Всесиб - задания по годам → .08 Всесиб 2022

Если рыцарей нет, то все говорящие врут, так как не является делителем какого-либо натурального числа.

Если рыцари есть, то пусть первый рыцарь имеет номер Тогда число рыцарей является делителем числа но не будет являться делителем чисел поскольку до него все лгали. Легко видеть, что тогда число рыцарей равно Тогда ему кратны только числа Здесь Ровно на этих позициях и только на них и должны стоять рыцари, откуда всего их будет Имеем Под это условие подходит только В качестве примера достаточно поставить рыцарей на позиции

Пусть где — некоторая перестановка чисел Тогда

Если то

Отсюда следует, что делится на 9.

Одна из двух различных цифр ненулевая, поэтому

Значит,

Вспомним, что — некоторая перестановка чисел поэтому сумма всех цифр равна — нечётна. Тогда

Следовательно, цифра чётна, а цифра — нечётная цифра.

Вычтем первое уравнение из второго и третьего, получим:

Подставим выражения в первое уравнение, получим

Одним из его корней является поэтому

Дискриминант второй скобки отрицателен, поэтому единственным действительным корнем кубического уравнения и решением исходной системы является Тогда

Пойдём с конца. Последнее число забавной перестановки либо больше, либо меньше всех чисел множества следовательно, оно равно 1 или Предпоследнее число забавной перестановки либо больше, либо меньше всех чисел множества кроме то есть это наименьший или наибольший элемент во множестве или во множестве В каждом из случаев есть ровно две возможности выбора, варианты для двух последних чисел перестановки выглядят так Несложно убедиться, что при любом первые чисел перестановки образуют интервал из подряд идущих чисел из множества а число является в этом интервале минимальным или максимальным — всего две возможности, кроме самого первого числа для которого остаётся единственная возможность. Всего получаем ровно возможностей выбора.

Обозначим точку пересечения отрезков и за Отметим на луче точку такую, что является серединой отрезка

Диагонали и четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, поэтому он является параллелограммом, его стороны и параллельны и то есть а

В треугольнике следовательно, треугольники и подобны. Их соответствующие стороны и перпендикулярны, а отрезки и являются медианами этих треугольников, проведёнными к соответствующим сторонам, поэтому тоже перпендикулярны.

По условию, все числа неотрицательны и не превосходят 1 следует, что их попарные суммы не больше 2. Заменим в знаменателе каждой дроби левой части неравенства 2 на соответствующую сумму, от чего каждый знаменатель не увеличится и неравенство усилится. Получим: