Тема Физтех и вступительные по математике в МФТИ

Физтех - задания по годам → .17 Физтех 2025

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела физтех и вступительные по математике в мфти

Разделы подтемы Физтех - задания по годам

Физтех до 2010 и вступительные на Физтех

Физтех 2010

Физтех 2011

Физтех 2012

Физтех 2013

Физтех 2014

Физтех 2015

Физтех 2016

Физтех 2017

Физтех 2018

Физтех 2019

Физтех 2020

Физтех 2021

Физтех 2022

Физтех 2023

Физтех 2024

Физтех 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#107194

Положительные числа $x$ и $y$ таковы, что значение выражения

1 1 2- K = x +y + xy

не изменяется, если $x$ уменьшить на 1 , а $y$ — увеличить на 1. Найдите все возможные значения выражения

M =x3− y3− 3xy.

Источники: Физтех - 2025, 11.2 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте честно уменьшим x на 1, а y увеличим на 1. Какое выражение получится? Запишем уравнение!

Подсказка 2

Имеет смысл попробовать перенести все в одну часть и попробовать разложить на множители, чтобы как-то связать x и y.

Подсказка 3

Отлично, x = y + 1. Как тогда выглядит выражение из условия?

Показать ответ и решение

Из условия следует, что выполняется равенство

1 1 2 1 1 2 x + y + xy-= x−-1 + y+-1 + (x−-1)(y+-1)

Преобразуя, получаем:

( ) ( ) ( ) -1--− 1 + --1- − 1 + 2 -----1---- − 1- = 0 x− 1 x y +1 y (x− 1)(y+ 1) xy

---1-- − --1---+ 2⋅--y-− x-+1-- x(x− 1) y(y+ 1) xy(x − 1)(y+ 1)

y(y +1)− x(x− 1)+2(y− x+ 1) =0

(y+ x+ 2)(y− x +1)= 0

Так как $x$ и $y$ — положительные числа, первый множитель положителен, поэтому второй множитель равен нулю, т.е. $x =y +1$ . Значит,

x3− y3 − 3xy = (y +1)3− y3 − 3y(y +1)= 1.

Ответ: 1

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#107195

Найдите все тройки натуральных чисел $(A;B;C)$ такие, что:

- $A$ — четырёхзначное число, составленное из одинаковых цифр,

- $B$ — трёхзначное число, хотя бы одна из цифр которого равна 2,

- $C$ — двузначное число, хотя бы одна из цифр которого равна 3,

- произведение $A ⋅B ⋅C$ является квадратом некоторого натурального числа.

Источники: Физтех - 2025, 11.1 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что мы знаем про полные квадраты? Как определить, является ли число полным квадратом или нет?

Подсказка 2

Каждый простой делитель входит в разложение квадрата в чётной степени! Значит, имеет смысл зацепиться за делимость ;)

Подсказка 3

На что делится число A?

Подсказка 4

Число A обязательно делится на 11 и 101.Тогда можно сделать какие-то выводы о B и C ;)

Показать ответ и решение

Заметим, что число $A$ представляется в виде $xxxx= x⋅11⋅101$ . В произведении $ABC$ множители 11 и 101 встречаются чётное число раз. Таким образом, трёхзначное число $B$ должно быть кратно 101, а двузначное число $C$ — кратно 11. В силу условий $B =202,C = 33$ . Следовательно,

2 2 ABC = x⋅11⋅101 ⋅202⋅33= 2⋅3⋅11 ⋅101 ⋅x.

Отсюда $x= 6$ .

Ответ:

$(6666,202,33)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#107199

а) Найдите все пары действительных чисел $(x;y)$ такие, что

(sinπx+ sinπy)sinπx= (cosπx+ cosπy)cosπx.

б) Сколько пар целых чисел $(x,y)$ удовлетворяют одновременно этому уравнению и неравенству

x y 3π arcsin 5 + arccos4 < 2 ?

Источники: Физтех - 2025, 11.3 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1, пункт (а)

Раскроем скобки и после перенесения слагаемых воспользуемся тригонометрическими формулами. Какое уравнение тогда получится?

Подсказка 2, пункт (а)

Верно! В точности cos(2πx) = -cos(π(x+y)). А в каких случаях возможно такое равенство?

Подсказка 3, пункт (а)

С помощью формулы суммы косинусов легко получить уравнение, в котором произведение двух косинусов равно 0. Приравнивая каждый из косинусов к нулю, можем получить условия на x и y! Какими они будут?

