Тема Росатом

Росатом - задания по годам → .03 Росатом 2017

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела росатом

Разделы подтемы Росатом - задания по годам

Росатом 2015 и ранее

Росатом 2016

Росатом 2017

Росатом 2018

Росатом 2019

Росатом 2020

Росатом 2021

Росатом 2022

Росатом 2023

Росатом 2024

Росатом 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#45523

Игральная кость представляет собой кубик, на гранях которого отмечено от одного до шести очков. Петя случайным образом бросает на стол три игральных кости одновременно и считает сумму числа очков, выпавших на всех костях. Каждое значение $s$ этой суммы, расположенное от $3$ до $18,$ может появится с определенной вероятностью. Найти $s,$ при котором эта вероятность максимально возможная.

Показать ответ и решение

Заметим, что вероятность получить значение $s$ такая же, как и вероятность получить значение $21− s,$ ведь соответствующие исходы для $s$ и $21− s$ можно разделить соответственно на пары троек $(a1,a2,a3)< − >(7− a1,7− a2,7 − a3),$ где $ai$ — число, выпавшее на $i$ -ом кубике, и $a1+a2+ a3 = s.$ Поэтому рассмотрим значения $s$ в пределах от $3$ до $10,$ а для $21− s$ вероятность будет такая же.

Итак, нужно понять, какому $s$ соответствует большее число троек $(a1,a2,a3),$ таких что $a1+ a2+ a3 =s,ai ∈{1;2;3;4;5;6}.$

Поставим в ряд $s$ шаров, между ними будет $s− 1$ позиций, куда мы будем ставить перегородки (на одну и ту же позицию ставить перегородки не разрешается). Количество шаров между перегородками и будет соответстовать $a1,a2,a3.$

Количество способов поставить перегородки равно $2 (s−1)(s−2) Cs−1 =---2----$ (возрастающая функция от $s$ ).

При $s= 9$ при подсчёте мы получим $3$ различные перестановок тройки $(1;1;7),$ которые не соответствуют условию $ai ≤ 6$ . При $s= 10$ получим $3$ различные перестановки тройки $(1;1;8)$ и $3!= 6$ перестановок тройки $(1;2;7),$ которые не соответствуют условию $ai ≤ 6.$

Итак, подходящих троек при $s≤ 8$ будет $(s−1)(s−2) ---2----≤ 7⋅26= 21.$ при $s= 9$ их $8⋅27− 3= 25,$ при $s=10$ их $9⋅82 − 3− 6= 27.$

Наибольшая вероятность $2673$ достигается при $s= 10$ и $s=21− 10= 11.$

Ответ:

$s= 10,s =11$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#46229

Целые числа $2a2$ и $3a$ имеют одинаковые остатки при делении на $18$ . Какие ненулевые остатки может иметь число $a> 0$ при делении на $18$ ?

Источники: Росатом-17, 11.3 (см. rsr-olymp.ru)

Показать ответ и решение

По условию $2a2− 3a$ делится на $18$ , значит, и на $3$ . Так как $3a$ делится на $3$ , то и $2a2$ делится на $3$ . Так как $2$ и $3$ взаимнопросты, то $2 a$ делится на $3$ , значит, и на $9$ , причём $a$ делится на $3$ .

По условию $2 2a − 3a$ делится на $18$ , значит, и на $2$ . Так как $2 2a$ делится на $2$ , то и $3a$ делится на $2$ . Так как $3$ и $2$ взаимнопросты, то $a$ делится на $2$ .

В итоге $a$ должно делиться на $6$ . Ненулевые остатки по модулю $18$ могут быть только $6$ или $12$ .

Если $a ≡186$ , то $2 2a ≡18 0 ≡183a.$

Если $a ≡1812 ≡18−6$ , то аналогично.

Ответ:

$6$ и $12$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#46231

Целые, положительные, шестизначные числа $a 1$ и $a 2$ такие, что если к сумме цифр числа $a 1$ прибавить сумму цифр числа $a 2$ , то получится $36.$ Найти наибольшее возможное при этих условиях значение $a1 ⋅a2$ .

Источники: Росатом-17, 11.3 (см. rsr-olymp.ru)

Показать ответ и решение

Посмотрим сначала на сумму этих чисел. Заметим, что она не превосходит $990000+ 990000= 18 ⋅100000 +18⋅10000$ . Действительно, каждая цифра отвечает за то, сколько раз нам взять число $k 10,k∈ {0,...5}$ . Каждая цифра не больше $9$ , потому сумму больше мы получить просто не можем — выгоднее всего брать максимальные степени $10$ , что мы и сделали.

Итак, мы знаем, что $2 a1+ a2 ≤ 2⋅990000 =⇒ a1⋅a2 ≤ 990000$ (по неравенству о средних максимум произведения при фиксированной сумме достигается при равенстве чисел). То есть наша оценка достигается при $a1 = a2 =990000$ , что удовлетворяет условию.

Ответ:

$9900002$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#80455

Для каждой пары целых положительных чисел $(m,n)$ , связанных соотношением

3m + 2n = 19,

найти решение $x$ уравнения

rnx x 2 + rm ⋅2 − 8 =0,

где $rk$ — остаток от деления $k$ на $3.$

Показать ответ и решение

Заметим, что $2n≡ 19 ≡4 3 3$ . Отсюда следует, что $n ≡2 3$ и отсюда $r = 2 n$ . Тогда можно представить $n$ как $3t+ 2$ и тогда $m = 5− 2t≡3 t− 1$ и такое число может давать любой остаток при делении на 3. Значит, нам нужно решить уравнение

x x 4 + rm2 − 8 =0

Давайте заменим $2x$ на $y$ . Получим

y2+ r y− 8= 0 m

Если $t=0$ , то $rm = 2$ и у уравнения $y2+ 2y− 8$ есть 1 положительный корень $y = 2= 2x =⇒ x =1$ .

Если $t=1$ , то $rm = 0$ от уравнения $y2 =8$ получаем $x =1,5.$

Если $t=2$ , то $rm = 1$ и от уравнения $y2+ 2y − 8$ получаем $x =log2(√33− 1)− 1.$

Ответ:

$1$ при $m = 5,n= 2$

$1,5$ при $m = 3,n= 5$

$√ -- log2( 33 − 1)− 1$ при $m = 1,n = 8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#100254

Случайно выбранное шестизначное целое положительное число оканчивается на $32.$ Найти вероятность того, что оно делится на $14.$

Показать ответ и решение

Всякое целое число $A$ , делящееся на 14 и оканчивающееся на 2, имеет вид

A = 14(5k+ 3),k≥ 0,k ∈Z.

Если оно оканчивается на 32 , то его можно представить в виде

A= 100m + 32,m ≥ 0,m ∈ Z.

Объединяя два этих условия, приходим к уравнению

100m +32 =70k+ 42

10m − 7k = 1

Его общее решение ${ m =5 +7t ,t≥0,t∈Z k= 7+ 10t$ . Тогда выбранное число, оканчивающееся на 32 и делящееся на 14, имеет вид $A = 700t+ 532$ . Количество таких шестизначных таких чисел определяется неравенством

100000≤ 700t+ 532 ≤999999

t∈ {143,144,...,1427}

Всего 1285 чисел (число благоприятных событий). Общее число шестизначных чисел, оканчивающихся на 32 равно 9000 (общее число опытов). Поэтому искомая вероятность

1285 257 P(A)= 9000-= 1800-

Ответ:

$1285 9000$

Предыдущая подтема

Следующая подтема