Физтех - задания по годам → .16 Физтех 2024

Пусть — искомое число вершин. Тогда сумма углов многоугольника равна С другой стороны, эту же сумму можно выразить через сумму арифметической прогрессии, которая равна Приравняем эти суммы и получим следующее уравнение:

Получаем, что или Но не подходит, так как тогда наибольший угол многоугольника равен что больше

Пусть первый член прогрессии это а знаменатель прогрессии это Тогда запишем систему, исходя из условий задачи

Заметим, что Запишем это равенство через :

Из последнего уравнения получаем следующую совокупность решений

В итоге, получаем, что или .

Так то из последнего уравнения вида получаем , то есть следующую систему:

Поскольку то С учётом равенств запишем

Чтобы найти минимум, найдем координаты вершины параболы ветви которой направлены вверх, значит минимум достигается в вершине.

Так как парабола симметрична относительно вершины, то минимальное целое значение будет достигаться при Тогда искомое значение равняется

Рассмотрим второе уравнение системы. Правая часть не больше 13, так как

Попробуем оценить левую часть второго уравнения. Рассмотрим которое не меньше так как где В итоге имеем

Прибавим к последнему неравенству тогда получим

Из последнего выражения делаем вывод, что левая часть второго уравнения системы не меньше В итоге, получили, что левая часть не меньше а правая часть не больше Следовательно, чтобы достигалось равенство необходимо, чтобы Подставим полученные значения и в первое уравнения системы для нахождения

Сделаем замену

Заметим, что Запишем систему

Рассмотрим, когда числитель становится равным 0

Из последнего уравнения получаем совокупность решений

С учетом ограничений получаем следующие

Тогда сделаем обратную замену

Пусть — наименьшее натуральное число из Тогда

Сумма всех чисел равна

Переберем сумму шестёрок чисел:

Тогда, По условию задачи или то же самое, что и

Следовательно, может быть только множеством

Проверка: — простое, — простое.

Заметим, что тогда из последнего уравнения получаем, что

Решением является

при

Пусть центр окружностей и это и соответственно. Пусть точка — точка касания на Тогда

(1)

Рассмотрим треугольники и Они подобны с коэффициентом Из этого следует, что как соответственные элементы в подобных треугольниках. Тогда

Используя , получаем

Пусть радиус это тогда радиус это Тогда нужно найти Рассмотрим

Из подобия и получаем , что из этого следует, что

Тогда

Отметим равные углы. по свойству угла между касательной и хордой. Градусная мера угла вдвое меньше дуги содержащую окружности по свойству угла между касательной и хордой. Тогда так как градусная мера дуги не содержащую равняется Следовательно, Также как вписанные. Из этого следует, что треугольники и подобны. Это значит, что то есть — биссектриса угла Запишем соотношения из подобия и

По теореме о биссектрисе получаем

Тогда получаем, что

Пусть тогда требуется сравнить и Будем сравнивать с их разницу:

Пусть Тогда исследуем следующую функцию на отрезке

Заметим, что значит разделим на Тогда получим, что

Несложно заметить, что на причем лишь при и Тогда Значит разность имеет такой же знак, значит первое число больше.

Замечание. Желательно проверить, что Это легко делается, так как

Назовем восьмеркой набор из клеток. Пусть — множество восьмерок, симметричных относительной , — относительно , — относительно центра прямоугольника. и это средние линии прямоугольника.

Если выбрать какие-то точки в верхней половине прямоугольника, то остальные точки легко находятся в силу одной из рассматриваемой симметрий относительно и центра прямоугольника. Тогда количество элементов во множествах будет одинаковым. Тогда количество элементов в будет равно количеству способов выбрать очки в одной половине фигуры относительно Остальные точки будут располагаются в другой половине. Тогда количество способов равняется

Если восьмерка лежит сразу в из множеств то она лежит и в третьей. Это значит, что пересечение двух множеств или пусто, или пересекается с третьим.

Чтобы найти ответ надо найти количество элементов в объединении множеств. Используя формулу включений-исключений, получаем, что

где — означает количество элементов во множестве — искомое число

Если точки, лежащие в одной из четвертей прямоугольника, принадлежат пересечению всех множеств, то легко восстановить исходную восьмерку, удовлетворяющую сразу трем симметриям. Тогда можно посчитать количество элементов в пересечении множеств. Это будет количество способов выбрать точки в одной из четвертей прямоугольника, образованной и центром прямоугольника. Следовательно, количество элементов равняется

Тогда посчитаем

Посчитаем отдельно количество тетраэдров и выпуклых угольных пирамид с

Количество тетраэдров это количество способов выбрать точки, не лежащих одновременно в одной плоскости. Тогда количество тетраэдров равняется

Найдем количество выпуклых угольных пирамид с Основание такой пирамиды лежит в плоскости а вершина — вне Тогда посчитаем количество оснований. Надо просуммировать все способы выбрать от 4 до 7 вершин без учёта порядка

Для каждого из посчитанных оснований вершину пирамиды можно выбрать пятью способами, поэтому всего пирамид

Итоговый ответ

Второе условие можно записать как

По условию это значит, что Тогда

Следовательно, возможны следующие случаи

Из обеих совокупностей можно получить из которого можно получить, что не делится на

Так как и не делятся на а среди последовательных чисел обязательно найдется число, делящееся на то делится на 3. Но — простое, значит,

Получаем следующую систему

Из последнего уравнения получаем, что

Теперь найдем

Тогда может равняться

За будем обозначать плоскость, проходящую через точки , и

Возьмем на прямой такую точку , что . Тогда

На прямой же возьмём точку такую, что . Получается, что плоскость Тогда лежит в плоскости . пересекает плоскость основания по прямой (), параллельной

Пусть . Тогда , . Треугольник будет правильным (есть 2 угла по ), т.е. .

т.к. это 2 угла с параллельными сторонами.

Рассматриваем треугольник . . Подставляем найденные значения.

Минимум выражения слева достигается при и равно . Тогда

Если бы призма была прямая, то площади боковых граней были бы равны. Значит, призма наклонная.

Обозначим призму площади из условия

Пусть — высоты параллелограммов и Тогда т.к. площади равны, а также равны их основания, так как равносторонний треугольник.

Пусть — проекция на плоскость Тогда следовательно, точка равноудалена от прямых и

(a) Рассмотрим случай, когда принадлежит биссектрисе угла — высота, медиана и биссектриса в равностороннем треугольнике.

Тогда получаем, что — прямоугольник. Пусть сторона треугольника равна Посчитаем площадь прямоугольника и параллелограмма.

Но тогда

получаем противоречие.

(b) Рассмотрим случай, когда принадлежит внешней биссектрисе угла

Но следовательно, откуда следует, что высота параллелограмма совпадает с высотой призмы В итоге