Подсказка 1, пункт (б)

Из определения арксинуса и арккосинуса мы знаем, что значение их суммы всегда не меньше -π/2 и не больше 3π/2. Какие ограничения на x и y вытекают из этого условия?

Подсказка 2, пункт (б)

Верно! -5 ≤ x ≤ 5 и -4 ≤ y ≤ 4. Тут стоит быть осторожнее! У нас неравенство строгое. Есть ли точка, в которой достигается равенство?

Подсказка 3, пункт (б)

Конечно! Это точка (5,-4). Остается найти количество целых x и y, удовлетворяющих одному из полученных уравнений внутри прямоугольника. Как это сделать?

Показать ответ и решение

Уравнение системы равносильно каждому из следующих:

πx − πy 3πx+ πy cos(2πx)= − cos(π(x+ y)) ⇔ 2cos---2-- cos---2---= 0,

откуда $π π 2(y− x)= 2 + πk,k∈ℤ$ или $π π 2(3x+ y)= 2 + πm,m ∈ℤ$ .

Уравнению удовлетворяют все такие $(x,y)$ , что либо $y =1 +x+ 2k$ , либо $y = 1− 3x +2m$ , где $k$ и $m$ — целые. Заметим, что для целых $x,y$ все точки, описываемые равенством $y = 1− 3x +2m,m ∈ ℤ$ , уже встречаются среди точек вида $y =1+ x+ 2k,k ∈ℤ$ (достаточно взять $k =m − x)$ .

Рассмотрим теперь неравенство системы. По определению функций $arcsint$ и $arccost$ сумма $arcsinx5+$ $+ arccosy4$ всегда лежит в $[ ] − π2,3π2-$ , поэтому неравенство задаёт ограничения $x ∈[−5,5],y ∈ [− 4,4]$ (из областей определения арккосинуса и арксинуса), а также $(x,y)⁄= (5,− 4)$ (в этой точке неравенство обращается в равенство).

Итак, остаётся подсчитать количество точек внутри прямоугольника $− 5≤ x≤ 5,− 4≤ y ≤ 4$ без угловой точки $(x,y)= (5,− 4)$ , лежащих на прямых $y = x+ 1+ 2k,k ∈ℤ$ . Несложно видеть, что при чётных $x$ в прямоугольник попадает по 4 точки, а при нечётных $x$ — по 5 точек, за исключением $x =5$ . Тогда получаем суммарно $5 ×5+ 4× 6= 49$ точек.

Ответ:

а) $y =1+ x+ 2k$ , где $k∈ℤ,x ∈ℝ;$

$y = 1− 3x+ 2m$ , где $m ∈ ℤ,x ∈ℝ$

б) 49

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#107200

В начале месяца было выделено 4 билета на праздничный концерт, которые планировалось случайным образом распределить между одиннадцатиклассниками. В конце месяца выяснилось, что будет выделено больше 4 билетов. Одиннадцатиклассники Петя и Вася вычислили, что вероятность им обоим вместе попасть на концерт в начале месяца была в 2,5 раза меньше, чем оказалась в конце месяца. Сколько всего было выделено билетов на концерт в конце месяца, если количество одиннадцатиклассников не изменилось?

Источники: Физтех - 2025, 11.4 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хочется записать уравнения, поэтому обозначим за N количество одноклассников, а за m > 4 — количество билетов, которые были выделены в конце месяца. Какова вероятность выпадения двум мальчикам билетов в начале месяца?

Подсказка 2

Чтобы посчитать количество вариантов, когда двум мальчикам выпадают билеты, можно сначала отдам им билеты, а затем оставшиеся 2 распределить между другими.

Подсказка 3

Отлично, тогда вероятность в начале месяца была 12/(N(N-1)).А теперь считаем вероятность на конце месяца ;)

Подсказка 4

В конце месяца вероятность (m(m-1))/(N(N-1)). А теперь нужно составить уравнение ;)

Показать ответ и решение

Пусть всего одиннадцатиклассников $N$ человек, а в конце месяца будет выделено $m >4$ билетов. Количество способов распределить 4 билета между учениками в начале месяца равно $4 CN$ , а количество способов распределения билетов, когда Петя и Вася попадают на концерт, равно $2 CN−2$ (Петя и Вася получают билеты, а ещё два билета распределяются между оставшимися $N − 2$ учениками). Значит, вероятность обоим ученикам попасть на концерт в начале месяца была равна

C2 -NC−42-= (N-−2!(N2)!−4!(N4)!−N!4)!= N-(N12−-1) N

Аналогично получаем, что вероятность, что Петя и Коля оба попадут на концерт в конце месяца, равна

CmN−−22 (N − 2)!(N − m)!m! m(m − 1) -CmN--= (m−-2)!(N −-m)!N! = N(N-−-1)

Следовательно, вероятность увеличилась в $m-⋅(m12−1)$ раз (эта величина не зависит от $N$ ). Отсюда получаем, что

m-⋅(m-− 1)= 5 12 2

Это уравнение имеет единственный положительный корень $m= 6$ .

