Тема Всесиб (Всесибирская открытая олимпиада школьников)

Всесиб - задания по годам → .10 Всесиб 2024

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела всесиб (всесибирская открытая олимпиада школьников)

Разделы подтемы Всесиб - задания по годам

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#80744Максимум баллов за задание: 7

Какое максимальное количество простых чисел можно записать, использовав каждую из десяти цифр от 0 до 9 ровно по одному разу?

Источники: Всесиб-2024, 11.1 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если мы понимаем, что простые числа наши составляют все цифры от 0 до
9, то что можно сказать, касаемо того, какие цифры могут стоять на конце? Это ведь может дать нам оценку на количество чисел.

Подсказка 2

Последней цифрой может быть только 1,2,3,5,7,9. Значит, чисел не больше 6. Попробуйте построить пример на 6, и тогда задача будет решена.

Показать ответ и решение

Последними цифрами простых чисел могут быть только $1,2,3,5,7,9$ . Значит, использовав каждую из десяти цифр от $0$ до $9$ по одному разу, больше шести простых чисел мы получить не сможем.

6 простых чисел уже может быть:

2,3,5,67,89,401

Ответ: 6

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#80745Максимум баллов за задание: 7

Найти все множества $X$ , состоящие из различных натуральных чисел от 1 до 50 такие, что: 1) X содержит не все числа от 1 до 50, но не меньше трёх из них, 2) X содержит числа 1 и 50, 3) для любых трёх чисел $x< y < z$ из X число $x− y+ z$ также принадлежит X.

Источники: Всесиб-2024, 11.2 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте упорядочить все взятые числа, для фиксированного, подходящего под условия набора и посмотреть на три подряд идущих числа. Что можно сказать?

Подсказка 2

Если у нас есть три подряд идущих числа x, y, z: x < y < z, то число x + z - y, которое больше x, но меньше z, то оно равно y. Что же это значит?

Подсказка 3

Это значит, что y = (x + z)/2, а это критерий арифметической прогрессии. Значит, наш набор - это арифметическая прогрессия. Что мы можем тогда сказать, если она начинается с 1, а заканчивается 50?

Подсказка 4

Это значит, что 49 делится на разность между соседними членами. И либо это 1, либо 7, либо 49. Все варианты нам подходят или нет?

Показать ответ и решение

Отсортируем числа из множества $X$ по возрастанию:

x1 < x2 <x3 <...<xk

Для любых трех последовательных чисел $xi < xi+1 <xi+2$ число $xi+xi+2− xi+1$ по условию лежит в $X$ . Но

x < x+ x − x < x i i i+2 i+1 i+2

Тогда это число должно равняться $xi+1$ , откуда $xi+1 = xi+xi+2 2$ . В силу произвольности выбора номера $i$ получаем, что каждое число является средним арифметическим двух его соседей, но тогда это арифметическая прогрессия.

По условию числа $1,50∈ X$ , то есть $50= xk = x1+(k− 1)⋅d= 1+(k− 1)⋅d$ , где $d$ - разность прогрессии.

$(k− 1)⋅d= 49$ и в силу того, что $50> k> 2$ , а $d$ натуральное. Имеем единственное решение $k= 8,d =7$ .

Ответ:

$X = {1,8,15,22,29,36,43,50}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#80746Максимум баллов за задание: 7

Пусть длины сторон треугольника являются натуральными числами $a,b,c$ , и одна из его высот равна сумме двух других. Доказать, что число $2 2 2 a + b+ c$ является точным квадратом (натурального числа).

Источники: Всесиб-2024, 11.3 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам нужно как-то записать условие на то, что одна высота равна сумме двух других. Через что тогда можно выразить высоту, чтобы равенство не хотелось сразу стереть из-за его громоздкого вида?

Подсказка 2

Верно, через площадь треугольника и сторону. Тогда наше равенство будет выглядеть как 2S/a = 2S/b + 2S/c => 1/a = 1/b + 1/c => bc = ab + ac. Если мы хотим сказать, что сумма квадратов сторон равна точному квадрату, то давайте подумаем какому конкретно квадрату это может быть равно(квадрат, который выражен через a,b,c).

Подсказка 3

Действительно, подходит квадрат (b + c - a)^2, ведь раскрывая скобки, мы получим, что a^2 + b^2 + c^2 + 2bc - 2ab - 2ac = a^2 + b^2 + c^2, так как bc = ab + ac. Что и требовалось доказать.

