Тема Росатом

Росатом - задания по годам → .09 Росатом 2023

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела росатом

Разделы подтемы Росатом - задания по годам

Росатом 2015 и ранее

Росатом 2016

Росатом 2017

Росатом 2018

Росатом 2019

Росатом 2020

Росатом 2021

Росатом 2022

Росатом 2023

Росатом 2024

Росатом 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#68074

Петя и Вася пригласили одноклассников на свой день рожденья в дом Пети и посадили всех за круглый стол пить чай. Петя отметил для себя наименьшее число стульев, разделяющих его с каждым из приглашенных гостей, кроме Васи. Сложив полученные числа, он получил 60 . Найти число стульев за столом, если известно, что оно четное. Какое наименьшее число стульев разделяло Петю и Васю?

Источники: Росатом-2023, 11.1, Москва (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем для начала ввести удобные обозначения для количества людей между Петей и человеком. Заметим, что Петя считал наименьшие расстояния до людей на окружности. Тогда что особенного с подсчётом на ней? Можем ли мы просто пронумеровать подряд людей, и это будет правильно?

Подсказка 2

Верно, когда мы считаем наименьшее число на окружности, например, по часовой стрелке, то при переходе через середину это число уже не будет наименьшим, потому что мы могли пойти против часовой и получить меньшее число. Значит, мы нумеруем людей через подсчитанные расстояния Пети до середины, а потом в обратном порядке. Учитывая, что всего чётное число людей, найти сумму этих расстояний, включая Васю не составляет труда. Чтобы воспользоваться дальнейшим условием задачи, что хорошо ввести?

Подсказка 3

Да, можно ввести то, что спрашивают у нас в задаче. То есть пусть всего людей было 2n, а подсчитанное расстояние до Васи это y. Тогда мы понимаем как записывается то, что посчитал Петя и чему оно равно по условию. Также можно написать условие для расстояния до Васи, снова учитывая, что мы считаем его на окружности. У нас получилась система, решив которую для натурального n, мы получим ответы на задачу.

Показать ответ и решение

Пусть за столом стояло $2n$ стульев (т.е. за столом сидело всего $2n$ человек). На круге точками отмечены стулья. Числом рядом с точкой обозначено количество стульев, разделяющих Петю и человека, сидящего на этом стуле.

Тогда число стульев, посчитанных Петей, включая Васю, равно

2 2(1+ 2+ 3+ ⋅⋅⋅+(n− 2))+ (n− 1)= (n− 1)(n− 2)+(n− 1)=(n− 1)

Обозначим $K B$ число стульев, вычисленное для Васи. Тогда

({ 2 ({ 2 (|{ 2 (n − 1) − KB =60 ⇔ KB =(n− 1) − 60 ⇔ KB =√-(n − 1) − 60√- ( 0≤ KB ≤(n− 1) ( 0≤ (n − 1)2− 60≤ (n− 1) |( 1+ 60≤ n≤ 3+-2241

Учитывая, что $n∈ ℕ$ , $8< 1+ √60$ , $√--- 8< 3+--241< 10 2$ , получим единственное натуральное решение двойного неравенства: $n = 9$ . Тогда число стульев за столом равно $2n = 18$ , а количество стульев, разделяющих Петю и Васю, $KB = (n− 1)2− 60= 64− 60=$ $=4.$

Ответ: за столом 18 стульев, разделяло минимум 4

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#68075

Решить уравнение

( 4 )( 4 ) 2 2 sin 5x+ 1 sin 3x+ 1 = 4sin 5x⋅sin 3x.

Источники: Росатом-2023, 11.2, Москва (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы видим, что относительно замены a=sin^2(5x), и b=sin^2(3x) уравнение симметрично. Попробуйте оценить каждую из скобок снизу по отдельности и подумать, что это дает(размышления про симметрию нужны, так как, вероятно, нужно как-то по одному алгоритму оценивать каждую из скобок).

Подсказка 2

Верно, мы можем оценить, что первая скобка - это хотя бы 2sin^2(5x), а вторая - хотя бы 2sin^2(3x) (так как t^2+1>=2t - по неравенству о средних или просто можно перенести в левую часть все). Значит, левая часть почти всегда больше или равна правой. Что это дает нам? Какая система из этого следует?

Подсказка 3

Действительно, у нас выходит, что sin^2(3x)=sin^2(5x)=1 А это значит, что |sin(3x)|=1=|sin(5x)|. Остается решить эту систему и получить ответ.