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#107201

Точка $O$ — центр окружности $ω 1$ , описанной около остроугольного треугольника $ABC$ . Окружность $ω 2$ , описанная около треугольника $BOC$ , пересекает отрезок $AB$ в точке $P$ . Найдите площадь треугольника $ABC$ , если $15 AP = 2 ,BP = 5,AC =9.$

Источники: Физтех - 2025, 11.5 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

На картинке есть окружности их центры, поэтому первым делом имеет смысл подмечать равные углы!

Подсказка 2

Обозначьте угол BAC за a. Чему равны углы BPC и BOC?

Подсказка 3

BPC и BOC равны 2a! А что тогда можно сказать про треугольник PAC?

Подсказка 4

Треугольник PAC равнобедренный! Давайте тогда внимательно посмотрим на условие ;)

Подсказка 5

В треугольнике PAC нам известны все стороны, поэтому мы можем что-то узнать про величины углов! Осталось понять, как же полученные значения связать с необходимой площадью.

Показать ответ и решение

Углы $BAC$ и $BOC$ — это центральный и вписанный углы для окружности $ω 1$ , опирающиеся на дугу $BC$ . Значит, $∠BOC = 2∠BAC$ . Кроме того, углы $BOC$ и $BPC$ вписаны в окружность $ω2$ и опираются на одну и ту же дугу, поэтому они равны между собой.

$PIC$

Пусть $∠BAC = α$ . Тогда $∠BOC = 2α,∠BP C = ∠BOC =$ $= 2α$ , а по теореме о внешнем угле треугольника $∠ACP =∠BP C − ∠BAC = α$ . Следовательно, треугольник $ACP$ равнобедренный, $CP = AP = 125$ . Из этого треугольника находим, что

√---------- sin α= -4AP-2− AC2-= 4, 2AP 5

и тогда

1 1 25- 4 SABC = 2AB ⋅ACsinα= 2 ⋅2 ⋅9⋅5 = 45

Ответ: 45

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#107202

На координатной плоскости изображена фигура $Φ(α)$ , состоящая из всех точек, координаты ( $x;y$ ) которых удовлетворяют системе неравенств

{ √- √- (x2− 322 sinα)(y− 3 2cosα)≤0 x + y ≤25

Найдите максимальное значение $M$ периметра (длины границы) фигуры $Φ(α)$ и укажите все значения $α$ , при которых оно достигается.

Источники: Физтех - 2025, 11.6 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте разберёмся, как графически выглядит фигура. Второе неравенство задаёт круг с центром в начале координат и радиусом 5. Чтобы понять, какую область задаёт первое, нужно нарисовать две прямые x = 3√2sin a, y = 3√2cos a и подумать.

Подсказка 2

Итак, в первом неравенстве подойдут области, в которых у скобочек разные знаки. То есть либо область правее первой прямой и ниже второй, либо левее первой и выше второй. Осталось понять, где находится точка пересечения прямых относительно круга и можно делать выводы про область, которую задаёт система?

Подсказка 3

Итак, чтобы найти периметры этих частей круга, нужно отдельно посчитать длины дуг и хорд. Кажется, что длины дуг как-то связаны с углом между хордами, которые из высекают.

Подсказка 4

Для поиска и минимизации суммы длинн отрезков хорд, отсекающий области круга, вам понадобятся координаты точки пересечения прямых и неравенство о средних.

Показать ответ и решение

$PIC$

$Φ(α)$ — это две части круга $ω$ с центром в точке $O(0;0)$ и радиуса $R = 5$ , отсекаемые хордами $AB$ и $CD$ , лежащими на прямых с уравнениями $√ - x =3 2sinα$ и $√- y = 3 2cosα$ соответственно. Хорды пересекаются в точке $√ - √- N (3 2sinα;3 2cosα )$ , которая принадлежит $ω$ , так как $√- √ - |ON |2 = (3 2sinα)2+ (3 2cosα)2 = 18 <25 =R2$ . Эта точка $N$ является единственной общей точкой двух частей $Φ(α)$ .

