Тема Курчатов

Курчатов - задания по годам → .09 Курчатов 2022

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела курчатов

Разделы подтемы Курчатов - задания по годам

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#70780Максимум баллов за задание: 7

На тарелке лежат различные конфеты трёх видов: 2 леденца, 3 шоколадных и 5 мармеладных. Света последовательно все их съела, выбирая каждую следующую конфету наугад. Найдите вероятность того, что первая и последняя съеденные конфеты были одного вида.

Источники: Курчатов-2022, 11.1 (см. olimpiadakurchatov.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Рассматривать одновременно все варианты первой и последней конфеты явно неудобно, тогда давайте разделять и властвовать. Посчитаем отдельно вероятности для леденцов, шоколадных и мармеладных, а потом сложим их вместе.

Подсказка 2

Вероятность выбрать леденец первой конфетой равна отношению числа леденцов к общему числу конфет. Подумайте, почему вероятности выбора леденца на любое другое место равны между собой. Тогда чему равна данная вероятность?

Подсказка 3

Вероятность выбрать леденец на последнее место равен 1/9. Аналогичными размышлениями мы можем найти вероятность для шоколадных и для мармеладных конфет, а затем и ответ к задаче.

Показать ответ и решение

Две конфеты одного вида могут быть либо леденцами, либо шоколадными, либо мармеладными. Посчитаем вероятности каждого из этих событий и сложим их.

Упорядочим конфеты в порядке их съедания. Вероятность того, что первая конфета — леденец, равна $2- 10.$ Вероятность того, что последняя конфета леденец, равна вероятности того, что леденец на любом другом месте. Следовательно, эта вероятность равна $1 9,$ поскольку после выбора первой конфеты осталось всего 9 конфет, среди которых ровно один леденец. Итак, вероятность того, что первая и последняя конфеты — леденцы, равна $2- 1 -2 10 ⋅9 = 90.$

Аналогично найдём вероятность того, что первая и последняя конфета — шоколадные, она равна $3- 2 6- 10 ⋅9 = 90.$ А вероятность того, что первая и последняя конфета — мармеладные, равна $5 4 20 10 ⋅ 9 = 90.$ Следовательно, ответом задачи является число

2 6 20 28 14 90 +90 +90 = 90 = 45

Замечание. Вероятность того, что первая и последняя конфеты являются леденцами, можно также считать следующим образом.

Всего есть $21!⋅03!!⋅5!$ способов выложить наши 10 конфет в ряд, а среди них есть $38!⋅5!$ способов выложить их в ряд так, чтобы леденцы были в начале и в конце. Тогда вероятность того, что первая и последняя конфеты являются леденцами, равна

-38!⋅5!-= -2= -1 21!⋅03!!⋅5! 90 45

Аналогичным образом можно посчитать вероятности и для конфет других видов.

Ответ:

$14 45$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#70781Максимум баллов за задание: 7

В школьном турнире по крестикам-ноликам участвовали 16 учеников, каждый сыграл с каждым ровно одну игру. За победу давалось 5 очков, за ничью — 2 очка, за поражение — 0 очков. После завершения турнира выяснилось, что суммарно все участники набрали 550 очков. Какое наибольшее количество участников могло ни разу не сыграть вничью в этом турнире?

Источники: Курчатов-2022, 11.2 (см. olimpiadakurchatov.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посчитаем кол-во игр, их всего 120 штук. Понятно, что в каждой игре разыгрывалось либо 4, либо 5 очков. Можно ли выяснить, сколько тогда всего было ничьих?

Подсказка 2

Да! Просто решив маленькое уравнение, получаем что ничьих было ровно 50. Теперь подумайте, что если игроков, которые никогда не сыграли в ничью, было слишком много, то это плохо)

Подсказка 3

Например, можно считать, что x человек никогда не играли в ничью. Тогда ничейные партии могли пройти только среди оставшихся 16-x человек) Тут уже легко посчитать сколько вообще они могли сыграть между собой и понять, каким должен быть x!

Подсказка 4

Да, x должен быть не больше 5и! Осталось придумать пример, который можно получить как раз из наших оценок)

Показать ответ и решение

Всего за турнир было сыграно $16⋅15-=120 2$ игр. В каждой игре разыгрывалось либо 5 очков (в случае победы-поражения), либо 4 очка (в случае ничьей). Если бы все игры были сыграны вничью, то суммарное количество очков у всех участников равнялось бы $120⋅4= 480,$ что на 70 меньше, чем реальная сумма очков всех участников. В случае не ничейной игры два её участника суммарно получают на 1 очко больше, чем в случае ничейной игры. Это означает, что ровно 70 игр завершились победой одного из участников, а остальные 50 игр закончились вничью.

