Физтех 2023

Найдём сначала количество троек натуральных чисел. Пусть

где — целые неотрицательные числа. Тогда получаем

Числа составляют в указанном порядке геометрическую прогрессию тогда и только тогда, когда , откуда

Из полученных уравнений получаем систему

Посчитаем количество решений этой системы. Есть способ выбрать пару чисел . Действительно, можно взять любым целым числом из отрезка , после чего определяется однозначно. Аналогично, пару можно выбрать способом. Перемножая, получаем способ.

Если рассматривать также отрицательные значения переменных, то можно заметить, что подходят все тройки чисел вида , где положительны и составляют геометрическую прогрессию. Таких троек ровно столько, сколько и в первом случае, поэтому окончательно имеем тройки.