Тема Всесиб (Всесибирская открытая олимпиада школьников)

Всесиб - задания по годам → .04 Всесиб 2018

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела всесиб (всесибирская открытая олимпиада школьников)

Разделы подтемы Всесиб - задания по годам

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#32933Максимум баллов за задание: 7

Может ли сумма объёма, длин всех рёбер и площадей всех граней некоторого прямоугольного параллелепипеда, длины рёбер которого являются целыми числами, равняться $866?$

Источники: Всесиб-2018, 11.3 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте для начала введём неизвестные (скажем, стороны это a,b,c) и попробуем записать сумму из условия через эти неизвестные. По условию эта сумма равна 866

Подсказка 2

Так, Вы должны были получить abc+4(a+ b+c)+ 2(ab+ bc+ ac)=866. Теперь полезно разложить на множители левую часть уравнения. Нужно добавить такое число, чтобы левая часть хорошо свернулась на симметричные относительно a,b,c скобочки. Ну же, не зря мы ботали тождественные преобразования!

Подсказка 3

Добавить нужно 8. У Вас должно получиться (а+2)(b+2)(c+2) = 2*437. Осталось совсем чуть-чуть, подумайте над этим равенством в терминах разложения на множители!

Показать ответ и решение

Пусть длины сторон $a,b,c.$ Они положительные (как длины сторон) и целые (по условию), значит, натуральные. Сумма объёма, длин всех рёбер и площадей всех граней равна $866,$ то есть:

abc+ 4(a +b+ c)+2(ab +bc+ ac)= 866

3 (a+2)(b+ 2)(c+ 2)=866+ 2 = 2⋅437

Правая часть является произведение простых чисел $2,19$ и $23,$ так что по основной теореме арифметики следует, что это единственное разложение данного числа в произведение трёх натуральных чисел, больших единицы, и одно из них равно $2.$ Однако левая часть уравнения является произведением трёх натуральных чисел, каждое из которых не меньше трёх, что приводит к противоречию. Следовательно, равенство из условия задачи невозможно.

Ответ:

нет

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#49004Максимум баллов за задание: 7

Пусть $A$ и $B$ — две различные фиксированные точки окружности, $C$ — произвольная точка этой окружности, отличная от $A$ и $B$ , $MP$ — перпендикуляр, опущенный из середины $M$ хорды $BC$ к хорде $AC.$ Доказать, что прямые $PM$ при любом выборе $C$ проходят через некоторую общую точку $T.$

Источники: Всесиб-2018, 11.5 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если на одной и той же окружности при фиксированных A и B проделать указанные действия с разными C, можно попробовать угадать, в каком примерно месте находится общая точка :) Т.к. фиксированные именно A и B, попробуем как-то связать их с общей точкой.

Подсказка 2

Пусть D - предполагаемая точка. Тогда проведём прямую BD до пересечения с окружностью в новой точке E и попробуем понять что-то интересное об этой прямой... Быть может, связать это с С и с тем, что М - середина BC, ведь не зря нам даны эти условия?

Подсказка 3

Попробуем доказать, что все прямые MP проходят через D - середину отрезка на перпендикуляре, восстановленном в B к AB и проведенного до пересечения с окружностью. Для этого проведем всё то, что указано в подсказке 2, с помощью вписанности, параллельности и не забывая о том, что M - середина BC, докажем, что D лежит на MP!

Показать ответ и решение

$PIC$

Проведем перпендикуляр $EB$ к $AB$ так, чтобы $E$ лежало на окружности и отметим середину $EB$ как $D$ . Тогда (так как $BECA$ вписанный по построению) $∘ ∠ECA = 90$ . $DM$ — средняя линия треугольника $BEC$ и поэтому $DM ∥EC$ . Пусть $DM$ пересекает $AC$ в точке $′ P$ . Так как $DP ∥EC$ , то $′ MP ⊥AC$ , и значит, точки $P$ и $′ P$ совпадают.

Итак, независимо от выбора точки $C$ на окружности описанная в условии прямая $MP$ проходит через фиксированную точку $D$ - середину отрезка на восставленном из точки $B$ перпендикуляре, продолженном до пересечения с окружностью.