Показать ответ и решение

Выполним равносильные преобразования в исходном уравнении:

4 4 4 4 2 2 sin 5x ⋅sin 3x +sin 5x+ sin 3x+ 1− 4sin 5x⋅sin 3x = 0

(sin45x⋅sin43x− 2sin25x⋅sin23x+ 1)+ (sin45x − 2sin25x ⋅sin23x +sin43x)= 0

(sin25x⋅sin23x− 1)2+ (sin25x − sin23x)2 = 0

Сумма неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю. Тогда

( {sin25x⋅sin23x− 1= 0 (sin25x− sin23x= 0

Учитывая ограниченность синуса, имеем

( ( π ( π πn { |sin5x|=1 |{ 5x= 2 +πn |{ x= 10 +-5 ,n ∈ℤ ( |sin3x|=1 ⇔ |( 3x= π +πm ⇔ |( x= π + πm-,m ∈ℤ 2 6 3

Далее находим пересечение серий

({ π-+ πn = π+ πm-⇔ 3n− 5m =1 ⇔ n =2 +5k ,k ∈ℤ 10 5 6 3 (m = 1+3k

Окончательно получаем $π x= 2 + πk,k ∈ℤ$

Ответ:

$π + πk,k ∈ℤ 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#68076

Найти все целые решения уравнения

√---- √- (√ - )2022 n+ 1− n = 2− 1

Источники: Росатом-2023, 11.3, Москва (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте сначала обратим внимание на данные нам числа. Что в них можно увидеть особенного? Что если записать числа в левой части без корня?

Подсказка 2

Верно, без корней они дают разницу единицу, так как отличаются на 1. Но ведь мы можем это сделать, нужно только умножить число на сопряжённое и разделить, чтобы ничего не поменялось. Тогда какое выражение с точки зрения функции у нас получилось? Сколько решений имеет это уравнение?

Подсказка 3

Ага, слева у нас получилась убывающая функция, а справа константа. Откуда это уравнение имеет не более одного решения. Давайте попробуем составить систему из двух уравнений. Что тогда у нас получится?

Подсказка 4

Верно, аналогичными преобразованиями с сопряжёнными числами, получим второй уравнение, а дальше большое страшное n. Осталось понять, почему оно целое. А нельзя ли просто раскрыть скобки по биному Ньютона и посмотреть, что получится? Попробуйте это сделать, и задача решена!

Показать ответ и решение

Заметим, что левая часть уравнения имеет смысл при $n ≥0$ Выполним преобразование в левой части:

√---- √- (√n-+1-− √n-)(√n-+1+ √n) 1 n+ 1− n = ------√n+-1+-√n-------= √n+-1+-√n-

Следовательно, $√---- - n+ 1− √n$ монотонно убывает с ростом $n$ , а значит, рассматриваемое уравнение имеет не более одного решения. Учитывая, что $( )( ) √2 − 1 √2 +1 =1$ , имеем равносильное исходному уравнение $( ) √n-+-1+√n-= √2+ 1 2022$ . Тогда получим

( { √n+-1− √n =(√2− 1)2022 √- √- 2022 √- 2022 ( √n+-1+ √n =(√2+ 1)2022 ⇒ 2 n =( 2 +1) − (2 − 1) ⇒

( (√2-+1)2022− (√2-− 1)2022)2 ⇒ n= ---------2-----------

Покажем, что найденное число является целым (натуральным). Имеем по биному Ньютона

( √- √- )2 (20∑22 k 20∑22 k)2 ( 2+ 1)2022− ( 2− 1)2022 = Ck202222 − (−1)kCk202222 = k=0 k=0

( √- 10∑10 )2 = 2 2 C220k+212 2k , k=0

отсюда

( √- 2022 √ - 2022)2 (√ -10∑10 )2 (10∑10 )2 n= (-2-+1)---−-(-2− 1)-- = 2 C22k02+21 2k =2 C22k02+21 2k ∈ℤ 2 k=0 k=0

Ответ:

$1 ((√ )2022 (√- )2022)2 4 2+ 1 − 2− 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#68077

Решить уравнение

( ∘ --2----)( ∘ --2--------) log2 x+ log2x+ 1 log2(x− 2)+ log2(x − 2)+ 1 = 1

Источники: Росатом-2023, 11.4, Москва (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте внимательно посмотрим на две наши скобки. Там похожие логарифмы под корнями и без них. На что тогда можно попробовать умножить обе части нашего уравнение? Конечно, учитывая ОДЗ.

