Тема Росатом

Росатом - задания по годам → .08 Росатом 2022

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела росатом

Разделы подтемы Росатом - задания по годам

Росатом 2015 и ранее

Росатом 2016

Росатом 2017

Росатом 2018

Росатом 2019

Росатом 2020

Росатом 2021

Росатом 2022

Росатом 2023

Росатом 2024

Росатом 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#48860

Петя бросает несколько раз на стол игральный кубик и считает сумму очков, выпавших на его верхней грани. Для любого натурального числа $n$ событие $An$ наступает, если эта сумма равна $n$ . Найти вероятность события $A11$ .

Источники: Росатом-2022, московский вариант, 11.4 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Считать количество способов собрать сумму в 11 не очень приятно. Но можно "откатить шаг назад", тогда способов набрать нужную сумму зная, какой она была ход назад, немного проще! Нам также понадобится переменная k — число ходов.

Подсказка 2

Мы знаем, что на k-том шаге у нас равновероятно выпадает каждое из чисел. Тогда нам подходит любая и сумм от n-1 до n-6 на предыдущем шаге!

Подсказка 3

Вероятность того, что на k-том шаге у нас сумма равна n, равна 1/6 от суммы вероятностей того, что на (k-1)-м шаге у нас выпали суммы от n-1 до n-6! Отлично, теперь мы можем спускать до нуля ;)

Подсказка 4

Можно, например, расписать таблицу 11x11 и посмотреть на сумму вероятностей в столбце суммы в 11. Не забудьте про то, что каждое количество шагов тоже наступает с некоторой вероятностью!

Показать ответ и решение

Используем рекуррентную формулу для поиска вероятности $A n,k$ — получить сумму $n$ за $k$ бросков

∑6 ( ) P(An,k)= P(An−i,k−1)⋅ 16 = 16 P(An−6,k−1)+ ...+P (An− 1,k− 1) i=1

Действительно, нам нужно откатиться на один бросок назад, в котором с равными вероятностями выпадают $1,2,3,4,5,6$ . Посчитаем таблицу вероятностей $A n,k$ (не будем явно прописывать знаменатели $6− k$ , оставим только числители)


$k∖n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$

$0$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

$1$	$0$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

$2$	$0$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$5$	$4$	$3$	$2$

$3$	$0$	$0$	$0$	$1$	$3$	$6$	$10$	$15$	$21$	$25$	$27$	$27$

$4$	$0$	$0$	$0$	$0$	$1$	$4$	$10$	$20$	$35$	$56$	$80$	$104$

$5$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$1$	$5$	$15$	$35$	$70$	$126$	$205$

$6$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$1$	$6$	$21$	$56$	$126$	$252$

$7$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$1$	$7$	$28$	$84$	$210$

$8$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$1$	$8$	$36$	$120$

$9$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$1$	$9$	$45$

$10$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$1$	$10$

$11$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$1$

Бросать кубик имеет смысл только от $2$ до $11$ раз, иначе невозможно получить $11$ очков в сумме. Предположим, что каждое количество бросков равновероятно и наступает с вероятностью $110$ , получим формулу

11 P(A11)= 1-∑ P(A11,k) = 10k=2

1 ( 2 27 104 205 252 210 120 45 10 1 ) 1 ( 710 73) = 10-⋅ 62 + 63 +-64-+ 65-+ 66-+ 67-+ 68-+ 69-+ 610 + 611 = 10 ⋅ 611-− 1165

Ответ:

$-1 ⋅( 710-− 1173) 10 611 65$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#48862

По диагоналям оснований $AC$ и $B D 1 1$ куба $ABCDA B C D 1 1 1 1$ с ребром $a$ ползут два муравья Гоша и Леша. Движение они начали одновременно из точек $A$ и $B1$ соответственно с постоянной скоростью, причем скорость Леши была в два раза больше скорости передвижения Гоши и закончили, когда Леша оказался в точке $D1$ . Какое наименьшее расстояние разделяло Гошу и Лешу во время движения?