Предположим, что хотя бы 6 участников ни разу не сыграли вничью. Тогда ничейные партии могли пройти только между оставшимися 10 участниками, а всего они между собой сыграли $10⋅9- 2 =45$ игр, что меньше 50. Противоречие. Следовательно, не более 5 участников ни разу не сыграли вничью.

Нетрудно описать пример для 5 участников. Зафиксируем 11 участников, они сыграли между собой $11⋅10 --2-= 55$ игр. Выберем любые 50 из этих игр, пусть они были сыграны вничью (ясно тогда, что каждый из зафиксированных 11 участников хотя бы раз сыграет вничью), а все остальные игры турнира закончились победой любого из участников. Следовательно, $16− 11= 5$ человек ни разу не сыграли вничью. Ясно, что все условия задачи выполняются.

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#70782Максимум баллов за задание: 7

Натуральное число $A$ назовём интересным, если существует натуральное число $B$ такое, что:

$A > B$ ;
разность чисел $A$ и $B$ — простое число;
произведение чисел $A$ и $B$ — точный квадрат.

Найдите все интересные числа, большие 200 и меньшие 400.

Источники: Курчатов-2022, 11.3 (см. olimpiadakurchatov.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим сразу, что если A-B = p - простому числу, то НОД(A, B) либо 1, либо p. Попробуйте понять, что случай с НОДом равным p - невозможен из-за второго условия)

Подсказка 2

Окей, теперь у нас НОД = 1. Но тогда раз произведение этих чисел - точный квадрат, то что можно сказать про сами числа?

Подсказка 3

Что они сами являются квадратами! А теперь давайте вернемся к тому, что разность этих чисел - простое число. Эти же числа являются квадратами. А разность квадратов хорошо раскладывается на произведение) Что можно отсюда выяснить?

Подсказка 4

Если разложить разность квадратов как (a-b)(a+b), то станет понятно, что она может быть равна простому числу только если a-b = 1. Получается, A и B - просто последовательные квадраты) Остался небольшой перебор и все значения найдены!

Показать ответ и решение

Пусть $A − B = p$ — простое число. По условию $AB = B(B +p)= n2$ для некоторого натурального $n.$ Заметим, что НОД чисел $B$ и $B + p$ делит их разность, равную $p,$ поэтому он равен либо $p,$ либо 1. Разберём два случая.

Предположим, $НОД(B,B +p)= p.$ Тогда $B =ps$ и $B+ p= p(s +1)$ для некоторого натурального $s.$ Тогда $2 n =B (B +p)= ps⋅p(s+ 1),$ т.е. $2 2 n = ps(s+ 1).$ Отсюда следует, что $n$ делится на $p,$ поэтому $(n)2 s(s+1)= p$ — точный квадрат. Но $2 2 s <s(s+1)< (s+1) ,$ т. е. число $s(s+ 1)$ находится между двумя последовательными точными квадратами, поэтому само не может быть точным квадратом. Противоречие.
Предположим, $НОД (B,B +p)= 1.$ Произведение взаимно простых чисел $B$ и $B +p$ является точным квадратом тогда и только тогда, когда сами числа $B$ и $B+ p$ являются точными квадратами. Тогда $B =b2$ и $A =B + p= a2$ для некоторых натуральных $a >b,$ откуда следует, что $p =a2− b2 =$ $(a − b)(a+ b).$ Из того, что произведение натуральных чисел $a − b$ и $a+ b$ равно простому числу $p,$ следует, что $a− b=1$ и $a +b= p.$ Тогда $a= p+21$ и $b= p−21,$ поэтому $( )2 B = p−21$ и $( )2 A = p+12- .$ Поскольку число $p$ является простым, получаем несколько случаев:
- Если $p≤ 23,$ то $A≤ 122 < 200$ — не подходит под условие задачи.
- Если $p= 29,$ то $2 A= 15 = 225$ и $2 B = 14 =196$ — подходит под условие задачи.
- Если $p= 31,$ то $A= 162 = 256$ и $B = 152 =225$ — подходит под условие задачи.
- Если $p= 37,$ то $A= 192 = 361$ и $B = 182 =324$ — подходит под условие задачи.
- Если $p≥ 41,$ то $A≥ 212 > 400$ — не подходит под условие задачи.

Ответ: 225, 256, 361

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#70783Максимум баллов за задание: 7

Положительные числа $a,b,c,d$ больше $1.$ Найдите наименьшее возможное значение выражения

( 2) (2 3) ( 56) ( 35 36) loga ab + logb bc +logc c d + logd d a

Источники: Курчатов-2022, 11.4 (см. olimpiadakurchatov.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте для начала распишем нормально сумму с помощью свойств логарифма) Избавимся от степеней, выцепим просто числа и т.д. Что в конце остается?