Показать доказательство

Пусть $S$ — площадь треугольника, а $h,h ,h a b c$ — высоты к сторонам $a,b,c$ соответственно.

Из формулы площади треугольника имеем, что

2S 2S 2S ha = a-,hb = b-,hc =-c

Без ограничения общности будем считать, что $ha = hb+hc$ . Тогда

1 1 1 a = b +c

Откуда $bc= ac+ ab$ . Но тогда $2bc= 2ac+2ab$ и можно сказать, что

a2+ b2 +c2 = a2+ b2+ c2+2bc− 2ac− 2ab= (b+ c− a)2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#80747Максимум баллов за задание: 7

Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ и продолжение стороны $DC$ за точку $C$ в точках $K$ и $M$ соответственно, как показано на рисунке:

$PIC$

Доказать, что центр описанной окружности треугольника $KCM$ лежит на описанной окружности треугольника $BCD$ .

Источники: Всесиб-2024, 11.4 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Когда в параллелограмме проведена биссектриса, так и хочется поискать равнобедренные треугольники. Видно, что △KCM — равнобедренный. С чем тогда хочется соединить центр О описанной окружности △KCM?

Подсказка 2

Верно, с точкой C! Тогда OC будет серединным перпендикуляром к KM. Но ведь не любая точка на нём будет центром окружности, поэтому надо как-то еще попользоваться ей. Предлагаю отметить, что OK=OC. А как нам подобраться к описанной окружности △BCD?

Подсказка 3

Можно попытаться доказать, что уголочки ∠OBC и ∠ODC равны. Какие у нас есть для этого инструменты? В самом удачном случае мы просто найдем равные треугольнички... У нас уже есть равенство отрезков OK и OC, поэтому можно попытаться установить равенство △BOK и △DOC...

Подсказка 4

Равенство сторон BK и DC следует из равнобедренности △ABK. Осталось лишь показать, что уголки ∠BKO и ∠DCO равны. Посмотрите на смежные им уголки и завершите решение!

Показать доказательство

Так как $AK$ — биссектриса, то $∠BAK = ∠DAK = α$ . В силу параллельности $BC ||AD$ и $AB ||CD$ также $∠BKA =∠KMC = α$ .

Пусть $O$ — центр окружности, описанной около $MCK$ . Тогда $OC ⊥ KM$ , так как $MCK$ — равнобедренный треугольник. Откуда $∘ ∠MCO = ∠KCO = 90 − α$ .

$PIC$

Также равнобедренными будут треугольники $KOC$ ( $KO =OC$ как радиусы) и $ABK$ (углы $∠BAK$ и $∠BKA$ равны по вышесказанному). Значит,

∠BKO = 180∘ − ∠OKC = 180∘− ∠MCO =∠OCD

Тогда $△BKO = △DCO$ по двум сторонам и углу между ними, потому что $BK =AB = CD$ , радиусы $OK =OC$ , а углы $∠BKO = ∠OCB.$

Следовательно, $∠OBC = ∠ODC$ и тогда точки $O,B,C,D$ лежат на одной окружности.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#80748Максимум баллов за задание: 7

У вредного Васи есть клетчатая полоска длины 13 клеток и лента длины $N≥ 13$ клеток, каждая шириной в одну клетку. Вася хочет разрезать полоску на кусочки произвольной длины из нескольких целых клеток по своему усмотрению, а затем уложить часть из них на ленту в некотором порядке так, чтобы в какой-то момент осталось не менее одного кусочка, ни один из которых уложить уже нельзя. При этом кусочки укладываются строго по клеткам и не могут выходить за пределы ленты, ни одна клетка не должна быть накрыта ими дважды и, если на ленте есть место, куда можно уложить очередной кусочек, Вася должен уложить его в одно из таких мест по своему выбору. При каком минимальном N, как бы Вася ни старался, ему не удастся задуманное, то есть придётся уложить все кусочки?

Источники: Всесиб-2024, 11.5 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем себе немножко упростить задачу и посмотреть на финальный шаг, когда Вася не может уложить ни один из своих кусков, можно ли как-то без ограничения общности заменить их?

Подсказка 2

Да, давайте скажем, что в конце у Васи остался ровно 1 кусок длины x, и он положил до этого k отрезков. Давайте тогда попробуем как-то оценить N, интуитивно должно казаться, что длина каждого из k кусочков должна быть как можно меньше, и они должны выступать в качестве ограничителей для нашего кусочка x.

