Тема Росатом

Росатом - задания по годам → .06 Росатом 2020

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела росатом

Разделы подтемы Росатом - задания по годам

Росатом 2015 и ранее

Росатом 2016

Росатом 2017

Росатом 2018

Росатом 2019

Росатом 2020

Росатом 2021

Росатом 2022

Росатом 2023

Росатом 2024

Росатом 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#44067

Найдите целые числа $x$ и $y$ , для которых

( x- y) -x y log2 17 + 5 = log217 +log2 5

Источники: Росатом-20, 11.1 (см. mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Учитывая ОДЗ, преобразуем логарифм суммы и напишем уравнение на x и y без логарифмов. Как решить получившееся уравнение и как оно выглядит?

Подсказка 2

5x + 17y = xy. Запишем как x(5-y) + 17y = 0 и попробуем разложить на множители для дальнейшего удобства)

Подсказка 3

(x-17)(y-5) = 17*5. Числа целые, поэтому можно делать выводы о значении скобок. У 85 маленькое количество делителей, поэтому остается лишь перебрать значения x-17 и y - 5!

Показать ответ и решение

Для того, чтобы правая часть была определена, получаем, что $x> 0,y >0.$ Тогда на ОДЗ уравнение эквивалентно

(-x y) xy log2 17 + 5 =log285 ⇐⇒ 5x+ 17y =xy

Попробуем разложить на множители: $x(5− y)+17y = 0 ⇐⇒ x(5− y)− 17(5− y)+ 17⋅5= 0 ⇐⇒ (x − 17)(y− 5)=17⋅5.$

С учётом того, что $y − 5> −5$ и $x − 17> −17,$ по основной теореме арифметики возможны только такие пары: $(y− 5,x − 17)∈{(1,85),(5,17),(17,5),(85,1)}.$ Соответственно $(x,y)∈ {(102,6),(34,10),(22,22),(18,90)}.$

Ответ:

$(102,6),(34,10),(22,22),(18,90)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#44068

Докажите, что существует набор натуральных чисел $a ,a,...,a , 1 2 2019$ для которых $2⋅НОК (a ,a,...,a )=a + a + ...+a . 1 2 2019 1 2 2019$

Источники: Росатом - 2020, 11.3 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для каких чисел удобно находить НОК?

Подсказка 2

Для наборов, в которых много единичек!

Подсказка 3

Можно сделать все числа, кроме одного, сделать единицами. Попробуем из равенства подобрать оставшееся!

Показать доказательство

Возьмём

a1 = ...= a2018 = 1,a2019 =2018

Тогда

2⋅НОК(a1,a2,...,a2019)= 2⋅2018

a1+ a2+ ...+a2019 =2 ⋅2018

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#46042

На сторонах $AB$ и $AC$ остроугольного треугольника $ABC$ вовне построены два равных прямоугольника $AMNB$ и $APQC$ . Найдите расстояние между вершинами $N$ и $Q$ прямоугольников, если длины сторон $AB$ и $AC$ равны $3$ и $4$ соответственно, а угол при вершине $A$ треугольника равен $∘ 30$ .

Источники: Росатом-20, 11.6 (см. mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим, что искомый нами отрезок находится в треугольнике NAQ. А если бы мы знали две стороны и угол этого треугольника, как мы решали задачу?

Подсказка 2

Верно, тогда бы мы просто нашли сторону по теореме косинусов! Давайте же попробуем найти все неизвестные части. Иногда про угол хорошо думать как о сумме нескольких углов, потому что каждый по отдельности нас не интересует. Можно ли здесь "перекинуть" уголки так, чтобы по итогу мы знали, чему они равны в сумме?

Подсказка 3

Ага, ведь прямоугольники у нас равны, поэтому получается, что в сумме два крайних угла равны 90, а третий кусочек мы знаем из условия. Теперь осталось только понять, что две стороны мы можем найти по теореме Пифагора.

Показать ответ и решение

$PIC$

Поскольку прямоугольники равны, то $BN =AC = 4,AB = CQ = 3$ , откуда их диагонали $AQ = AN =5$ . Заметим, что $∠CAQ + ∠BAN =∠CAQ +∠AQC = 90∘$ , откуда $∠NAQ =90∘+ 30∘ = 120∘$ . Тогда из равнобедренного $△ANQ$ легко найти $√- NQ = 5 3$ .

Ответ:

$5√3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#49010

Точка $M$ — середина стороны $AD$ параллелограмма $ABCD.$ Прямая $CM$ наклонена к основанию $AD$ под углом $30∘$ . Вершина $B$ равноудалена от прямой $CM$ и вершины $A$ . Найти углы параллелограмма. Найти площадь параллелограмма, если длина основания $AD$ равна $2.$

Источники: Росатом - 2020, 11.6 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В условии фигурирует расстояние от точки B до CM, поэтому опустим перпендикуляр из B на CM (назовём его BH), чтобы с этим как-то работать. Обозначим данный нам угол в 30 градусов, попробуем как-то поработать с параллельностью и углами.

Подсказка 2

Отметив ещё один угол в 30 градусов, который возникает из параллельности, находим на картинке прямоугольный треугольник с углом в 30 градусов. Благодаря этому можно связать длину перпендикуляра из B на CM и сторону параллелограмма. Тогда, использовав условие, мы можем связать две стороны параллелограмма, что даёт нам возможность найти его углы (зная, что CM опущен под углом 30 градусов). Как же найти площадь?

