Тема Физтех - задания по годам

Физтех 2023

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела физтех - задания по годам

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#67585

Натуральные числа $a,b,c$ таковы, что $ab$ делится на $29310510,bc$ делится на $214313513,$ $ac$ делится на $219318530.$ Найдите наименьшее возможное значение произведения $abc.$

Источники: Физтех-2023, 11.1 (olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Чтобы произведение abc было минимальным, какие простые в своем разложении они могут иметь?

Подсказка 2

Да, каждое из чисел не должно иметь других простых, кроме 2, 3 и 5(но не обязательно, что каждое из них есть). Тогда давайте разложим каждое из чисел a, b, c на простые множители! Какие неравенства можно написать, если внимательно посмотреть на условие задачи?

Подсказка 3

Да, пусть x₁, x₂, x₃ – степени вхождения двойки в a, b, c соответственно, тогда будет верным: x₁ + x₂ ≥ 9; x₂ + x₃ ≥ 14; x₁ + x₃ ≥ 19. Что нужно сделать, чтобы понять в какой степени двойка входит в произведение abc?

Подсказка 4

Верно, нужно сложить эти степени и поделить на 2! Таким образом abc кратно 2²¹(поскольку если мы просто сложим степени двойки, то получим (abc) ²). Так, а дальше осталось сделать то же самое с 3 и 5 и привести пример, что каждая оценка достигается! Но какой случай может вызвать трудности?

Подсказка 5

Ну, если получается нецелое число, то мы его просто округляем до ближайшего целого, это не сложно. А вот, если пример не получается подобрать? Например, в случае с пятеркой: Если сделать также как и с двойками, то получится, что y₁+y₂+y₃ ≥ 27, но при этом y₁+y₃ ≥ 30 и y₂ ≥ 0. Тогда, нужно строить пример для y₁+y₂+y₃ ≥ 30. (y₁, y₂, y₃ – степени вхождения пятёрки в числа a, b, c соответственно)

Показать ответ и решение

Чтобы произведение $abc$ было минимальным, числа $a,b,c$ не должны иметь простых делителей, отличных от $2,3$ и $5.$

Пусть $α1 β1 γ1 a= 2 ⋅3 ⋅5 ,$ $α2 β2 γ2 b =2 ⋅3 ⋅5 ,$ $α3 β3 γ3 c= 2 ⋅3 ⋅5$ (показатели всех степеней — целые неотрицательные числа). Тогда

α+α +α β+ β+β γ+γ +γ abc= 2 1 2 3 ⋅3 1 2 3 ⋅5 1 2 3

Рассмотрим отдельно делимость на $2,3$ и $5:$

$1)$ Из того, что $ab$ делится на $29,$ $bc$ делится на $214,$ $ac$ делится на $219,$ следует, что

(| α1 +α2 ≥9 { α2 +α3 ≥14 |( α1 +α3 ≥19

Складываем полученные неравенства и получаем:

α +α +α ≥ 9-+14+-19= 21 1 2 3 2

Покажем, что значение $α + α + α = 21 1 2 3$ достигается. Для этого возьмём $α =7,α = 2,α =12. 1 2 3$

$2)$ Из того, что $ab$ делится на $10 3 ,$ $bc$ делится на $13 3 ,$ $ac$ делится на $18 3 ,$ следует, что

( |{ β1 +β2 ≥ 10 |( β2 +β3 ≥ 13 β1 +β3 ≥ 18

Складываем полученные неравенства и получаем:

β1+β2+ β3 ≥ 10+-123+18 =20,5

Покажем, что значение $β1+ β2+ β3 =21$ достигается. Для этого возьмём $β1 = 7,β2 = 3,β3 = 11.$

$3)$ Из того, что $ac$ делится на $530,$ следует, что $γ1+ γ3 ≥30.$ Заметим, что

γ1+ γ2+ γ3 ≥γ1+ γ3 ≥ 30.

