нам это напоминает? Что первым приходит в голову здесь?

Подсказка 2

Конечно же, неравенство КБШ! Тогда, по этому неравенству у нас выходит, что ((ln16)^2 + (ln8)^2 + (ln24)^2)(x^2 + y^2 + z^2) >= (ln6)^2. Тогда, выходит, что мы получили оценку на минимум нашей суммы. Достигается ли в КБШ равенство, если да, то когда?

Показать ответ и решение

xln16+y ln8+ zln24=ln6

4x ln2+ 3yln 2+z(3ln2 +ln3)= ln2+ ln 3

(4x+ 3y+3z− 1)ln2+ (z− 1)ln3= 0

ln(24x+3y+3z−1⋅3z−1)= 0

24x+3y+3z− 1⋅3z−1 = 1

Так $x, y, z ∈ℤ,$ то из последнего уравнения вида $a b 2 ⋅3 = 1; a, b∈ Z$ получаем $a =0,b= 0$ , то есть следующую систему:

{ 4x+ 3y +3z = 1 ⇔ 4x+3y =−2 ⇔ y = −x − x-+2 z = 1 3

Поскольку $x, y ∈ ℤ,$ то $x+2 =k ∈ℤ, =⇒ y =2− 3k− k= −4k+ 2. 3$ С учётом равенств $z = 1, x= 3k− 2, y = 2− 4k$ запишем $2 2 2 x + y + z :$

2 2 2 2 2 2 x + y +z = 1+ 9k +4 − 12k+ 4+16k − 16k =25k − 28k+ 9

2 2 2 2 x + y +z = 25k − 28k+ 9→ min

Чтобы найти минимум, найдем координаты вершины параболы $25k2− 28k+9,$ ветви которой направлены вверх, значит минимум достигается в вершине.

-28- 14 kверш. = 2⋅25 = 25

Так как парабола симметрична относительно вершины, то минимальное целое значение будет достигаться при $k= 1.$ Тогда искомое значение равняется

x2+ y2+ z2 =1 +4+ 1= 6

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#80763

Решите систему уравнений

{ √x+-3− √4−-x−-z+5 =2∘y-+-x−-x2-+z; |y+ 1|+ 3|y − 12|=√169-− z2.

Источники: Физтех 2024, 4.2 (olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первое уравнение выглядит не очень приятным, так что попробуем разобраться со вторым уравнением. Тут у нас ограниченный корень и сумма модулей. Чем можно воспользоваться?

Подсказка 2

Правильно, оценкой. Аккуратно оценим обе части уравнения и подумаем при каких условиях достигается равенство.

Подсказка 3

Отлично, у нас получилась единственная пара (y,z), которую можно подставить в первое уравнение и найти x.

Подсказка 4

Чтобы не возводить в много раз в квадрат уравнение, сделаем замену корней на a и b. Тогда можно записать систему и найти x.

Показать ответ и решение

Рассмотрим второе уравнение системы. Правая часть не больше 13, так как

∘------2 √--- 169− z ≤ 169=13

Попробуем оценить левую часть второго уравнения. Рассмотрим $|y+ 1|+ |y − 12|,$ которое не меньше $13,$ так как $|a|+|b|≥ a+ b,$ где $a =y+ 1, b= 12− y.$ В итоге имеем

|y+ 1|+|y− 12|≥ 13

Прибавим к последнему неравенству $2|y− 12|,$ тогда получим

|y+1|+ 3|y− 12|≥ 13+ 2|y− 12|

Из последнего выражения делаем вывод, что левая часть второго уравнения системы не меньше $13.$ В итоге, получили, что левая часть не меньше $13,$ а правая часть не больше $13.$ Следовательно, чтобы достигалось равенство необходимо, чтобы $y = 12, z = 0.$ Подставим полученные значения $y$ и $z$ в первое уравнения системы для нахождения $x.$

