Росатом - задания по годам → .08 Росатом 2022
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Петя бросает несколько раз на стол игральный кубик и считает сумму очков, выпавших на его верхней грани. Для любого натурального
числа событие
наступает, если эта сумма равна
. Найти вероятность события
.
Источники:
Подсказка 1
Считать количество способов собрать сумму в 11 не очень приятно. Но можно "откатить шаг назад", тогда способов набрать нужную сумму зная, какой она была ход назад, немного проще! Нам также понадобится переменная k — число ходов.
Подсказка 2
Мы знаем, что на k-том шаге у нас равновероятно выпадает каждое из чисел. Тогда нам подходит любая и сумм от n-1 до n-6 на предыдущем шаге!
Подсказка 3
Вероятность того, что на k-том шаге у нас сумма равна n, равна 1/6 от суммы вероятностей того, что на (k-1)-м шаге у нас выпали суммы от n-1 до n-6! Отлично, теперь мы можем спускать до нуля ;)
Подсказка 4
Можно, например, расписать таблицу 11x11 и посмотреть на сумму вероятностей в столбце суммы в 11. Не забудьте про то, что каждое количество шагов тоже наступает с некоторой вероятностью!
Используем рекуррентную формулу для поиска вероятности — получить сумму
за
бросков
Действительно, нам нужно откатиться на один бросок назад, в котором с равными вероятностями выпадают . Посчитаем
таблицу вероятностей
(не будем явно прописывать знаменатели
, оставим только числители)
| | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | |
Бросать кубик имеет смысл только от до
раз, иначе невозможно получить
очков в сумме. Предположим, что каждое
количество бросков равновероятно и наступает с вероятностью
, получим формулу
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
По диагоналям оснований и
куба
с ребром
ползут два муравья Гоша и Леша. Движение они начали
одновременно из точек
и
соответственно с постоянной скоростью, причем скорость Леши была в два раза больше скорости
передвижения Гоши и закончили, когда Леша оказался в точке
. Какое наименьшее расстояние разделяло Гошу и Лешу во время
движения?
Источники:
Фиксируем момент времени
— положение муравьёв в момент
.
— проекция точки
на диагональ
.
— скорость движения Гоши,
— скорость Леши.
Тогда имеем
Наконец,
Движение закончилось, когда последняя скобка занулилась, то есть при . Относительно
функция
является квадратным
трёхчленом с положительным коэффициентом при
. Вершина находится в точке
. Отсюда
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение для
Источники:
Подсказка 1
Нужно как-то сжать эти выражения, то есть применить телескопическое суммирование. Для этого будет в самый раз умножить и левую, и правую часть уравнения на sin(x) (подумайте, может ли он вообще быть равен нулю), а затем применить формулы произведения синусов и синуса с косинусом.
Подсказка 2
Да, получится уравнение вида 1 - cos(2x) + cos(2x) - cos(4x) ... + cos(2020x) - cos(2022x) = √3 * sin(2022x). Телескоп сработал -> остается перенести синус с косинусом в одну часть, единичку - в другую, а затем вспомнить формулу вспомогательного угла - ведь коэффициенты 1 и √3 так и намекают на это :)
Такие тригонометрические телескопические суммы сворачиваются домножением и делением на (при этом нужно сказать, что синус
ненулевой, потому что числа вида
решениями уравнения не являются). После домножения получим вот
что:
Применим формулы произведения синусов
Слагаемые удачно взаимноуничтожаются и остаётся
Откуда или
. Осталось учесть условие
так что
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Петя пришел на остановку автобуса, едущего до школы с остановками равноотстоящими друг от друга, и, не увидев автобуса на дороге, решил пробежаться и сесть в автобус на следующих остановках по пути в школу. Бежал Петя так, что в любой момент времени мог заметить появление автобуса на дороге за своей спиной. Увидев автобус, Петя может повернуть назад или сохранить направление движения. Известно, что скорость движения автобуса в 4 раза превосходит скорость бега Пети, а увидеть автобус он может на расстоянии не более 1 км. Найти наибольшее значение расстояния между остановками, при котором независимо от того повернет Петя назад при обнаружении автобуса или нет, он сможет сесть в автобус на остановке. (время нахождения автобуса на остановке не учитывать)
Источники:
Подсказка 1
Это задача на движение и скорости. Значит, здесь можно ввести достаточное количество переменных и тождественными преобразованиями/оценками получить всё, что нам нужно. Если расстояние до остановки, которая сзади Пети - x, а расстояние между остановками равно а (в момент того, как Петя увидел автобус), то нам надо понять, для каких а как надо поступать Пете, чтобы точно сесть на автобус.
