Тема Всесиб - задания по годам

Всесиб 2021

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела всесиб - задания по годам

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#30989Максимум баллов за задание: 7

Найдите все действительные числа $a,$ для которых существуют три различных действительных числа $x,y,z,$ таких что

1 1 1 a= x+ y = y+ z =z+ x

Источники: Всесиб-2021, 11.3 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Тройное равенство вида a = f = g = h это на самом деле система a = f, f = g, g = h

Подсказка 2

У нас слишком много переменных. Давайте х, z выразим через a и y. Используем, что x = a - 1/y и z = a - 1/x.

Подсказка 3

А после этого вспоминаем, что a = y + 1/z. Подставляем сюда наше выражение на z - мы получили соотношение на a и y только. Попробуйте для удобства разложить его на множители.

Подсказка 4

Один из случаев невозможен в силу различности x,y,z. В другом случае должно получиться а=±1. Теперь осталось проверить различность решений при этих параметрах. Используйте выражения из предыдущих наработок (просто подставьте туда а=1, а=-1), и всё получится!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Из условия $1 1 x + y = y+ z$ получаем

y− z x − y =-zy--

Аналогично (в силу цикличности равенств) $y− z = z−zxx ,z− x= x−xyy .$

После перемножения полученных трёх равенств имеем

(x− y)(y− z)(z− x)= (x−-y)(y−-z)(2z−-x) (xyz)

С учётом того, что числа различные, получаем после сокращения на $(x− y)(y− z)(z− x)⁄= 0:$

(xyz)2 = 1 ⇐ ⇒ xyz = ±1

Из условия $a =x + 1y = y+ 1z$ получаем

a⋅a= (x + 1)⋅(y+ 1)= 1+ xy+ x+ 1-= 1+ x(y + 1+ -1-) y z z yz z xyz

a2− 1= x(a ±1)

Аналогично (в силу цикличности равенств) $a2 − 1= y(a±1),a2 − 1 =z(a± 1).$

После перемножения полученных трёх равенств имеем

(a2− 1)3 =±1 ⋅(a± 1)3

Этому равенству не могут удовлетворять значения $a,$ отличные от $± 1,$ поэтому других решений у задачи быть не может. Осталось проверить, подходят ли $a= 1,a= −1.$

При $a= 1$ существует удовлетворяющая условиям задачи тройка $1 (2,2,−1),$ а при $a =− 1$ можно взять $1 (−2,−2,1).$ Поэтому оба найденных значения параметра идут в ответ.

Второе решение.

Сначала постараемся избавиться от трёх неизвестных в одном выражении:

2 a =x + 1=⇒ x= a− 1 = ay− 1, z = a− 1= a−-y--= a-y−-y− a y y y x ay− 1 ay− 1

Наконец:

a= y+ 1= y+ --ay− 1--⇐⇒ a3y− ay− a2 =a2y2− y2 − ay+ ay− 1 z a2y− y − a

Получаем:

(a2− 1)(y2− ay+ 1)= 0

Тогда либо $a2 =1,$ либо $a= y+ 1y.$ Последнее невозможно, ведь по условию $a= x+ 1y$ и получаем $x= y$ — противоречие с условием.

Осталось проверить $a= ±1.$

Зафиксируем $y,$ тогда из ранее полученного

x = ay− 1 y

z = a2y−-y−-a=-−-a- ay− 1 ay− 1

1 1 a =y +z = y− y + a

Все три условия выполнены и можно предъявить конкретную тройку $(x,y,z),$ но нами получен общий вид $ay− 1 −a (-y-,y,ay−1)$ в зависимости от $y$ при учёте $a =±1.$

Осталось проверить, что в тройке нет совпадающих чисел различность.

Допустим, что $x= y.$ Тогда

x = ax− 1 x

x2− ax +1 =0

D =a2− 4= −3 <0

То есть такого быть не может. Остальные два равенства $y =z$ и $x =z$ проверяются (что они невозможны) аналогично.

Ответ:

{ $− 1$ ; $1$ }

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#31985Максимум баллов за задание: 7

Пусть $P$ — основание высоты, опущенной из вершины $A$ прямоугольного треугольника $ABC$ на его гипотенузу $BC$ , a $M$ — середина отрезка $CP$ . Обозначим через $E$ точку на продолжении стороны $AB$ за точку $B$ такую, что $AB = BE$ . Докажите, что прямые $EP$ и $AM$ перпендикулярны.

Источники: Всесиб-2021, 9.3 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Да-а, кажется без дополнительных построений тут не обойдётся. Какое же построение хочется сделать? Правильно, давайте построим точку K — точку, симметричную A относительно M.

Подсказка 2

Хмм, посмотрим внимательно на получившуюся картинку. Несложно доказать, что KP ⊥ AE, а также можно увидеть, что BM является средней линией △EAK.

Подсказка 3

Что же получается? На рисунке есть какая-то точка, которая играет очень важную роль. Действительно, ведь точка P является ортоцентром △EAK!!!

Показать ответ и решение

Пусть $K$ — точка, симметричная $A$ относительно $M,$ тогда четырехугольник $ACKP$ является параллелограммом, поскольку $M$ делит пополам каждую из его диагоналей, следовательно, прямая $KP$ параллельна прямой $CA,$ а значит перпендикулярна прямой $AE.$

С другой стороны, $BM$ является средней линией в треугольнике $EAK,$ поэтому $EK$ параллельна $BM,$ т.е. перпендикулярна прямой $AP.$

$PIC$

Таким образом, точка $P$ является ортоцентром в треугольнике $EAK,$ а значит прямая $EP$ перпендикулярна $AM.$

Ответ:

что и требовалось доказать

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#73445Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что для любого $x⁄= 0$ выполнено неравенство:

8 5 1 -1 x − x − x + x4 ≥0.

Источники: Всесиб-2021, 10.1(см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Тут главное не испугаться. Вообще степени как-то связаны друг с другом…

Подсказка 2

У вас выражение от одной переменной, может стоит попробовать привести все к одному знаменателю?

Подсказка 3

Кажется, числитель раскладывается на множители:)

Подсказка 4

Скобки в числителе меняют знак одновременно, значит их произведение всегда одного знака, какого?

Показать доказательство

Приведём все дроби к общему знаменателю:

x12− x9− x3+1 -----x4------≥0.

Разложим числитель на множители:

(x9− 1)(x3− 1) -----x4-----≥ 0.

Знаменатель всегда положителен, потому что это чётная степень $x$ . Если $x< 1,$ то скобки числителя отрицательны, а значит их произведение положительно. Если $x ≥1,$ то скобки неотрицательны, значит их произведение тоже неотрицательно. Получили требуемое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#73447Максимум баллов за задание: 7

Определим последовательность $x ,x,x ,...,x 1 2 3 100$ следующим образом: пусть $x 1$ произвольное положительное число, меньшее 1 , и $2 xn+1 = xn− xn$ для всех $n =1,2,3,...,99.$ Докажите, что $3 3 3 x1+ x2+ ...+x99 < 1.$

Источники: Всесиб-2021, 9.4(см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем раскрутить задачку с конца. Если x₁<1, то x₁-(что-то неотриц.)<1…

Подсказка 2

Вспомните про циклические суммы. Как представить x₁-x₁₀₀ по другому?

Подсказка 3

Кубы как-то особо не связаны с исходной формулой для xₙ. Зато квадраты очень даже связаны. Что нужно доказать чтобы понизить степень многочлена?

Подсказка 4

Верно, нужно доказать что 1>x₁>x₂>…>x₁₀₀>0. Теперь нужно как-то из квадратов сделать первую степень…

Подсказка 5

xₙ-x_{n+1}=xₙ², а также x₁-x₁₀₀=x₁-x₂+x₂-x₃+…-x₉₉+x₉₉-x₁₀₀

Показать доказательство

Докажем сначала, что $1> x >x >...>x > 0. 1 2 100$ Для этого воспользуемся индукцией по $n =1,2,...,99.$ База индукции $x ∈(0,1) 1$ верна по условию. Шаг индукции: при $xn ∈ (0,1)$ выполнены неравенства $2 0< xn < xn,$ поэтому $2 xn+1 =xn − xn <xn <1$ и $2 xn+1 = xn− xn > 0,$ то есть $xn+1 ∈(0,1).$

Ввиду доказанного, $3 2 xn < xn = xn− xn+1$ для всех $n= 1,2,...,99,$ поэтому

3 3 3 2 2 2 x1 +x2+ ...+ x99 <x1+ x2+ ...+ x99 = x1− x2+x2 − x3+ ...+ x99− x100 =x1− x100 <x1 < 1,

что и требовалось доказать.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#79775Максимум баллов за задание: 7

Найти все натуральные $n$ , которые можно представить в виде суммы

2 2 n =a + b,

где $a$ — минимальный делитель $n$ , отличный от $1,$ и $b$ — какой-то делитель $n.$

Источники: Всесиб - 2021, 11.2 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

По условию a- минимальный делитель n, отличный от 1. В связи с этим хочется попытаться узнать его наверняка. Может даже получится доказать, что он равен 2. Давайте предположим противное. Какое противоречие мы получим?

Подсказка 2

Если минимальный делитель отличен от 2, то n- нечетное число и все его делители также нечетны. Но тогда сумма a²+b² не может быть нечетной. Противоречие. Мы выполнили свою цель и перешли к новой задаче: n=4+b². Какое ограничение возникает на b?

Подсказка 3

Заметим, что n и b² делятся на b, значит 4 также делится на b. Такое бывает крайне редко, поэтому довести решение до конца вам не составит никого труда!

Показать ответ и решение

Если $n$ нечётно, то и все его делители нечётны, поэтому правая часть равенства $n= a2+b2$ чётна — противоречие. Следовательно, $n$ чётно и его минимальный неединичный делитель $a$ равен $2,$ а $2 n= 4+ b.$

По условию $b$ делит $2 n= 4+ b,$ значит, делит и разность $2 n − b = 4,$ поэтому $b$ должно быть равно одному из чисел $1, 2, 4.$ При этом $n$ равно $5, 8, 20$ соответственно. Первый случай не подходит ввиду нечётности, остальные два удовлетворяют условию задачи.

Ответ: 8 и 20

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#80611Максимум баллов за задание: 7

В некоторых клетках прямоугольной доски размера $101$ на $99$ сидят по одной черепашке. Каждую минуту каждая из них одновременно переползает в одну из клеток доски, соседнюю с той, в которой они находятся, по стороне. При этом, каждый следующий ход делается ими в направлении, перпендикулярном предыдущему: если предыдущий ход был горизонтальным — налево или направо, то следующий будет вертикальным — вверх или вниз, и наоборот. Какое максимальное количество черепашек может перемещаться по доске неограниченное время так, что в каждый момент в каждой клетке будет находиться не более одной черепашки?

Источники: Всесиб - 2021, 11.5 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Задачка на оценку+пример, попробуем тогда сначала придумать какой-нибудь пример, а дальше, отталкиваясь от него, догадаться до оценки! Какие мы можем придумать простейшие траектории черепашек, удовлетворяющие условиям задачи?

Подсказка 2

Самое простое, что можно придумать — заставить черепашек двигаться по циклам в квадратах 2*2. Сколько тогда двигающихся по таким траекториям черепашек мы можем разместить на поле?

Подсказка 3

После того, как мы придумали пример, переходим к оценке. По условию черепашки при каждом шаге поворачивают на 90 градусов. Тогда на каком поле относительно начального черепашка окажется после одного шага, двух шагов? Исходя из этих соображений, как можно покрасить поле так, чтобы у движения черепашки были удобные ограничения относительно этой раскраски?

Подсказка 4

Поле можно раскрасить в 4 цвета “в горошек”, и из-за того, что длины сторон поля нечётные, количество клеток разных цветов не будет одинаковым. А черепашка двигается по этой раскраске так, что обязательно проходит по циклу все 4 цвета. Осталось лишь посчитать количество клеток разных цветов и из этого получить оценку!

Показать ответ и решение

Сначала покажем, что $9800$ черепашек могут так перемещаться. Выделим в верхнем левом углу прямоугольник $100 ×98.$ Поставим в каждую его клетку по черепашке. Разобьем его на квадратики $2× 2.$ И пусть в каждом квадратике черепашки перемещаются по циклу против часовой стрелки. Тогда все черепашки всегда смогут сделать ход.

Докажем, что большего количества черепашек быть не может. Раскрасим нашу доску в $4$ цвета в горошек (в первой строке чередуются цвета $1$ и $2,$ во второй — $4$ и $3,$ в третьей — снова $1$ и $2,$ и так далее). Заметим, что клеточек цвета $4$ ровно $100⋅98 4 = 2450.$ Рассмотрим клеточки второго цвета. Заметим, что все черепашки на клеточках второго цвета через $2$ хода попадут в клеточки четвертого цвета. Тогда в данный момент черепашек на клеточках второго цвета не больше, чем черепашек на клеточках четвертого цвета, то есть также не больше, чем $2450.$ Нам осталось оценить сверху количество черепашек, стоящих в данный момент на клеточках первого и третьего цвета. Чтобы это сделать, достаточно подождать один ход, тогда все эти черепашки попадут на клеточки второго и четвертого цвета. А затем проделать те же самые рассуждения. То есть всего черепашек действительно не больше, чем $2450⋅4= 9800.$

Ответ:

$100⋅98= 9800$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#91342Максимум баллов за задание: 7

Пусть $m < n$ — натуральные числа. Доказать, что среди произвольных последовательных $n$ натуральных чисел всегда найдутся два, произведение которых делится на $mn$ .

Источники: Всесиб - 2021, 10.4 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте немного усложним себе задачу (на самом деле облегчив этим поиск) и будем пытаться найти число которое делится на n, и ещё одно, которое делится на m.

Подсказка 2

Очевидно, среди n последовательных чисел всегда найдется число, делящееся на n, а так как m<n, то и для m найдется. Но есть загвоздка…

Подсказка 3

Что делать, если эти числа совпадают? Попытайтесь найти ещё одно такое число.

Подсказка 4

Пусть НОД(m,n)=d. Докажите, что среди n последовательных натуральных чисел найдется число 2d.

Показать доказательство

Среди $n$ последовательных чисел точно найдется то, которое делится на $n$ и то, которое делится на $m$ (так как $m < n$ ). Если это разные числа, то их произведение делится на $mn$ . Пусть это одно число $a$ , $НОД (m,n)= d$ и $′ m = dm$ , $′ n = dn$ . Тогда $.. ′ ′ a.dm n$ . Значит, нам нужно найти еще одно число, которое делится на $d$ . Так как $n> m ≥d$ , то $n ≥2d$ . Значит, среди $n$ последовательных чисел есть еще хотя бы одно, которое делится на $d.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#92433Максимум баллов за задание: 7

На сторонах $AB,BC,CD$ и $DA$ квадрата $ABCD$ соответственно отмечены точки $P,Q,R,S$ , отличные от вершин. Известно, что длина стороны квадрата равна 1. Доказать, что выполнены неравенства:

2 2 2 2 2≤ PQ +QR +RS +SP < 4.

Источники: Всесиб - 2021, 11.1 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас есть картинка, где абсолютно случайно, независимо друг от друга, выбирается 4 точки на разных сторонах квадрата. Это значит как минимум то, что либо нам надо будет объединить все слагаемые в полученной сумме (пока непонятно какой, но точно выражающей сумму из условия) в одно слагаемое, которое зависит только от стороны квадрата, либо нам надо оценивать каждое слагаемое по отдельности. Выразите каждое слагаемое из условия и попробуйте применить рассуждения выше.

Подсказка 2

Верно, можно сгруппировать наши слагаемые по частям стороны. Тогда каждая пара слагаемых будет иметь вид x² + (1 - x)². Как тогда получить оценку на каждое слагаемое, а значит, по соображениям из первой подсказки, и на всю сумму?

Показать доказательство

$PIC$

По теореме Пифагора

PS2 = AP2 +SA2

P Q2 = BP2 +BR2

2 2 2 QR = CQ +CR

2 2 2 RS = DR +DS

Сложим эти равенства и перегруппируем результат в виде:

PQ2 + QR2+ RS2+ PS2 =

( ) ( ) ( ) ( ) AP 2+P B2 + BQ2 + QC2 + CR2 + RD2 + DS2 + SA2

Каждое из выражений в скобках имеет вид $2 2 2 f(x)= x +(1− x) =2x − 2x+ 1$ для некоторого $0< x< 1$ и заключено в пределах от $(1) 1 f 2 =2$ включительно до $f(1)= 1$ невключительно. Следовательно, сумма $PQ2 + QR2+ RS2+ SP2$ заключена от $(1) 4f 2 = 2$ включительно до $4f(1)= 4$ невключительно.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#92434Максимум баллов за задание: 7

Доказать, что четыре перпендикуляра, опущенных из середин сторон произвольного вписанного четырёхугольника на его противоположные стороны, пересекаются в одной точке.

Источники: Всесиб - 2021, 11.4 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если умеете считать в комплексных координатах, эта задача у вас много времени не займёт. Если не умеете, смотрите следующие подсказки)

Подсказка 2:

Пусть Q, R, S, P — середины отрезков BC, CD, DA, AB, а QL и SM — перпендикуляры на AD и BC. Пусть они пересекаются в точке V, а O — центр описанной окружности. Что можно сказать про четырехугольник QOSV?