Источники: Росатом-2022, московский вариант, 11.6 (см. olymp.mephi.ru)

Показать ответ и решение

$PIC$

Фиксируем момент времени $t$

$M, N$ — положение муравьёв в момент $t$ .
$K$ — проекция точки $N$ на диагональ $BD$ .
$ν$ — скорость движения Гоши, $2ν$ — скорость Леши.

Тогда имеем

B1N = BK = 2νt

2 2 ( a )2 ( a )2 AM = νt,KD = 2νt =⇒ OM + OK = √2 − νt + √2-− 2νt

Наконец,

( )2 ( )2 MN2 = f(t)= MK2 + NK2 =a2+ a√-− νt + a√-− 2νt 2 2

Движение закончилось, когда последняя скобка занулилась, то есть при $t= √a2ν$ . Относительно $t$ функция $f(t)$ является квадратным трёхчленом с положительным коэффициентом при $t2$ . Вершина находится в точке $t= t = -a√-⋅ 3 ≤-a√- верш μ 2 5 μ 2$ . Отсюда $2( ) 2 ∘-- fmin = f(tверш)= a2 3− 45 = a1110 =⇒ dmin = a 1110-$ .

Ответ:

$a∘ 11 10$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#67504

Решите уравнение $f(x)= √3⋅g(x)$ для

f(x) =sinx +sin 3x +sin 5x +...+sin2021x; g(x)= cosx +cos3x+cos5x+ ...+cos2021x

Источники: Росатом-22, 10.2 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нужно как-то сжать эти выражения, то есть применить телескопическое суммирование. Для этого будет в самый раз умножить и левую, и правую часть уравнения на sin(x) (подумайте, может ли он вообще быть равен нулю), а затем применить формулы произведения синусов и синуса с косинусом.

Подсказка 2

Да, получится уравнение вида 1 - cos(2x) + cos(2x) - cos(4x) ... + cos(2020x) - cos(2022x) = √3 * sin(2022x). Телескоп сработал -> остается перенести синус с косинусом в одну часть, единичку - в другую, а затем вспомнить формулу вспомогательного угла - ведь коэффициенты 1 и √3 так и намекают на это :)

Показать ответ и решение

Такие тригонометрические телескопические суммы сворачиваются домножением и делением на $sinx$ (при этом нужно сказать, что синус ненулевой, потому что числа вида $x= πn,n ∈ℤ$ решениями уравнения не являются). После домножения получим вот что:

sinx⋅sinx+ sinx⋅sin 3x +...+ sinx ⋅sin2021x=

√- = 3(sinx⋅cosx+ sinx⋅cos3x+ ...sinx ⋅cos2021x)

Применим формулы произведения синусов

cos0x−-cos2x+-cos2x-− cos4x-+...+cos2020x−-cos2022x-= 2

√-sin2x+-sin4x−-sin2x+-...+-sin2022x-− sin-2020x = 3 2

Слагаемые удачно взаимноуничтожаются и остаётся

1− cos2022x= √3sin 2022x

√ - --3sin2022x + 1cos2022x= 1 2 2 2

( ) sin 2022x + π = 1 6 2

Откуда $x= πn-,n∈ ℤ 1011$ или $x = -π-+ -πk-,k∈ ℤ 3033 1011$ . Осталось учесть условие $sinx ⁄=0,$ так что $n ⁄=1011m,m ∈ℤ.$

Ответ:

$-πn , π + πk-, n⁄= 1011m, k,n,m ∈ ℤ 10113033 1011$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#76628

Петя пришел на остановку автобуса, едущего до школы с остановками равноотстоящими друг от друга, и, не увидев автобуса на дороге, решил пробежаться и сесть в автобус на следующих остановках по пути в школу. Бежал Петя так, что в любой момент времени мог заметить появление автобуса на дороге за своей спиной. Увидев автобус, Петя может повернуть назад или сохранить направление движения. Известно, что скорость движения автобуса в 4 раза превосходит скорость бега Пети, а увидеть автобус он может на расстоянии не более 1 км. Найти наибольшее значение расстояния между остановками, при котором независимо от того повернет Петя назад при обнаружении автобуса или нет, он сможет сесть в автобус на остановке. (время нахождения автобуса на остановке не учитывать)

Источники: Росатом-2022, региональный вариант, 11.1 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Это задача на движение и скорости. Значит, здесь можно ввести достаточное количество переменных и тождественными преобразованиями/оценками получить всё, что нам нужно. Если расстояние до остановки, которая сзади Пети - x, а расстояние между остановками равно а (в момент того, как Петя увидел автобус), то нам надо понять, для каких а как надо поступать Пете, чтобы точно сесть на автобус.