Периметр $Φ (α)$ равен $Σ1+ Σ2$ , где $Σ1$ — сумма длин дуг $AC$ и $BD,Σ2$ — сумма длин хорд $AB$ и $CD$ . Угол между $AB$ и $CD$ равен $π2$ , поэтому

Σ1 = 2⋅ π⋅R = 5π 2

Расстояния от точки $O$ до $AB$ и $CD$ равны $ρ1 =|3√2sinα|$ и $ρ2 = |3√2cosα|$ соответственно, поэтому, используя неравенство $∘ ----- a+2b ≤ a2+2b2$ о среднем квадратическом и среднем арифметическом, получаем

∘R2-− ρ2+ ∘R2-−-ρ2 ∘ --2----√-----2---√------2 Σ24 = ------12-------2-≤ 2R-−-(3-2sinα)2-−-(3-2-cosα)-= 4.

Равенство достигается при

∘R2-−-ρ2-=∘R2-−-ρ2 ⇔ ρ1 = ρ2 ⇔ |sin α|= |cosα| ⇔ |tgα|= 1 ⇔ α = π+ πn,n∈ ℤ 1 1 4 2

Тогда $Σ2 = 16$ , а $M = max(Σ1 +Σ2)= 5π+ 16$ .

Ответ:

$5π+ 16 при α = π+ πn, где n ∈ℤ 4 2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#107203

Шар $Ω$ касается всех рёбер правильной усечённой пирамиды, а шар $ω$ касается всех её граней. Пусть сторона верхнего основания меньше, чем сторона нижнего. Найдите отношение площади боковой поверхности пирамиды к площади её нижнего основания.

Источники: Физтех - 2025, 11.7 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Хмм… Сперва конструкция кажется очень сложной и непонятной, с чего начать? Давайте введем обозначения для оснований и подумаем, как использовать данные в условии шары, их расположение относительно нашей усеченной пирамиды. Касается всех ребер/граней… Попробуйте рассмотреть похожую конструкцию на плоскости.

Подсказка 2:

Какая планиметрическая теорема сразу приходит в голову, когда речь идет о вписанной окружности в правильный многоугольник?

Подсказка 3:

Верно! Равенство отрезков касательных, проведенных из одной точки. Давайте отметим середины оснований нашей пирамиды и попробуем применить равенство отрезков касательных для шаров и какой-то грани.

Подсказка 4:

Пусть А₁А₂А₃…Аₙ - нижнее основание, В₁В₂В₃…Вₙ - верхнее, О и О₁ - центры этих основания соответственно. М и М₁ - центры ребер А₁А₂ и B₁B₂ соответственно. Тогда из равенства отрезков касательных следует, что MM₁ = MO + M₁O₁. Как можно выразить А₁B₁? Попробуйте связать MM₁ и А₁B₁ через угол, под которым видно А₁M из точки О.

Подсказка 5:

M₁M = A₁M*ctg(π/n) + B₁M₁*ctg(π/n) = A₁B₁*ctg(π/n). Но M₁M < A₁M. Как тогда можно оценить n?

Подсказка 6:

Да! ctg(π/n) < 1 ⇒ π/n > π/4 ⇒ n < 4 ! Значит наша пирамида треугольная. Как выглядит боковая грань пирамиды? Что хочется ввести, чтобы найти ее площадь?

Подсказка 7:

Боковая грань - описанная равнобокая трапеция, т.к. шар, касающийся всех ребер пирамиды, будет пересекать плоскость грани по кругу, вписанному в эту трапецию. Осталось только ввести обозначения для оснований трапеции и найти нужные нам площади боковой поверхности и нижнего основания!

Показать ответ и решение

Пусть $A A ...A 1 2 n$ — нижнее, а $B B ...B 1 2 n$ -— верхнее основание данной усечённой пирамиды; $O$ и $O 1$ — центры этих оснований (соответственно); $M$ и $M1$ — середины рёбер $A1A2$ и $B1B2$ (соответственно). Из теоремы о равенстве отрезков касательных, проведённых к шару из одной точки, следует, что

MM1 = MO + M1O1

π π A1B1 = A1M + B1M1; MO = A1M ctgn , M1O1 =B1M1 ctg n

следовательно,

π π MM1 = (A1M +B1M )ctg n = A1B1ctgn

Но $MM1 <A1B1$ , то есть

ctg π< 1⇒ π> π ⇒ n< 4 n n 4

Поэтому данная в условии усечённая пирамида треугольная. Обозначим длину ребра нижнего основания через $a$ , верхнего — через $b$ . Так как шар $Ω$ касается всех рёбер пирамиды, её боковая грань $A A B B 1 2 2 1$ — описанная равнобокая трапеция с основаниями $a$ и $b$ .