Подсказка 3

Если всё ещё не получается получить оценку, то не расстраивайтесь и подумайте, какое наибольшее расстояние может быть между двумя соседними кусочками, чтобы между ними не поместился кусок x, а сколько таких промежутков, куда можно в теории положить x (не забудьте, что лента по краям тоже ограничена), а также не забудьте про сами k кусочков, они тоже занимают место на ленте.

Подсказка 4

Мы получили, что N ≤ (x-1)(k+1) + (13-x) ≤ 48, остаётся только придумать пример, когда N=48 (потому что для меньших свойство о непокрываемости), и радоваться решённой задаче!

Показать ответ и решение

Заметим, что если в какой-то ход Васи осталось больше одного кусочка, а оставшиеся поместить нельзя, то можно рассмотреть разрезание, где все эти кусочки объединяются в один, а другие выкладываются на ленту тем же образом. Понятно, что такой кусок-склейка также не будет помещаться.

Значит, можно без ограничения общности предположить, что у Васи должен остаться ровно один кусок, который нельзя поместить. Пусть его длина $x$ , а количество положенных кусочков равно $k$ . Тогда $x+ k≤ 13$ , при этом длина полосы $N ≤ (x − 1)⋅(k+1)+ 13− x$ , так как $13 − x$ - количество клеточек занятых остальными кусочками, а $k+ 1$ - количество ’зазоров’, в которые теоретически мы могли поместить кусок длины $x$ , но он не поместился, так как размеры зазоров не превосходят $(x− 1)$ .

Тогда Вася достигает своей цели при

N ≤(x− 1)⋅(k+ 1)+13− x≤ (x− 1)⋅(14− x)+ 13− x =

= −x2+ 14x− 1≤ −72+ 14⋅7− 1 =48

То есть если $N ≥ 49$ , то Вася не сможет выполнить задуманное.

А при $N < 49$ Васе достаточно разрезать полоску на $6$ кусков размера $1$ и $1$ кусок размера $7$ , при этом расположить $6$ кусков размера $1$ он должен на расстояний не более $6$ клеток друг от друга и от концов. (Чего он сможет достичь, так как $N ≤ 6⋅7+ 6$ )

Ответ: 49

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#136013Максимум баллов за задание: 7

Найти все решения в действительных числах системы уравнений

{ x − 1 = 8 y1 x8 y− x = y

Источники: Всесиб - 2024, 10.1 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумайте, на что было бы удобно домножить оба уравнения системы, чтобы избавиться от знаменателей.

Подсказка 2

Может, стоит попробовать xy?

Подсказка 3

Обратите внимание, что в получившихся после домножения уравнениях есть несколько подобных членов. А какие методы решения систем уравнений Вы знаете?

Подсказка 4

Например, можно сложить уравнения или вычесть из одного другое.

Подсказка 5

Исходная система уравнений — симметричная. Какими тогда должны быть x и y?

Показать ответ и решение

Умножим обе части системы на $xy$

{ x2y− x− 8y =0 xy2− y− 8x =0

Вычтем из первого уравнение второе

x2y− xy2− x− 8y+ 8x +y =0

xy(x− y)+7(x− y)=0

(x− y)(xy+ 7)= 0

Откуда или $x= y,$ или $xy = −7.$ Этим двум случаем соответствуют решения $x = y = ±3$ или $√ - √ - (x,y)=(± 7,∓ 7)$

Ответ:

$(±3,±3),$ $(±√7,∓√7-)$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#136014Максимум баллов за задание: 7

У Васи есть набор из девяти единичных кубиков, у каждого из которых на всех шести гранях записаны в некотором порядке буквы М, А, Т, Е, И, К, по одной на каждой грани. Порядок букв на разных кубиках может отличаться. Кубики можно прикладывать друг к другу гранями, если на них написаны одинаковые буквы. Сможет ли Вася хоть для какого-то набора кубиков сложить из них параллелепипед высоты и ширины 1 и длины 9 так, чтобы на каждой его грани длины 9 были записаны буквы М, А, Т, Е, М, А, Т, И, К в некотором порядке?

Источники: Всесиб - 2024, 10.2 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посчитайте, сколько раз будет встречаться какая-то из букв М, А, Т на длинных гранях параллелепипеда.

Подсказка 2

А теперь на торцевых гранях.

Подсказка 3

Заметьте, что количество букв, которые мы рассматриваем, нечетное, а общее количество букв на кубиках должно быть четным.

Показать ответ и решение

Первое решение.