Подсказка 2
Это зависит от неравенства со скоростями. Пете удобно бежать к задней остановке, если x/v ≤ (1 - x) / (4v), где v - скорости Пети. То есть когда расстояние до остановки сзади не больше 1/5. Попробуйте написать такое же неравенство, когда ему надо бежать к передней остановке и понять, как оба этих неравенства ограничивают а.
Подсказка 3
(a - x)/v ≤ (1 - x - a)/(4v). Остаётся только написать пример, когда это достигается, но это очевидно делается, если понять, когда в каждом нашем неравенстве достигается равенство.
Пусть — положение автобуса на дороге в момент, когда его увидел Петя,
— положение Пети на дороге в момент, когда он увидел
автобус,
— положение последней остановки, которую миновал Петя к моменту, когда он увидел автобус,
— положение следующей
за
остановки,
— расстояние между остановками,
— расстояние между точками
и
,
— скорость бега
Пети.
Рассмотрим несколько случаев
Случай 1. Увидев автобус, Петя повернул назад. Петя окажется на остановке не позднее автобуса и сможет на него пересесть,
если
Случай 2. Увидев автобус, Петя не изменил направления движения. Петя окажется на остановке не позднее автобуса и сможет на
него пересесть, если
Наибольшее допустимое значение соответствует пересечению прямых
и
В итоге находим
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Координаты точек в квадрате
удовлетворяют системе уравнений
Сколько таких точек находится в квадрате? Найти координаты наиболее удаленной точки от центра квадрата.
Источники:
Подсказка 1
Кажется, что если поскладывать и повычитать уравнения из этой системы, то они смогут свернуться по известным нам тригонометрическим формулам, возможно, только стоит домножить их предварительно на что-то.
Подсказка 2
Попробуйте домножить первое уравнение на сos(1), второе на sin(1) и вычесть, а также умножить первое на sin(1), второе на cos(1) и сложить, в первом случае так мы избавимся от противных sin(1), cos(1), а во втором заменим их на 1, поработайте с полученными уравнениями.
Подсказка 3
Мы получили sin(x-1) = sin(1-y), cos(x-1) + cos(y-1) = 1, первое легко решается и может дать нам условия на корни, которые можно использовать во втором.
Умножаем первое уравнение на второе — на
и вычитаем результаты:
Умножаем первое уравнение на второе — на
и складываем результаты:
Из последнего равенства и первого уравнения совокупности имеем
Из первой серии условию задачи удовлетворяет только из второй серии — только
Им соответствуют серия
содержащая единственное значение
и серия
также содержащая
единственное значение
Случай соответствующий второму уравнению первой совокупности не реализуется, поскольку получаем противоречие
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Блоха Кузя может совершать прыжки по прямой Старт для прыжков находится в точке
прямой
длина одного прыжка
направление каждого прыжка выбирается случайным и равновозможным. Найти вероятность того, что, сделав от четырех до восьми
случайных прыжков, Кузя хотя бы один раз будет находиться на расстоянии
от
Подсказка 1
Нам нужно найти вероятность какого-то сложного события. Понятно, что она состоит из суммы вероятностей более простых событий, которые входят в сложное. Будет удобно ввести величину, к примеру, p(n,k) — вероятность того, что сделав k прыжков, блоха окажется в точке с координатой nh.