√x+-3− √4−-x−-0+ 5= 2∘12-+-x−-x2+0

---------- √x-+-3− √4-−-x+5 − 2∘ (x +3)(4− x)= 0

Сделаем замену

{ √ ---- a =√-x+-3, a≥ 0, b= 4 − x, b ≥0

Заметим, что $2 2 a + b =7.$ Запишем систему

{ a−2 b+25− 2ab= 0 a + b =7

(| b−-5- ||{ a= 1− 2b || ( )2 |( 1b−− 52b + b2 =74x4− 4x3− 26x2+18x+ 18

4 3 2 4b-− 4b-−-26b-+2-18b-+18= 0 (1 − 2b)

Рассмотрим, когда числитель становится равным 0

4b4− 4b3− 26b2+18b+ 18 =0 ⇐ ⇒ 2(b2+b− 3)(2b2− 4b− 3)=0

Из последнего уравнения получаем совокупность решений

√-- ⌊ b= −1±--13- || 2 |⌈ 2± √10 b= --2---

С учетом ограничений получаем следующие $b$

⌊ √-- b= −1+--13- ||| 2 ⌈ 2+-√10 b= 2

Тогда сделаем обратную замену

⌊ √-- √4-− x-=-13−-1 ||| 2 ⌈ √ ---- 2+√10- 4− x = 2

⌊ √-- √-- | x= 4− 7−2-13= 1+-213 ||⌈ √-- √-- x= 4− 7+-2-10= 1−-2-10 2 2

Ответ:

$(1+ √13 ) (1− 2√10 ) ---2--;12;0 , ---2---;12;0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#80764

Из множества $M,$ состоящего из семи подряд идущих натуральных чисел, выбираются шестёрки попарно различных чисел такие, что сумма чисел в каждой из шестёрок — простое число. Пусть $p$ и $q$ — две из таких сумм. Найдите множество $M$ , если $2 2 p − q = 792.$

Источники: Физтех - 2024, 11.4 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте скажем, что первое число - это а и поймем, чему равна сумма во всех шестерках и какие из них могут быть простыми, а какие нет.

Подсказка 2

Тогда у нас получаются суммы шестерок - это числа от 6a + 15, до 6a + 21. Из за делимости на 2 или 3, подходят только числа 6a + 19 и 6a + 17. А это значит, что это ровно наши числа p и q. Остается решить квадратное уравнение на а и найти ответ(подставить значения p и q в равенство).

Показать ответ и решение

Пусть $a$ — наименьшее натуральное число из $M.$ Тогда

M = {a, a+ 1,a+ 2,...,a +6}

Сумма всех $7$ чисел равна

6⋅7 7a+ 1+ 2+ ...+6 =7a+ 2 =7a+ 21

Переберем сумму шестёрок чисел:

. 6a+21 не подходит, так как.. 3 .. 6a+20 не подходит, так как. 2 6a+19 нет противоречий 6a+18 не подходит, так как ... 3 6a+17 нет противоречий .. 6a+16 не подходит, так как. 2 6a+15 не подходит, так как ... 3

Тогда, $p= 6a+ 19, q =6a+ 17.$ По условию задачи $p2 − q2 = 792$ или то же самое, что и

2 2 (6a+19) − (6a+ 17) = 792 =⇒ 2(12a+ 36)=792

2(a+ 3)=396 =⇒ a+3 =33 =⇒ a= 30

Следовательно, $M$ может быть только множеством

{30, 31, 32, 33, 34, 35, 36}

Проверка: $6a +19= 199$ — простое, $6a+ 17= 197$ — простое.

Ответ:

${30, 31, 32, 33, 34, 35, 36}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#80765

Найдите все значения параметра $p$ , при которых уравнение

pcos3x+ 3(p +4)cosx =6cos2x+ 10

имеет хотя бы одно решение. Решите это уравнение при всех таких $p.$

Источники: Физтех - 2024, 11.3 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы видим, что все каждый множитель переменный, выражается через cosx. Давайте сделаем замену и попробуем как-то преобразовать полученное кубическое уравнение. На что оно похоже? А если посмотреть на утроенный коэффициенты перед квадратом и иксом?

Подсказка 2

Верно, это похоже на куб разности. Тогда можно преобразовать как (1 - cosx)^3 = (cosx*(p - 1)^1/3)^3. Значит, получаем уравнение на cosx, линейное. Остается понять, делали ли мы равносильные переходы и когда существует решение такого уравнения на х и записать ответ.

