Курчатов - задания по годам → .09 Курчатов 2022

Две конфеты одного вида могут быть либо леденцами, либо шоколадными, либо мармеладными. Посчитаем вероятности каждого из этих событий и сложим их.

Упорядочим конфеты в порядке их съедания. Вероятность того, что первая конфета — леденец, равна Вероятность того, что последняя конфета леденец, равна вероятности того, что леденец на любом другом месте. Следовательно, эта вероятность равна поскольку после выбора первой конфеты осталось всего 9 конфет, среди которых ровно один леденец. Итак, вероятность того, что первая и последняя конфеты — леденцы, равна

Аналогично найдём вероятность того, что первая и последняя конфета — шоколадные, она равна А вероятность того, что первая и последняя конфета — мармеладные, равна Следовательно, ответом задачи является число

Замечание. Вероятность того, что первая и последняя конфеты являются леденцами, можно также считать следующим образом.

Всего есть способов выложить наши 10 конфет в ряд, а среди них есть способов выложить их в ряд так, чтобы леденцы были в начале и в конце. Тогда вероятность того, что первая и последняя конфеты являются леденцами, равна

Аналогичным образом можно посчитать вероятности и для конфет других видов.

Всего за турнир было сыграно игр. В каждой игре разыгрывалось либо 5 очков (в случае победы-поражения), либо 4 очка (в случае ничьей). Если бы все игры были сыграны вничью, то суммарное количество очков у всех участников равнялось бы что на 70 меньше, чем реальная сумма очков всех участников. В случае не ничейной игры два её участника суммарно получают на 1 очко больше, чем в случае ничейной игры. Это означает, что ровно 70 игр завершились победой одного из участников, а остальные 50 игр закончились вничью.

Предположим, что хотя бы 6 участников ни разу не сыграли вничью. Тогда ничейные партии могли пройти только между оставшимися 10 участниками, а всего они между собой сыграли игр, что меньше 50. Противоречие. Следовательно, не более 5 участников ни разу не сыграли вничью.

Нетрудно описать пример для 5 участников. Зафиксируем 11 участников, они сыграли между собой игр. Выберем любые 50 из этих игр, пусть они были сыграны вничью (ясно тогда, что каждый из зафиксированных 11 участников хотя бы раз сыграет вничью), а все остальные игры турнира закончились победой любого из участников. Следовательно, человек ни разу не сыграли вничью. Ясно, что все условия задачи выполняются.

Пусть — простое число. По условию для некоторого натурального Заметим, что НОД чисел и делит их разность, равную поэтому он равен либо либо 1. Разберём два случая.

• Предположим, Тогда и для некоторого натурального Тогда т.е. Отсюда следует, что делится на поэтому — точный квадрат. Но т. е. число находится между двумя последовательными точными квадратами, поэтому само не может быть точным квадратом. Противоречие.

• Предположим, Произведение взаимно простых чисел и является точным квадратом тогда и только тогда, когда сами числа и являются точными квадратами. Тогда и для некоторых натуральных откуда следует, что Из того, что произведение натуральных чисел и равно простому числу следует, что и Тогда и поэтому и Поскольку число является простым, получаем несколько случаев:

  • Если то — не подходит под условие задачи.
  • Если то и — подходит под условие задачи.
  • Если то и — подходит под условие задачи.
  • Если то и — подходит под условие задачи.
  • Если то — не подходит под условие задачи.

По формуле перехода к новому основанию Также все эти четыре множителя положительны, поскольку все числа больше

Преобразуем и оценим имеющееся выражение

здесь в последнем переходе использовалось неравенство между арифметическим и средним геометрическим для четырёх положительных чисел

Также отметим, что значение достигается, например, при поскольку все четыре числа будут равны

Четырёхугольник — вписанный, поэтому Аналогично четырёхугольник — вписанный, поэтому

Опустим высоты и на прямую Заметим, что прямоугольные треугольники и равны по гипотенузе и острому углу , откуда получаем

Заметим, что прямоугольные треугольники и равны по катету и острому углу откуда получаем Тогда

Получается, что Следовательно, в треугольнике высота совпадает с медианой, поэтому он является равнобедренным, и что и требовалось.

Заметим, что вместе с каждой функцией удовлетворяющей условию, ему также удовлетворяют и все функции вида и Докажем, что если и то при всех верно Отсюда и из замечания выше будет следовать ответ.

Итак, пусть и . Подставив , получаем , то есть , поэтому . Далее для любого имеем

Итак, и то есть Следовательно,

Рассмотрим любую четвёрку подряд идущих людей. Если бы в ней было хотя бы 3 рыцаря, то самый первый из рыцарей точно сказал бы неправду, что невозможно. Если бы в ней было хотя бы 3 лжеца, то самый первый из лжецов точно сказал бы правду, что тоже невозможно. Значит, в каждой четвёрке подряд идущих людей ровно 2 рыцаря и ровно 2 лжеца. Разбив всех людей на 15 таких четвёрок, получаем, что рыщарей .