Ответ:

что и требовалось доказать

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#88677Максимум баллов за задание: 7

Дядя Андрей и девочка Маша играют в игру. У них имеются две упаковки сока по $24$ литра: один грушёвый, другой вишнёвый. Кроме того, у Андрея есть кружка в $500$ мл, а у Маши — две кружки по $240$ мл. Игроки пьют сок по очереди по следующим правилам: они наполняют все свои кружки до краёв, а затем выпивают налитое до дна. При этом запрещается смешивать два вида сока в одной ёмкости. Если кто-то не может сделать ход, то ходит его соперник. Игра заканчивается, когда никто не может сделать ход. Побеждает тот, кто выпил больше сока. Может ли кто-либо обеспечить себе победу, если Андрей выбирает, кто ходит первым?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какой-то непривычный вопрос в задачке, да? Получается, что помимо победы Андрея или Маши еще могло быть, что никто из них не выиграл? Если так, то и Андрей, и Маша должны налить себе одинаково сока. Хм, емкости Маши меньше Андрея, но Маша может сделать больше ходов (за счет двух кружек). Непонятно, может ли кто-то гарантировать победу, но наверняка и Андрей, и Маша могут выпить примерно половину всего сока. Начнем разбираться с Андреем (его ходы более простые). Сколько литров он точно успеет выпить, пока может ходить? Вдруг он выиграет независимо стратегии?

Подсказка 2

Заметим, что объемы всех емкостей кратны 20 мл. Значит, если в упаковках <500 мл сока, то в них не более 480 мл сока. Тогда Андрей заведомо успеет сделать (48 000 - 960) / 980 = 48 ходов (За 1 ход Маши и 1 ход Андрея они выпивают 980 мл). То есть Андрей явно не проигравший - выпил ровно половину всего сока. Правда, Маша тоже могла выпить 24 литра сока суммарно. Хм, вариант ничьи всё более вероятен? Разбираемся с Машей. Выбор первого игрока за Андреем, поэтому может ли Маша набрать 24 литра сока в обоих случаях (за первого и второго игрока)? Стратегия с использованием симметрии или дополнения хода может помочь одному из игроков (как думаете кому именно?:))

Подсказка 3

Теперь можно уверенно сказать, что Маша тоже может не проиграть. Пусть она всегда пьет тот же сок, что и Андрей. То есть на пару за ход они выпивают 980 мл из одной упаковки. А если Маша ходит первой, то пусть она первым ходом выпьет по 240 мл из каждой упаковки. Сколько в обоих случаях будет сока в упаковках, когда Андрей не сможет ходить? Поймите, почему Маша выпьет 24 л и тоже не проиграет.

Показать ответ и решение

Докажем, что Андрей может выпить $24$ литра сока, как бы ни действовала Маша, и покажем, что Маша может ходить так, что тоже выпьет $24$ литра.

Предположим, Андрей выпил менее $24$ литров, то есть смог сделать не более $47$ ходов. Тогда Маша сделала не более $49$ ходов. Значит, на данный момент выпито не более $47⋅500+49⋅480= 47020,$ то есть не выпито хотя бы $980$ мл сока.

С другой стороны, так как объёмы всех ёмкостей делятся на $20,$ то и количество оставшегося сока в каждой упаковке делится на $20.$ Если Андрей не может сделать ход, то оно не превосходит $480$ мл в каждой упаковке, но тогда сока осталось не более $960$ мл. Значит, Андрей при любых обстоятельствах сможет сделать $48$ ходов.

Докажем, что Маша тоже может выпить $24$ литра сока, как бы ни действовал Андрей. Пусть Маша ходит второй и наполняет оба стакана тем же соком, что и Андрей в свой ход. Тогда за одну пару ходов они выпивают $980$ мл из упаковки, и после $24$ ходов в этой упаковке останется $480$ мл сока, которые Андрей выпить не может, а Маша может. За $24$ хода Маша выпивала на каждом на $20$ мл меньше, чем Андрей, т.е. в итоге выпила на $480$ меньше, что компенсирует, допивая последнее из этой пачки. Таким образом, если она ходит второй, то может выпить по крайней мере половину всего.

Если она ходит первой, то пусть первым ходом выпивает из каждой пачки по $240$ мл, а затем повторяет ходы. Аналогичными рассуждениями, в каждой пачке в конце остаётся $240$ мл (если в какой-то больше, то Андрей пока ещё ходит туда), что Маша допьёт и компенсируем разницу в выпитом до нуля.