Показать ответ и решение

3 2 p(4cos x− 3cosx)+ 3pcosx+ 12cosx − 6(2cos x− 1)− 10= 0

3 2 4pcos x− 12cos x+ 12cosx − 4= 0

pcos3x − 3cos2x+ 3cosx− 1= 0

(p− 1)cos3x+ (cos3x − 3cos2+3cosx − 1)= 0

---- (1 − cosx)3 = (3∘ p− 1cosx)3

∘ ---- 1− cosx= 3p− 1cosx

Заметим, что $cosx⁄= 0,$ тогда из последнего уравнения получаем, что

1 cosx= 1+-3√p-− 1

Решением является

x= ±arccos---√1----+2πk, k ∈ℤ 1+ 3 p− 1

при

----1--- −1≤ 1+ 3√p-− 1 ≤1

[ 3√---- 1+ 3√p−-1≥ 1 1+ p− 1≤ −1

[ p ≥1 p ≤− 7

Ответ:

Если $p ≥1$ или $p≤ −7,$ то $x =± arccos --1√---+2πk, k ∈ℤ, 1+ 3p− 1$

при других $p$ решений нет.

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#80766

Диагонали $BD$ и $AC$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $M,$ а отношение оснований $AD :BC = 1:2.$ Точки $I 1$ и $I 2$ — центры окружностей $ω1$ и $ω2,$ вписанных в треугольники $BMC$ и $AMD$ соответственно. Прямая, проходящая через точку $M,$ пересекает $ω1$ в точках $X$ и $Y,$ а $ω2$ — в точках $Z$ и $W$ ( $X$ и $Z$ находятся ближе к $M$ ). Найдите радиус окружности $ω1,$ если $13- I1I2 = 2 ,$ а $MZ ⋅MY = 5.$

Источники: Физтех - 2024, 11.4 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Треугольники △AMD и △CMB подобны с коэффициентом 1/2, поэтому все соответствующие элементы относятся как 1/2. Нам дано произведение MZ*MY, которое напоминает произведение секущей на внешнюю часть. Но ведь мы знаем, что MZ/MX=1/2, поэтому легко находим MX*MY=10. А чему там равняется произведение секущей на внешнюю часть?

Подсказка 2

Конечно, квадрату отрезка касательной! Давайте отметим точку касания T: окружности ω₁ c отрезком BM. Тогда MT=√10. Если бы мы еще нашли MI₁, всё было бы в шоколаде...

Подсказка 3

Мы знаем, что MI₁/MI₂=2 и при этом MI₁+MI₂=13/2. Тогда MI₁=13/3. Воспользуйтесь теоремой Пифагора и завершите решение!

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть центр окружностей $ω1$ и $ω2$ это $I1$ и $I2$ соответственно. Пусть точка $T$ — точка касания $ω1$ на $BM.$ Тогда

MT 2 = MX ⋅MY

(1)

Рассмотрим треугольники $△AMD$ и $△BMC.$ Они подобны с коэффициентом $1. 2$ Из этого следует, что $MZ = 1MX, 2$ как соответственные элементы в подобных треугольниках. Тогда

1 MZ ⋅MY = 2MX ⋅MY

Используя $(1)$ , получаем

1 2 1 2 2 MZ ⋅MY =2 MT = 2(MI 1 − TI1)

Пусть радиус $ω2$ это $r,$ тогда радиус $ω2$ это $2r.$ Тогда нужно найти $2r.$ Рассмотрим $△MT I1$

1 2 2 MZ ⋅MY = 2(MI1 +4r )

Из подобия $△AMD$ и $△BMC$ получаем , что $MI1 = 2MI2,$ из этого следует, что

2 MI1 = 3I1I2

Тогда

( ) MZ ⋅MY = 12 49I1I22 − 4r2

( ) 5= 1 4 ⋅ 169-− 4r2 2 9 4

2 169 79 √79 4r = 9--− 10=-9 =⇒ 2r= -3-

Ответ:

$√79 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#80767

Две окружности $ω 1$ и $ω 2$ пересекаются в точках $A$ и $B,$ общая касательная касается окружностей $ω 1$ и $ω 2$ в точках $C$ и $D$ соответственно (точка $B$ лежит ближе к $CD,$ чем точка $A).$ Луч $CB$ пересекает окружность $ω2$ в точках $B$ и $E.$ Найдите $ED :CD,$ если диагональ $AD$ четырехугольника $ACDE$ делит прямую $CE$ в отношении $3:10,$ считая от вершины $C.$

Источники: Физтех - 2024, 11.4 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу попробуем воспользоваться условием и отметим равные углы. А чему равен угол ACD? Как воспользоваться тем, что CD - касательная?

Подсказка 2

Угол ADC равен AED, а угол ACD равен 180 - ABC. Что полезного можно вывести из этого? Как поближе подобраться к углам треугольника AED?

Подсказка 3

Угол ABE равен углу ACD (почему?). Как воспользоваться вписанностью? Нам было бы очень хорошо, если бы мы понимали, как воспользоваться тем, на какие отрезки AM делит AM...

Подсказка 4

Оказывается, треугольники AED и ADC подобны! Тогда что можно сказать интересного о прямой AM?

Подсказка 5

Это биссектриса угла AEC! Как воспользоваться найденным подобием? Вспоминаем свойство биссектрисы и находим требуемую дробь!

Показать ответ и решение

$PIC$

Отметим равные углы. $∠ADC = ∠AED,$ по свойству угла между касательной и хордой. Градусная мера угла $∠ACD$ вдвое меньше дуги $AC,$ содержащую $B,$ окружности $ω1,$ по свойству угла между касательной и хордой. Тогда $∠ABC = 180∘− ∠ACD,$ так как градусная мера дуги $AC,$ не содержащую $B$ равняется $360∘− 2∠ACD.$ Следовательно, $∠ABE = ∠ACD.$ Также $∠ACD =∠ADE,$ как вписанные. Из этого следует, что треугольники $△AED$ и $△ADC$ подобны. Это значит, что $∠EAD = ∠DAC,$ то есть $AM$ — биссектриса угла $∠EAC.$ Запишем соотношения из подобия $△AED$ и $△ADC$

( ) ED-= EA-= AD- =⇒ ED- 2 = EA- CD AD AC CD AC

По теореме о биссектрисе $AM$ получаем

EA EM 10 AC-= MC- = 3-

Тогда получаем, что

( )2 √-- ED- = EA-= EM- = 10- =⇒ ED- = √10 CD AC MC 3 CD 3

Ответ:

$√10-:√3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#80768

Что больше:

( 3π) (π) ( π) 5− 4sin 14 или 4cos 7 − 5sin 14 ?

Источники: Физтех - 2024, 11.5 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы видим схожие по структуре аргументы в синусах. Давайте поймём, что если мы сделаем замену на t = pi/14, то у нас получится функция от t, для которой надо доказать, что она всегда больше нуля (или меньше нуля, ведь мы узнаем это только после исследования функции).

Подсказка 2

Тогда, нам нужно исследовать функцию 16sin^3(t) + 8sin^2(t) - 7sin(t) + 1. Видно, что здесь просится замена sint = z. Что тогда можно сказать про этот кубический многочлен после замены и анализа?

Подсказка 3

Верно, можно заметить, что он равен (z + 1)(4z - 1)^2. Значит, при z >= -1(а именно такой синус) наш многочлен больше или равен 0, и в точке sin(pi/14) у нас не достигается равенство(нетрудно проверить). Какой тогда ответ мы получили?