Подсказка 3

Благодаря найденным углам мы можем разбить нашу картинку на несколько равных правильных фигур, у каждой из которых найти площадь по формуле не составит труда)

Показать ответ и решение

Первое решение.

$PIC$

Пусть $BH =x.$ Тогда

По условию BH = AB = CD = x;

∠CMD =∠BCH = 30∘ ⇒ в △HBC BC = 2⋅BH = 2x;

BC =AD =2x⇒ AM = MD = x;

Тогда в $△MDC$

∘ ∘ MD =DC = x; ∠CMD = 30 ⇒ ∠MCD =30

Следовательно, $∠BCD = 60∘, ∠CDA = 120∘$

Теперь легко посчитать площадь параллелограмма:

∠BCD = 60∘;CD =1;BC = 2⇒

SABCD =sin(60∘)⋅1⋅2= √3

Второе решение.

$PIC$

Опустим перпендикуляр $BH$ на $CM$ , отметим середину $N$ отрезка $BC$ и обозначим $E$ — точку пересечения $BH$ и $AN$ . Тогда $AB = BH = 2BE$ , так как $AN ∥CM$ и $N$ — середина $BC$ . Тогда треугольник $ABE$ прямоугольный и $AB = 2BE$ . Значит $∠ABE =60∘$ и $∠NAB = 30∘$ . Так же $∠NAM =∠MCD = 30∘$ из параллельности и поэтому $AN$ биссектриса угла $BAM.$ Четырехугольник $ABNM$ является параллелограммом и при этом $AN$ биссектриса угла $BAM$ . Значит $ABNM$ ромб и $BM ⊥ AN$ , но $BH ⊥ AN$ . Значит, $M = H.$

$PIC$

Тогда $AB = AM$ и $∠ABM = 60∘$ . Значит, треугольник $ABM$ равносторонний со стороной $AM = AD2-=1$ . Тогда $SAMB = √34$ , $SABNM = √3 2$ и $SABCD =√3.$

Ответ:

$60∘$

$∘ 120$

$√- 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#51001

Петя, Вася и Иван каждый на своей карточке написал наугад по одной цифре и передали карточки Маше так, чтобы она не видела написанных цифр. Маша случайным образом перемешала карточки и выложила их в ряд на стол. Найти вероятность того, что на столе можно увидеть трехзначное число, кратное $5$ и имеющее при делении на $7$ остаток $3.$

Источники: Росатом - 2020, 11.4 (см. olymp.mephi.ru)

Показать ответ и решение

Можно считать, что мы получаем на столе равновероятно любое число от $0$ (на трёх карточках могут быть нули) до $999$ . Тогда для вычисления вероятности нужно число благоприятных исходов поделить на число возможных исходов — на $1000.$

Первое решение.

Используя Китайскую теорему об остатках, получаем, что среди любых $35$ подряд идущих чисел нам подходит ровно одно с остатком $10$ по модулю $35$ . Первое такое трёхзначное число — $115$ , затем идут $150,185,...115+ 35 ⋅25= 990$ : всего чисел $26$ . Осталось поделить на $1000$ и получить ответ.

Второе решение.

По условию искомое трёхзначное число $x$ кратно $5$ и при делении на $7$ даёт остаток $3$ , то есть

x= 7n+ 3= 5n+ 5+(2n− 2),n∈ ℤ

С учётом этих условий получаем

2n− 2= 5k,k∈ ℤ =⇒ k= 2t,t∈ℤ =⇒ n= 5t+ 1 =⇒ x= 7(5t+ 1)+3 =35t+ 10

Осталось учесть условие на трёхзначность:

90 989- 100 ≤35t+ 10 <999 ⇐⇒ 2< 35 < 3≤ t≤ 28 < 35 <29

Подходят $28− 3+ 1= 26$ значений $t$ .

Ответ:

$0,026$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#80456

При каких значениях $a$ точка с координатами $(sina;sin3a)$ симметрична точке с координатами $(cosa;cos3a)$ относительно прямой с уравнением $x +y =0?$

Источники: Росатом - 2020, 11.2 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В каком случае две точки симметричны прямой y = -x? Какие условия можно записать на их координаты?

Подсказка 2

Чтобы точки были симметричны относительно прямой y = -x, ордината одной из них должна быть противоположна по знаку абциссе другой точки! Тогда задача сводится к решению системы. Как было бы удобнее искать, при каких a косинус равен синусу?

Подсказка 3

Используя формулы приведения, можно свести задачу к равенству косинусов!

Подсказка 4

После того, как мы решим одно из уравнений, можно будет подставить его решения в другое и проверить, какие новые условия нужно навесить на серии, чтобы получить уже решения системы ;)

Показать ответ и решение

Две точки $A(x,y)$ и $B(x′;y′)$ симметричны относительно прямой $x+ y = 0$ , если $x′ = −y,y′ =− x$ . Это приводит к системе:

{ sina= − cos3a sin3a= − cosa

Решим первое уравнение системы:

sin a= − cos3a → cos3a= sin(−a)= cos(π +a) → 2 [ π ∗ 3a= π2 +a +2πm → a= 4π + πmπn-(∗)∗ π a= −8 + 2 ( ) 3a= − 2 − a+2πn

Подставляем (*) во второе уравнение системы:

(3π ) (π ) sin 4-+ 3πm = − cos 4 + πm → 3π π √2 √2 (−1)m sin-4 = −(−1)m cos 4 →-2-⁄= − 2--

Серия (*) решений не содержит. Подставляем $(∗∗)$ во второе уравнение системы:

( 3π 3πn) ( π πn) sin − 8 + 2 = − cos −8 + 2 → (3π 3πn) (5π πn ) sin 8 − 2 = sin 8 − 2

[ 3π- 3πn- 5π πn [ π 83π-− 3π2n-= 83π-− 2πn+ 2πs → 4 =− πn +2πs 8 − 2 = 8 + 2 + 2πk n= −k

Вторая серия содержит любые целые $n,$ поэтому серия (**) подходит.