Подсказка 2
Понятно, что p(n,k) определяется рекуррентно через р(n-1, k-1) и p(n+1, k-1), а также мы знаем, чему равно p(n,n). Теперь осталось понять, для каких n и k нам нужны значения p(n,k), и вычислить их.
Подсказка 3
Будет достаточно p(n, k) для n от 4 до 8 и k от 3 до 8. Останется сложить все нужные величины и не забыть, что количество прыжков — от 4 до 8 — равновероятно.
Обозначение: — вероятность того, сделав
} прыжков блоха отклоняется от
на величину
(отрицательные
указывают, что блоха находится слева от
положительные — справа, число
соответствует точке
).
Свойства
1) для
2) (равновозможность направления прыжка)
3) попасть на прыжке в положение
возможно по условию только из положений
и
с вероятностью
поэтому
4) при фиксированном и всех, для
Ниже приведена часть таблицы для определения
Вероятности, что Кузя закончил прыжки в точке записаны в столбце с номером
и строками от
до
(отмечены
желтым). Но Кузя побывал в точке
и, если он закончил движение в точках расположенных правее
(до
включительно),
соответствующие позиции отмечены зеленым. Однако Кузя мог, побывав в точке
закончить движение и в симметричных относительно
точках (т.е. слева от
но с теми же вероятностями, что и справа от
), поэтому отмеченные зеленым вероятности надо умножить
на
Для
числа те же.
Считаем, что количество прыжков от до
равновероятно (с вероятностью
). Тогда суммируем вероятности, отмеченные
желтым, добавляем удвоенные вероятности, отмеченные зеленым, результат умножаем на
и на
Получим
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Длины рёбер и
прямоугольных параллелепипедов
и
— целые числа. Если в параллелепипеде
увеличить на
длину одного из рёбер
или
то отношение объёмов
изменится на 3, на 5 или на 7 единиц соответственно. Найдите
наименьшее возможное при этих условиях значение отношение объёмов
Источники:
Подсказка 1
Понятно, как считать отношение объемов до изменений. Тогда составим уравнения по условию и немного их преобразуем. Что получится и какие выводы можно сделать?
Подсказка 2
Мы можем выразить тройку как разность и понятно, в каком соотношении находятся отношение объемов и одна из сторон. Какие соотношения получатся?
Подсказка 3
Отношение объемов = 3*(a1) = 5*(a2) = 7*(a3). Подумаем, как использовать целочисленность сторон. Получается, что пришли к уравнениям в целых числах?) вспомним, как решать! 3, 5 и 7 даны не зря...
Обозначим
Из условий получаем
Аналогично и
В этом случае целое число делится на
и
С учетом взаимной простоты этих чисел,
и
Покажем, что реализуется как отношение объемов некоторых
и
Например,
Тогда
Аналогично,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Можно ли множество из чисел
разбить на две части так, чтобы сумма чисел, попавших в одну из этих частей, отличалась от суммы чисел в другой не более, чем на
(по абсолютному значению)?
Источники:
Подсказка 1
Во-первых, давайте сначала хоть как-то разобьем на две группы, а потом будем как-то менять элементы в группах, уменьшая модуль разности. Разобьем на группы так, что в первой группе в аргументе логарифма были только нечетные числа, а в другой только четные. В какой группе больше сумма? Модуль разности больше 1? Как модуль разность можно уменьшить, если мы дошли до идеи менять местами какие-то числа в разных группах?
Подсказка 2
Ну конечно, где нечетные, там сумма больше, при том, больше 1, так как у нас разность log_2(2k + 1) - log_2(2k) > 0, для всех k от 3 до 1010, а еще плюсом прибавляется log_2(5) > 1. Значит, на текущий момент модуль разности больше 1. Тогда давайте попробуем из поменять местами числа log_2(2021) и log_2(2020). Тогда у нас разность уменьшится, при том на сколько меньшее 1. Ну мы чуть-чуть улучшили ситуацию. А что нам мешает делать дальше также?