Подсказка 2

В конце просто будет сумма из каких-то обычных чисел и логарифмов с коэффициентами, причем там логарифмы интересного вида: основание a и аргумент b, основание b и аргумент c, и т.д. Попробуйте придумать, как можно здесь сделать хорошую оценку)

Подсказка 3

Для начала докажите, что произведение таких 4ех логарифмов равно единице с помощью формулы перехода к новому основанию, а после просто примените неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом и получите нужную оценку! Только не забудьте привести пример, когда она достигается)

Показать ответ и решение

По формуле перехода к новому основанию $log b⋅log c⋅log d⋅log a= 1. a b c d$ Также все эти четыре множителя положительны, поскольку все числа $a,b,c,d$ больше $1.$

Преобразуем и оценим имеющееся выражение

( 2) (23) ( 56) (35 36) S =logaab +logbb c + logc cd + logd d a =

( 2) ( 2 3) ( 5 6) ( 35 36) = logaa +logab + logbb + logbc + logcc + logcd + logdd +logda =

= (1+ 2logab)+ (2+ 3logbc)+ (5+ 6logcd)+ (35+ 36logda)≥

≥ (1+2 +5+ 35)+4∘42-log-b⋅3log-c⋅6log-d⋅36log-a-=43+ 4⋅6= 67 a b c d

здесь в последнем переходе использовалось неравенство между арифметическим и средним геометрическим для четырёх положительных чисел $2logab,3logbc,6logcd,36logda.$

Также отметим, что значение $S = 67$ достигается, например, при $a= 2,b=$ $8,c= d= 64,$ поскольку все четыре числа $2loga b,3logbc,6logcd,36logda$ будут равны $6.$

Ответ: 67

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#70784Максимум баллов за задание: 7

Точка $P$ внутри остроугольного треугольника $ABC$ такова, что $∠BAP =$ $∠CAP.$ Точка $M$ — середина стороны $BC.$ Прямая $MP$ пересекает описанные окружности треугольников $ABP$ и $ACP$ в точках $D$ и $E$ соответственно (точка $P$ лежит между точками $M$ и $E,$ точка $E$ лежит между точками $P$ и $D).$ Оказалось, что $DE =MP.$ Докажите, что $BC = 2BP.$

Источники: Курчатов-2022, 11.5 (см. olimpiadakurchatov.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас в задаче есть условие на углы и описанные окружности. Может, попробовать посчитать уголочки. Посмотрите, куда можно перекинуть уголочки ∠CAP и ∠BAP...

Подсказка 2

Т.к. DAPB- вписан ⇒ ∠PAB=∠PDB. Т.к. AEPC- вписан ⇒ ∠CAP=∠CEP. Но тогда ∠CEP=∠PDB. Это все, конечно, здорово, но мы пока не подобрались к отрезку BP. Нам нужно доказать, что BC=2BP. Это равносильно тому, что BP=BM. Т.е. нам надо доказать, что PBM- равнобедренный. Может, попробовать провести высоту BX и доказать, что PX=XM...

Подсказка 3

Мы еще не пользовались тем, что M- середина BC. Какое дополнительное построение сразу приходит в голову?

Подсказка 4

Конечно, удвоение медианы! Давайте удвоим XM: тогда получится точка Y, лежащая на прямой XM. Тогда т.к. BXCY-параллелограмм ⇒ ∠CYM=90° и CY=BX. Равны ли прямоугольные треугольники △DBX и △ECY?

Подсказка 5

Да! Т.к. CY=BX и ∠BDX=∠BDP=∠CEP=∠CEY. Но тогда DX=EY. Если мы докажем, что PX=MY, то мы победили. Вспомните, что DE=PM и доведите решение до конца!