$PIC$

Радиус вписанной окружности найдем из прямоугольного треугольника $A1QB1$ :

QT 2 = A1T ⋅B1T =A1M ⋅B1M1 = ab 4

$QT = 1√ab 2$ , следовательно, $MM1 = √ab$ . Но

MM = MO +M O = -a√-+ -b√- , 1 1 1 2 3 2 3

поэтому

a+ b √-- 2√3-= ab.

Имеем $(a+b)2 = 12ab$ , откуда $√- ba = 5− 2 6= 5+12√6($ так как $a> b)$ . Значит,

Sбок 3⋅ a+b-⋅MM1 2√3(2√3ab)√ab b √- SA1A2A3 = --(2a2√3)---= -----a2----- =12a =60− 24 6 4

Ответ:

$60− 24√6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#111331

Сколькими способами можно представить число $n= 2401 ⋅3500$ в виде произведения двух натуральных чисел $x$ и $y,$ где $y$ делится на $x?$

Источники: Физтех 2025 11.2 (olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим, что x и y имеют в разложении на простые множители только двойки и тройки. Как соотносятся их степени вхождения, если y делится на x?

Подсказка 2

Да, степень вхождения и двойки, и тройки в y больше, чем в x. Тогда можно обозначить эти степени вхождения переменными, а дальше перемножить варианты степени вхождения двойки и тройки в y.

Показать ответ и решение

Заметим, что делитель числа $n$ не может иметь простые множители кроме 2 и 3, так как само $n$ имеет только эти простые числа в своем каноническом разложении. Отсюда любой делитель $n$ имеет вид $a b 2 3,$ где $a,b∈ ℤ$ и $0≤ a≤401,0≤ b≤500.$

Тогда $y$ так же имеет вид $a b y = 23$ с аналогичными условиями на $a$ и $b.$ Отсюда

n 24013500 401−a 500−b x= y = -2a3b--=2 3

Рассмотрим отношение чисел $y$ и $x:$

a b y = -4012−a3500−b = 22a−40132b−500 x 2 3

Получившееся число является целым, так как $y$ делится на $x$ по условию. Это значит, что $2a− 401≥ 0$ и $2b− 500≥ 0,$ то есть $a ≥201$ и $b≥250.$

Таким образом, у нас есть $401 − 201+ 1= 201$ способ выбрать число $a,$ на каждый из которых есть $500− 250+1 =251$ способ выбрать число $b,$ откуда количество способов выбрать пару $a$ и $b$ равно $201⋅251= 50451.$ При этом каждая такая пара задаёт разложение числа $n$ на множители $x$ и $y,$ где $y$ делится на $x,$ поэтому $50451$ и будет ответом.

Ответ:

50451

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#126183

Ненулевые числа $x,y,z$ удовлетворяют системе уравнений

(| xy =3z+ z2 { yz =3x+ x2 |( 2 zx =3y+ y

Найдите все возможные значения выражения $(x+ 3)2+ (y+3)2+ (z+ 3)2,$ если известно, что система имеет хотя бы одно решение в ненулевых числах.

Источники: Физтех - 2025, 10.1 ( см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Когда мы видим подобные системы, нередко хочется сложить все уравнения, но пока что не очень понятно, что нам это может дать – всё-таки нам хочется как-то выделить выражения х + 3, у + 3 и z + 3 (или хотя бы выразить квадраты наших переменных), можно ли как-то это сделать?

Подсказка 2

Ага, если преобразовать правые части уравнений, как раз получатся нужные нам скобочки! Но сильно легче от этого не стало, ведь мы даже не можем ничего сократить, в каждом уравнении все еще есть все три переменные :( Давайте тогда получим одно длинное уравнение таким образом, чтобы справа и слева какие-то части можно было сократить.

Подсказка 3

Перемножим наши уравнения, разделим результат на xyz (так как числа ненулевые, мы с чистой совестью можем это сделать), раскроем скобочки и по возможности упростим результат, видим, что в полученном уравнении есть сумма попарных произведений чисел х, у и z, которую очень просто можно выразить через исходную систему, каким образом можно это сделать?

Подсказка 4

Конечно же, просто сложив наши уравнения! Теперь в нашем равенстве есть сумма квадратов и сумма самих переменных, остается понять, что нужно добавить к равенству, чтобы получилось интересующее нас выражение.