$γ1 +γ2+ γ3$ может равнятся $30,$ если, например, $γ1 =15,γ2 =0,γ3 = 15.$

Так как минимум каждой из трёх сумм $α1+ α2+α3,β1+ β2+β3,γ1+γ2+ γ3$ не зависит от оставшихся, то и минимальное значение $abc$ равно

abc= 2min(α1+α2+α3)⋅3min(β1+β2+β3)⋅5min(γ1+γ2+γ3) = 221⋅321⋅530

Ответ:

$221⋅321⋅530$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#67586

Дан прямоугольный треугольник $ABC.$ Окружность, касающаяся прямой $BC$ в точке $B,$ пересекает высоту $CD,$ проведённую к гипотенузе, в точке $F,$ а катет $AC$ — в точке $E.$ Известно, что $AB∥EF,AD :DB = 3:1$ . Найдите отношение площади треугольника $ABC$ к площади треугольника $CEF.$

Источники: Физтех-2023, 11.2 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пупупу… Точки E, F, B – лежат на одной окружности, причем точки E и F соединены! А что нам может помочь найти окружность? Правильно, равные углы. Что надо сделать, чтобы выйти на эти равные углы?

Подсказка 2

Да, нужно соединить все точки, лежащие на этой окружности, то есть надо соединить B с E и B с F! Тогда нетрудно видеть, что ∠CBF=∠FEB(угол между хордой и касательной), а также в силу параллельности ∠FEB=∠ABE! Таким образом, в силу равенства ∠CBF и ∠ABE: при гомотетии с некоторым положительным коэффициентом BF перейдет в BE, поскольку △ABC∼△CDB! Какие соотношения из этого можно написать?

Подсказка 3

Да, поскольку точки E и F разбивают отрезки AC и CD соответственно на два отрезка с одинаковым отношением(это первое соотношение), а также можно применить теорему Фалеса(это второе соотношение)! Какой вывод из этого можно сделать?

Подсказка 4

Верно, получается, что CF=DF! То есть, F – середина отрезка CD. Осталось заметить лишь одно подобие треугольников, какое же?

Подсказка 5

Верно, △ACD∼△ECF, потому что EF – средняя линия △ACD! Теперь нужно только расписать отношение площадей!

Показать ответ и решение

Соединим точку $B$ с точками $E$ и $F.$ Так как $AB ∥ EF,$ то $∠ABE = ∠FEB,$ а $∠CBF =∠F EB$ по теореме об угле между касательной и хордой. Поэтому $∠ABE =∠CBF.$ Следовательно, $BE$ и $BF$ — соответствующие элементы в подобных прямоугольных треугольниках $ABC$ и $CBD$ (По двум углам: $∠ABC$ — общий и $∘ ∠ACB =∠CDB = 90 ).$ Значит,

AE CF CE-= DF-

По обобщённой теореме Фалеса

ACEE-= DCFF-

Из полученных равенств следует, что

CF-= DF-⇒ CF = DF DF CF

Значит, $F$ — середина $CD,$ а так как $EF ∥ AD,$ то $EF$ — средняя линия $△ACD.$ Отсюда

SACD = 4SCEF

А значит,

( ) ( ) SABC-= --SABC--= 4⋅0,5⋅AB-⋅CD- = 4AB-=4 AD-+ DB- =4 1 + 1 = 16 SCEF 0,25SACD 0,5⋅AD ⋅CD AD AD AD 3 3

Ответ:

$16 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#67587

Решите уравнение

π 5arcsin(cosx)=x + 2

Источники: Физтех-2023, 11.3 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим аркфункцию, сразу стараемся избавиться от неё! Что для этого нужно сделать?

Подсказка 2

Да, достаточно перенести пятёрку вправо и взять синус от обеих частей уравнения! Таким образом, мы придём к уравнению: cos(x) = sin(x/5+π/10). Но уравнения от разных функций мы не умеем решать… Что надо сделать, чтобы уравнение стало более очевидным? И не забудьте про ограничения, когда работаете с аркфункциями!

