Тема Всесиб (Всесибирская открытая олимпиада школьников)

Всесиб - задания по годам → .05 Всесиб 2019

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела всесиб (всесибирская открытая олимпиада школьников)

Разделы подтемы Всесиб - задания по годам

Всесиб 2015 и ранее

Всесиб 2016

Всесиб 2017

Всесиб 2018

Всесиб 2019

Всесиб 2020

Всесиб 2021

Всесиб 2022

Всесиб 2023

Всесиб 2024

Всесиб 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#49001

В прямоугольном треугольнике $ABC$ точка $M$ – середина гипотенузы $BC$ , а точки $P$ и $T$ делят катеты $AB$ и $AC$ в отношении $AP :PB = AT :TC = 1:2.$ Обозначим за $K$ точку пересечения отрезков $BT$ и $PM$ , за $E$ – точку пересечения отрезков $CP$ и $MT$ , и за $O$ — точку пересечения отрезков $CP$ и $BT.$ Доказать, что четырёхугольник $OKME$ вписанный.

Источники: Всесиб-2019, 11.4 (см. sesc.nsu.ru)

Показать ответ и решение

$PIC$

Так как $AP :PB = AT :TC = 1:2$ , то $PT ∥BC$ по обратной теореме Фалеса, тогда из подобия треугольников $PT :BC = 1:3.$

Так как из подобия соответствующих треугольников $TE- PT- EM = CM$ и $PT- PK- BM = KM$ , то с учётом $CM =BM$ по обратной теореме Фалеса получаем $KE ∥BC$ и $∠OKE = ∠OBC.$

Теперь обозначим середину $TC$ как $D$ . Тогда $MD ∥BT$ как средняя линия и $∠OKE = ∠OBC = ∠DMC$ . Так как $AMC$ равнобедренный и $AC- TC- AT = 3 = 2 =DC$ , то $∠AMT = ∠MDC =∠OKE$ , что означает вписанность четырёхугольника $OKME.$

Ответ:

что и требовалось доказать

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#61460

Про число $N$ известно, что оно равно произведению десяти простых чисел (не обязательно различных). Кроме того, оказалось, что если каждый из этих десяти множителей увеличить на единицу, то полученное произведение будет делиться на $N$ . Чему может быть равно $N?$

Источники: Всесиб-2019, 8.2 (см. sesc.nsu.ru)

Показать ответ и решение

Рассмотрим наибольший простой делитель $p$ числа $N.$

Если $p> 3$ , то все остальные делители меньше его хотя бы на $2$ (иначе есть чётное просто число больше двойки).

После увеличения всех простых множителей на $1$ получатся:

$p+ 1$ : это не кратно $p$ , ведь $p+1-=1 + 1 p p$ , а $1< p.$
любое другое простое после увеличения на $1$ будет меньше $p$ (ведь изначально оно было меньше $p$ хотя бы на $2$ ), значит, также не кратно $p$ .

Отсюда заключаем, что случай $p >3$ невозможен, поскольку новое число не поделится на $p$ и соответственно не поделится на $N.$

Тогда можно представить $N$ в виде $N =2k⋅310− k$ . Увеличим все простые множители на $1$ , получим $3k ⋅410−k = 3k⋅220−2k$ , по условию это кратно $2k ⋅310−k$ .

Значит, $20 − 2k≥ k,k≥ 10 − k ⇐ ⇒ k ∈[5,20∕3]$ . Подходят только $k∈ {5;6}$ . Осталось привести пример этих чисел и написать ответ.

Ответ:

$25⋅35,26⋅34$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#79772

Найти все натуральные числа $n$ , которые можно представить в виде суммы

n = x+ y+(x,y)+ [x,y]

для некоторых натуральных чисел $x$ и $y.$

Здесь $(x,y)$ и $[x,y]$ обозначают наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел $x$ и $y$ соответственно.

Показать ответ и решение

Первое решение.

Если оба числа $x$ и $y$ одной четности, то все четыре слагаемых $x, y, (x, y)$ и $[x, y]$ имеют ту же четность и их сумма четна. Если они имеют разную четность, то $(x, y)$ нечетно, а $[x, y]$ четно, потому в сумме будет два четных и два нечетных числа и она снова будет четна. Каждое ее слагаемое не меньше одного, поэтому вся сумма не меньше $4.$ Следовательно, ответом задачи может быть только четное число больше двух.

С другой стороны, для произвольного четного $n> 2$ положив $n x= 1, y = 2 − 1,$ получим $(x,y)= x= 1$ и $n [x, y]= y = 2 − 1,$ откуда $x +y+ (x, y)+[x, y]=n$ — представляется в требуемом в условии виде.

Второе решение.

Если обозначить $(x, y)= d,$ то

x =x1d, y =y1d, [x, y]= x1y1d,

где $x1, y1$ взаимно просты, значит, одно из них обязательно нечетно. Тогда

n= x+ y+(x, y)+ [x, y]= d(1+ x1)(1+ y1),

где обе скобки не меньше $2$ и одна из них обязательно четна. Следовательно, ответом задачи может быть только четное число, большее двух. Далее все как в первом решении.