Тема Всесиб (Всесибирская открытая олимпиада школьников)

Всесиб - задания по годам → .10 Всесиб 2024

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела всесиб (всесибирская открытая олимпиада школьников)

Разделы подтемы Всесиб - задания по годам

Всесиб 2015 и ранее

Всесиб 2016

Всесиб 2017

Всесиб 2018

Всесиб 2019

Всесиб 2020

Всесиб 2021

Всесиб 2022

Всесиб 2023

Всесиб 2024

Всесиб 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#80744

Какое максимальное количество простых чисел можно записать, использовав каждую из десяти цифр от 0 до 9 ровно по одному разу?

Источники: Всесиб-2024, 11.1 (см. sesc.nsu.ru)

Показать ответ и решение

Последними цифрами простых чисел могут быть только $1,2,3,5,7,9$ . Значит, использовав каждую из десяти цифр от $0$ до $9$ по одному разу, больше шести простых чисел мы получить не сможем.

6 простых чисел уже может быть:

2,3,5,67,89,401

Ответ: 6

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#80745

Найти все множества $X$ , состоящие из различных натуральных чисел от 1 до 50 такие, что: 1) X содержит не все числа от 1 до 50, но не меньше трёх из них, 2) X содержит числа 1 и 50, 3) для любых трёх чисел $x< y < z$ из X число $x− y+ z$ также принадлежит X.

Источники: Всесиб-2024, 11.2 (см. sesc.nsu.ru)

Показать ответ и решение

Отсортируем числа из множества $X$ по возрастанию:

x1 < x2 <x3 <...<xk

Для любых трех последовательных чисел $xi < xi+1 <xi+2$ число $xi+xi+2− xi+1$ по условию лежит в $X$ . Но

x < x+ x − x < x i i i+2 i+1 i+2

Тогда это число должно равняться $xi+1$ , откуда $xi+1 = xi+xi+2 2$ . В силу произвольности выбора номера $i$ получаем, что каждое число является средним арифметическим двух его соседей, но тогда это арифметическая прогрессия.

По условию числа $1,50∈ X$ , то есть $50= xk = x1+(k− 1)⋅d= 1+(k− 1)⋅d$ , где $d$ - разность прогрессии.

$(k− 1)⋅d= 49$ и в силу того, что $50> k> 2$ , а $d$ натуральное. Имеем единственное решение $k= 8,d =7$ .

Ответ:

$X = {1,8,15,22,29,36,43,50}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#80746

Пусть длины сторон треугольника являются натуральными числами $a,b,c$ , и одна из его высот равна сумме двух других. Доказать, что число $2 2 2 a + b+ c$ является точным квадратом (натурального числа).

Источники: Всесиб-2024, 11.3 (см. sesc.nsu.ru)

Показать доказательство

Пусть $S$ — площадь треугольника, а $h,h ,h a b c$ — высоты к сторонам $a,b,c$ соответственно.

Из формулы площади треугольника имеем, что

2S 2S 2S ha = a-,hb = b-,hc =-c

Без ограничения общности будем считать, что $ha = hb+hc$ . Тогда

1 1 1 a = b +c

Откуда $bc= ac+ ab$ . Но тогда $2bc= 2ac+2ab$ и можно сказать, что

a2+ b2 +c2 = a2+ b2+ c2+2bc− 2ac− 2ab= (b+ c− a)2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#80747

Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ и продолжение стороны $DC$ за точку $C$ в точках $K$ и $M$ соответственно, как показано на рисунке:

$PIC$

Доказать, что центр описанной окружности треугольника $KCM$ лежит на описанной окружности треугольника $BCD$ .

Источники: Всесиб-2024, 11.4 (см. sesc.nsu.ru)

Показать доказательство

Так как $AK$ — биссектриса, то $∠BAK = ∠DAK = α$ . В силу параллельности $BC ||AD$ и $AB ||CD$ также $∠BKA =∠KMC = α$ .

Пусть $O$ — центр окружности, описанной около $MCK$ . Тогда $OC ⊥ KM$ , так как $MCK$ — равнобедренный треугольник. Откуда $∘ ∠MCO = ∠KCO = 90 − α$ .

$PIC$

Также равнобедренными будут треугольники $KOC$ ( $KO =OC$ как радиусы) и $ABK$ (углы $∠BAK$ и $∠BKA$ равны по вышесказанному). Значит,

∠BKO = 180∘ − ∠OKC = 180∘− ∠MCO =∠OCD

Тогда $△BKO = △DCO$ по двум сторонам и углу между ними, потому что $BK =AB = CD$ , радиусы $OK =OC$ , а углы $∠BKO = ∠OCB.$

Следовательно, $∠OBC = ∠ODC$ и тогда точки $O,B,C,D$ лежат на одной окружности.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#80748

У вредного Васи есть клетчатая полоска длины 13 клеток и лента длины $N≥ 13$ клеток, каждая шириной в одну клетку. Вася хочет разрезать полоску на кусочки произвольной длины из нескольких целых клеток по своему усмотрению, а затем уложить часть из них на ленту в некотором порядке так, чтобы в какой-то момент осталось не менее одного кусочка, ни один из которых уложить уже нельзя. При этом кусочки укладываются строго по клеткам и не могут выходить за пределы ленты, ни одна клетка не должна быть накрыта ими дважды и, если на ленте есть место, куда можно уложить очередной кусочек, Вася должен уложить его в одно из таких мест по своему выбору. При каком минимальном N, как бы Вася ни старался, ему не удастся задуманное, то есть придётся уложить все кусочки?

Источники: Всесиб-2024, 11.5 (см. sesc.nsu.ru)

Показать ответ и решение

Заметим, что если в какой-то ход Васи осталось больше одного кусочка, а оставшиеся поместить нельзя, то можно рассмотреть разрезание, где все эти кусочки объединяются в один, а другие выкладываются на ленту тем же образом. Понятно, что такой кусок-склейка также не будет помещаться.

Значит, можно без ограничения общности предположить, что у Васи должен остаться ровно один кусок, который нельзя поместить. Пусть его длина $x$ , а количество положенных кусочков равно $k$ . Тогда $x+ k≤ 13$ , при этом длина полосы $N ≤ (x − 1)⋅(k+1)+ 13− x$ , так как $13 − x$ - количество клеточек занятых остальными кусочками, а $k+ 1$ - количество ’зазоров’, в которые теоретически мы могли поместить кусок длины $x$ , но он не поместился, так как размеры зазоров не превосходят $(x− 1)$ .

Тогда Вася достигает своей цели при

N ≤(x− 1)⋅(k+ 1)+13− x≤ (x− 1)⋅(14− x)+ 13− x =

= −x2+ 14x− 1≤ −72+ 14⋅7− 1 =48

То есть если $N ≥ 49$ , то Вася не сможет выполнить задуманное.

А при $N < 49$ Васе достаточно разрезать полоску на $6$ кусков размера $1$ и $1$ кусок размера $7$ , при этом расположить $6$ кусков размера $1$ он должен на расстояний не более $6$ клеток друг от друга и от концов. (Чего он сможет достичь, так как $N ≤ 6⋅7+ 6$ )

Ответ: 49

Предыдущая подтема

Следующая подтема