Подсказка 3

Конечно, достаточно воспользоваться формулой приведения! То есть, sin(x/5+π/10) = cos(π/2 - (x/5+π/10)) = cos(2 π/5 – x/5). А также не забудем про ограничение на (x/5+π/10)! Поскольку это выражение равно арксинусу, то – π/2- π/10 ≤ x/5 ≤ π/2- π/10. Таким образом, мы получили, что cos(x) = cos(2π/5 – x/5). Осталось решить это уравнение, учитывая ограничения!

Подсказка 4

Верно, мы получаем, что |x| = 2π/5 – x/5 + 2πk, k ∈ ℤ. А из ограничений следует, что -3π ≤ x ≤ 2π.

Показать ответ и решение

Так как по определению

({ sin b=a b= arcsina ⇐⇒ ( − π2 ≤ b≤ π2

То уравнение равносильно

( (x π ) { cosx =sin 5 + 10 ( − π ≤ x+ π-≤ π 2 5 10 2

( ( ) { cosx =cos 2π5-− x5 ( 3π x 2π- − 5 ≤ 5 ≤ 5

({ ±x= 2π− x +2πk,k∈ℤ ( 5 5 −3π ≤ x≤ 2π

( ⌊ |||| ⌈ x = π3 + 5π3k { x = 5πk-− π ,k∈ ℤ |||| 2 2 ( − 3π ≤ x≤ 2π

{ 4π π π } x∈ −3π;−-3 ;− 2;3;2π

Ответ:

${−3π;− 4π;− π;π ;2π} 3 2 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#67588

Найдите все значения параметра $a,$ для каждого из которых найдётся значение параметра $b,$ при котором система уравнений

{ ax+ 2y− 3b= 0 (x2+ y2 − 9)(x2+y2− 12x+ 32)= 0

имеет ровно 4 решения.

Источники: Физтех 2023, 1.4 (olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

А что интересное мы видим? Правильно, во втором уравнении нет параметров! Поэтому давайте рассмотрим пока только его, возможно, получится что-то хорошее!

Подсказка 2

Да, это уравнение задаёт две окружности! Первая с центром (0;0) и радиусом 3, а вторая с центром (6;0) и радиусом 2. Так, а теперь, когда из второго уравнения мы получили всё что могли, нужно возвращаться к первому уравнению системы и думать, что делать с ним!

Подсказка 3

Конечно, поскольку окружности построены в осях X и Y, то из первого уравнения хочется выразить y и построить прямую! То есть, мы получим: y = -ax/2 + 3b/2. Изобразим эту прямую на графике, тогда в каком случае у нас будет 4 решения?

Подсказка 4

Верно, 4 решения будет тогда и только тогда, когда прямая пересекает каждую из двух окружностей! А какой случай полезно было бы рассмотреть, чтобы проще найти все значения параметра a?

Подсказка 5

Да, нужно провести общую внутреннюю касательную(мы говорим именно про внутреннюю касательную, потому что только в этом случае окружности будут лежать по разные стороны от прямой)! Поскольку b отвечает только за параллельный перенос прямой, то мы делаем вывод: чтобы система могла иметь 4 решения, угловой коэффициент получившейся прямой должен быть по модулю меньше, чем угловой коэффициент общей касательной! А как найти угловой коэффициент внутренней касательной?

Подсказка 6

Да, перенесем нашу касательную в начало координат! Тогда у образовавшегося прямоугольного треугольника мы знаем гипотенузу и катет, то есть легко можем найти второй катет! А дальше вспомним, что коэффициент наклона – это тангенс угла! Осталось найти тангенс и понять, когда |-a/2| меньше чем этот тангенс!

Показать ответ и решение

Второе уравнение системы равносильно совокупности

[ x2+y2− 9= 0 2 2 x +y − 12x+32 =0

[ x2+y2 = 9 (x − 6)2+y2 = 4

Эта совокупность задаёт две непересекающиеся окружности $Ω$ и $ω$ — с центрами в точках $O(0;0)$ и $Q(6;0)$ и радиусами $3$ и $2$ соответственно.

