Курчатов - задания по годам → .02 Курчатов до 2015
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дано натуральное число, кратное 
Между его цифрами вставили два нуля подряд. Докажите, что полученное число тоже делится на
Источники:
Подсказка 1
Как здорово, что у нас существуют признаки делимости! К сожалению, человечество еще не придумало признака делимости на 495, но может быть, можно как-то решить этот вопрос?
Подсказка 2
Ага, смотрите-ка: если число делится на Х, то оно должно делиться на множители этого Х, а в нашем случае на множители 495! Например, на 5, 9 и 11! А что это значит..?
Подсказка 3
Смотрим, изменилась ли делимость на 5 (смотрим на последнюю цифру), на 9 (смотрим на сумму цифр), на 11 (смотрим на знакопеременную сумму цифр). Задача решена!
Первое решение.
После разложения на взаимнопростые множители 
нужно использовать критерии делимости для старого и нового (после
вставки двух нулей) чисел.
) Сумма цифр при вставке двух нулей не меняется, поэтому не меняется и делимость на 
) Знакопеременная сумма цифр также не меняется, поэтому не меняется и делимость на 
(или можно сказать, что суммы цифр на
чётных и нечётных местах остались равны).
) Последняя цифра не изменилась, так как нули вставляют между цифрами, поэтому не изменилась и делимость на
Второе решение.
Обозначим число до вставленных цифр, у которого следующие цифры сделаем нулями, через 
(сразу заметим, что 
делится на 
,
потому что у этого числа на конце нули), после — через 
Тогда исходное число это 
а новое число равно 
Из замеченной делимости на 
следует делимость числа 
на 
а 
это исходное число, которое тоже делится на
по условию.
В итоге и полученная сумма делится на 
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На клетчатой доске 
расставили 
белых и 
черных ладей так, что ладьи разных цветов не бьют друг друга. При
каком наибольшем 
такое возможно?
Источники:
Подсказка 1!
1) Итак, нам нужно оценить возможное количество ладей. Так как мы знаем количество строк и столбцов, было бы логично оценить количество ладей через строки и столбцы, на которых они стоят. Ведь если в строке 1 стоят ладьи, и в столбцах 5 и 7, например, то ладей на больше чем 1*2 ( клетки пересечения столбцов и строк, где замечены ладьи). Пусть белые ладьи заняли a клеток и b столбцов...
Подсказка 2!
2) Ага, оценим белые через ab, а черные через оставшиеся столбцы на оставшиеся строчки, и подумаем, как n соотносится с этими оценками на количество ладей...
Подсказка 3!
3) Ну, конечно! n меньше, чем обе наших оценки. Теперь можно попробовать порасставлять ладей и понять, какую оценку мы хотим доказывать. А можно помедитировать над уравнением, и заметить, что если n меньше чем минимальная из оценок, то максимум n достигается, если обе оценки равны! Давайте доказывать, что максимум будет тогда, когда ab равняется оценке на черные ладьи. Чему же равно ab...
Подсказка 4!
4) Ага, k(k+1)! Тогда обе оценки равны, окажем, что это лучший расклад, и не забудем построить пример!
Пусть белые ладьи занимают 
строк (то есть нашлось ровно 
строк, в которых есть белые ладьи) и 
столбцов. Белая и чёрная
ладьи не могут стоять в одном столбце или одной строке, потому чёрные занимают не более 
строк и 
столбцов. Отсюда их количества не превышают соответственно 
и 
, при этом легко видеть, что
. Далее покажем, что минимум не превышает 
. Действительно, пусть, не умаляя
общности 
(иначе 
). Тогда 
(с уменьшением суммы уменьшается и
максимум произведения). То есть 
. В качестве примера заполним прямоугольник 
в левом верхнем
углу белыми ладьями, затем отразим доску относительно главной диагонали, а потом заполним тот же прямоугольник
чёрными.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Клетчатая доска 
раскрашена в шахматном порядке. Какое наибольшее число черных клеток доски можно отметить так, чтобы
не нашлось параллелограмма с вершинами в центрах отмеченных клеток?
Источники:
Подсказка 1!
Попробуем проанализировать условие. Нарисуйте на шахматной доске параллелограмм. Что его существование означает в контексте расстояний между клетками в разных строках..
Подсказка 2!
Да, если нашелся параллелограмм, это значит, что в двух разных строках совпали расстояния между двумя какими-то клетками. Подумайте, какие вообще на доске бывают расстояния. И что каждое встречается не более одного раза.
Подсказка 3!
Но в каждой строке их хотя бы сколько? Давайте посмотрим для фиксированной клетки какой-то расстояния и попробуем оценить количество различных расстояний снизу. А затем и построить пример!
Рассмотрим расстояния между выбранными клетками в каждой строке. Они могут принимать значения 
При этом если в строке 
клеток, то различных расстояний в ней хотя бы 
(от крайней клетки до всех). Если в каких-то двух строчках нашлись два равных
расстояния, то 
точки образуют параллелограмм, потому такого быть не может. Отсюда каждое расстояние встречается не более одного
раза (рассматривая только 
различных из каждой строки). То есть 
— сумма числа расстояний по всем строкам и
Осталось привести пример. Для этого выберем все клетки на большой диагонали и на любой из смежных с ней
сторон.