Подсказка 2

Верно, давайте по очереди умножим обе части уравнения сначала на сопряжённое число одной скобки, а потом на другое. Получатся два новых уравнения. Что с ними можно сделать, чтобы совсем избавиться от корней?

Подсказка 3

Да, давайте просто вычтем одно из другого и получим уравнение только с основанием 2. Далее применяя свойства логарифмов, дорешать задачу несложно. Не забудьте про ОДЗ.

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ: $x> 2$ . Заметим, что на ОДЗ выполнено, что $∘--2---- log2x± log2x +1⁄= 0$ , $∘ --2-------- log2(x− 2)± log2(x − 2)+ 1⁄= 0$ .

Умножая правую и левую части исходного уравнения на $∘ ------- log22x+ 1− log2x$ и учитывая, что $( ∘ -------)(∘ ------- ) log2x + log22x+ 1 log22x+ 1− log2x =1$ , получим равносильное уравнение

∘ ----------- ∘ ------- log2(x− 2)+ log22(x− 2)+1 = log22x+ 1− log2x

(1)

Далее, умножая правую и левую части исходного уравнения на $∘log2(x-− 2)+-1− log(x− 2) 2 2$ , получим также равносильное уравнение (ниже поменяли местами левую и правую части)

∘ --2-------- ∘ --2---- log2(x − 2)+ 1− log2(x− 2)=log2x + log2x+ 1

(2)

Вычитая из уравнения (2) уравнение (1), получаем:

log2x +log2(x− 2)=− (log2x +log2(x− 2))

log2x+ log2(x− 2)= 0

( ( ( {log2(x(x− 2))= 0 {x2− 2x= 1 { x= 1± √2 √ - ( ⇔ ( ⇔ ( ⇔ x = 1+ 2 x > 2 x >2 x> 2

Ответ:

$1+ √2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#68078

На клетках шахматной доски размером $8 ×8$ случайным образом расставлены 4 одинаковых фигуры. Найти вероятность того, что три из них будут находиться либо на одной горизонтали, либо на одной вертикали, либо на одной из двух главных диагоналей.

Источники: Росатом-2023, 11.5, Москва (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумаем, а как же нам считать благоприятные исходы для подсчёта вероятности? Мы знаем, что нами должна быть выбрана линия, на которой располагается хотя бы 3 фигурки. Сколько таких вариантов?

Подсказка 2

Попробуйте посчитать количество благоприятных исходов для одной линии. На каждой линии должны быть выбраны либо 4 места для всех фигур, либо 3 места на линии и одна клетка на остальной части доски.

Показать ответ и решение

Общее число равнозначных исходов расстановоки фигур есть выбор произвольных $4$ клеток из имеющихся $64$ , т.е. оно равно $4 -64!- C64 = 60!⋅4! = 16⋅21⋅31⋅61$ .

Благоприятный исход может в двух случаях: три одинаковые фигуры находятся на одной линии и одна не на этой линии, либо четыре одинаковых фигуры на одной линии. Тогда число благоприятных исходов для одной линии (горизонтали, вертикали или главной диагонали) равно $3 1 4 C8 ⋅C56+ C8 = 3206 =2 ⋅7 ⋅229$ . Всего имеется 18 различных линий (горизонталей, вертикалей и главных диагоналей). Итого число благоприятных исходов равно $18⋅2⋅7⋅229$ .

Искомая вероятность есть отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

18⋅2⋅7⋅229 687 P (A) =16⋅21⋅31⋅61 = 7564

Ответ:

$-687 7564$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#68079

На ребре $AC$ основания треугольной пирамиды $ABCD$ расположена точка $M$ так, что $AM :MC = 1:2$ . Через середину ребра $BC$ основания пирамиды проведена плоскость $P$ , проходящая через точку $M$ и параллельная боковому ребру $CD$ . В каком отношении плоскость $P$ делит объем пирамиды?

Источники: Росатом-2023, 11.6, Москва (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте для начала построим сечение плоскостью P нашей пирамиды.

Подсказка 2

Пользуясь параллельностью, мы сможем из подобия найти, в каком отношении плоскость P делит рёбра пирамиды, а значит мы сможем найти и...

Подсказка 3

Как относятся высоты маленьких пирамидок и высотам из точек A и D пирамиды ABCD.

Подсказка 4

Нам достаточно найти, какую часть объёма всей пирамиды ABCD составляет объём многогранника, лежащего со стороны вершины A. Чтобы найти его объём, можно...

