Тема Росатом

Росатом - задания по годам → .04 Росатом 2018

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела росатом

Разделы подтемы Росатом - задания по годам

Росатом 2015 и ранее

Росатом 2016

Росатом 2017

Росатом 2018

Росатом 2019

Росатом 2020

Росатом 2021

Росатом 2022

Росатом 2023

Росатом 2024

Росатом 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#45522

Робот может совершать равные по длине шаги по дорожке вперед и назад, при этом выбор направления движения каждого шага является случайным и равновозможным. Робот сделал $10$ шагов и остановился. Найти вероятность того, что он окажется на расстоянии более двух шагов от начала движения.

Показать ответ и решение

Посчитаем сколько способов у робота попасть в каждую координату $k.$ Понятно, что $k$ должно быть чётно. Всего робот делает $10$ шагов, при этом его суммарное смещение равно $k,$ то есть шагов одного вида было ровно на $k$ больше. Имеем систему ( $a$ — число шагов вперёд, $b$ — назад)

( |{ a +b= 10 |( a − b= k a,b≥ 0

Которая имеет единственное решение относительно $a= k+10,b= 10−-k. 2 2$ После этого роботу достаточно выбрать номера шагов, на которых он идёт вперёд — способов это сделать $Ca = Cb. 10 10$ Из условия возможны только $k∈ {−10,−8,−6,−4,4,6,8,10},$ в силу симметрии оставим только положительные. Всего при этом маршрутов у робота $210,$ в итоге имеем вероятность

C710 +C810+ C910+C1010 2⋅176 11 2⋅ -------210--------= 1024-= 32

Замечание. Такой процесс называется одномерным симметричным случайным блужданием, формулу несложно обобщить до случая несимметричного $p ⁄= 12,$ умножая на вероятности шага в каждую сторону. Почему сумма вероятностей будет равна единице?

Ответ:

$11 32$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#68258

Около выпуклого четырехугольника $ABCD$ , диагонали которого перпендикулярны и по длине равны 5 и 6, можно описать окружность с центром в точке $O$ . Найдите площадь четырехугольника $ABCO$ .

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть хорды $BC$ и $AB$ стягивают дуги с центральными углами $α$ и $β$ соответственно. Тогда в силу перпендикулярности диагоналей, хорды $AD$ и $CD$ стягивают дуги с центральными углами $180∘− α$ и $180∘− β$ . То есть имеем

∠BOC =α, ∠BOA = β, ∠AOD = 180∘ − α, ∠DOC = 180∘− β

Сумма площадей треугольников $BCO$ и $ABO$ равна:

SBCO +SABO = 1R⋅R sinα+ 1R ⋅Rsinβ = 2 2

= 1R2(sinα+ sinβ), 2

где $R$ - радиус описанной окружности.

Сумма площадей треугольников $ADO$ и $CDO$ равна:

1 2 SADO+ SCDO = 2R (sin(π − α)+ sin(π − β))=

1 2 = 2R (sinα +sin β)=SBCO + SABO.

Таким образом, площадь четырехугольника $ABCO$ равна половине площади четырехугольника $ABCD$ , равной $12d1⋅d2 = 12 ⋅5⋅6 =15.$

Ответ: 7,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#82710

Найдите натуральное число, делящееся на 225 и имеющее 15 различных делителей.

Показать ответ и решение

Заметим, что $225 =32⋅52.$ Пусть $n$ — число, которое мы ищем. Тогда $n =32+k⋅52+t⋅s,$ где $k$ и $t$ — неотрицательные целые числа, а $s$ — натуральное, не делящееся на $3$ и $5$ .

Пусть $r$ — число делителей $s,$ Заметим, что число $n$ имеет $(2+ k+ 1)(2+ t+1)r$ делителей. Так как всего делителей у нас $15,$ то получаем уравнение