Показать ответ и решение

Пусть $t= π-, 14$ тогда требуется сравнить $5 − 4sin 3t$ и $4cos2t− 5sint.$ Будем сравнивать с $0$ их разницу:

3 2 5− 4sin3t− 4 cos2t+5sin t=5 − 4(3sint− 4sin t)− 4(1− 2sin t)+5sint=

3 2 = 16sin t+8sin t− 7sint+ 1

Пусть $sint= z.$ Тогда исследуем следующую функцию на отрезке $[−1; 1]$

f(z)= 16z3 +8z2− 7z +1

Заметим, что $f(−1)=0,$ значит разделим $16z3+ 8z2− 7z+ 1$ на $z+ 1.$ Тогда получим, что

f(z)=(z+ 1)(16z2 − 8z+ 1)=(z+ 1)(4z− 1)2

Несложно заметить, что $f(z)≥0$ на $[− 1; 1],$ причем $f(z)= 0$ лишь при $z = −1$ и $z = 14.$ Тогда $f(t)= f(π14)>0.$ Значит разность имеет такой же знак, значит первое число больше.

Замечание. Желательно проверить, что $sin π14 ⁄= 14.$ Это легко делается, так как

sin π-< π-< 3,5-= 1 14 14 14 4

Ответ:

$5− 4sin(3π)> 4cos(π)− 5sin(π) 14 7 14$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#80769

Дан клетчатый прямоугольник $100×400$ . Сколькими способами можно закрасить 8 клеток этого прямоугольника так, чтобы закрашенное множество обладало хотя бы одной из следующих симметрий: относительно центра прямоугольника, относительно любой из двух "средних линий"прямоугольника ("средней линией"прямоутольника назовём отрезок, соединяющий середины двух его противоположных сторон). Ответ дайте в виде выражения, содержащего не более трёх членов (в них могут входить факториалы, биномиальные коэффициенты).

Источники: Физтех - 2024, 11.5 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте начнём распутывать клубок симметрий с того, что обозначим за A₁ множество восьмёрок симметричных относительно одной горизонтальной средний линии, за A₂ - вертикальной, за B - относительно центра прямоугольника. Давайте подумаем, сколько нам нужно зафиксировать точек для каждой из симметрий и где, чтобы однозначно восстановить всю восьмёрку?

Подсказка 2

Верно, для A₁ нужны 4 точки не выше (не ниже), чем горизонтальная средняя линия, для A₂ - 4 точки не правее (не левее), чем вертикальная средняя линия, для B - 4 точки в любой одной из указанных ранее областей. Теперь стоит задуматься о том, пересекаются ли данные множества или какая-то комбинация симметрий даёт другую симметрию?

Подсказка 3

Верно, если восьмёрка лежит в любых двух множества A₁, A₂, B, то она лежит во всех трёх, отсюда, вспоминая формулу включений-исключений, мы понимаем, что ответ уже очень близко, осталось только его расписать.

Показать ответ и решение

Назовем восьмеркой набор из $8$ клеток. Пусть $A 1$ — множество восьмерок, симметричных относительной $l 1$ , $A 2$ — относительно $l 2$ , $B$ — относительно центра прямоугольника. $l1$ и $l2$ это средние линии прямоугольника.

Если выбрать какие-то $4$ точки в верхней половине прямоугольника, то остальные точки легко находятся в силу одной из рассматриваемой симметрий относительно $l1, l2$ и центра прямоугольника. Тогда количество элементов во множествах $A1, A2, B$ будет одинаковым. Тогда количество элементов в $A1$ будет равно количеству способов выбрать $4$ очки в одной половине фигуры относительно $l1.$ Остальные $4$ точки будут располагаются в другой половине. Тогда количество способов равняется $4 C100⋅200.$

Если восьмерка лежит сразу в $2$ из $3$ множеств $A1, A2, B,$ то она лежит и в третьей. Это значит, что пересечение двух множеств или пусто, или пересекается с третьим.

Чтобы найти ответ надо найти количество элементов в объединении множеств. Используя формулу включений-исключений, получаем, что

S = |A1∪ A2∪ B|= |A1|+|A2|+|B|− 2|A1∩ A2∩B |,

где $|M |$ — означает количество элементов во множестве $M,$ $S$ — искомое число

Если $2$ точки, лежащие в одной из четвертей прямоугольника, принадлежат пересечению всех $3$ множеств, то легко восстановить исходную восьмерку, удовлетворяющую сразу трем симметриям. Тогда можно посчитать количество элементов в пересечении множеств. Это будет количество способов выбрать $2$ точки в одной из четвертей прямоугольника, образованной $l1, l2$ и центром прямоугольника. Следовательно, количество элементов равняется $C2200⋅50.$