Подсказка 3
Верно, ничего. Главное понимать, что при каждой такой замене у нас будет уменьшаться разность и ни в какой момент, она не может перепрыгнуть с чего-то, что больше 1, на что-то что меньше -1, из-за того, что уменьшаем не более чем на 1. Тогда у нас рано или поздно модуль станет меньше 1, так как в начальный момент разность больше 1, а в конечный меньше -1(когда мы полностью поменяли группы). Значит, победа!
На первом шаге в группе разместим логарифмы нечетных чисел, а в группе
— четных:
Обозначим через суммы чисел в группах
и
соответственно. Покажем, что
Действительно,
Перенесем число из группы
в группу
а число
наоборот — из
в
Поскольку
разность
уменьшилась на величину
Если для вновь образованных множеств и
разность
меняем местами числа
и
По-прежнему,
разность
уменьшается на величину
Если разность по процесс перекладывания чисел из одного множества в другое может быть продолжен.
Если на каком-то шаге
поменяет знак, то
и искомое разбиение достигнуто. Это обязательно
произойдет за конечное число шагов, поскольку замена множеств
и
местами приводит к смене знака величины
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Клиенты интернет магазина «Али-экспресс» проживают в семи домах, расположенных в вершинах выпуклого семиугольника. От жителей
первого дома поступил один заказ, от второго дома – два заказа, и т.д. от жителей шестого – шесть заказов. А вот жители последнего
седьмого дома сделали заказ. Менеджер магазина задумался о том в какое место следует доставить все заказы, чтобы суммарное
расстояние, преодолеваемое всеми клиентами для получения товара, было минимально возможным. Помогите ему в решении этой задачи и
обоснуйте результат.
Источники:
Подсказка 1
Пусть точка О - выбранная нами. Обозначим расстояние от О до i-того дома за d_i. Какую сумму мы хотим минимизировать? Что интересного можно заметить среди коэффициентов?
Подсказка 2
Заметим, что 21 = 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1. Как тогда можно преобразовать нужную нам сумму? Как можно оценить слагаемые, если смотреть на расположение домой как на выпуклый многоугольник?
Подсказка 3
Мы хотим минимизировать (d1 + d7) + 2(d2 + d7) + 4(d4 + d7) + 5(d5 + d7) + 6(d6 + d7). Каждое слагаемое можно оценить с помощью диагонали в выпуклом многоугольнике, который образуют дома.
Подсказка 4
Получается, что минимизировать нужную нам сумму получится только в случае, если слагаемые будут в точности равны диагоналям. Осталось лишь понять, в какой точке О это возможно!
Пусть – произвольная точка привоза товара,
– расстояния от точки привоза до домов; Суммарное расстояние:
Из неравенства треугольника:
Равенство достигается только в случае, когда треугольники вырождаются в отрезки.
Правая часть неравенства не зависит от положения точки
поэтому
Минимум достигается, когда точка совпадает с точкой
поскольку в ней все неравенства
превращаются в
равенство.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти все числа , для которых неравенство
выполняется при всех
и любых
таких, что
Источники:
Подсказка 1
Функции синус и косинус ограничены отрезком [-1;1]. Значит, можно оценить левую часть, избавившись от этих функций.
Подсказка 2
Найдите максимальное значение левой части при фиксированных коэффициентах и покажите, что оно достигается.
Подсказка 3
Используя второе условие, можно нарисовать получившиеся ограничения на C. Из рисунка будет понятно, какие значения подходят под ответ.
Покажем, что значение
всегда достижимо для функции
при
любых
1. Если и
одного знака, то
2. Если и
разных знаков, то
Таким образом, при фиксированных максимальное значение
равно
В круге
величина
принимает наибольшее значение
Итак, при любых в круге
и при любых
справедливо неравенство
так что любое
не удовлетворяет условию задачи, а
искомое.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Члены последовательности удовлетворяют соотношению:
Найти для которого
Источники:
Подсказка 1
Рассмотрим момент, когда появился нулевой член последовательности. Что случается с произведением соседних членов, когда появляется ноль?