Ответ:

$− π + πn,n∈ Z 8 2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#80501

В бассейне, на соседних дорожках тренируются два пловца Петя и Костя. Петя проплывает дорожку 50 м за две минуты, Костя — за три. Вначале тренировки оба находились на линии старта у края дорожки, спустя 60 мин тренировка закончилась. Сколько раз за это время, включая начало, они находились на одинаковом расстоянии от линии старта?

Источники: Росатом - 2020, 11.1 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумаем, есть ли какая-то периодичность в их движениях за эти 60 минут? Быть может, через некоторое время ситуация повторится?

Подсказка 2

Будет ли момент времени, когда они оба вернутся к старту?

Подсказка 3

Именно, они вернутся на старт ровно через 12 минут! Тогда нужно внимательно разобрать, между какими минутами произойдут их встречи в первые 12 минут ;)

Показать ответ и решение

За 12 минут и Петя, и Костя возвращаются в начало дорожки. Заметим, что если они находятся на одинаковом расстоянии от линии старта, то именно в этот момент они меняются местами.

За один проплыв бассейна Петя встречается с Костей ровно один раз. Значит, за первые 12 минут они встретятся на старте, между 2 и 4 минутой, между 4 и 6 минутой, $...$ , между 8 и 10 минутой, а на 12 минуте вместе приплывут к старту. Значит, за 60 минут они $4⋅5$ раз встретятся в середине дорожке и 6 раз (но 0, 12, 24, 36, 48 и 60 минуте) на старте.

Ответ: 26

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#80503

Сколько существует натуральных чисел $n≤ 2020$ , для которых дробь

6n3-+n2−-5n+-12 6n2+7n +2

сократимая?

Источники: Росатом - 2020, 11.1 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первое, что стоит сделать, когда хотим сократить дробь — выделить её целую часть! Поэтому попробуем поделить числитель на знаменатель и будем работать уже с новой дробью, у которой числитель является остатком от деления ;)

Подсказка 2

Итак, имеем новую дробь с числителем, равным 14. А на какие числа вообще может сокращаться такая дробь?

Подсказка 3

У числа 14 всего 3 делителя, больших 1, поэтому можно разобрать случаи НОДа числителя и знаменателя.

Подсказка 4

Если наибольший общий делитель равен 2, то можно сделать выводы о чётности n.

Подсказка 5

Если НОД равен 7, то какой остаток будет давать 6n²+1 при делении на 7? Что можно сказать про n?

Показать ответ и решение

Распишем числитель дроби следующим образом:

3 2 3 2 2 2 6n +n − 5n+ 12= 6n +7n + 2n− 7n − 2n+ n − 5n − 2 +2+ 12=

= n(6n2 +7n+ 2)− (6n2+ 7n +2)+ 14= (n − 1)(6n2+ 7n+ 2)+ 14

Выделим целую часть в дроби:

6n3+-n2− 5n-+12= (n−-1)(6n2+-7n-+2)+-14= n− 1+----14----- 6n2+ 7n+ 2 6n2+ 7n+ 2 6n2+7n+ 2

Если исходная дробь сократимая, то дробь $--14--- 6n2+7n+2$ так же сократимая, то есть числа $(6n2 +7n+ 2)$ и 14 имеют общий делитель, больший 1. При этом у 14 есть три натуральных делителя, больших 1: 2, 7, 14. Пусть $p$ — наибольший общий делитель 14 и $(6n2+7n+ 2).$ При этом, так как у 14 есть три натуральных делителя, больших 1: 2, 7, 14, — то у нас есть три варианта:

$1)p= 2.$ Заметим, что $2 6n + 2n$ — чётное при любом натуральном $n,$ а значит, чтобы все число $2 (6n + 7n +2)$ делилось на 2, $7n$ должно делиться на 2, откуда $n$ — чётное. Существует 1010 четных натуральных чисел, не превосходящих 2020.

$2)p= 7.$ Заметим, что $2 6n + 2$ должно делиться на 7, чтобы $2 (6n + 7n+ 2)$ делилось на 7, так как $7n$ делится на 7 при любом натуральном $n.$ Отсюда, $2 6n$ должно иметь остаток 5 при делении на 7. Посмотрим, при каких $n$ это возможно, рассмотрев все остатки по модулю 7. Для этого начертим таблицу, где слева будет число, а справа его остаток при делении на 7.


$n$	0	1	2	3	4	5	6

$n2$	0	1	4	2	2	4	1

$6n2$	0	6	3	5	5	3	6

Получается, если $n$ имеет остаток 3 или 4 при делении на 7, то $2 (6n +7n+ 2)$ делится на 7. Существует 145 нечётных натуральных чисел, не превосходящих 2020 и имеющих остаток 3 по модулю 7, и 144 нечётных натуральных числа, не превосходящих 2020 и имеющих остаток 4 по модулю 7.

$3)p= 14.$ Заметим, что $2 (6n +7n+ 2)= (3n+ 2)(2n+ 1).$ Если $(3n+ 2)$ делится на 14, то оно делится ещё и на 2, то есть $n$ — чётное, а все четные $n$ мы уже учли. А $(2n+ 1)$ на 14 делиться не может, так как это нечётное число. Получается, если $(3n+ 2)(2n+ 1)$ делится на 14, то $(3n +2)$ делится на 2, а $(2n+ 1)$ делится на 7, но это верно только при чётный $n,$ которые мы уже посчитали.