Тогда посчитаем $S$

S = |A1 ∪A2 ∪B|= |A1|+ |A2|+ |B|− 2|A1 ∩A2∩ B|=

= 3C420000− 2C210000

Ответ:

$3C4 − 2C2 20000 10000$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#80771

Даны 12 точек: 7 из них лежат на одной окружности в плоскости $α$ , а остальные 5 расположены вне плоскости $α$ . Известно, что если четыре точки из всех 12 лежат в одной плоскости, то эта плоскость — $α$ . Сколько существует выпуклых пирамид с вершинами в данных точках? (Пирамиды считаются различными, если их множества вершин различны.)

Источники: Физтех - 2024, 11.6 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Среди всех возможных пирамид для нас принципиально различаются два случая: когда вершин 4 (тетраэдр) и больше. Посчитаем их по отдельности и затем сложим.

Подсказка 2

Количество всех возможных тетраэдров - количество способов выбрать 4 вершины, за исключением случаев, когда все точки лежат в одной плоскости. Из условия нам известно, что это возможно только когда все 4 вершины принадлежат плоскости 𝜶.

Подсказка 3

У n-угольной пирамиды, где n≥4 основание лежит в плоскости 𝜶, а вершина вне неё. Отдельно посчитаем способы выбрать основание и умножим на количество вариантов выбора вершин.

Подсказка 4

Количество способов выбрать основание находится как сумма числа сочетаний из 7 от 4 до 7, а вершину пирамиды можно взять пятью разными способами. Тогда нужно просто перемножить их и сложить найденное количество тетраэдров и n-угольных пирамид с n≥4

Показать ответ и решение

Посчитаем отдельно количество тетраэдров и выпуклых $n−$ угольных пирамид с $n ≥4.$

Количество тетраэдров это количество способов выбрать $4$ точки, не лежащих одновременно в одной плоскости. Тогда количество тетраэдров равняется

4 4 C12− C 7 = 460

Найдем количество выпуклых $n−$ угольных пирамид с $n≥ 4.$ Основание такой пирамиды лежит в плоскости $α,$ а вершина — вне $α.$ Тогда посчитаем количество оснований. Надо просуммировать все способы выбрать от 4 до 7 вершин без учёта порядка

4 5 6 7 7⋅6⋅5 7⋅6 C 7 +C 7 +C 7 + C7 = 2⋅3 + 2 +7+ 1= 64

Для каждого из посчитанных оснований вершину пирамиды можно выбрать пятью способами, поэтому всего пирамид

5 ⋅64= 320

Итоговый ответ

460 +320= 780

Ответ: 780

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#80772

Найдите все тройки целых чисел $(a;b;c)$ такие, что:

- $a< b$ ,

- число $b− a$ не кратно 3 ,

- число $(a− c)(b− c)$ является квадратом некоторого простого числа,

- выполняется равенство $2 a + b= 1000$ .

Источники: Физтех - 2024, 11.6 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Во-первых, давайте поймем, что если (a - c)(b - c) = p^2, то у нас есть не так много возможных случаев, так как a - c и b - c - это делители p^2, а их у нас всего +-1,+-p,+-p^2. Значит, у нас всего 6 вариантов. А как можно, используя условие, еще сократить количество вариантов, которые надо перебрать?

Подсказка 2

Можно, используя условие a < b, сказать, что a - c < b - c => у нас есть два варианта: первая скобка равна 1, вторая p^2 или первая равна -p^2, а вторая -1. Хорошо, у нас получилась совокупность систем. Как нам её решить?

Подсказка 3

Во-первых, надо избавиться от c (ни к селу, ни к городу это с) и получить, что a - b = p^2 - 1. При этом, a - b (то есть, p^2 - 1) не кратно 3. Но любой ненулевой остаток квадрата числа дает 1 по модулю 3. Значит, p кратно 3. Что тогда можно сказать про a, b, c? Как меняется наша система?

Подсказка 4

Это значит, что p = 3, а значит, a - b = 8; a^2 + b = 1000. Остаётся решить квадратное уравнение на а, которое получается из этой системы, и найти все с, которые подходят.