Теперь рассмотрим первое уравнение системы:

ax +2y− 3b= 0

y =− ax+ 3b 2 2

Видим, оно определяет прямую с угловым коэффициентом $k= − a. 2$ При фиксированном значении $a$ — т.е. при фиксированном угле наклона — и при $b∈ ℝ$ получаем всевозможные прямые с угловым коэффициентом $k= − a. 2$

Чтобы система имела ровно $4$ решения, прямая должна пересекать каждую из окружностей ровно в двух точках. Это возможно в том и только том случае, когда угловой коэффициент прямой по модулю меньше, чем угловой коэффициент общей внутренней касательной двух данных окружностей (тогда за счёт выбора параметра $b$ можно подобрать такое положение прямой, что она пересекает каждую из окружностей дважды).

Проведём общую внутреннюю касательную $AB$ к окружностям (пусть $A$ и $B$ — точки касания этой прямой с $Ω$ и $ω$ соответственно). Пусть $l$ — прямая, параллельная $AB$ и проходящая через точку $O;$ пусть также $l∩QB = H,$ $∠HOQ = φ$ ( $OH ∥AB,$ поэтому $φ$ — угол наклона общей внутренней касательной). Так как

HQ = HB + BQ = OA+ BQ = 3+ 2=5,

а также $OQ = 6,$ то из прямоугольного $△HOQ$ имеем

∘ --------- √-- OH = OQ2− HQ2 = 11

Значит,

HQ- -5- tgφ = OH = √11

С учётом сказанного выше подходят все значения углового коэффициента, по модулю меньшие, чем $tgφ,$ откуда

|| a|| -5- |− 2|< √11

( 10 10) a ∈ − √11;√11

Ответ:

$(−√10;√10-) 11 11$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#67589

Некоторые числа $x$ и $y$ удовлетворяют равенствам

4 log3x +6logx 3= logx2 243− 8

4 (11) log3(5y)+2log5y3 =log25y23 − 8

Найдите все возможные значения произведения $xy.$

Источники: Физтех 2023, 1.3 (olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу видно, что логарифмы связаны между собой, что можно сделать для дальнейшего удобства?

Подсказка 2

Сделать замены! Введем 2 переменные (для каждого из равенств) и запишем условие с учётом замены. Получится 2 уравнения 4 степени, от которых можно равносильно перейти к уравнениям 5ой степени. Корни совсем неочевидны, да и, казалось, нам необязательно искать их точно - достаточно найти какую-то связь между переменными, чтобы ответить на вопрос задачи) Что нам помогает при исследовании корней уравнения больших степеней?

Подсказка 3

Производная! С помощью неё можно, к примеру, что-то узнать про количество корней уравнения. Помним, что уравнение нечетной степени имеет не менее одного корня. Что тогда можно сказать про корни уравнений?

Подсказка 4

Производные положительны, уравнение нечетной степени, значит уравнения имеют ровно по одному корню! Замечаем связь между коэффициентами уравнений. Что тогда можно сказать про корни?

Подсказка 5

Корни противоположны! Остаётся лишь сделать обратную замену, из которой xy находится несложно!

Показать ответ и решение

Обозначим $logx =u 3$ , $log (5y)= v. 3$ Так как

-1--- 1 logx3 = log3x = u,

logx2243= 5logx3 = 5-, 2 2u

log5y3= ---1-- =-1, log3(5y) v

11 11 11 log25y2(3 )= 2 log5y3 =2v,

то исходные уравнения можно записать в виде

( ( { u4+ 6u = 52u-− 8 { 2u5+ 16u+ 7= 0 ( v4+ 2 = 11-− 8 ⇐⇒ ( 2v5+16v− 7= 0 v 2v

Рассмотрим первое уравнение системы. Возьмём производную от левой части, получим

(2u5+ 16u +7)′ = 10u4+ 16> 0

Т.е. в левой части стоит возрастающая функция, а в правой части число, поэтому уравнение имеет не более одного решения. С другой стороны, любой многочлен нечётной степени имеет по крайней мере один действительный корень. Отсюда следует, что уравнение имеет ровно одно решение.