Итак, всего чисел, при которых исходная дробь сократима: $1010+ 144 +145= 1299.$

Ответ:

1299

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#98984

Точки $P,Q$ расположены на сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ так, что $AP :PB =2 :1,AQ :QC = 1:3.$ Точка $M$ выбрана на стороне $BC$ совершенно случайно. Найти вероятность того, что площадь треугольника $ABC$ превосходит площадь треугольника $PQM$ не более, чем в три раза.

Источники: Росатом - 2020, 11.4 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте обозначим CM/CB за x и явно с помощью x выразим площадь треугольника PQM через площадь треугольника ABC. Как воспользоваться отношением сторон? Как это поможет в нахождении площади?

Подсказка 2

Чтобы воспользоваться отношением сторон, будем считать площадь через синус угла!

Подсказка 3

Площади треугольников ABC и PQM различаются в (6 - 5x)/12 раз. Осталось лишь решить неравенство на нужное соотношение площадей ;)

Показать ответ и решение

$PIC$

Возьмем отношение $CM- CB$ за $x,$ тогда можно выразить площадь треугольника $P QM.$

SPQM = SABC − SAQP − SBPM − SCQM

SABC SABC ⋅(1− x) SABC ⋅3x 6 − 5x SPQM = SABC −--6--− -----3-----− ---4----= SABC ⋅-12-

Тогда:

S 12 S-ABC ≤3 =⇒ 6−-5x ≤ 3 PQM

3(5x−-2)≤ 0 6− 5x

( ] ( ) x∈ −∞; 2 ∪ 6;+∞ 5 5

Но так как $CM <CB,$ потому что $M$ — точка на $CB,$ то $x ∈[0;1],$ а значит, нам подходит интервал $[0;2]. 5$ Вероятность того, что площадь треугольника $PQM$ будет не более чем в 3 раза меньше площади треугольника $ABC$ равна $2. 5$

Ответ:

$2 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#102482

Представить число 2020 в виде суммы кубов пяти целых чисел. Доказать, что любое целое число можно представить в виде суммы кубов пяти целых чисел.

Источники: Росатом - 2020, 11.5 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем найти явную формулу для разложения числа. Чтобы было удобно, можно попробовать выражать слагаемые через некоторое число n. Какие тогда можно сложить кубы, чтобы результат получится "красивым" (многое в сумме сократилось)?

Подсказка 2

Попробуйте сложить кубы чисел, которые по модулю отличаются друг от друга на не более, чем 2. Тогда, если аккуратно раскрыть результат по формулам сокращенного умножения, многое сократится.

Подсказка 3

Что получится, если сложить кубы чисел, по модулю равных (n+1) и n? Какой вывод из этого можно сделать и как быть с остальными числами?

Подсказка 4

Отлично, мы пришли к тому, что числа вида 6n можно выразить в виде суммы четырёх кубов! Осталось лишь аккуратно придумать, как "добрать" отстаток по модулю 6 у остальных чисел при помощи кубов и выразить 2020 по придуманным формулам!

Показать доказательство

Заметим, что для любого $n∈ Z$

3 3 3 3 (n+ 1) +(n− 1)+ (−n) +(−n) = 6n

т.е. любое целое число вида $a= 6n$ можно представить в виде суммы кубов четырех, а значит, с учетом нуля, и пяти целых чисел. Числа вида $a =6n± 1$ могут быть представлены в форме

3 3 3 3 3 a= (n +1) + (n − 1) +(−n) + (− n)+ (±1)

Числа вида $a= 6n +2 =6(n− 1)+8$ представляются суммой пяти кубов:

3 3 3 3 3 a =n + (n− 2) + (−n+ 1)+ (−n+ 1)+ 2

Для чисел вида $a= 6n− 2=6(n+ 1)− 8$ справедливо представление:

a= (n+ 2)3+ n3+ (− n− 1)3+ (− n− 1)3+ (− 2)3

Наконец, для $a= 6n+ 3= 6(n − 4)+ 27$ справедливо представление:

a= (n − 3)3+(n− 5)3+(−n +4)3+(−n +4)3+(3)3

Представление числа $a= 2020 =337⋅6− 2$ может быть получено по формуле (3) для $n= 337$ :

2020= (339)3+ 3373 +(−338)3+ (−338)3+ (− 2)3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#107091

Доказать, что для любого многочлена $P(x)$ с целыми коэффициентами выражение $P(b)− P(a)$ делится на ( $b− a$ ) при любых целых $a,b,a ⁄=b$ .

Известно, что уравнение $P (x)= 8$ имеет целый корень на полуоси $x≥ 8$ и $P (4)= 17.$ Найти этот корень.

Источники: Росатом - 2020, 11.3 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сначала докажем требуемое. Представим P(x) в виде суммы c_i * x^i, где c_i - соответствующий степени коэффициент. Теперь посмотрим, какой вид имеет P(b) - P(a). Какой вывод можно сделать из того, что при одинаковых степенях коэффициенты одинаковые?

Подсказка 2

Получаем, что P(b) - P(a) можно представить в виде суммы c_i * (b^i - a^i). Как из этого можно в каждом слагаемом получить множитель (b - a)?

Подсказка 3

Используем формулу для b^i - a^i, где всегда будет множитель (b - a). Тогда каждое слагаемое делится на (b - a), а значит и вся сумма делится.

Подсказка 4

Теперь решим саму задачу. Хотим воспользоваться доказанным. Что нам это дает?

Подсказка 5

Правильно, P(x) - P(4) = 8 - 17 делится на x - 4. При этом не забываем, что x ≥ 8, и находим нужное значение :)

Показать ответ и решение

Для доказательства утверждения запишем общий вид многочлена $P (x)$ степени $n$

n n−1 P (x)= cnx +cn−1x + ...+c1x+ c0, ck ∈ℤ, k= 0,1,...,n, cn ⁄=0.

Рассмотрим

n n ( n−1 n−1) P (b)− P(a)= cn(b − a )+ cn−1 b − a + ...+ c1(b− a).

Используя известную формулу

k k ( k−1 k−2 k−1) b − a =(b− a)⋅b + b a+ ...+ a ,

получим

P(b)− P (a)= (b − a)⋅Qn−1(a,b).

где $Q (a,b) n−1$ — многочлен степени $(n − 1)$ с целыми коэффициентами от переменных $a,b$ . Следовательно, выражение $P(b)− P(a)$ делится на $(b − a)$ при любых целых $a,b,a⁄= b$ .

Рассмотрим вторую часть задачи. Если $x$ решение уравнения $P(x)= 8$ , а $P(4) =17$ , то $P(x)− P (4)= −9$ . По доказанному выше, $P (x)− P(4)$ делится на $x− 4$ , следовательно, выражение $x − 4$ является делителем числа т.е.

x− 4∈ {±1,±3,±9}

Отсюда

x∈ {− 5,1,3,5,7,13}

Ограничению $x ≥8$ удовлетворяет только $x = 13$ .

Ответ: 13

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#126015

При каких целых $n$ функция $f(x)= sin(nx)⋅cos 6x n+1$ имеет период $T = 5π?$

Источники: Росатом - 2020, 11.2 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В начале вспомним, как записать требуемое условие через уравнение. Отлично, нужно решить его в целых n. Может, разобрать по случаям, на какие группы можно поделить все целые числа?

Подсказка 2

Одно из простых разбиений целых чисел — на чётные и нечётные. Случаи аналогичны, но различия будут в знаках. Нам надо бы упростить выражения, и мы знаем, что синусы — периодические функции.

Подсказка 3

У нас получились 2 уравнения (в зависимости от чётности), где произведения синусов (или синусов на косинусы) равняется нулю. Почему же решений не бесконечное количество? Вспомним, что у нас решения в целых числах для n и мы можем столкнуться с иррациональности из-за π!

Показать ответ и решение

Хотим доказать, что

(6(x+5π)) ( -6x-) sin(nx+ 5πn)cos n+ 1 =sin(nx)cos n+ 1

Иначе говоря,

f(x+ 5π)=f(x)

При $n =0$ равенство выполняется:

sin(0)cos(6x +30π)= sin(0)cos(6x)

Сначала рассмотрим четные $n.$ Будет верно, что

sin(nx +5πn)= sin(nx)

Тогда исходное уравнение примет вид

( ) ( ) sin(nx)cos 6(x+-5π) − sin(nx)cos -6x- = 0 n+ 1 n+ 1

sin(nx)(cos(-6x-) − cos(6x+-30π)) =0 n +1 n+ 1

( 6x +15π) ( 15π ) 2sin(nx)⋅sin -n+-1-- ⋅sin n-+1 = 0

Рассмотрим нули первого синуса:

sin(nx)= 0

nx =πk,k∈ ℤ

x =-k,k ∈ℤ π n

Рассмотрим нули второго синуса:

(6x+-15π-) sin n +1 = 0

6x+ 15π πm = -n-+1--,m ∈ ℤ

x = m(n+-1)−-15,m ∈ℤ π 6

Для них отношение $xπ$ — рационально. Отсюда следует, что существует такое значение $x,$ для которого рассматриваемые функции не обращаются в 0 (достаточно взять $x= πy,$ где $y$ — иррациональное число). Следовательно, условие задачи равносильно

( 15π ) sin n-+1 = 0

Тогда

πm = -15π,m ∈ℤ n +1

m = -15-,m∈ ℤ n+ 1

Так как $m$ — целое, $n+ 1$ должно быть нечетным делителем числа 15

n+ 1∈{1;−1;3;−3;5;− 5;15;−15}

n ∈{0;− 2;2;−4;4;−6;14;−16}

Рассмотрим нечетные $n.$ Будет верно, что

sin(nx+ 5πn)= − sin(nx)

(6(x+5π)) ( 6x ) − sin(nx)cos --n+-1- − sin(nx)cos n+1- = 0

( ( ) ( )) sin(nx) cos -6x- +cos 6x+-30π =0 n +1 n+ 1

( 6x-+15π) (-15π) 2sin(nx)⋅cos n+ 1 ⋅cos n +1 = 0

Аналогично случаю с четными $n,$ если $x π$ — иррационально, то значение $x$ не является нулем первых двух функций, входящих в произведение в левой части последнего равенства. Поэтому равенство равносильно

( 15π) cos n-+1 = 0

-15π- = π(2m-+1),m ∈ℤ n+ 1 2

-30- n +1 = 2m + 1,m ∈ ℤ

n+ 1∈ {2;−2;6;− 6;10;− 10;30;− 30}

n∈ {1;−3;5;− 7;9;−11;29;−31}

Осталось объединить полученные значения $n:$

n ∈{−31;−16;−11;−7;−6;− 4;−3;−2;0;1;2;4;5;9;14;29}

Ответ:

$n ∈{−31;−16;−11;−7;−6;− 4;−3;−2;0;1;2;4;5;9;14;29}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#126016

Саша и Маша задают друг другу по пять каверзных вопросов и отвечают на них, не задумываясь, случайным образом. Вероятность того, что на заданный Машей вопрос Саша скажет неправду, не зависит от номера вопроса и равна $1 2.$ Маша на вопрос Саши дает правдивый ответ с вероятностью $2 3$ независимо от порядка вопроса. После окончания диалога выяснилось, что Маша дала на два правдивых ответа больше, чем Саша. С какой вероятностью это могло произойти?

