Росатом - задания по годам → .08 Росатом 2022

Используем рекуррентную формулу для поиска вероятности — получить сумму за бросков

Действительно, нам нужно откатиться на один бросок назад, в котором с равными вероятностями выпадают . Посчитаем таблицу вероятностей (не будем явно прописывать знаменатели , оставим только числители)

Бросать кубик имеет смысл только от до раз, иначе невозможно получить очков в сумме. Предположим, что каждое количество бросков равновероятно и наступает с вероятностью , получим формулу

Фиксируем момент времени

• — положение муравьёв в момент .
• — проекция точки на диагональ .
• — скорость движения Гоши, — скорость Леши.

Тогда имеем

Наконец,

Движение закончилось, когда последняя скобка занулилась, то есть при . Относительно функция является квадратным трёхчленом с положительным коэффициентом при . Вершина находится в точке . Отсюда .

Такие тригонометрические телескопические суммы сворачиваются домножением и делением на (при этом нужно сказать, что синус ненулевой, потому что числа вида решениями уравнения не являются). После домножения получим вот что:

Применим формулы произведения синусов

Слагаемые удачно взаимноуничтожаются и остаётся

Откуда или . Осталось учесть условие так что

Пусть — положение автобуса на дороге в момент, когда его увидел Петя, — положение Пети на дороге в момент, когда он увидел автобус, — положение последней остановки, которую миновал Петя к моменту, когда он увидел автобус, — положение следующей за остановки, — расстояние между остановками, — расстояние между точками и , — скорость бега Пети.

Рассмотрим несколько случаев

Случай 1. Увидев автобус, Петя повернул назад. Петя окажется на остановке не позднее автобуса и сможет на него пересесть, если

Случай 2. Увидев автобус, Петя не изменил направления движения. Петя окажется на остановке не позднее автобуса и сможет на него пересесть, если

Наибольшее допустимое значение соответствует пересечению прямых и В итоге находим

Умножаем первое уравнение на второе — на и вычитаем результаты:

Умножаем первое уравнение на второе — на и складываем результаты:

Из последнего равенства и первого уравнения совокупности имеем

Из первой серии условию задачи удовлетворяет только из второй серии — только Им соответствуют серия содержащая единственное значение и серия также содержащая единственное значение

Случай соответствующий второму уравнению первой совокупности не реализуется, поскольку получаем противоречие

Обозначение: — вероятность того, сделав } прыжков блоха отклоняется от на величину (отрицательные указывают, что блоха находится слева от положительные — справа, число соответствует точке ).

Свойства

1) для

2) (равновозможность направления прыжка)

3) попасть на прыжке в положение возможно по условию только из положений и с вероятностью поэтому

4) при фиксированном и всех, для Ниже приведена часть таблицы для определения

Вероятности, что Кузя закончил прыжки в точке записаны в столбце с номером и строками от до (отмечены желтым). Но Кузя побывал в точке и, если он закончил движение в точках расположенных правее (до включительно), соответствующие позиции отмечены зеленым. Однако Кузя мог, побывав в точке закончить движение и в симметричных относительно точках (т.е. слева от но с теми же вероятностями, что и справа от ), поэтому отмеченные зеленым вероятности надо умножить на Для числа те же.

Считаем, что количество прыжков от до равновероятно (с вероятностью ). Тогда суммируем вероятности, отмеченные желтым, добавляем удвоенные вероятности, отмеченные зеленым, результат умножаем на и на Получим

Обозначим

Из условий получаем

Аналогично и

В этом случае целое число делится на и С учетом взаимной простоты этих чисел, и

Покажем, что реализуется как отношение объемов некоторых и Например, Тогда

Аналогично,

На первом шаге в группе разместим логарифмы нечетных чисел, а в группе — четных:

Обозначим через суммы чисел в группах и соответственно. Покажем, что Действительно,

Перенесем число из группы в группу а число наоборот — из в Поскольку разность уменьшилась на величину

Если для вновь образованных множеств и разность меняем местами числа и По-прежнему, разность уменьшается на величину

Если разность по процесс перекладывания чисел из одного множества в другое может быть продолжен. Если на каком-то шаге поменяет знак, то и искомое разбиение достигнуто. Это обязательно произойдет за конечное число шагов, поскольку замена множеств и местами приводит к смене знака величины

Пусть – произвольная точка привоза товара, – расстояния от точки привоза до домов; Суммарное расстояние:

Из неравенства треугольника:

Равенство достигается только в случае, когда треугольники вырождаются в отрезки.

Правая часть неравенства не зависит от положения точки поэтому

Минимум достигается, когда точка совпадает с точкой поскольку в ней все неравенства превращаются в равенство.

Покажем, что значение всегда достижимо для функции при любых

1. Если и одного знака, то

2. Если и разных знаков, то

Таким образом, при фиксированных максимальное значение равно В круге величина принимает наибольшее значение

Итак, при любых в круге и при любых справедливо неравенство так что любое не удовлетворяет условию задачи, а искомое.

По условию Элементы последовательности определены пока Для остальных номеров члены последовательности не определены.

Пусть Тогда для всех Последовательность удовлетворяет соотношению и представляет собой арифметическую прогрессию с разностью и первым членом Общей её член равен нулю, если

В левой части равенства применим формулу синуса двойного угла, а в правой части применим формулу суммы синусов:

Случай 1:

Случай 2:

Семейство горизонтальных прямых на плоскости с уравнениями принадлежат множеству

Случай 3:

Семейство вертикальных прямых на плоскости с уравнениями принадлежат множеству Семейство прямых разбивает плоскость на равные прямоугольные треугольники с катетами и

Радиус круга, вписанного равен Если радиус круга, не имеющего с общих точек, имеет радиус то его центр принадлежит одному из треугольников разбиения, а окружность его границы имеет общие точки со сторонами треугольника. Таким образом, радиус такой окружности меньше радиуса вписанной окружности.

и , поэтому четырехугольник — параллелограмм. По теореме о трёх перпендикулярах угол прямой, поэтому — прямоугольник. Его диагонали по условию перпендикулярны, поэтому — квадрат.

Пусть — ребро куба, с неизвестным

Тогда и по теореме Пифагора

Стороны и равны, поэтому

В итоге

так что