Подсказка 2

Это зависит от неравенства со скоростями. Пете удобно бежать к задней остановке, если x/v ≤ (1 - x) / (4v), где v - скорости Пети. То есть когда расстояние до остановки сзади не больше 1/5. Попробуйте написать такое же неравенство, когда ему надо бежать к передней остановке и понять, как оба этих неравенства ограничивают а.

Подсказка 3

(a - x)/v ≤ (1 - x - a)/(4v). Остаётся только написать пример, когда это достигается, но это очевидно делается, если понять, когда в каждом нашем неравенстве достигается равенство.

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $A$ — положение автобуса на дороге в момент, когда его увидел Петя, $P$ — положение Пети на дороге в момент, когда он увидел автобус, $B$ — положение последней остановки, которую миновал Петя к моменту, когда он увидел автобус, $C$ — положение следующей за $B$ остановки, $a$ — расстояние между остановками, $X$ — расстояние между точками $B$ и $P$ , $v$ — скорость бега Пети.

Рассмотрим несколько случаев

Случай 1. Увидев автобус, Петя повернул назад. Петя окажется на остановке $B$ не позднее автобуса и сможет на него пересесть, если

x≤ 1−-x⇒ x ≤ 1 v 4v 5

Случай 2. Увидев автобус, Петя не изменил направления движения. Петя окажется на остановке $C$ не позднее автобуса и сможет на него пересесть, если

a−-x 1− x-+a 1 v ≤ 4v ⇒ a− x≤ 3

Наибольшее допустимое значение $a$ соответствует пересечению прямых $1 x= 5$ и $1 a= x+ 3.$ В итоге находим $-8 amax = 15.$

Ответ:

$-8 15$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#76629

Координаты $(x;y)$ точек в квадрате ${(x;y):0≤x ≤2π,0≤ y ≤ 2π}$ удовлетворяют системе уравнений

{ sin x+siny = sin1 cosx +cosy = cos1

Сколько таких точек находится в квадрате? Найти координаты $(x;y)$ наиболее удаленной точки от центра квадрата.

Источники: Росатом-2022, региональный вариант, 11.2 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Кажется, что если поскладывать и повычитать уравнения из этой системы, то они смогут свернуться по известным нам тригонометрическим формулам, возможно, только стоит домножить их предварительно на что-то.

Подсказка 2

Попробуйте домножить первое уравнение на сos(1), второе на sin(1) и вычесть, а также умножить первое на sin(1), второе на cos(1) и сложить, в первом случае так мы избавимся от противных sin(1), cos(1), а во втором заменим их на 1, поработайте с полученными уравнениями.

Подсказка 3

Мы получили sin(x-1) = sin(1-y), cos(x-1) + cos(y-1) = 1, первое легко решается и может дать нам условия на корни, которые можно использовать во втором.

Показать ответ и решение

Умножаем первое уравнение на $cos1,$ второе — на $sin 1$ и вычитаем результаты:

(sinx+ siny)cos1− (cosx+ cosy)sin1 =0

(sinx cos1− cosxsin 1)+ (sinycos1 − cosysin1)= 0

sin(x− 1)+ sin(y− 1)= 0

sin(x− 1)= sin(1− y)

[ x− 1= 1− y+2πk x− 1= π− 1+ y+2πm

Умножаем первое уравнение на $sin1,$ второе — на $cos1$ и складываем результаты:

(sinx+ siny)sin1+ (cosx+ cosy)cos1 =1

(cosxcos1+ sinxsin 1)+ (cosycos1+sinysin1)= 1

cos(x− 1)+ cos(y− 1) =1

Из последнего равенства и первого уравнения совокупности имеем

⌊ y = π+ 1+ 2πs 2cos(y− 1)= 1⇒ cos(y− 1) =cosπ ⇒ |⌈ 3 3 y = 1− π+ 2πl 3

Из первой серии условию задачи удовлетворяет только $y1 = π + 1, 3$ из второй серии — только $y2 =1 + 5π . 3$ Им соответствуют серия $x1 = 2− y1+2πk,$ содержащая единственное значение $5π x1 = 1+ 3 ,$ и серия $5π- x2 = 2− y2+ 2πk ⇒ x2 = 1− 3 + 2πl$ также содержащая единственное значение $π x2 = 1+ 3.$

Случай соответствующий второму уравнению первой совокупности не реализуется, поскольку получаем противоречие

{ cos(x− 2)= − cos(y− 2) ⇒ 0= 1 cos(x− 2)+cos(y− 2)= 1

Ответ:

$2;(1+ 5π,1+ π),(1 + π ,1+ 5π) 3 3 3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#76631

Блоха Кузя может совершать прыжки по прямой $L.$ Старт для прыжков находится в точке $A$ прямой $L,$ длина одного прыжка $h,$ направление каждого прыжка выбирается случайным и равновозможным. Найти вероятность того, что, сделав от четырех до восьми случайных прыжков, Кузя хотя бы один раз будет находиться на расстоянии $3h$ от $A.$

Источники: Росатом-2022, Москва,11.3 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам нужно найти вероятность какого-то сложного события. Понятно, что она состоит из суммы вероятностей более простых событий, которые входят в сложное. Будет удобно ввести величину, к примеру, p(n,k) — вероятность того, что сделав k прыжков, блоха окажется в точке с координатой nh.

Подсказка 2

Понятно, что p(n,k) определяется рекуррентно через р(n-1, k-1) и p(n+1, k-1), а также мы знаем, чему равно p(n,n). Теперь осталось понять, для каких n и k нам нужны значения p(n,k), и вычислить их.

Подсказка 3

Будет достаточно p(n, k) для n от 4 до 8 и k от 3 до 8. Останется сложить все нужные величины и не забыть, что количество прыжков — от 4 до 8 — равновероятно.

Показать ответ и решение

Обозначение: $pk n$ — вероятность того, сделав $k∈{1,2,...$ } прыжков блоха отклоняется от $A$ на величину $nh,n ∈{±1,±2,...}$ (отрицательные $n$ указывают, что блоха находится слева от $A,$ положительные — справа, число $n = 0$ соответствует точке $A$ ).

Свойства $k pn :$

1) $k pn =0$ для $n 1 n >0,k< n,pn = 2n$

2) $pkn =pk−n$ (равновозможность направления прыжка)

3) попасть на $(k+1)$ прыжке в положение $nh$ возможно по условию только из положений $(n− 1)h$ и $(n+ 1)h$ с вероятностью $0,5,$ поэтому

( ) pkn+1= 1pkn−1+ 1pkn+1 = 1 pkn−1+ pkn+1 2 2 2

4) при фиксированном $k≥ 1$ и всех, для $n >k ⇒ pkn = 0.$ Ниже приведена часть таблицы для определения $pkn$

$PIC$

Вероятности, что Кузя закончил прыжки в точке $3h,$ записаны в столбце с номером $n= 3$ и строками от $k =4$ до $k= 8$ (отмечены желтым). Но Кузя побывал в точке $3h,$ и, если он закончил движение в точках расположенных правее $3h$ (до $8h$ включительно), соответствующие позиции отмечены зеленым. Однако Кузя мог, побывав в точке $3h,$ закончить движение и в симметричных относительно $3h$ точках (т.е. слева от $3h,$ но с теми же вероятностями, что и справа от $3h$ ), поэтому отмеченные зеленым вероятности надо умножить на $2.$ Для $n= −3$ числа те же.