Подсказка 5

Разбить его на две пирамидки. А объём каждой из них мы сможем выразить через объём всей пирамиды ABCD, потому что знаем отношения высот и отношения площадей оснований.

Показать ответ и решение

Построим сечение. Поскольку секущая плоскость параллельна ребру $CD$ , она пересечет плоскость $ACD$ по прямой $MP$ , параллельной $CD$ , а плоскость $BCD$ — по прямой $NQ$ , также параллельной $CD$ . Соединим точки $P$ и $Q$ , лежащие в одной плоскости, и точки $M$ и $N$ , лежащие в одной плоскости, получим $MP QN$ — искомое сечение.

Пусть $V$ — объем пирамиды, $V1$ — сумма объемов пирамид $PABNM$ и $PQBN$ и $V2 = V − V1$ .

Из подобия пар треугольников $ACD$ и $AMP$ и из условия задачи получим, что

AM = x,MC = 2x,AP = y,P D =2y

Отсюда следует, что

y- 1 HP = 3y ⋅HD = 3HD,

где $HP$ — высота, опущенная из вершины $P$ пирамиды $PABNM$ , $HD$ — высота, опушенная из вершины $D$ пирамиды $ABCD$ .

А также значит, что площадь основания пирамиды $P ABNM$ равна:

2x u 2 SABNM =SABC − SMNC = SABC − 3x ⋅ 2u-⋅SABC = 3SABC

Тем самым:

VPABNM = 1HP ⋅SABNM = 1 ⋅ 1⋅HD ⋅ 2SABC = 2V 3 3 3 3 9

Аналогично из подобия пар треугольников $BCD$ и $BNQ$ и из условия задачи получим, что

CN =NB =u,BQ = QD = z

Отсюда следует, что

′ 2y 2 HP = 3y ⋅HA = 3HA,

где $H ′P$ — высота, опущенная из вершины $P$ пирамиды $PQBN$ , $HA$ — высота, опущенная из вершины $A$ пирамиды $ABCD$ .

А также значит, что площадь основания пирамиды $P QBN$ равна:

SBNQ = u-⋅ z-⋅SBCD = 1SBCD 2u 2z 4

Тем самым:

1 ′ 1 2 1 1 VPQBN = 3HP ⋅SQBN =3 ⋅3HA ⋅4SDBC = 6V

Теперь можно записать, что

2 1 7- V1 = VPABNM + VPQBN = 9V + 6V = 18V

7 V1= --V1--= --18V--= -7 V2 V − V1 V − 7V 11 18

Ответ:

$-7 11$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#69996

Решите уравнение:

|| ∘ ----2|| √- ∘ ----2- |2x − 1− 4x |= 4 2⋅x⋅ 1− 4x

Источники: Росатом-2023, 10.4 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Начнем с базовых вещей. Напишите ОДЗ и подумайте, как на этих ограничениях грамотно избавиться от модуля

Подсказка 2

Конечно, необходимо возвести обе части в квадрат и сделать преобразования. Заметим, что выражение 1-4x² встречается в обеих частях уравнения. Хочется сделать замену, однако если заменить t = sqrt(1-4x²), получим уравнение с двумя неизвестными, зависящими друг от друга, что плохо. Какая замена будет более удобной?

Подсказка 3

Замена: t = 4x * sqrt(1-4x²). Осталось дорешать квадратное уравнение на t, затем биквадратное на x и не забыть проверить все ограничения!

Показать ответ и решение

Уравнение эквивалентно системе

(| x≥ 0 |{ 2 ||( 1(− 4x√≥-0--)2 ( √- √-----)2 ⇐ ⇒ 2x − 1− 4x2 = 4 2x 1− 4x2

( |{ x≥ 0[ 1 1] |( x∈2 − 2;√2----2 2 2( 2) 4x − 4x 1− 4x + 1− 4x = 32x 1 − 4x

В итоге получаем

{ x∈[0;1] −4x√12−-4x2-+1= 32x2(1 − 4x2)

Введем переменную $t= 4x√1-− 4x2, t≥ 0$ . Тогда уравнение принимает вид

2 −t+ 1= 2t

2 2t +t− 1= 0

Решая квадратное уравнение, находим $t= −1, t= 1 2$ . С учетом неотрицательности $t$ , выбираем $t= 1 2$ . В итоге получаем уравнение для нахождения $x$

4x∘1-− 4x2 = 1, x ∈[0;1] 2 2

Решим это уравнение

( ) 64x2 1− 4x2 = 1 ⇐⇒ 256x4− 64x2+1 =0 =⇒

32± √322−-256 32 ±16√3 2±√3- =⇒ x2 =-----256----- = --256---= -16--> 0.