Аналогично рассмотрим второе уравнение:

(2v5+ 16v − 7)′ = 10v4+ 16> 0

Значит, аналогично с первым уравнением, второе уравнение имеет ровно одно решение. Если во втором уравнении сделать замену $v =− w,$ то оно принимает вид

−2w5− 16w− 7= 0 ⇐⇒ 2w5 +16w +7 =0

Это эквивалентно первому уравнению. Это означает, что корни уравнений противоположны, следовательно, их сумма равна нулю. Тогда

u+ v = 0 ⇐⇒ log3x+ log3(5y)= 0 ⇐ ⇒ log3(5xy)=0

5xy =1 ⇐ ⇒ xy = 15

Ответ:

$1 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#67590

На координатной плоскости дан параллелограмм с вершинами в точках $O(0;0)$ , $P (− 14;42),Q(6;42)$ и $R(20;0).$ Найдите количество пар точек $A(x1;y1)$ и $B(x2;y2)$ с целыми координатами, лежащих в этом параллелограмме (возможно, на границе) и таких, что $3x2− 3x1 +y2− y1 = 33.$

Источники: Физтех-2023, 11.6 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сначала может показаться, что задача какая-то жуть. Нужно находить количество пар точек, подходящие под какое-то странное условие... Но давайте понемногу "причёсывать" задачу и понимать, что от нас хотят. Попробуем хорошо преобразовать условие, данное на точки A и B. Какое действие хочется сделать, увидев в одной части координаты и точки A, и точки B?

Подсказка 2

Да, давайте перенесём координаты A в правую часть, а точки B — в левую. Число 33 тоже перенесём влево. Так как координаты у нас целые, то слева и справа получаются тоже какие-то целые значения. Пусть это будет целое число k. Что же теперь означает наше условие на координаты после того, как мы переписали их в удобном виде?

Подсказка 3

Верно, это две параллельные прямые, где вместо x и y мы подставляем координаты точек A и B. То есть мы можем записать уравнение прямых в общем виде с k. Что же нам теперь нужно сделать? Не забудем, что у нас есть ограничение на прямые самой границей параллелограмма. Идейная часть закончилась, теперь уже можно реализовывать техническую часть решения. Вспоминая вопрос задачи, что нам нужно теперь найти?

Подсказка 4

Верно, нам нужно найти в принципе количество целых точек x на прямых вида y=-3x+b. Это с помощью рассмотрения случаев, когда b делится на 3 и не делится, решается несложно(учитывая, конечно, снова ограничение по параллелограмму). Найдя уже до этого ограничения на k, остаётся только дело за комбинаторикой. То есть нам нужно для каждого k, выбрать на прямых нужные нам целые точки.

Показать ответ и решение

Запишем исходное условие на координаты точек $A(x ;y) 1 1$ и $B(x;y ) 2 2$ в виде

3x2+ y2− 33 =3x1+ y1

Так как координаты точек $A(x1;y1)$ и $B(x2;y2)$ являются целыми числами, то левая и правая части этого равенства могут принимать только целочисленные значения $k.$ Пара точек $A(x1;y1)$ и $B(x2;y2)$ с целочисленными координатами удовлетворяет условию тогда и только тогда, когда они лежат на параллельных прямых

y = −3x+ k и y = −3x+ k+ 33

соответственно. Найдём подходящие значения параметра $k.$

Стороны $OP$ и $QR$ параллелограмма лежат на прямых

y =− 3x и y =− 3x+60,

поэтому они параллельны прямым, на которых лежат точки $A (x1;y1)$ и $B(x2;y2).$ Эти прямые пересекают параллелограмм при