Показать доказательство

$PIC$

Четырёхугольник $AEP C$ — вписанный, поэтому $∠CAP = ∠CEP.$ Аналогично четырёхугольник $BP AD$ — вписанный, поэтому $∠BDP =∠BAP =∠CAP =∠CEP.$

Опустим высоты $BX$ и $CY$ на прямую $MP.$ Заметим, что прямоугольные треугольники $BMX$ и $CMY$ равны по гипотенузе $BM =MC$ и острому углу $∠BMX = ∠CMY$ , откуда получаем $BX = CY.$

Заметим, что прямоугольные треугольники $CY E$ и $BXD$ равны по катету $CY =BX$ и острому углу $∠CEY =∠CEP =∠BDP = ∠BDX,$ откуда получаем $Y E = XD.$ Тогда

0= YE − XD =(YM + MP + PE)− (XP +P E+ ED )=Y M − XP

Получается, что $XP = YM =XM.$ Следовательно, в треугольнике $BP M$ высота $BX$ совпадает с медианой, поэтому он является равнобедренным, и $BP = BM = BC-, 2$ что и требовалось.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#70785Максимум баллов за задание: 7

Назовём функцию $f$ хорошей, если

$f$ определена на отрезке $[0,1]$ и принимает действительные значения;
для всех $x,y ∈ [0,1]$ верно $2 |x− y| ≤ |f(x)− f(y)|≤ |x − y|.$

Найдите все хорошие функции.

Источники: Курчатов-2022, 11.6 (см. olimpiadakurchatov.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу заметим важную вещь: если f(x) - решение, то и f(x) + c будет решением, где c - любая константа, а также -f(x) - решение. Какие удобные значения функции мы тогда можем подобрать?

Подсказка 2

Сразу хочется сделать, чтобы f(0) = 0. Попробуйте подставить туда точки 0 и 1, что тогда выйдет?)

Подсказка 3

Выйдет, что 1 <= |f(1)| <= 1, т.е. |f(1)| = 1. Давайте считать, что f(1) = 1 (т.к. мы все равно можем умножить функцию на минус в случае чего). А теперь подумайте, что можно подставлять, чтобы оценить f(x)?

Подсказка 4

Например, подставим y = 0, и получим, что f(x) <= |f(x)| <= |x| = x, т.е. f(x) <= x. Попробуйте теперь получить обратную оценку и f(x) будет найдена!

Показать ответ и решение

Заметим, что вместе с каждой функцией $f(x),$ удовлетворяющей условию, ему также удовлетворяют и все функции вида $f(x)+ c$ и $− f(x).$ Докажем, что если $f(0) =0$ и $f(1) ≥0,$ то при всех $x∈ [0,1]$ верно $f(x)= x.$ Отсюда и из замечания выше будет следовать ответ.

Итак, пусть $f(0)= 0$ и $f(1)≥ 0$ . Подставив $x =0,y = 1$ , получаем $1≤ |f(0)−$ $f(1)|≤ 1$ , то есть $|f(1)|= 1$ , поэтому $f(1)= 1$ . Далее для любого $x ∈(0,1)$ имеем

f(x)≤ |f(x)|= |f(x)− f(0)|≤ |x− 0|= x и

1− f(x) ≤|1− f(x)|= |f(1)− f(x)|≤|1− x|= 1− x

Итак, $f(x)≤ x$ и $1 − f(x)≤1 − x,$ то есть $f(x) ≥x.$ Следовательно, $f(x)=x.$

Ответ:

$f(x)= x+c,f(x)= −x +c,$ где $c∈ ℝ$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#89604Максимум баллов за задание: 7

За круглым столом сидят $60$ людей. Каждый из них либо рыцарь, который всегда говорит правду, либо лжец, который всегда лжёт. Каждый из сидящих за столом произнёс фразу: “Среди следующих $3$ человек, сидящих справа от меня, не более одного рыцаря”. Сколько рыцарей могло сидеть за столом? Укажите все возможные варианты и докажите, что нет других.

Источники: Курчатов - 2022, 9 (см. olimpiadakurchatov.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Рассмотрим произвольную четверку людей, сидящих подряд. Что бы сказал самый первый из рыцарей, если бы среди четверки было хотя бы 3 рыцаря?

Подсказка 2

Верно, он сказал бы неправду, что невозможно. Какой вывод можно сделать о количестве рыцарей?

Подсказка 3

Да, их не более 2. Теперь рассмотрим самого первого лжеца среди четверки. Что бы он сказал, если бы среди четверки было хотя бы 3 лжеца? Какой вывод можно сделать тогда?

Подсказка 4

Да, рыцарей и лжецов в каждой четверке по 2. Используем этот факт и получаем ответ

Показать ответ и решение

Рассмотрим любую четвёрку подряд идущих людей. Если бы в ней было хотя бы 3 рыцаря, то самый первый из рыцарей точно сказал бы неправду, что невозможно. Если бы в ней было хотя бы 3 лжеца, то самый первый из лжецов точно сказал бы правду, что тоже невозможно. Значит, в каждой четвёрке подряд идущих людей ровно 2 рыцаря и ровно 2 лжеца. Разбив всех людей на 15 таких четвёрок, получаем, что рыщарей $15⋅2 =30$ .

Ответ: 30

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущая подтема

Следующая подтема