Показать ответ и решение

Второе условие можно записать как

2 (a − c)(b− c)=p , где p — простое число

По условию $a< b,$ это значит, что $a − c< b− c.$ Тогда

2 2 2 (a− c)(b− c)= p = 1⋅p =(−p )(−1)

Следовательно, возможны следующие случаи

{ a − c= 1 { a− c= −p2 b− c= p2 или b− c= −1

Из обеих совокупностей можно получить $b− a =p2− 1,$ из которого можно получить, что $p2 − 1$ не делится на $3.$

Так как $p+ 1$ и $p− 1$ не делятся на $3,$ а среди последовательных $3$ чисел обязательно найдется число, делящееся на $3,$ то $p$ делится на 3. Но $p$ — простое, значит, $p= 3.$

Получаем следующую систему

{ b− a= 8 2 a2+b =1000 =⇒ a +a− 992= 0

Из последнего уравнения получаем, что

{ a= 31 =⇒ b= 39 a= −32 =⇒ b =− 24

Теперь найдем $c$

[ c= a− 1 c= a+ p2 = a+ 9

Тогда $c$ может равняться

⌊ || c= 30 || c= 40 ⌈ c= −23 c= −33

Ответ:

$(31, 39, 30), (−32, −24, −33), (31, 39, 40),(−32, −24, −23)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#80773

Дана правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$ ( $S$ — вершина) со стороной основания $2$ и боковым ребром $4.$ Точка $X$ лежит на прямой $SF,$ точка $Y$ — на прямой $AD,$ причём отрезок $XY$ параллелен плоскости $SAB$ (или лежит в ней). Найдите наименьшую возможную длину отрезка $XY.$

Источники: Физтех - 2024, 11.7 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте сначала поймем, где находится отрезок XY. Так как XY параллелен плоскости SAB, попробуем провести через X прямую, параллельную плоскости SAB, такая прямая будет параллельна SA. Пусть эта прямая пересекает AF в точке T.

Подсказка 2

Нас просят найти наименьшее значение. Нужно ввести неизвестную и искать XY через неё. Если принять AT за а, то XT, YT и угол XTY легко посчитать.

Подсказка 3

XT можно найти через подобие, TY из равностороннего треугольника, угол XTK можно найти через подобие тоже.

Подсказка 4

Не забудьте, что T может не попасть на отрезок AF, а может быть больше AF. Нужно рассмотреть 2 случая, чтобы TF не был отрицательным. Также угол XTK выражается по-разному.

Подсказка 5

По теореме косинусов можно выразить XY через а. Осталось только найти наименьшее значение полученного выражения!

Показать ответ и решение

За $(ABC )$ будем обозначать плоскость, проходящую через точки $A$ , $B$ и $C.$

Возьмем на прямой $SC$ такую точку $Z$ , что $SZ =SX$ . Тогда

XZ ∥FC ∥AB ∥(ABS )

На прямой $AF$ же возьмём точку $T$ такую, что $XT ∥AS ∥(ABS)$ . Получается, что плоскость $(XZT )∥ (ABS )$ Тогда $XY$ лежит в плоскости $(XZT )$ . $(XZT )$ пересекает плоскость основания по прямой $TK$ ( $K ∈ BC$ ), параллельной $AB.$

$PIC$

Пусть $AT = a$ . Тогда $TF = |2− a|$ , $TX = 2TF =2|2− a|$ . Треугольник $ATY$ будет правильным (есть 2 угла по $60∘$ ), т.е. $TY = AT =a$ .

( { ∠SAB =arccos14, a <2 ∠XT Y = ( 180∘− ∠SAB = 180∘− arccos1, a> 2, 4

т.к. это 2 угла с параллельными сторонами.

Рассматриваем треугольник $XT Y$ . $XY 2 = XT2 +YT 2− 2XT ⋅TY ⋅cos(∠XT Y)$ . Подставляем найденные значения.