( { 0≤ k≤ 60 ( ⇔ k∈[0;27] 0≤ k+ 33 ≤60

Выясним количество точек с целочисленными координатами на каждой из прямых вида

y = −3x+ b

Рассмотрим несколько вариантов:

$1)$ Если $b$ кратно трём (т.е. $b= 3l),$ то получаем прямую

y = 3(−x +l)

При любом целом $x$ получится целое значение $y,$ а чтобы точка оказалась в параллелограмме нужно, чтобы

0≤ y ≤42 ⇔ l− 14≤ x≤ l

При любом $l$ этому неравенству удовлетворяет $15$ целых значений $x.$

$2)$ Если $b$ не делится на 3, т.е. при $b= 3l+ γ,$ где $γ ∈ {1;2},$ имеем

0≤ −3x+ 3l+γ ≤42⇔ l+ γ − 14≤ x≤ l+ γ 3 3

Учитывая, что $x∈ ℤ,$ получаем

l− 13≤ x≤ l

Значит, этому неравенству удовлетворяет $14$ целочисленных значений.

Если $k= 3l$ (таких значений $10),$ то на каждой из двух прямых

y = −3x+ k и y = −3x+ k+ 33

можно выбрать по $15$ точек — всего $10 ⋅15⋅15= 2250$ пар.

Если $k⁄= 3l$ (таких значений $18),$ то на каждой из двух прямых можно выбрать по $14$ точек — имеем $18⋅14⋅14= 3528$ пар.

Итого получаем $2250 +3528= 5778.$

Ответ: 5778

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#67591

Дана треугольная пирамида $SABC,$ медианы $AA ,BB 1 1$ и $CC 1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $M.$ Сфера $Ω$ касается ребра $AS$ в точке $L$ и касается плоскости основания пирамиды в точке $K,$ лежащей на отрезке $AM.$ Сфера $Ω$ пересекает отрезок $SM$ в точках $P$ и $Q.$ Известно, что $SP = MQ,$ площадь треугольника $ABC$ равна $90,SA= BC = 12.$

а) Найдите произведение длин медиан $AA1,BB1$ и $CC1.$

б) Найдите двугранный угол при ребре $BC$ пирамиды, если дополнительно известно, что $Ω$ касается грани $BCS$ в точке $N,SN = 4,$ а радиус сферы $Ω$ равен 5.

Источники: Физтех-2023, 11.7 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Пункт а), подсказка 1

Давайте просто начнём хоть что-нибудь делать в задаче и в дальнейшем посмотрим, что из этого получится. У нас есть касание со сферой и секущая. Какой тогда факт связанный со сферой можно сразу заметить?

Пункт а), подсказка 2

Верно, можем записать два выражения по теореме о касательной и секущей. Какую тогда пару равенств отрезков мы получаем?

Пункт а), подсказка 3

Точно, тогда у нас равны произведения в соотношениях, откуда равны SL и MK, а также AM и SA. Но мы знаем, что SA=12 и BC=12. Давайте не будем забывать, что у нас проведены медианы в основании треугольника. Какие тогда ещё отрезки можно найти и какой сделать вывод про треугольник BMC?

Пункт а), подсказка 4

Верно, MA₁=6 по свойству точки пересечения медиан. Но тогда MA₁=BA₁=CA₁=6, и треугольник BMC прямоугольный. Далее, зная площадь треугольника ABC, найти произведение двух оставшихся медиан несложно, так как катеты и будут частями исходных медиан.

Пункт б), подсказка 1

Раз нам нужен двухгранный угол, нужно его сначала построить. Из какой тогда точки удобнее всего опустить перпендикуляр на ребро BC для достижения цели?

Пункт б), подсказка 2

Верно, опустим перпендикуляр KH из точки K. Но тогда, применяя несколько раз теорему о трёх перпендикулярах, получаем, что NH ⊥ BC. Значит нам нужно искать ∠NHK. Но из-за равенства двух прямоугольных треугольников, ∠NHK = 2∠OHK, где O — центр сферы. Чтобы найти угол, скорее всего, надо будет найти сторону прямоугольного треугольника. Но её мы пока не знаем... Какой дополнительное построение тогда можно сделать, где нам что-то известно?