Показать ответ и решение

Перемножим левые и правый части уравнений:

2 2 2 xy⋅yz⋅zx =(3z+ z)(3x +x )(3y+ y )

xy⋅yz⋅zx= xyz(3+ z)(3+ x)(3+y)

$x,y,z$ — ненулевые числа. Разделим обе части на $xyz :$

xyz =(x+ 3)(y+ 3)(z+ 3)

Раскроем скобки:

xyz = xyz+ 3xy+ 3xz +3yz+ 9x +9y+ 9z+ 27

(xy +yz+ zx)+3(x+ y+z)= −9

Сложим три уравнения системы:

xy+ yz+xz =3(x+ y+ z)+ x2+ y2 +z2

Подставим в предыдущее равенство:

x2+y2+ z2+ 6(x+ y+ z) =− 9

В итоге получим

2 2 2 2 2 2 (x+ 3) +(y+ 3) + (z +3) = x +y + z + 6(x+ y+ z)+27= 18

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#126184

Десятичная запись натурального числа $n$ состоит из 40000 девяток. Сколько девяток содержит десятичная запись числа $3 n ?$

Источники: Физтех - 2025, 10.2 ( см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Чтобы понять, чему равен n³, нам нужно записать n в виде какого-то выражения, как мы можем это сделать?

Подсказка 2

Если сразу сделать это не удается, можно заметить некоторую закономерность: если число состоит из одной девятки, то его можно записать как 10¹ - 1, если из двух девяток – 10² - 1, если из трёх – 10³ - 1, и так далее. Таким образом легко понять, что n = 10⁴⁰⁰⁰⁰ - 1.

Подсказка 3

Теперь мы можем возвести полученное выражение в куб, представить, как в десятичной записи выглядит число n³ + 1, а после вычесть единицу и сосчитать количество девяток!

Показать ответ и решение

Число $n$ равно $1040000− 1.$ Тогда $n3 = (1040000− 1)3$

3 120000 80000 40000 n = 10 − 3⋅10 + 3⋅10 − 1

Выполняя арифметические операции, получим число

99...9700...0299...9 ◟39◝◜999◞ ◟39◝◜99◞9 ◟4◝00◜0 ◞0

В нем 2 «участка» из 39999 и 40000 девяток соответственно. Итого, 79999 девяток.

Ответ:

79999

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#126185

Окружность $ω$ с диаметром $AB$ пересекает сторону $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ в точке $D.$ Точка $F$ выбрана на отрезке $AC$ так, что $DF ⊥ AC,$ а $E$ — точка пересечения отрезка $DF$ с окружностью $ω$ , отличная от $D$ . Найдите $AF,$ если $AC = 10,AB = 6,BE = 5.$

Источники: Физтех - 2025, 10.3 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вспомните свойства окружности и попробуйте повыражать углы.

Подсказка 2

Заметьте, что ∠ABE = ∠ADE. Как можно выразить ∠ADF?

Подсказка 3

∠ADF = 90° - ∠DAF = ∠ACD.

Подсказка 4

Попробуйте найти подобные треугольники.

Подсказка 5

△ABE ∼ △ADF ∼ △ACD. Выразите стороны при помощи косинуса.

Показать ответ и решение

$PIC$

Заметим, что $∠ABE = ∠ADE$ как вписанные углы, опирающиеся на дугу $AE.$ Кроме того,

∠ADF = 90∘ − ∠DAF =∠ACD

Значит,

∠ABE =∠ADF =∠ACD = α

Но тогда треугольники $ABE,$ $ADF,$ $ACD$ — прямоугольные и имеют равные острые углы, следовательно, они подобны. Из треугольника $ABE$ получаем, что

BE- 5 cos(α)= AB = 6

Из треугольника $ACD$

CD = AC ⋅cos(α)

Из треугольника $CDF$

( )2 CF = CD ⋅cos(α)=AC ⋅cos2(α)=10⋅ 5 = 125 6 18

Значит,

125- 55 AF = AC − CF = 10− 18 = 18

Ответ:

$55 18$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#126186

В телеигре ведущий берет несколько коробок и ровно в три из них кладет по одному шарику. Игрок может указать на пять коробок и открыть их. Если в этих коробках лежат все три шарика, то игрок выигрывает. Игроку разрешили открыть шесть коробок. Во сколько раз увеличилась вероятность выигрыша игрока?

Источники: Физтех - 2025, 10.4 ( см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вероятность – это отношение количества благоприятных исходов к общему числу исходов. Пусть всего есть N коробок, сколькими способами мы можем выбрать 5 из них (то есть сколько всего у нас исходов)?

Подсказка 2

Конечно же это число сочетаний из N по 5. Теперь давайте думать, сколько у нас есть благоприятных исходов. Нам нужно выбрать три коробки с шарами и две пустые, сколькими способами можно это сделать?