Считаем, что количество прыжков от $4$ до $8$ равновероятно (с вероятностью $1∕5$ ). Тогда суммируем вероятности, отмеченные желтым, добавляем удвоенные вероятности, отмеченные зеленым, результат умножаем на $2$ и на $1∕5.$ Получим

2(-1 5- 1- ( 3- 1-) 21- (-7- -1-) (-7 -1 -1-) ) 73- 5 16 ⋅2+ 32 + 32 ⋅2+ 32 + 64 ⋅2+ 128 + 128 + 128 ⋅2+ 64 + 32 +256 ⋅2 = 160

Ответ:

$-73 160$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#76634

Длины рёбер $a ,a,a 1 2 3$ и $b,b ,b 1 2 3$ прямоугольных параллелепипедов $P A$ и $P B$ — целые числа. Если в параллелепипеде $P A$ увеличить на $1$ длину одного из рёбер $a1,a2$ или $a3,$ то отношение объёмов $VA :VB$ изменится на 3, на 5 или на 7 единиц соответственно. Найдите наименьшее возможное при этих условиях значение отношение объёмов $VA :VB.$

Источники: Росатом-2022, региональный вариант, 11.4 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Понятно, как считать отношение объемов до изменений. Тогда составим уравнения по условию и немного их преобразуем. Что получится и какие выводы можно сделать?

Подсказка 2

Мы можем выразить тройку как разность и понятно, в каком соотношении находятся отношение объемов и одна из сторон. Какие соотношения получатся?

Подсказка 3

Отношение объемов = 3*(a1) = 5*(a2) = 7*(a3). Подумаем, как использовать целочисленность сторон. Получается, что пришли к уравнениям в целых числах?) вспомним, как решать! 3, 5 и 7 даны не зря...

Показать ответ и решение

Обозначим

a1⋅a2⋅a3 C =VA :VB = b1 ⋅b2⋅b3

Из условий получаем

(a1+b-1⋅)b⋅a⋅2b⋅a3-− a1b⋅⋅ab2⋅⋅ab3= 3= 1b-⋅a⋅2b⋅a⋅3b = 1a-⋅C ⇒ C = 3⋅a1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1

Аналогично $C =5 ⋅a2$ и $C =7 ⋅a3.$

В этом случае целое число $C$ делится на $3,5$ и $7.$ С учетом взаимной простоты этих чисел, $C =105k,k ∈ℤ$ и $C ≥ 105.$

Покажем, что $C = 105$ реализуется как отношение объемов некоторых $PA$ и $PB.$ Например, $a1 =35,a2 =21,a3 = 15,b1 = 3,b2 = 5,b3 = 7.$ Тогда

36⋅21-⋅15-− 35⋅21⋅15= -21⋅15 =3 3⋅5⋅7 3⋅5⋅7 3⋅5⋅7

Аналогично,

35⋅22-⋅15- 35⋅21⋅15- -35⋅15 3⋅5⋅7 − 3⋅5⋅7 = 3⋅5⋅7 =5

35⋅21-⋅16-− 35⋅21⋅15= -35⋅21 =7 3⋅5⋅7 3⋅5⋅7 3⋅5⋅7

Ответ: 105

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#76637

Можно ли множество из $2017$ чисел

{log25,log26,log27,...,log22021}

разбить на две части так, чтобы сумма чисел, попавших в одну из этих частей, отличалась от суммы чисел в другой не более, чем на $1$ (по абсолютному значению)?

Источники: Росатом-2022, региональный вариант, 11.5 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Во-первых, давайте сначала хоть как-то разобьем на две группы, а потом будем как-то менять элементы в группах, уменьшая модуль разности. Разобьем на группы так, что в первой группе в аргументе логарифма были только нечетные числа, а в другой только четные. В какой группе больше сумма? Модуль разности больше 1? Как модуль разность можно уменьшить, если мы дошли до идеи менять местами какие-то числа в разных группах?

Подсказка 2

Ну конечно, где нечетные, там сумма больше, при том, больше 1, так как у нас разность log_2(2k + 1) - log_2(2k) > 0, для всех k от 3 до 1010, а еще плюсом прибавляется log_2(5) > 1. Значит, на текущий момент модуль разности больше 1. Тогда давайте попробуем из поменять местами числа log_2(2021) и log_2(2020). Тогда у нас разность уменьшится, при том на сколько меньшее 1. Ну мы чуть-чуть улучшили ситуацию. А что нам мешает делать дальше также?

