Физтех - задания по годам → .17 Физтех 2025

Из условия следует, что выполняется равенство

Преобразуя, получаем:

Так как и — положительные числа, первый множитель положителен, поэтому второй множитель равен нулю, т.е. . Значит,

Заметим, что число представляется в виде . В произведении множители 11 и 101 встречаются чётное число раз. Таким образом, трёхзначное число должно быть кратно 101, а двузначное число — кратно 11. В силу условий . Следовательно,

Отсюда .

Уравнение системы равносильно каждому из следующих:

откуда или .

Уравнению удовлетворяют все такие , что либо , либо , где и — целые. Заметим, что для целых все точки, описываемые равенством , уже встречаются среди точек вида (достаточно взять .

Рассмотрим теперь неравенство системы. По определению функций и сумма всегда лежит в , поэтому неравенство задаёт ограничения (из областей определения арккосинуса и арксинуса), а также (в этой точке неравенство обращается в равенство).

Итак, остаётся подсчитать количество точек внутри прямоугольника без угловой точки , лежащих на прямых . Несложно видеть, что при чётных в прямоугольник попадает по 4 точки, а при нечётных — по 5 точек, за исключением . Тогда получаем суммарно точек.

Пусть всего одиннадцатиклассников человек, а в конце месяца будет выделено билетов. Количество способов распределить 4 билета между учениками в начале месяца равно , а количество способов распределения билетов, когда Петя и Вася попадают на концерт, равно (Петя и Вася получают билеты, а ещё два билета распределяются между оставшимися учениками). Значит, вероятность обоим ученикам попасть на концерт в начале месяца была равна

Аналогично получаем, что вероятность, что Петя и Коля оба попадут на концерт в конце месяца, равна

Следовательно, вероятность увеличилась в раз (эта величина не зависит от ). Отсюда получаем, что

Это уравнение имеет единственный положительный корень .

Углы и — это центральный и вписанный углы для окружности , опирающиеся на дугу . Значит, . Кроме того, углы и вписаны в окружность и опираются на одну и ту же дугу, поэтому они равны между собой.

Пусть . Тогда , а по теореме о внешнем угле треугольника . Следовательно, треугольник равнобедренный, . Из этого треугольника находим, что

и тогда

— это две части круга с центром в точке и радиуса , отсекаемые хордами и , лежащими на прямых с уравнениями и соответственно. Хорды пересекаются в точке , которая принадлежит , так как . Эта точка является единственной общей точкой двух частей .

Периметр равен , где — сумма длин дуг и — сумма длин хорд и . Угол между и равен , поэтому

Расстояния от точки до и равны и соответственно, поэтому, используя неравенство о среднем квадратическом и среднем арифметическом, получаем

Равенство достигается при

Тогда , а .

Пусть — нижнее, а -— верхнее основание данной усечённой пирамиды; и — центры этих оснований (соответственно); и — середины рёбер и (соответственно). Из теоремы о равенстве отрезков касательных, проведённых к шару из одной точки, следует, что

и

следовательно,

Но , то есть

Поэтому данная в условии усечённая пирамида треугольная. Обозначим длину ребра нижнего основания через , верхнего — через . Так как шар касается всех рёбер пирамиды, её боковая грань — описанная равнобокая трапеция с основаниями и .

Радиус вписанной окружности найдем из прямоугольного треугольника :

, следовательно, . Но

поэтому

Имеем , откуда так как . Значит,

Заметим, что делитель числа не может иметь простые множители кроме 2 и 3, так как само имеет только эти простые числа в своем каноническом разложении. Отсюда любой делитель имеет вид где и

Тогда так же имеет вид с аналогичными условиями на и Отсюда

Рассмотрим отношение чисел и

Получившееся число является целым, так как делится на по условию. Это значит, что и то есть и

Таким образом, у нас есть способ выбрать число на каждый из которых есть способ выбрать число откуда количество способов выбрать пару и равно При этом каждая такая пара задаёт разложение числа на множители и где делится на поэтому и будет ответом.