Пункт б), подсказка 3

Верно, давайте проведём ещё высоту в треугольнике BMC, которую мы можем найти. А также у нас два треугольника подобны. Осталось только до конца воспользоваться равенством касательных к сфере, после чего найти неизвестный катет, и, следовательно, двухгранный угол.

Показать ответ и решение

а)

Поскольку $SL$ — касательная к сфере $Ω,$ а $SP$ и $SQ$ — секущие к ней, то по теореме о касательной и секущей

2 SL = SP ⋅SQ

Аналогично,

2 MK = MP ⋅MQ

А поскольку $MQ = SP,$ то

SP ⋅SQ = MP ⋅MQ

В итоге получаем

SL2 =SP ⋅SQ =MP ⋅MQ = MK2 ⇒ SL =MK

Так как $AL = AK$ как касательные к сфере $Ω,$ проведённые из точки $A,$ то

AM = AK +MK = AL+ SL =SA = 12

А поскольку медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении $2 :1$ считая от вершины, то

3 AA1 = 2AM = 18

Кроме того,

A1M = AM = 6 2

При этом

A1B =A1C = BC-= 6, 2

то есть

A1M = A1B = A1C

Отсюда $△BMC$ прямоугольный и $∠BMC =90∘.$ Далее имеем

SBMC = SABC-= 1 ⋅BM ⋅CM = 1⋅ 2BB1-⋅ 2CC1-⇒ BB1 ⋅CC1 = 3SABC =135 3 2 2 3 3 2

Значит,

AA1 ⋅BB1 ⋅CC1 =18⋅135= 2430

б)

Пусть $G$ и $H$ — проекции точек $M$ и $K$ на прямую $BC$ соответственно. Заметим, что $NH ⊥BC,$ потому что $N$ и $K$ — точки касания сферы $Ω$ со сторонами двугранного угла пирамиды при ребре $BC.$ Поэтому искомый угол равен

∠NHK = 2∠OHK,

где $O$ — центр сферы $Ω.$

Далее имеем

SABC- 1 2SABC- SBMC = 3 = 2 ⋅BC ⋅MG ⇒ MG = 3BC =5

Так как $SL =SN = 4$ как касательные к $Ω,$ то

AK = AL =SA − SL= 8

Отсюда получаем

A1K =AA1 − AK = 10

Из подобия $△A1MG$ и $△A1KH$ имеем

KH = MG ⋅ A1K = 25 A1M 3

Окончательно,

tg∠OHK = OK-= 3 ⇒ ∠NHK =2∠OHK = 2arctg 3 KH 5 5

Ответ:

a) $2430$

б) $3 2arctg 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#78774

На координатной плоскости нарисован квадрат, все вершины которого лежат на графике функции $y = x3− ax$ . Известно, что одна из диагоналей квадрата лежит на прямой $y = −4x$ , а центр совпадает с началом координат. Найдите значение параметра $a$ и площадь квадрата.

Источники: Физтех-2023, 11.4 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Во-первых, давайте заметим, что наша функция нечётная, а потому она центрально-симметрична. Если одна диагональ имеет угол наклона -4, а диагонали перпендикулярны, то какой угол наклона имеет другая диагональ?

Подсказка 2

Верно, с тангенсом 1/4. Если x₀ — абсцисса точки B, которая лежит в 4-ой четверти, то её ордината имеет значение -4x₀. При этом у точки квадрата, которая лежит в первой четверти, то её координаты это (4x₀, x₀). Что даёт нам тот факт, что мы знаем, что две точки лежат на графике x³ + ax? Что это значит для поиска площади?

Подсказка 3

Значит, можно подставить эти два значения в уравнение графика и поскольку точки принадлежат графику, то и подставив значения, мы получим равенство. Откуда можно найти и а, и х₀. А найти диагональ (чтобы найти площадь) совсем нетрудно, если мы знаем про нечётность функции (про симметричность координат противоположных точек)

Показать ответ и решение

Пусть $A$ и $B$ — вершины квадрата, лежащие в первой и четвёртой четвертях соответственно; $O$ — начало координат.