4(2− a)2+a2− a|2− a|= XY2

Минимум выражения слева достигается при $a =− −21⋅68= 1,5$ и равно $XY2 =2,5$ . Тогда $min(XY )= √2,5-$

Ответ:

$∘ 5 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#80774

В основании призмы лежит равносторонний треугольник площади 1. Площади её боковых граней равны 3, 3 и 2. Найдите объём призмы.

Источники: Физтех - 2024, 11.7 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Во-первых, надо осознать картинку. Она как будто симметричная, но не стоит так думать сразу. Давайте опустим высоты из точки A₁ на прямые AB, AC, и плоскость ABC. Что тогда можно заметить? Какие принципиально разные случаи есть падения высоты на плоскость ABC?

Подсказка 2

Есть два случая — падение во внутрь призмы и во вне. Однако, при всем этом, у нас расстояния от точки A₁’(основание высоты) до прямых AB и AC равны, в силу равенства прямоугольных треугольников. Как тогда можно равносильно переформулировать случаи, когда высота падает во внутрь, а когда наружу? Как связать это с равноудаленностью от сторон?

Подсказка 3

Всё верно, либо точка основания высоты лежит на внешней биссектрисе, либо на внутренней (угла BAC). Давайте посмотрим на второй случай. Мы видим, что прямые AA’ и A₁A’ перпендикулярны BC. Что тогда это значит? Чем это хорошо в нашей картинке?

Подсказка 4

Тем, что тогда BB₁ перпендикулярен BC, а значит BB₁C₁C — прямоугольник. Но тогда, если сторона треугольника в основании равна а, выходит, что a * AA₁ = 2, a * A₁K = 3. Тогда мы пришли к противоречию, так как A₁K > AA₁. Значит, остался второй случай. Если прямая внутренней биссектрисы была перпендикулярна прямой BC, то внешняя биссектриса будет…

Подсказка 5

Параллельна! А тогда, высота в параллелограмме CC₁B₁B — высота призмы. Значит, остается найти C₁H. Ну, а это уже чисто дело техники (и нескольких теорем Пифагора).

Показать ответ и решение

Если бы призма была прямая, то площади боковых граней были бы равны. Значит, призма наклонная.

Обозначим призму $ABCA1B1C1,$ площади из условия $SAA1B1B = SAA1C1C = 3.$

Пусть $A1K, A1M$ — высоты параллелограммов $AA1B1B$ и $AA1C1C.$ Тогда $A1K = A1M,$ т.к. площади равны, а также равны их основания, так как равносторонний треугольник.

Пусть $′ A$ — проекция $A1$ на плоскость $ABC.$ Тогда $′ ′ A K = AM,$ следовательно, точка равноудалена от прямых $AB$ и $AC.$

(a) Рассмотрим случай, когда $′ A$ принадлежит биссектрисе $AL$ угла $∠ABC.$ $AL$ — высота, медиана и биссектриса в равностороннем треугольнике.

$PIC$

AL ⊥ BC } ′ A1A′ ⊥ BC =⇒ BC ⊥(AA1A ) =⇒ BC ⊥ AA1 =⇒ BC ⊥ BB1

Тогда получаем, что $BB1C1C$ — прямоугольник. Пусть сторона треугольника $ABC$ равна $a.$ Посчитаем площадь прямоугольника и параллелограмма.

S1 =a ⋅AA1, S2 = a⋅A1K

2 =a ⋅AA1, 3= a⋅A1K

Но $A1K < AA1,$ тогда

3= a⋅A1K < a⋅AA1 = 2

получаем противоречие.

(b) Рассмотрим случай, когда $A′$ принадлежит внешней биссектрисе $AL$ угла $∠ABC.$

$PIC$

AA′ ∥BC )|} A1A∥BB1 =⇒ (AA1A′) ∥(BB1C ) AA′ ∥BC |)

Но $(AA1A′)⊥(ABC ),$ следовательно, $(BB1C)⊥ (ABC ),$ откуда следует, что высота $CH1$ параллелограмма $CC1B1B$ совпадает с высотой призмы $(C1H = A1A′).$ В итоге

V = SABC ⋅CH1 = 4√3

Ответ:

$√43-$

Предыдущая подтема

Следующая подтема