Курчатов - задания по годам → .01 Курчатов 2015
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Митя сложил все нечётные натуральные делители некоторого чётного числа 
(включая единицу), а Ваня сложил все чётные натуральные
делители числа 
(включая само число). Затем Ванину сумму умножили на Митину. Может ли произведение быть квадратом
натурального числа?
Первое решение.
По условию число имеет вид 
где 
— нечётное. Заметим, что любому нечётному делителю 
числа 
взаимнооднозначно
соответствует группа чётных делителей
Тогда если обозначить Митину сумму через 
то Ванина сумма примет вид
Если перемножить суммы, то мы получим
Теперь видно, что вопрос задачи сводится к тому, может ли быть квадратом число вида 
Очевидно, что нет, потому что оно
делится на 
но не делится на 
Второе решение.
Разложим число из условия по основной теореме арифметике
Из такого представления известно, что сумма всех делителей числа 
равна
При этом это является суммой всех нечётных делителей 
Для получения суммы только чётных делителей формула принимает
вид
В итоге произведение сумм равно 
однако легко видеть, что в левую часть двойка входит в
нечётной степени, потому сумма не может быть точным квадратом.
За выражение произведения в виде S² * (2 + 2² + … + 2^k) – не менее 2 баллов.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Ученику дано число 
это обыкновенная дробь со знаменателем 
Ученик вычислил три новых числа 
и 
каждое из
этих трёх чисел округлил до ближайшего целого и результаты округлений сложил. Получилось 
Найдите 
(Число
округляется в меньшую сторону, если его дробная часть меньше 
и в большую, если дробная часть больше либо равна
Источники:
Подсказка 1
Попробуйте сначала понять между какими двумя целыми числами заключен х. Для этого решите уравнение без округления.
Подсказка 2
Вы получили, что 10<x<11. То есть нам осталось перебрать 8 вариантов. При этом если подставить 11 вместо х, то получится значение более близкое к тому, что нам требуется , чем если подставить 10. Что это может значить?
Подсказка 3
Это значит, что искомая дробь ближе к 11 чем к 10. Значит перебор надо начинать сверху(при этом, если мы уже получили решение, не значит, что дальше по перебору не будет еще одного). Осталось перебрать и получить ответ.
Давайте число 
после округления обозначать 
Будем пользоваться тем, что если 
то и 
Докажем, что
Пусть 
Если 
то
Если 
то
В указанном интервале есть только одно число со знаменателем 
— это 
Оно подходит:
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Замечание. Более естественно другое решение: показать, что 
а дальше просто перебрать все числа со знаменателем 
между ними. Если всё сделано верно, то это тоже полное решение.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
– вписанный четырёхугольник, 
На сторонах 
и 
отмечены точки 
и 
так, что 
и
– середина 
Докажите, что угол 
– прямой.
Источники:
Подсказка 1
Так, точки X и Y в явном виде нам вряд-ли помогут, поскольку только с помощью этих точек мы не сможем определить ∠AMC. Тогда, давайте достроим картинку таким образом, чтобы MC и MA стали средними в треугольниках. Что для этого нужно сделать?
Подсказка 2
Да, нужно удвоить YC за точку C и XA за точку A! Для удобства обозначим точки, полученные после удвоения: Y’ и X’. Тогда, чтобы доказать, что ∠AMC прямой, достаточно доказать, что стороны треугольников, которые параллельны MC и MA – перпендикулярны! Отметим равны углы и стороны, можно ли найти на картинке равные треугольники?
Подсказка 3
Да, Y’CD и DAX равны! Заметим, что на картинке появилось два равнобедренных треугольника: XDY’ и X’DY. Тогда нам достаточно доказать, что угол между биссектрисами этих треугольников прямой! Осталось посчитать уголочки.
Удвоим 
за точку 
и 
за точку 
и получим 
и 
Тогда 
и 
— средние линии в треугольниках 
и
Значит, достаточно доказать, что 
и 
перпендикулярны.
Заметим, что 
и 
Отсюда треугольники 
и 
равны и треугольники
и 
равны.
Тогда получается, что 
и 
Это значит, что биссектрисы в треугольниках 
и 
также являются и
высотами. Мы хотим доказать, что 
и 
перпендикулярны. Это равносильно тому, чтобы перпендикуляры к этим прямым были
перпендикулярны, ведь угол между прямыми равен углу между перпендикулярами к ним.
Мы уже заметили, что биссектрисы в треугольниках 
и 
также являются высотами, так значит, нам нужно показать, что
угол между биссектрисами является прямым. Давайте его посчитаем:
Заметим, что 
поэтому посчитанный выше угол равен 