$PIC$

По условию точка $B$ лежит на прямой $y = −4x$ . Если $x0$ — абсцисса точки $B$ , то $x0 >0$ , а координаты точки $B$ — это $(x0;−4x0)$ . Так как точка $A$ получается из $B$ поворотом на $90∘$ против часовой стрелки вокруг точки $O,$ то её координаты $(4x0;x0)$ . Поскольку обе точки лежат на графике $y =x3− ax$ , получаем и решаем систему уравнений (учитываем, что $x0 ⁄= 0$ )

{ −4x0 = x30− ax0 x0 = 64x30− 4ax0

{ a= x20+ 4 4a= 64x20 − 1

{ 2 a= x0+ 4 4x20+16= 64x20− 1

{ x20 = 1670 a= 25607

Пусть $OA= d$ — половина диагонали квадрата. Тогда

OA2 =(4x0)2+ x20 = 17x20

Площадь квадрата $S$ равна полупроизведению его диагоналей, то есть

S = 1⋅2d⋅2d= 2d2 = 289 2 30

Ответ:

$a = 257; S = 289 60 30$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#78776

Сколько существует троек целых чисел $(a;b;c)$ таких, что они образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию, а их произведение $abc$ равно $150 150 2 ⋅3$ ?

Источники: Физтех 2023, 5.2 (olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала поймём, а какого вообще вида числа нам подходят? И какие условия на них накладываются?

Подсказка 2

Верно, каждое число при разложении на простые должно представляться в виде: 2ⁿ¹*3ⁿ². И при этом сумма степеней двоек всех трёх чисел должна быть равна 150 и аналогично с тройками! А теперь вспомним условие про геометрическую прогрессию, что можно сказать про число b?

Подсказка 3

Да, b вне зависимости от a и c равно 2⁵⁰*3⁵⁰(это получается из того, что степень b равна полусумме степеней a и c). А что в таком случае можно сказать про a и c?

Подсказка 4

Верно, степень двойки у чисел a и c можно выбрать 101 способом, так как при выборе степени двойки у a — степень c восстанавливается однозначно! И аналогично, для степеней тройки. Получается, что всего таких чисел 101². Но вот, все ли случаи мы учли?

Подсказка 5

Верно, a и c могут быть также отрицательными, тогда просто знаменатель прогрессии поменяется на противоположный!

Показать ответ и решение

Найдём сначала количество троек натуральных чисел. Пусть

x y x y x y a= 2 1 ⋅31, b= 22 ⋅3 2, c= 2 3 ⋅33

где $xi, yi$ — целые неотрицательные числа. Тогда получаем

{ x1+ x2+ x3 =150 y1+ y2+y3 = 150

Числа $a,b,c$ составляют в указанном порядке геометрическую прогрессию тогда и только тогда, когда $b2 =a ⋅c$ , откуда

{ 2x2 = x1+x3 2y2 = y1+ y3

Из полученных уравнений получаем систему

(| x2 = y2 = 50 { x1+ x3 = 100 |( y1+ y3 =100

Посчитаем количество решений этой системы. Есть $101$ способ выбрать пару чисел $(x1;x3)$ . Действительно, $x1$ можно взять любым целым числом из отрезка $[0;100]$ , после чего $x3$ определяется однозначно. Аналогично, пару $(y1;y3)$ можно выбрать $101$ способом. Перемножая, получаем $1012 = 10201$ способ.

Если рассматривать также отрицательные значения переменных, то можно заметить, что подходят все тройки чисел вида $(− a;b;−c)$ , где $a,b,c$ положительны и составляют геометрическую прогрессию. Таких троек ровно столько, сколько и в первом случае, поэтому окончательно имеем $20402$ тройки.

Ответ: 20402