Подсказка 3

Три коробки с шарами можно выбрать единственным способом, а вот сколькими способами из оставшихся N - 3 коробок можно выбрать две?

Подсказка 4

Тут получаем число сочетаний из N - 3 по 2. Теперь мы легко можем записать выражение для вероятности выигрыша для случая с пятью коробками) Теперь проделываем то же самое с шестью коробками, делим одно на другое и получаем ответ!

Показать ответ и решение

Пусть всего было $N$ коробок.

Вычислим первоначальную вероятность выигрыша. Общее количество исходов эксперимента равно количеству способов выбрать 5 различных коробок из $N,$ то есть $5 C N.$ Должны быть выбраны все 3 коробки с шариками и 2 произвольные из оставшихся $N − 3,$ поэтому количество благоприятный исходов равно $2 CN− 3.$

Вероятность выигрыша равна

C2 P1 =-CN5−3= 2(!N(N −−3)!5)! :5!(NN!−-5)! = N-(N-5−⋅41)⋅(3N −-2) N

Теперь аналогичным образом посчитаем вероятность выигрыша, если нам разрешать открыть 6 коробок (угадываем 3 коробки с шариками, а также выбираем 3 произвольных из оставшихся):

C3N−3- ----6⋅5⋅4----- P2 = C6N = N(N − 1)(N − 2)

Тогда

P2 = 6⋅5⋅4= 2 P1 5⋅4⋅3

Следовательно, вероятность выигрыша увеличилась в 2 раза.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#126187

Найдите все значения параметра $a,$ при которых корни уравнения $x2 − (a2− a)x +a− 5= 0$ являются пятым и шестым членами некоторой непостоянной арифметической прогрессии, а корни уравнения $2 (3 2) 4 2 6 4x − a − a x+ 2a +2a − a − 4 =0$ являются третьим и восьмым членами этой прогрессии.

Источники: Физтех - 2025, 10.5 ( см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть дана арифметическая прогрессия xₙ с разностью d. Выразите её пятый, шестой, третий и восьмой члены.

Подсказка 2

Заметьте, что сумма пятого и шестого совпадает с суммой третьего и восьмого.

Подсказка 3

Вспомните теорему Виета.

Подсказка 4

У Вас получится несколько возможных значений a. Найдите при каждом a пятый, шестой, третий и восьмой члены прогрессии и оцените через них d.

Показать ответ и решение

Пусть дана арифметическая прогрессия $x n$ с разностью $d,$ тогда ее пятый член — $x + 4d, 1$ шестой член — $x + 5d, 1$ третий член — $x1+ 2d,$ восьмой член — $x1 +7d.$ Заметим, что сумма пятого и шестого совпадает с суммой третьего и восьмого.

Пятый и шестой члены прогрессии — корни первого уравнения, третий и восьмой — корни второго уравнения, тогда можем вычислить их суммы по теореме Виета:

a3− a2 a2− a= --4---

14a(a− 1)(a− 4)= 0

a ∈{0;1;4}

Если $a= 0,$ то корнями первого уравнения являются числа $√- ± 5,$ а второго — $± 1.$ Тогда $√- |d|= |x6− x5|= 2 5$ и $5|d|= |x8− x3|=2,$ но это невозможно, следовательно, $a= 0$ не подходит.

Если $a= 1,$ то корнями первого уравнения являются числа $± 2,$ а корнями второго — $± 1. 2$ Тогда $|d|= |x6− x5|= 4$ и $5|d|= |x8− x3|=1,$ следовательно, $a= 1$ не подходит.

Если $a= 4,$ то корнями первого уравнения являются числа $6± √37,$ а корнями второго — $6± 5√37.$ Эти числа являются членами арифметической прогрессии с $x5 = 6− √37$ и $d= 2√37,$ поэтому $a= 4$ подходит.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#126188

На координатной плоскости построена фигура $Φ,$ состоящая из всех точек, координаты которых удовлетворяют неравенству $|| 15 -y√-|| || 15 √y-|| |x− 2 + 6 3|+|x− 2 − 6 3|≤3.$ Фигуру $Φ$ непрерывно повернули вокруг начала координат на угол $π$ против часовой стрелки. Найдите площадь множества $M,$ которое замела фигура $Φ$ при этом повороте.

Источники: Физтех - 2025, 10.6 ( см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как можно упросить исходное уравнение?

Подсказка 2

Сделайте замену u = y - 20; v = x / (2√3).

Подсказка 3

Заметьте симметрию в получившемся неравенстве: если пара (u,v) ему удовлетворяет, тогда пары (-u,v), (u,-v), (-u,-v) - тоже подойдут.