Подсказка 3

Верно, ничего. Главное понимать, что при каждой такой замене у нас будет уменьшаться разность и ни в какой момент, она не может перепрыгнуть с чего-то, что больше 1, на что-то что меньше -1, из-за того, что уменьшаем не более чем на 1. Тогда у нас рано или поздно модуль станет меньше 1, так как в начальный момент разность больше 1, а в конечный меньше -1(когда мы полностью поменяли группы). Значит, победа!

Показать ответ и решение

На первом шаге в группе $A$ разместим логарифмы нечетных чисел, а в группе $B$ — четных:

A = {log25,log27,log29,...,log22021}

B ={log26,log28,log210,...,log22020}

Обозначим через $σA,σB$ суммы чисел в группах $A$ и $B$ соответственно. Покажем, что $σA − σB > 1.$ Действительно,

(|| log27> log26 |||{ log29> log28 | .. ⇒ σA− log25> σB ⇒ σA− σB > log25 >1 ||||( . log22021> log22020

Перенесем число $log22021$ из группы $A$ в группу $B,$ а число $log2 2020$ наоборот — из $B$ в $A.$ Поскольку $log2 2021> log22020$ разность $σA − σB$ уменьшилась на величину

2021 ( 1 ) log22021− log2 2020= log22020 = log2 1+ 2020 < 1

Если для вновь образованных множеств $A$ и $B$ разность $σA − σB >0,$ меняем местами числа $log22019$ и $log22018.$ По-прежнему, разность $σA − σB$ уменьшается на величину

log22019− log22018= log2 2019< 1 2018

Если разность $σA− σB > 0,$ по процесс перекладывания чисел из одного множества в другое может быть продолжен. Если на каком-то шаге $σA − σB$ поменяет знак, то $|σA− σB|<1$ и искомое разбиение достигнуто. Это обязательно произойдет за конечное число шагов, поскольку замена множеств $A$ и $B$ местами приводит к смене знака величины $σA − σB.$

Ответ: да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#76639

Клиенты интернет магазина «Али-экспресс» проживают в семи домах, расположенных в вершинах выпуклого семиугольника. От жителей первого дома поступил один заказ, от второго дома – два заказа, и т.д. от жителей шестого – шесть заказов. А вот жители последнего седьмого дома сделали $21$ заказ. Менеджер магазина задумался о том в какое место следует доставить все заказы, чтобы суммарное расстояние, преодолеваемое всеми клиентами для получения товара, было минимально возможным. Помогите ему в решении этой задачи и обоснуйте результат.

Источники: Росатом-2022, московский вариант, 11.1 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть точка О - выбранная нами. Обозначим расстояние от О до i-того дома за d_i. Какую сумму мы хотим минимизировать? Что интересного можно заметить среди коэффициентов?

Подсказка 2

Заметим, что 21 = 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1. Как тогда можно преобразовать нужную нам сумму? Как можно оценить слагаемые, если смотреть на расположение домой как на выпуклый многоугольник?

Подсказка 3

Мы хотим минимизировать (d1 + d7) + 2(d2 + d7) + 4(d4 + d7) + 5(d5 + d7) + 6(d6 + d7). Каждое слагаемое можно оценить с помощью диагонали в выпуклом многоугольнике, который образуют дома.

Подсказка 4

Получается, что минимизировать нужную нам сумму получится только в случае, если слагаемые будут в точности равны диагоналям. Осталось лишь понять, в какой точке О это возможно!

Показать ответ и решение

Пусть $O$ – произвольная точка привоза товара, $d ,d,,...,d 1 2 7$ – расстояния от точки привоза до домов; Суммарное расстояние:

∑ =1 ⋅d1+ 2d2+3d3+ 4d4 +5d5+ 6d6+ 21d7 =

= (d1+ d7)+ 2(d2+ d7)+4(d4+d7)+ 5(d5+ d7)+ 6(d6+ d7)

$PIC$

Из неравенства треугольника:

d1+d7 ≥ A7A1, d2+ d7 ≥ A7A2, d3+d7 ≥A7A3, d4+ d7 ≥ A7A4,

d5+ d7 ≥ A7A5, d6+d7 ≥ A7A6 (1)

Равенство достигается только в случае, когда треугольники вырождаются в отрезки.