Источники: Росатом - 2020, 11.4 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Можем ли мы посчитать вероятность, с которой Саша дал k правильных ответов?

Подсказка 2

Это можно сделать, поняв, что количество правильных ответов Саши распределено по биномиальному закону. Аналогично для Маши.

Подсказка 3

Какие количества правильных ответов Саши и Маши нам подходят?

Подсказка 4

Маша дала на 2 правдивых ответа больше, а всего вопросов было 5, поэтому подойдут значения 0-2; 1-3; 2-4; 3-5. Чему равны вероятности этих событий?

Подсказка 5

Совместное распределение вероятностей определяется произведением одномерных распределений, потом останется только сложить все случаи.

Показать ответ и решение

Число правильных ответов Саши распределено по биномиальному закону с вероятностью успеха $1: 2$

(1)k (1)5−k Ck P1(k)=Ck5 2 2 = -532-

Число правильных ответов Маши распределено по биномиальному закону с вероятностью успеха $23 :$

( ) ( ) P2(k)= Ck 2 k 1 5−k = 2k⋅Ck5 5 3 3 243

Совместное распределение вероятностей определяется произведением одномерных распределений

P(k,m)= P1(k)P2(m )

Маша дала на 2 правдивых ответа больше, а всего вопросов было 5, поэтому требуется определить вероятность объединения событий, отвечающих значениям $k =0,m= 2;k= 1,m = 3;k= 2,m = 4;k= 3,m =5.$ Тогда

p= P(0,2)+P (1,3)+ P(2,4)+ P(3,5)

p= 1-⋅-40-+ 5-⋅-80+ 10⋅-80+ 10⋅ 32- 32 243 32 243 32 243 32 243

p= 65- 324

Ответ:

$-65 324$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#126017

Арифметическая прогрессия ${a } n$ с ненулевой разностью такова, что последовательность $b = a ⋅sina n n n$ также арифметическая прогрессия с ненулевой разностью. Найти возможные значения первого члена и разности прогрессии ${an},$ если для всех $n$ справедливо равенство $2 2cosan =cosan+1.$

Источники: Росатом - 2020, 11.5 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какие выводы можно сделать из уравнения 2cos²(aₙ) = cos(a_{n+1}). Попробуйте выразить cos(aₙ).

Подсказка 2

При всех n cos(a_{n+1}) ≥ 0 и |cos(aₙ)| = √( cos(a_{n+1}) / 2 ) ≤ 1 / √2. Что тогда можно сказать об aₙ?

Подсказка 3

Все значения aₙ попадают на участок [π/4;π/2]. Попробуйте подумать о разности арифметической прогрессии - d.

Подсказка 4

Что, если d будет больше ближайшего к aₙ числа, кратного 2π?

Подсказка 5

Тогда некоторый член последовательности выйдет за пределы [π/4;π/2]. Проведите аналогичные рассуждения в меньшую сторону.

Подсказка 6

Получим, что d кратно 2π, или d = 2πk, k ∈ ℤ. Как мы можем это использовать?

Подсказка 7

Выразите cos(aₙ) при помощи a₁ и d.

Подсказка 8

Получится, что cos(aₙ) = cos(a₁). Подставьте это в уравнение из условия.

Подсказка 9

Мы получим несколько решений относительно a₁, выразите через них aₙ и bₙ.

Показать ответ и решение

Из уравнения

2 2cos(an)= cos(an+1)

следует, что при всех $n$

cos(an+1)≥ 0

-------- ∘ cos(an+1)- -1- |cos(an)|= 2 ≤ √2-

На тригонометрическом круге все значения $an$ попадают на участок $[π π] 4;2 .$

$PIC$

${an}$ является арифметической прогрессией, докажем, что ее разность $d$ должна быть кратна длине окружности $2π.$

Если бы величина $d$ была больше ближайшего к $an$ числа, кратного $2π,$ то один из следующих членов последовательности, располагаясь на единичной окружности против часовой стрелки от $an$ и смещаясь от него на постоянное значение вдоль дуги, выйдет за участок $[ ] π4;π2 .$

Аналогично, если величина $d$ меньше ближайшего к $an$ числа, кратного $2π,$ то один из следующих членов прогрессии, располагаясь по часовой стрелке от $an$ и смещаясь от него на постоянное значение вдоль дуги, выйдет за участок $[π4;π2].$

Тогда получаем, что

d= 2πk, k∈ ℤ

По условию, $d ⁄=0,$ следовательно, $k⁄= 0.$ Получаем, что при всех $n$

cos(an)= cos(a1+(n− 1)d)= cos(a1+ (n − 1)⋅2πk)= cos(a1)

Определим первый член прогрессии

2cos2(a1)=cos(a1)

