Всесиб - задания по годам → .04 Всесиб 2018

Пусть длины сторон Они положительные (как длины сторон) и целые (по условию), значит, натуральные. Сумма объёма, длин всех рёбер и площадей всех граней равна то есть:

Правая часть является произведение простых чисел и так что по основной теореме арифметики следует, что это единственное разложение данного числа в произведение трёх натуральных чисел, больших единицы, и одно из них равно Однако левая часть уравнения является произведением трёх натуральных чисел, каждое из которых не меньше трёх, что приводит к противоречию. Следовательно, равенство из условия задачи невозможно.

Проведем перпендикуляр к так, чтобы лежало на окружности и отметим середину как . Тогда (так как вписанный по построению) . — средняя линия треугольника и поэтому . Пусть пересекает в точке . Так как , то , и значит, точки и совпадают.

Итак, независимо от выбора точки на окружности описанная в условии прямая проходит через фиксированную точку - середину отрезка на восставленном из точки перпендикуляре, продолженном до пересечения с окружностью.

Докажем, что Андрей может выпить литра сока, как бы ни действовала Маша, и покажем, что Маша может ходить так, что тоже выпьет литра.

Предположим, Андрей выпил менее литров, то есть смог сделать не более ходов. Тогда Маша сделала не более ходов. Значит, на данный момент выпито не более то есть не выпито хотя бы мл сока.

С другой стороны, так как объёмы всех ёмкостей делятся на то и количество оставшегося сока в каждой упаковке делится на Если Андрей не может сделать ход, то оно не превосходит мл в каждой упаковке, но тогда сока осталось не более мл. Значит, Андрей при любых обстоятельствах сможет сделать ходов.

Докажем, что Маша тоже может выпить литра сока, как бы ни действовал Андрей. Пусть Маша ходит второй и наполняет оба стакана тем же соком, что и Андрей в свой ход. Тогда за одну пару ходов они выпивают мл из упаковки, и после ходов в этой упаковке останется мл сока, которые Андрей выпить не может, а Маша может. За хода Маша выпивала на каждом на мл меньше, чем Андрей, т.е. в итоге выпила на меньше, что компенсирует, допивая последнее из этой пачки. Таким образом, если она ходит второй, то может выпить по крайней мере половину всего.

Если она ходит первой, то пусть первым ходом выпивает из каждой пачки по мл, а затем повторяет ходы. Аналогичными рассуждениями, в каждой пачке в конце остаётся мл (если в какой-то больше, то Андрей пока ещё ходит туда), что Маша допьёт и компенсируем разницу в выпитом до нуля.

Значит, никто не может обеспечить себе победу.

Воспользуемся тем, что и распишем искомое выражение следующим образом:

По условию получается: