Всесиб 2021
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Определим последовательность 
следующим образом: пусть 
произвольное положительное число, меньшее 1 , и
для всех 
Докажите, что 
Источники:
Подсказка 1
Давайте попробуем раскрутить задачку с конца. Если x₁<1, то x₁-(что-то неотриц.)<1…
Подсказка 2
Вспомните про циклические суммы. Как представить x₁-x₁₀₀ по другому?
Подсказка 3
Кубы как-то особо не связаны с исходной формулой для xₙ. Зато квадраты очень даже связаны. Что нужно доказать чтобы понизить степень многочлена?
Подсказка 4
Верно, нужно доказать что 1>x₁>x₂>…>x₁₀₀>0. Теперь нужно как-то из квадратов сделать первую степень…
Подсказка 5
xₙ-x_{n+1}=xₙ², а также x₁-x₁₀₀=x₁-x₂+x₂-x₃+…-x₉₉+x₉₉-x₁₀₀
Докажем сначала, что 
Для этого воспользуемся индукцией по 
База индукции 
верна по условию. Шаг индукции: при 
выполнены неравенства 
поэтому 
и
то есть 
Ввиду доказанного, 
для всех 
поэтому
что и требовалось доказать.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