Тогда, с учетом неотрицательности $x$ , находим $√--√- x = -2±4-3$ . Осталось проверить условие $x≤ 12 :$

∘---√- -2±--3-≤ 1 4 2

√ - 2± 3≤ 4

± √3≤ 2

Неравенство верно, значит, оба корня подходят.

Ответ:

$√2-±√3 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#75111

Решите уравнение

logsinxsin2x+ logsin2x sin3x+ logsin3x sinx=

=logsin2xsinx +logsin3xsin 2x +logsinxsin3x

Источники: Росатом-2023, 11.2, региональный (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что первым делом нужно написать в уравнении с логарифмами?

Подсказка 2

Конечно, ОДЗ! Само уравнение выглядит довольно страшно, но не видите ли вы в нём много похожего?

Подсказка 3

Подумайте, как можно выразить все логарифмы из правой части через логарифмы в левой части. Тогда можно будет ввести замену: заменяем первый логарифм, второй... а третий ведь можно выразить через первые два!

Подсказка 4

Получили красивое уравнение, но, правда, с двумя переменными... Не спешите пугаться! Его можно разложить на скобочки :) Останется только решить получившуюся совокупность, не забыв учесть ОДЗ и ограничение на знаменатель

Показать ответ и решение

Областью определения функций, входящих в исходное уравнение, являются значения $x$ , при которых $sinx ∈(0;1),sin2x∈ (0;1),sin3x∈$ $(0;1).$

Положим $u =logsinx sin2x$ и $v = logsin2x sin3x$ . Тогда, по формулам перехода от одного основания логарифма к другому имеем

logsinxsinx 1 1 logsin2xsinx = logsinxsin2x = logsinx-sin2x = u,

logsin3xsinx = logsin2xsinx-= -1. logsin2x sin3x uv

Далее, аналогично, $log sin2x= 1 sin3x v$ и $log sin3x= uv sinx$ . После этого исходное уравнение запишется так:

1- 1 1 u+ v+ uv = u + v + uv.

Перенося все члены из левой части уравнения в правую и выполняя стандартные преобразования, получаем

v+-u+-u2v2-− u2v−-uv2− 1 (u-+v)−-uv(u+-v)+(u2v2−-1)- uv = uv = = (u+-v)(1−-uv)+-(uv− 1)(uv-+1)= (uv−-1)(uv−-u− v-+1)= uv uv = (uv−-1)(u(v− 1)−-(v-− 1))= (uv− 1)(1-− u)(v-− 1)= 0. uv uv

Поэтому решениями преобразованного уравнения являются все значения $u$ и $v$ , удовлетворяющие хотя бы одному из равенств $u= 1$ , или $v =1$ , или $uv = 1$ при условии (это относится только к первым двум равенствам) $uv ⁄= 0$ .

Возвращаясь к исходному уравнению отсюда следует, что с учётом области определения, его решениями являются решения совокупности

u= logsinxsin2x =1,v = logsin2xsin3x= 1,uv =logsinx sin3x= 1.

Эта совокупность на области определения эквивалентна совокупности уравнений

sinx =sin2x,sin2x =sin 3x,sinx =sin 3x.

Рассмотрим первое уравнение совокупности:

sinx= sin2x⇔ sin x− sin2x= 0⇔ sinx− 2sinxcosx= 0⇔ sinx(1− 2cosx)= 0.

Это уравнение на области определения решений не имеет.

Рассмотрим второе уравнение совокупности:

sin2x= sin3x⇔ sin 3x − sin 2x =0 ⇔ 3x − 2x 3x+ 2x x 5x sin --2--cos--2---= sin2 cos 2-= 0.

Решения уравнения $sin x2 = 0$ в область определения не входят. Решениями уравнения $cos5x2-= 0$ являются $52x= π2 + πk,k$ — целое, т.е. $x = π5 + 2π5-k$ . При $k$ кратном $5$ такие $x$ принадлежат области определения, при остальных значениях $k$ - нет.

Рассмотрим третье уравнение совокупности:

sinx= sin3x⇔ sin 3x − sin x= 0⇔ sin 3x−-xcos 3x-+x-= sinxcos2x =0. 2 2

Решения уравнения $sinx =0$ в область определения не входят. Если $cos2x= 0$ , то $sin 2x =±1$ , поэтому решения уравнения $cos2x= 0$ в область определения также не входят.