Подсказка 4

Окажется, что неравенство определяет квадрат (u,v), в котором -4 ≤ u ≤ 4, -4 ≤ v ≤ 4.

Подсказка 5

После обратной замены окажется, что Ф — прямоугольник с центром в (15/2; 0). Найдите прямые, на котором лежат его стороны.

Подсказка 6

Изобразите множество М, которое заметет фигура Ф. У Вас должны получиться 2 дуги, по большей из которых "едут" точки фигуры Ф. Попробуйте что-нибудь посчитать на рисунке.

Показать ответ и решение

Сделаем замену:

-x- u =y− 20;v = 2√3-

Тогда первое неравенство имеет вид

|u+ v|+ |u − v|≤ 8

Если пара $(u,v)$ удовлетворяет данному неравенству, то и пары $(− u,v),$ $(u,−v),$ $(−u,−v)$ ему удовлетворяют, поэтому на координатной плоскости неравенство задаёт множество, симметричное как относительно обеих координатных осей, так и относительно начала координат.

Но при положительных $u,v$ неравенство эквивалентно

u+v +|u− v|≤ 8,

то есть $2u≤ 8$ при $u≥ v$ и $2v ≤ 8$ при $u ≤v.$

В итоге получаем, что неравенство $|u+ v|+ |u − v|≤ 8$ определяет квадрат $(u,v),$ в котором $− 4≤ u≤ 4;$ $− 4≤ u≤ 4.$

Значит, после обратной замены приходим к тому, что фигура $Φ$ — прямоугольник с центром в точке $15 (2 ;0),$ стороны которого лежат на прямых $x= 6,$ $x= 9,$ $√- y =±9 3.$

Множество $M,$ которое замела фигура $Φ,$ изображено на рисунке.

$PIC$

По теореме Пифагора

OE = 6;OB = 18

Тогда

OE + AB 1 cos∠BOE = --OB----= 2

∠BOE = 60∘

Искомая площадь М складывается из разности площадей двух полукругов (она будет равна $π 2 2 2 ⋅(OB − OE )),$ площади прямоугольника $ABCD$ и площади сегмента с меньшей дугой $BC$ (две половины равных прямоугольников и равных сегментов не попадают в разность полукругов).

Получаем

π (π 1 (2π) ) S = 2 ⋅(OB2 − OE2 )+AB ⋅BC + 3 ⋅OB2 − 2 ⋅OB2 ⋅sin-3 =

π √- ( π 1 √3) = 2 ⋅(182 − 62)+3 ⋅18 3 + 3 ⋅182− 2 ⋅182⋅2 =

= 252π − 27√3

Ответ:

$252π− 27√3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#126189

На гипотенузе $BC$ прямоугольного треугольника $ABC$ выбраны точки $P$ и $Q$ так, что $AB = BP,AC =CQ.$ Внутри треугольника $ABC$ выбрана точка $D$ , для которой $DP = DQ,$ а $∘ ∠PDQ = 90 .$ Найдите $∠DBC,$ если известно, что $∘ ∠DCB =20 .$

Источники: Физтех - 2025, 10.7 ( см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть AC = b, AB = c, BC = a, p = (a + b + c) / 2, r — радиус окружности, вписанной в треугольник ABC. Выразите PQ в этих обозначениях.

Подсказка 2

PQ = BP - BQ. Продолжите преобразования.

Подсказка 3

BP - BQ = AB - (BC - CQ) = AB - BC + AC = c - a + b = 2r.

Подсказка 4

Пусть B — точка касания вписанной окружности с гипотенузой BC. Попробуйте выразить BG.

Подсказка 5

Воспользуйтесь фактом о том, что отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.

Подсказка 6

Выразите PG.

Подсказка 7

Заметьте, что G — середина PQ.

Подсказка 8

Каким является треугольник DPQ? Что можно сказать о DG?

Подсказка 9

Треугольник DPQ — прямоугольный и равнобедренный, тогда DG = PQ / 2 = r. Что можно сказать о точке D?

Подсказка 10

D — центр вписанной в треугольник ABC окружности. Вспомните его свойства.

Показать ответ и решение

Пусть $AC = b,$ $AB =c,$ $BC = a,$ $p= 1(a +b+ c), 2$ $r$ — радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC.$ Тогда

PQ = BP − BQ = AB − (BC − CQ)= AB − BC +AC = c− a +b= 2r

$PIC$

Пусть $B$ — точка касания вписанной окружности с гипотенузой $BC.$ Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны, следовательно,