∑ ≥A7A1 +2 ⋅A7A2 +3 ⋅A7A3 +4 ⋅A7A4 +5 ⋅A7A5 +6⋅A7A6 (2)

Правая часть неравенства $(2)$ не зависит от положения точки $O,$ поэтому

min∑ ≥A7A1 +2⋅A7A2 +3⋅A7A3 +4⋅A7A4 +5⋅A7A5+ 6⋅A7A6

Минимум достигается, когда точка $O$ совпадает с точкой $A7,$ поскольку в ней все неравенства $(1)$ превращаются в равенство.

Ответ: товары следует доставить в седьмой дом

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#76643

Найти все числа $C$ , для которых неравенство $|αsin x+β cos2x|≤C$ выполняется при всех $x$ и любых $(α;β)$ таких, что $2 2 α + β ≤ 4.$

Источники: Росатом-2022, московский вариант, 11.2 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Функции синус и косинус ограничены отрезком [-1;1]. Значит, можно оценить левую часть, избавившись от этих функций.

Подсказка 2

Найдите максимальное значение левой части при фиксированных коэффициентах и покажите, что оно достигается.

Подсказка 3

Используя второе условие, можно нарисовать получившиеся ограничения на C. Из рисунка будет понятно, какие значения подходят под ответ.

Показать ответ и решение

$f(x)= |αsin x+β cos2x|≤|α||sinx|+ |β||cos2x|≤ |α|+ |β|.$ Покажем, что значение $|α|+ |β|$ всегда достижимо для функции $f(x)$ при любых $(α;β):$

1. Если $α$ и $β$ одного знака, то $(3π) f 2 = |− α − β|= |α|+ |β|;$

2. Если $α$ и $β$ разных знаков, то $(π) f 2 =|α− β|=|α|+|β|$

Таким образом, при фиксированных $(α;β)$ максимальное значение $f(x)$ равно $|α|+|β|.$ В круге $2 2 α +β ≤4$ величина $|α|+ |β|$ принимает наибольшее значение $√- 2 2.$

$PIC$

Итак, при любых $(α;β)$ в круге $α2 +β2 ≤4$ и при любых $x$ справедливо неравенство $f(x)= |αsin x+β cos2x|≤2√2,$ так что любое $C < 2√2$ не удовлетворяет условию задачи, а $C ≥2√2$ искомое.

Ответ:

$C ≥ 2√2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#76644

Члены последовательности $a n$ удовлетворяют соотношению:

-2-- an+2 = an− an+1 ,a1 = 8,a2 =19

Найти $n,$ для которого $an = 0.$

Источники: Росатом-2022, московский вариант, 11.3 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Рассмотрим момент, когда появился нулевой член последовательности. Что случается с произведением соседних членов, когда появляется ноль?

Подсказка 2

Рассмотрите последовательность произведений соседних членов. Какому соотношению она удовлетворяет? Как найти ноль?

Подсказка 3

Домножьте равенство, данное в условии, на знаменатель. Какой вид имеет общий член новой последовательности? Найдите ноль)

Показать ответ и решение

По условию $a,a ⁄= 0. 1 2$ Элементы последовательности определены пока $a ⁄= 0. n+1$ Для остальных номеров члены последовательности не определены.

Пусть $an+1 ⁄=0,an+2 = 0.$ Тогда для всех $k ≤n ⇒ ak+1ak− 2.$ Последовательность $bk = ak+1ak$ удовлетворяет соотношению $bk+1 = bk − 2$ и представляет собой арифметическую прогрессию с разностью $d= −2$ и первым членом $b1 =a2a1 = 8⋅19=152.$ Общей её член $bk = b1− 2(k− 1)$ равен нулю, если

2(k − 1)= 152 ⇒ k= 77⇒ b77 =a77⋅a78 =0 ⇒ a78 = 0

Ответ:

$78$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#76647

На плоскости отмечено множество точек $M,$ координаты $x$ и $y$ которых связаны соотношением

sin(2x +3y)= sin2x+ sin3y.