Заметим, что на $9$ кубиках буквы М, А, Т встречаются $9$ раз, а на каждой из четырёх граней длиной $9$ эти буквы встречаются по $2$ раза, то есть всего $8$ раз каждая. Тогда получается, что на каких-то из граней $1×1,$ внутренне примыкающих или внешних, по одной букве М, А, Т. Но кубики не могут по ним примыкать друг к другу, а значит, это кубики на внешней грани ширины $1,$ но таких граней $2,$ а букв $3,$ противоречие. Значит, такого не бывает.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

В слове М А Т Е М А Т И К буквы М, А, Т встречаются ровно по два раза, а буквы Е, И, К — по одному. Всего на 9 кубиках Е, И, К встретятся по 9 раз каждая. Если нужный Васе параллелепипед будет-таки сложен, то на четырёх его гранях длины 9 каждая из этих букв встретится по 4 раза, и ещё чётное количество раз — на прикладываемых друг к другу гранях, то есть всего чётное количество раз. Следовательно, каждая из букв Е, И, К должна встретиться хотя бы раз на торцевых гранях параллелепипеда размера 1 на 1. Но торцевых граней всего две, а букв Е, И, К — три, противоречие. Следовательно, искомый в условии параллелепипед сложить нельзя ни для какого набора из 9 кубиков.

Ответ: Нельзя

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#136035Максимум баллов за задание: 7

Пусть $A = 44 ...44$ — натуральное число, записанное $2n$ четвёрками, и $B = 88...88$ — натуральное число, записанное $n$ восьмерками, где $n$ — произвольное натуральное число. Докажите, что число $A− B$ является точным квадратом натурального числа.

Источники: Всесиб - 2024, 10.3 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так, разность каких-то больших чисел должна быть равна квадрату какого-то неизвестного числа... А что это за число? Вероятно, оно имеет какой-то общий вид для всех n.

Подсказка 2

Попробуйте рассмотреть искомую разность для маленьких n. Квадрат каких чисел получается?

Подсказка 3

Получается, что при n=1 A-B=6², при n=2 A-B=66². Хм, это совпадение, что получились квадраты чисел, состоящих из шестерок?

Подсказка 4

Попробуем доказать, что наша разность — это квадрат числа, состоящего из n шестёрок. Для этого надо как-нибудь преобразовать A-B...

Подсказка 5

На самом деле, и A, и B делятся на число 44...44, содержащее n четверок. Вынесите это число за скобку, останется только аккуратно сгруппировать множители!

Показать доказательство

Лемма.

1◟.. ◝.◜1 ◞= 1◟. ◝..◜1 ◞⋅1◟00◝..◜.01◞ 2n n n+1

Доказательство.

( ) 1◟-..◝◜.1◞⋅1◟00.◝.◜.01◞= 1◟. ◝.◜.1 ◞⋅(10◟0.◝.◜.00◞+1) = n n+1 n n+1

= 1◟. ◝.◜n.1 ◞0◟-..◝◜n.0◞+1◟..◝◜n.1◞=1◟-..◝2n.◜1 ◞

Заметим, что

A =4...4 =4 ⋅1...1= 4⋅1...1⋅100...01 ◟2◝◜n ◞ ◟ ◝◜2n ◞ ◟◝n◜◞ ◟ ◝n+◜1 ◞

При этом

B = 8◟⋅ ◝⋅◜⋅8 ◞ =2⋅4⋅1◟..◝◜.1◞ n n

Исходя из этого, преобразуем данную разность:

A− B =4◟⋅⋅◝◜⋅4◞− 8◟⋅⋅◝◜⋅8◞=4 ⋅1◟-..◝◜.1◞⋅1◟00.◝.◜.01◞−2 ⋅4 ⋅1◟-..◝◜.1◞= 2n n n n+1 n

( ) = 4⋅1◟.. ◝.◜1 ◞⋅(1◟00..◝◜.01◞−2) =4 ⋅1◟..◝◜.1◞⋅9◟..◝◜.9◞= n n+1 n n

2 2 2 = 4⋅1◟.. ◝n.◜1 ◞⋅9⋅1◟..◝◜n.1◞=6 ⋅1◟..◝◜n.1◞ =6◟..◝◜n.6◞

Итак, получается,

2 A− B =6◟..◝◜n.6◞

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#136036Максимум баллов за задание: 7

Из шести пар братьев нужно составить три команды по 4 человека так, чтобы ни в одной команде не было никаких двух братьев. Сколькими различными способами это можно сделать? Спортсмены из разных пар не являются братьями.