Подсказка 2:

Правильно, он параллелограмм. Значит, точки O и V симметричны относительно середины QS — средней линии ABCD. То же самое можно сказать про вторую пару перпендикуляров и другую среднюю линию. А нет ли у этих средних линий чего-то общего?

Подсказка 3:

Когда в задаче идёт речь о серединах сторон четырёхугольника, нельзя не вспомнить про теорему Вариньона. Если не знаете её, то сначала изучите, а потом вернитесь к последнему вопросу из предыдущей подсказки)

Показать доказательство

Обозначим вершины произвольного вписанного в окружность четырёхугольника за $A,B,C$ и $D,$ центр окружности за $O,$ середины сторон $AB,BC,CD$ и $DA$ за $P,Q,R$ и $S$ соответственно.

$PIC$

Отрезки $OQ$ и $OS$ являются серединными перпендикулярами к сторонам $BC$ и $AD,$ поэтому они параллельны перпендикулярам $SM$ и $QL,$ опущенным на эти стороны из середин противоположных сторон четырёхугольника. Обозначим точку пересечения этих перпендикуляров за $V,$ из параллельности отрезков $OQ$ и $SV,$ а также $OS$ и $QV$ следует, что четырёхугольник $OSV Q$ является параллелограммом. Следовательно, его диагонали $SQ$ и $OV$ пересекаются в точке $X,$ делящей их пополам. Диагональ $SQ$ при этом является средней линией четырёхугольника $ABCD,$ поэтому точка $V$ пересечения перпендикуляров $QL$ и $SM,$ опущенных из середин сторон $BC$ и $AD$ на противоположные стороны четырёхугольника, симметрична центру $O$ описанной окружности относительно середины $X$ отрезка $SQ,$ соединяющего середины сторон $BC$ и $AD.$

Аналогично доказывается, что точка $W$ пересечения перпендикуляров, опущенных из середин сторон $AB$ и $CD$ на противоположные стороны четырёхугольника, симметрична центру О описанной окружности относительно середины отрезка $PR,$ соединяющего середины сторон $AB$ и $CD.$ Четырёхугольник $PQRS,$ образованный серединами сторон произвольного четырёхугольника $ABCD,$ образуют параллелограмм (Вариньона), стороны которого параллельны диагоналям $AC$ и $BD$ и равны их половинам.

$PIC$

Следовательно, отрезки $PR$ и $QS,$ являющиеся диагоналями параллелограмма $P QRS,$ делятся точкой их пересечения пополам, поэтому их середины совпадают. Значит, совпадают и точки $W$ и $V,$ симметричные центру $O$ относительно этих середин.

Таким образом, все четыре перпендикуляра, опущенных из середин сторон вписанного четырёхугольника $ABCD,$ пересекаются в точке $V = W$ , симметричной центру $O$ описанной окружности относительно точки пересечения средних линий $P R$ и $QS$ этого четырёхугольника.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#105719Максимум баллов за задание: 7

В каждой клетке таблицы $3 ×3$ записано некоторое целое число так, что все восемь сумм троек чисел, записанных в клетках каждой строки, каждого столбца и каждой из двух диагоналей, равны одному числу $S$ (то есть таблица является магическим квадратом $3× 3).$ Докажите, что $S$ делится на $3.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Глобальная идея задачи такая: нужно найти какой-то набор клеток, посчитать сумму чисел в них двумя способами, приравнять и получить требуемое.

Подсказка 2:

Исходя из контекста понятно, что скорее всего этот набор будет состоять из каких-то строк, столбцов, диагоналей.

Подсказка 3:

Попробуйте подобрать их так, чтобы объединение строк, столбцов и диагоналей из этого набора представляло из себя весь квадрат.

Показать доказательство

Обозначим сумму чисел в каждой строке, каждом столбце и обеих диагоналях за $S.$ Рассмотрим сумму чисел в четырёх из рассматриваемых в условии троек: второй строки, второго столбца и двух диагоналей. Она равна с одной стороны $4S,$ а с другой — сумме всех чисел таблицы плюс утроенное число в центральной клетке. Сумма всех чисел таблицы равна $3S,$ поэтому $S$ равно утроенному числу в центральной клетке, то есть делится на $3.$