Круг радиуса $R,$ расположенный на той же плоскости, не пересекается с множеством $M.$ Какие значения может принимать радиус такого круга?

Источники: Росатом-2022, московский вариант, 11.5 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Не очень удобно работать с синусами от разных аргументов. Может, попытаться расписать сумму синусов?

Подсказка 2

Что будет, если посмотреть на левую часть как синус двойного угла?

Подсказка 3

Получилось, что нужно разобрать 3 случая, и нарисовать их, для того чтобы понять, какие радиусы нам подходят

Показать ответ и решение

В левой части равенства применим формулу синуса двойного угла, а в правой части применим формулу суммы синусов:

2x+ 3y 2x+ 3y 2x+ 3y 2x − 3y 2sin---2--cos--2---= 2sin--2---cos--2---

2x+ 3y( 2x+ 3y 2x− 3y) 2sin---2-- cos--2---− cos---2-- =0

−4sin 2x-+3ysin3ysinx =0 2 2

Случай 1: $sin2x+3y-= 0⇒ 2x+ 3y =2πk,k∈ ℤ (1) 2$

Случай 2: $sin3y= 0⇒ y = 2πk,k∈ ℤ (2) 2 3$

Семейство горизонтальных прямых на плоскости с уравнениями $(2)$ принадлежат множеству $M.$

Случай 3:

$sinx= 0,y− любое ⇒ x= πk,k ∈ℤ.(3)$

Семейство вертикальных прямых на плоскости с уравнениями $(3)$ принадлежат множеству $M.$ Семейство прямых разбивает плоскость на равные прямоугольные треугольники с катетами $π$ и $2π: 3$

$PIC$

Радиус круга, вписанного $△ABC,$ равен $5−√613π.$ Если радиус круга, не имеющего с $M$ общих точек, имеет радиус $R ≥ 5−√613π,$ то его центр принадлежит одному из треугольников разбиения, а окружность его границы имеет общие точки со сторонами треугольника. Таким образом, радиус такой окружности меньше радиуса вписанной окружности.

Ответ:

$( 5− √13 ) 0;--6---π$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#76648

Точка $M$ лежит на ребре $AB$ куба $ABCDA B C D . 1 1 1 1$ В квадрат $ABCD$ вписан прямоугольник $MNLK$ так, что одной из его вершин является точка $M,$ а три другие расположены на различных сторонах квадрата основания. Прямоугольник $M1N1L1K1$ является ортогональной проекцией прямоугольника $MNLK$ на плоскость верхнего основания $A1B1C1D1.$ Диагонали четырехугольника $MK1L1N$ перпендикулярны. Найти отношение $AM :MB.$

Источники: Росатом-2022, московский вариант, 11.6 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте ещё рассмотрим четырёхугольник MK₁L₁N. Что мы можем сказать о параллельности его сторон, углах; в целом, какого рода этот четырёхугольник?

Подсказка 2

Так как его стороны MN и L₁K₁ равны и параллельны, то MK₁L₁N — параллелограмм. Также рассмотрим его углы, воспользовавшись теоремой о трёх перпендикулярах. И о чём в таком случае говорит перпендикулярность диагоналей?..

Подсказка 3

Правильно, MK₁L₁N — квадрат. Обозначим сторону куба за а. Тогда можно выразить из AB отрезки AM и MB (пусть один из отрезков равен λa, где λ - некоторая неизвестная). Теперь, чтобы найти отношение АМ:МВ, нам достаточно просто найти λ.

Подсказка 4

MK₁ и MN равны как стороны квадрата MK₁L₁N и к тому же легко выражаются через длины АМ и МВ с помощью нескольких теорем Пифагора. Осталось только верно выразить эти стороны через λ и а и приравнять, сократив а. И не забудьте, что главный вопрос задачи — найти отношение, а не λ!

Показать ответ и решение

$K L ||KL ||MN 1 1$ и $K L = KL = MN 1 1$ , поэтому четырехугольник $MK L N 1 1$ — параллелограмм. По теореме о трёх перпендикулярах угол $∠K1MK$ прямой, поэтому $MK1L1N$ — прямоугольник. Его диагонали по условию перпендикулярны, поэтому $MK1L1N$ — квадрат.