⌊ cos(a )= 0 ⌈ 1 1 cos(a1)= 2

⌊ a1 = π +2πm, m ∈ℤ ⌈ 2π a1 = ± 3 + 2πm, m ∈ ℤ

Тогда из первого решения получаем

π an = 2 + 2πm+ (n− 1)2πk

bn =an

Из двух оставшихся

π an = ±3 +2πm + (n − 1)2πk

√- bn = ±-3an 2

Ответ:

1) $a = π +πm,m ∈ Z;d= 2πk,k ∈Z,k⁄= 0 1 2$

2) $π a1 = 3 + 2πm, m∈ Z;d= 2πk,k ∈Z,k⁄= 0$

3) $π a1 =− 3 + 2πm,m ∈Z;d= 2πk,k∈Z,k ⁄=0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#126018

Решить уравнение $sin(x(η(x)− η(x − 7π))= 1+cosx$ , где ${ 1,x≥ 0 η(x)= 0,x< 0$ — функция Хэвисайда.

Источники: Росатом - 2020, 11.2 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумайте, на какие интервалы следует разбить множество значений x, чтобы решить задачу?

Подсказка 2

Действительно, при x∈[0;7π) выражение слева примет значение: sin(x), а при x∈(-∞;0)∪[7π;+∞) примет значение: sin(0)

Подсказка 3

Решите уравнения на полученных интервалах!

Показать ответ и решение

Выражение ${ 1,x ∈[0;7π) η(x)− η(x− 7π)= 0,x ∈(−∞,0)∪ [7;+∞)$

Случай $1.$ $x ∈[0;7π).$ Уравнение принимает вид:

sinx= 1+ cosx

Поделив на $√- 2$ и применив метод введения вспомогательного аргумента, получим:

( ) sin x− π = 1√-- 4 2

Решим это уравнение:

⌊ x − π = π +2πk,k∈ ℤ || 4 4 ⌈ x − π = 3π+ 2πm,m ∈ℤ 4 4

⌊ x= π +2πk,k∈ℤ ⌈ 2 x= π+ 2πm,m ∈ℤ

С учётом $x∈ [0;7π),$ имеем:

⌊ π | x= 2 +2πk,k= 0,1,2,3 ⌈ x= π+ 2πm,m =0,1,2

Случай $2.$ $x ∈(−∞; 0)∪ [7;+∞ ).$ Уравнение принимает вид:

1+ cosx =0

cosx= −1

Решим это уравнение:

x =π +2πm,m ∈ ℤ

C учётом $x∈ (− ∞;0)∪[7;+ ∞),$ имеем:

x= π+ 2πm,m =− 1,−2,−3,...,3,4...

Объединяя решения, полученные в рассмотренных выше случаях, решения, находим ответ:

x = π+ 2πk,k =0,1,2,3 2

x= π(2m + 1),m ∈ℤ

Ответ:

$π + 2πk, 2$ где $k ∈{0;1;2;3};$ $π(2m+ 1),$ где $m ∈ ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#126020

Найти наименьшее положительное значение выражения $x+ y$ для всех пар чисел $(x;y),$ удовлетворяющих уравнению $(sinx+ cosy)(cosx− siny)= 1+ sin(x− y)cos(x+ y).$

Источники: Росатом - 2020, 11.5 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрим на данное нам уравнение. В левой части равенства хочется раскрыть скобки и применить тригонометрические формулы. Сделаем это! Раскроем скобки и сделаем преобразования, вспомнив формулу косинуса суммы, разности синусов.

Подсказка 2

Теперь подставим в исходное уравнение то, что получилось в левой части в результате преобразований. Ага! Часть выражения сократилась, и осталось совсем несложное уравнение! Решим его и найдём наименьшее возможное значение x + y.

Показать ответ и решение

Преобразуем левую часть уравнения:

(sinx+ cosy)(cosx− siny)=

1 = sinx cosx+ cosy cosx− sinxsin y− cosysiny = cos(x+ y)+ 2(sin 2x − sin2y)=

= cos(x +y)+ sin(x − y)cos(x+ y)

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

cos(x+ y)+sin(x− y)cos(x+ y)= 1+ sin(x− y)cos(x+y)

Отсюда получаем, что $cos(x+ y)=1.$ Решая это уравнение, находим

x+ y = 2πk , k∈ ℤ

Следовательно, наименьшим, положительным значением для $x+ y$ является $2π.$

Ответ:

$2π$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#126021

Поверхность коробки размером $3× 4× 5$ разбита на 94 квадрата размером $1×1.$ В квадратах, принадлежащих одной грани, написаны одинаковые натуральные числа. На параллельной ей грани коробки эти числа повторяются (на каждой паре параллельных граней числа, вообще говоря, разные). Муравей Гоша совершает путешествия по поверхности коробки, соблюдая следующие правила: 1) маршрут начинается в центре любого из указанных квадратов, заканчивается в нем же и представляет собой замкнутую ломаную, лежащую в плоскости, перпендикулярной одному из ребер коробки; 2) Гоша никогда не меняет направление движения по маршруту; 3) сумма чисел по всем квадратам, встречающимся на пути Гоши, не зависит от маршрута и равна 2880. Какие числа написаны на гранях коробки?

Источники: Росатом - 2020, 11.3 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть в квадратах граней AA₁B₁B, AA₁D₁D, ABCD и параллельных им записаны числа x, y, z соответственно. тогда AB = 3, AD = 5, AA₁ = 4. Рассмотрим грань AA₁D₁D и выберем в ней произвольный квадрат с центром M₁. Пусть M₁ — начало маршрута Гоши. Каким условиям должен удовлетворять маршрут?