Источники: Всесиб - 2024, 10.4 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В комбинаторике мы часто встречаем задачи, где нужно разбить людей на группы. Но в нашей ситуации возникает дополнительное ограничение — нельзя объединять родных братьев в одну команду. Как это повлияет на подбор состава команд?

Подсказка 2

Тут мы выбираем не человека, а пару братьев, из которой кто-то войдёт в эту команду. Мы не просто берём четырёх человек сразу, а сначала определяемся с четырьмя парами братьев, из которых затем выберем представителей для команды. Сколько существует способов выбрать такие четыре пары из имеющихся шести?

Подсказка 3

Верно, это просто число сочетаний из 6 по 4! Теперь важно учесть, что для каждой пары есть два способа выбрать, какой именно брат войдет в состав команды. Сколько в таком случае способов собрать состав для первой команды?

Подсказка 4

Получается 15 ⋅ 2⁴ вариантов для первой команды. Осталось только аналогичным способом подобрать вторую команду из оставшихся ребят и не забыть учесть разбиения, которые мы посчитали несколько раз.

Показать ответ и решение

Для начала посчитаем количество способов собрать первую команду. Нам нужно выбрать 4 пары братьев из шести, а потом из каждой из выбранных пар выбрать брата, который войдёт в состав первой команды. Есть $4 C 6$ способа выбрать 4 пары братьев, и для каждой пары есть по 2 способа выбрать одного из двух братьев. Таким образом, способов собрать первую команду $4 4 C6 ⋅2 =240.$

Теперь посчитаем количество способов собрать вторую команду. В этой команде обязательно должно быть по одному из братьев из пар, которые не вошли в первую команду. Остальных двух человек мы выбираем из пар, где второй брат уже состоит в первой команде. В итоге получается $2 2⋅2⋅C4 =24$ сбособа.

В третью же команду попадают все оставшиеся ребята. При этом заметим, что мы несколько раз посчитали одни и те же разбиения на команды, только присвоили им разную нумерацию от 1 до 3. Это значит, что общее число способов нужно поделить на 3! Итак, искомое число способов равно:

240⋅24 --3!--= 960

Ответ: 960

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#136037Максимум баллов за задание: 7

В параллелограмме $ABCD$ выбрана точка $P$ такая, что угол $ABP$ вдвое больше угла $ADP,$ а угол $DCP$ вдвое больше угла $DAP.$ Доказать, что длины отрезков $AB,$ $BP$ и $CP$ равны.

Источники: Всесиб - 2024, 10.5 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам известно, что некоторые углы на чертеже в два раза больше других. Но как это может нам помочь? Для чего это вообще дано? Вспомните, какие есть геометрические конструкции, в которых одни углы в два раза больше других.

Подсказка 2

Посмотрим на окружность: в ней центральные углы в два раза больше вписанных. Давайте и в нашей задаче построим какую-нибудь окружность так, чтобы "маленькие" углы были для неё вписанными.

Подсказка 3

Рассмотрим окружность, описанную около треугольника ADP, а также её центр. Поотмечайте уголочки и найдите равные.

Подсказка 4

Так, есть равнобедренные треугольники и равные углы, но что с этим делать? Вот было бы удобно, если бы ABPM был параллелограммом... Постойте, а если это действительно так?

Подсказка 5

Постройте параллелограмм ABPO и докажите, что точки O и M совпадают. Тогда останется только отметить равные стороны и радоваться решённой задаче!

Показать доказательство

Пусть $∠ADP =x,$ $∠DAP =y.$ Проведем из точки $P$ отрезок $PO,$ параллельный и равный стороне $AB$ так, чтобы образовались два параллелограмма $ABP O$ и $OPCD.$

$PIC$

Рассмотрим описанную окружность треугольника $ADP$ с центром $M.$ Угол $ADP$ равен $x$ и является вписанным, тогда $∠AOP =2x.$ Следовательно, точка $O$ принадлежит описанной окружности треугольника $AP M.$ Аналогично, точка $O$ принадлежит описанной окружности треугольника $DP M,$ следовательно, $O$ является пересечением этих окружностей и совпадает с $M.$ Тогда длины отрезков $AB,$ $BP$ и $CP$ совпадают с длиной радиусов $MP,$ $MA$ и $MD$ описанной окружности треугольника $ADP$ и равны между собой.

Предыдущая подтема

Следующая подтема