Подсказка 2
Рассмотрите последовательность произведений соседних членов. Какому соотношению она удовлетворяет? Как найти ноль?
Подсказка 3
Домножьте равенство, данное в условии, на знаменатель. Какой вид имеет общий член новой последовательности? Найдите ноль)
По условию Элементы последовательности определены пока
Для остальных номеров члены последовательности не
определены.
Пусть Тогда для всех
Последовательность
удовлетворяет соотношению
и представляет собой арифметическую прогрессию с разностью
и первым членом
Общей её
член
равен нулю, если
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На плоскости отмечено множество точек координаты
и
которых связаны соотношением
Круг радиуса расположенный на той же плоскости, не пересекается с множеством
Какие значения может принимать радиус
такого круга?
Источники:
Подсказка 1
Не очень удобно работать с синусами от разных аргументов. Может, попытаться расписать сумму синусов?
Подсказка 2
Что будет, если посмотреть на левую часть как синус двойного угла?
Подсказка 3
Получилось, что нужно разобрать 3 случая, и нарисовать их, для того чтобы понять, какие радиусы нам подходят
В левой части равенства применим формулу синуса двойного угла, а в правой части применим формулу суммы синусов:
Случай 1:
Случай 2:
Семейство горизонтальных прямых на плоскости с уравнениями принадлежат множеству
Случай 3:
Семейство вертикальных прямых на плоскости с уравнениями принадлежат множеству
Семейство прямых разбивает плоскость
на равные прямоугольные треугольники с катетами
и
Радиус круга, вписанного равен
Если радиус круга, не имеющего с
общих точек, имеет радиус
то
его центр принадлежит одному из треугольников разбиения, а окружность его границы имеет общие точки со сторонами треугольника.
Таким образом, радиус такой окружности меньше радиуса вписанной окружности.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точка лежит на ребре
куба
В квадрат
вписан прямоугольник
так, что одной из его вершин
является точка
а три другие расположены на различных сторонах квадрата основания. Прямоугольник
является
ортогональной проекцией прямоугольника
на плоскость верхнего основания
Диагонали четырехугольника
перпендикулярны. Найти отношение
Источники:
Подсказка 1
Давайте ещё рассмотрим четырёхугольник MK₁L₁N. Что мы можем сказать о параллельности его сторон, углах; в целом, какого рода этот четырёхугольник?
Подсказка 2
Так как его стороны MN и L₁K₁ равны и параллельны, то MK₁L₁N — параллелограмм. Также рассмотрим его углы, воспользовавшись теоремой о трёх перпендикулярах. И о чём в таком случае говорит перпендикулярность диагоналей?..
Подсказка 3
Правильно, MK₁L₁N — квадрат. Обозначим сторону куба за а. Тогда можно выразить из AB отрезки AM и MB (пусть один из отрезков равен λa, где λ - некоторая неизвестная). Теперь, чтобы найти отношение АМ:МВ, нам достаточно просто найти λ.
Подсказка 4
MK₁ и MN равны как стороны квадрата MK₁L₁N и к тому же легко выражаются через длины АМ и МВ с помощью нескольких теорем Пифагора. Осталось только верно выразить эти стороны через λ и а и приравнять, сократив а. И не забудьте, что главный вопрос задачи — найти отношение, а не λ!
и
, поэтому четырехугольник
— параллелограмм. По теореме о трёх перпендикулярах угол
прямой, поэтому
— прямоугольник. Его диагонали по условию перпендикулярны, поэтому
—
квадрат.
Пусть — ребро куба,
с неизвестным
Тогда и по теореме Пифагора
Стороны и
равны, поэтому
В итоге
так что