Подсказка 2

Посмотрим на условие (1). Сколько таких плоскостей мы может взять?

Подсказка 3

Таких плоскостей будет 2. Одна параллельна ABCD, вторая — AA₁B₁B. К тому же, они должны проходить через точку M₁. Тогда пути — это ломаные пересечений плоскостей с поверхностью коробки. Чему равны суммы чисел на этих маршрутах?

Подсказка 4

Для первого пути (лежащего в плоскости, параллельной ABCD) — σ₁ = 2(5y + 3x), для второго — σ₂ = 2(4y + 3z). Как можно воспользоваться 3 условием?

Подсказка 5

По 3 условию, все суммы чисел, расположенных в квадратах на пути Гоши, равны. В σ₁ и σ₂ используются 3 переменные — x, y и z. Попробуйте получить еще одно уравнение.

Подсказка 6

Возьмите квадрат из грани DD₁C₁C, пусть его центром будет M₂. Рассмотрите маршрут, лежащий в плоскости, параллельной AA₁D₁D.

Подсказка 7

Сумма чисел на пути будет равна σ₃ = 2(4y + 5z). Тогда из условия (3) σ₁ = σ₂ = σ₃.

Подсказка 8

Получим, что x = 5t, y = 9t, z = 8t, где t ∈ ℤ. Что мы ещ` знаем из условия?

Подсказка 9

Сумма чисел равна 2880. Тогда можем найти t.

Показать ответ и решение

Пусть в квадратных гранях $AA B B, 1 1$ $AA D D, 1 1$ $ABCD$ и параллельных им записаны числа $x,y,z$ соответственно. Тогда $AB = 3,$ $AD = 5,$ $AA1 =4.$

Рассмотрим грань $AA1D1D,$ выберем в ней произвольный квадрат, его центр назовем $M1.$ Будем считать, что $M1$ — начало маршрута Гоши.

$PIC$

По условиям $(1)$ и $(2),$ будет существовать 2 допустимых маршрута с началом в $M1.$

Первый маршрут — ломаная пересечения поверхности коробки с плоскостью, проходящей через точку $M1,$ параллельная основанию $ABCD.$ Сумма чисел, расположенных в квадратах на пути Гоши по этому маршруту, равна

σ1 = 2(5y+ 3x)

Второй маршрут — ломаная пересечения поверхности коробки и плоскости, проходящей через $M1$ и параллельной грани $AA1B1B.$ Сумма чисел, расположенных в квадратах на пути Гоши по этому маршруту, равна

σ2 = 2(4y+ 3z)

Возьмем произвольный квадрат, расположенный на грани $DD1C1C,$ обозначим его центр за $M2.$ Рассмотрим соответствующий ему маршрут, полученный пересечением поверхности коробки с плоскостью, параллельной грани $AA1D1D.$ Сумма чисел на этом пути

σ3 = 2(4y+ 5z)

По условию, $σ =σ = σ 1 2 3$

{ 2(4x+ 5z)= 2(4y +3z) 2(4x+ 5z)= 2(3x +5y)

{ 2x − 2y+ z = 0 x − 5y+ 5z = 0

Получим, что

9x= 5y

Тогда

(| x= 5t { y = 9t , где t∈ℤ |( z = 8t

По условию,

2(4x +5z)= 2880

Подставим $x$ и $z :$

2(20t+40t)= 2880

t= 24

Тогда $x = 120,$ $y = 216,$ $z = 192.$

Ответ:

120, 192, 216

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#126022

В каком отношении $CE :CD$ точка $E$ делит сторону $CD$ основания правильной четырехугольной пирамиды $SABCD,$ боковое ребро которой наклонено к основанию под углом $∘ 30,$ если известно, что площадь треугольника $SBE$ минимально возможная?

Источники: Росатом - 2020, 11.6 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Введем обозначения: сторона основания равна a, ∠SBO = β, OM ⊥ BE, ∠CBE = α (это будет переменная величина), ∠EBD = 45° - α, высота пирамиды SO = H, ∠SMO = γ. Попробуйте выразить рёбра.

Подсказка 2

Заметим, что BO = a/√2, OM = a ⋅ sin(45° - α)/√2, BE = a/cos(α). Посмотрим на треугольник SBE. Какие способы нахождения площади в пространстве Вы знаете?

Подсказка 3

Например, отношение площади и ее проекции можно связать с углом наклона.

Подсказка 4

Вычислим площадь треугольника SBE через площадь треугольника BOE, являющегося его проекцией, и cos(γ).

Подсказка 5

Площадь должна быть наименьшей. Возьмите производную и определите, каким условиям должна удовлетворять точка минимума.

Подсказка 6

cos не обращается в 0 на отрезке [0;π/4]. Какому условию тогда должна удовлетворять точка экстремума?

Подсказка 7

Единственный экстремум — это точка a', для которой tg(a') = a² / (4H² + a²). Точкой минимума или максимума будет являться a'?

Подсказка 8

Заметим, что f'(0) = -a² < 0 и f'(π/4) = 8H² > 0, следовательно, a' является точкой минимума. Теперь попробуйте выразить H через угол β.

Подсказка 9

H = arctg(β) / √2, подставьте это в условие для экстремума.

Подсказка 10

CE:CD = CE:BC, а это в точности tg(a').

Показать ответ и решение

$PIC$

Введем обозначения: сторона основания равна $a,$ $∠SBO = β,$ $OM ⊥BE,$ $∠CBE = α$ (переменная величина), $∠EBD = 45∘− α,$ высота пирамиды $SO = H,$ $∠SMO = γ.$