Ответ:

$π + 2πn,n∈ Z 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#76941

Длина стороны $AD$ четырехугольника $ABCD$ вписанного в окружность равна 5 . Точка $M$ делит эту сторону в отношении $AM :MD = 1:4$ , а прямые $MC$ и $MB$ параллельны сторонам $AB$ и $CD$ соответственно. Найти длину стороны $BC$ четырехугольника.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу обозначим все углы, вытекающие из параллельности. Как использовать отношение, данное в условии? Какую связь можно заметить между треугольниками на картинке?

Подсказка 2

Треугольники ABM и MCD подобны с коэффициентом 4. О равенстве каких углов теперь можно утверждать? Что хочется сказать о треугольнике BMC? Какое условие мы еще не использовали?

Подсказка 3

Докажем, что треугольник BMC подобен ABM и MCD. Помним, что четырехугольник вписан.

Подсказка 4

Теперь при помощи трех попарно подобных треугольников мы можем найти связь нужной нам BC и известной AD. Было бы удобно найти коэффициент подобия BAM и MBC…Как это сделать?

Подсказка 5

Обозначим стороны треугольника BAM через переменные. Остаётся лишь записать цепочку равенств! В этом нам может помочь данное в условии отношение)

Показать ответ и решение

$PIC$

Прямые $MB$ и $CD$ параллельны, поэтому углы $BMA$ и $CDA$ равны (обозначены на рисунке цифрой 2 ), аналогично равны углы $BAM$ и $CMD$ (обозначены на рисунке цифрой 3). Отсюда следует подобие треугольников $BAM$ и $CMD$ с коэффициентом подобия 4 и равенство углов $ABM$ и $MCD$ (обозначены на рисунке цифрой 1). Заметим, что $ˆ1 +ˆ2+ ˆ3= π$ .

Покажем, что треугольник $MBC$ подобен треугольникам $BAM$ и $CMD$ , вершины треугольников перечислены в порядке соответствия. Углы $DCM$ и $BMC$ , полученные при пересечении прямой $CM$ параллельными прямыми $MB$ и $CD$ , равны как внутренние накрест лежащие. Сумма углов $BCD = BCM + ˆ1$ и $BAD = ^3$ равна $π$ , как сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника. Значит, угол $BCM = ˆ2$ и треугольник $MBC$ подобен треугольникам $BAM$ и $CMD$ .

Положим $p:= BA$ и $q :=BM$ , тогда $CM =4p$ и $CD = 4q$ . Треугольники $BAM$ и $MBC$ подобны с коэффициентом подобия $pq$ , и стороны $BA$ и $BM$ треугольника $BAM$ соответствуют сторонам $MB$ и $MC$ треугольника $MBC$ , поэтому $pq =4qp$ . Значит, $q =2p$ и, треугольники $BAM$ и $MBC$ подобны с коэффициентом подобия 2. Следовательно, сторона $BC$ в два раза длиннее стороны $AM$ , т.е. длина стороны $BC$ равна 2.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#79620

Многочлен $P(x)$ с целыми коэффициентами удовлетворяет условию $P(17)= P(23)=2023$ . Найти наименьшее возможное при этих условиях значение $P(0)> 0$ .

Источники: Росатом - 2023, региональный вариант, 11.1 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте рассмотрим многочлен Q(x) такой, что Q(x) = P(x) – 2023. Следовательно, положительное число P(0) равно Q(0) + 2023. В виде произведения каких чисел можно представить Q(0)?

Подсказка 2

Q(17)=Q(23)=0, значит, числа 17 и 23 являются корнями многочлена Q(x), тогда по теореме Безу его можно разложить как (x-17)(x-23)R(x), где R(x) – многочлен с целыми коэффициентами. Мы знаем, что P(0) > 0, тогда что можно сказать про R(0)?

Подсказка 3

Подставим: P(0) = 17*23*R(0) + 2023. Значит, R(0) будет больше -2023/(17*23). Но R(x) – многочлен с целыми коэффициентами, значит, R(0) – это целое число. Какое минимальное значение может принимать R(0) и какое минимальное значение в таком случае будет иметь P(0)?

Показать ответ и решение

Пусть $Q(x)= P(x)− 2023,$ тогда $Q(17)=Q (23)= 0,$ следовательно, по теореме Безу, $Q(x)$ делится на $(x− 17)$ и на $(x− 23).$ Таким образом, имеет место представление