Тема Росатом - задания по годам

Росатом 2021

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела росатом - задания по годам

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#44070

При каких целых числах $b$ и $c$ выражение $√4x2-+bx+-c$ целое при любых целых $x?$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сперва прибегнем к идее, которая часто используется, когда под корнем есть квадратный трёхчлен: выделение полного квадрата. Возможно, это натолкнёт нас на какую-то идею...

Подсказка 2

После выделения полного квадрата под корнем к нему добавляется константа c - (b/4)². По условию корень должен быть целым числом для любого целого x. И тут возникает вопрос: а что будет при достаточно больших x? Не будет ли каких-то проблем с извлечением корня?

Подсказка 3

На самом деле при достаточно больших x эта добавка будет довольно мала по сравнению с полным квадратом. Чем больше полный квадрат, тем дальше от него располагается следующий за ним квадрат. При подстановке всё больших x в конце концов эта добавка станет меньше, чем разница между квадратами соседних чисел, тогда корень не будет целым числом! Что же из этого следует?

Подсказка 4

Это значит, что необходимо равенство добавки нулю. Тогда нетрудно понять, что для достаточности этого условия числу b достаточно быть кратным четвёрке. Попробуем доказать необходимость этого факта. В таких задачах часто помогает подстановка различных "хороших" значений х. Попробуйте поэкспериментировать!

Подсказка 5

Например, обязательно надо подставить x = 0. Тогда получаем, что c = k², k ∈ ℤ. А теперь можно использовать это соотношение и равенство добавки нулю!

Показать ответ и решение

Выделим полный квадрат под корнем:

∘--------- ∘ ------------(-)2- s= 4x2+ bx+c = (2x + b)2+ c− b 4 4

Легко понять, что условий $b= 4k,k ∈ℤ$ и $c− (b)2 = 0 4$ будет достаточно. Покажем, что они необходимы.

При $x= 0$ выражение $√c-$ должно быть целым, значит, необходимо $c= k2,k ∈ℤ.$

Если $s$ является целым числом, то целым является и $4s − 8x− b= 4⋅(s− (2x+ b)). 4$ Применим для выражения в скобках формулу $n2−m2 n − m = n+m$ и получим

2 b 2 b2 44√x-+bx+-c−-(2x+-4)b-= 4√-----c−-16-----b 4x2+ bx+ c+2x+ 4 4x2+ bx +c+ 2x+ 4

Но при достаточно больших $x$ правая часть становится по модулю меньше единицы. И при этом должна быть целой. Значит, должна быть равна нулю. Следовательно, $b2 2 2 c= 16 =⇒ b= 16k =⇒ b= 4k, где k∈ ℤ.$

Ответ:

при $b =4k,c= k2, k∈ℤ$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#44071

Найдите наибольшее значение выражения

(5n− 18)НОД-(n-+9,n+-2) F = НОК(n+ 9,n +2)

на множестве натуральных чисел. При каком $n$ оно достигается?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Числа n+2 и n+9 это же достаточно близкие числа, при этом их разность равна 7. Что тогда можно сказать про их НОД?

Подсказка 2

Да, их НОД либо равен 1, либо равен 7. Обозначим его за d. Какая замена тогда просится, если у нас есть НОК и НОД одних и тех же чисел?

Подсказка 3

Ну конечно, замена НОК(a,b)=ab/НОД(a,b). Тогда наше выражение принимает понятный вид. Осталось исследовать функцию, которая получается делением нашего выражения на d^2 и понять, где она принимает максимальное значение.

Подсказка 4

Да! В точке 12. А что еще принимает максимальное значение в точке 12? Поймите это и получите ответ!

Показать ответ и решение

Обозначим $d= НОД (n +9,n+ 2).$ Так как $n+ 9$ и $n+ 2$ делятся на $d,$ то их разность $(n +9)− (n +2)= 7$ делится на $d.$ Тогда $d =1$ или $d= 7.$

Как известно, $НОК(a,b)⋅НО Д(a,b)= a⋅b,$ откуда выражение из условия принимает вид

(5n− 18)⋅d2 F (n)= (n+-2)(n+-9)

Поскольку $d$ может принимать значения только двух констант: $1$ или $7,$ то нам достаточно будет максимизировать функцию

G (x)= ---5x-− 18-, x> 0 (x+ 2)(x+ 9)

Эта функция определена уже при всех действительных $x$ , потом учтём, что у нас было натуральное $n$ . Для максимизации посмотрим на её производную:

′ 5(x2+-11x+-18)−-(5x−-18)(2x+-11)- (x-− 12)(5x+-24) G(x)= (x +9)2(x+ 2)2 =− (x+ 2)2(x+9)2

Производная при $x> 0$ имеет ровно одну точку экстремума $x =12$ (это кстати натуральное число), которая является точкой максимума, потому является глобальным максимумом при $x> 0.$ А ещё удачным образом при $n= 12$ имеем $d =7$ — также принимает максимальное значение, потому при $n = 12$ достигает максимума и функция $F.$ Равен этот максимум

--5⋅12−-18-- F(12)= (12+9)(12+ 2) ⋅49= 7

Ответ:

$7$ при $n= 12$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#46106

На детском новогоднем празднике раздавали шоколадные и фруктовые конфеты. Дети подходили к деду Морозу, залезали рукой в его мешок и вынимали из него по две конфеты. Когда Петя подошел к мешку, он понял, что шоколадных конфет в мешке почти не осталось и вероятность получить две шоколадные конфеты в три раза меньше, чем шоколадную и фруктовую. Какое наименьшее число шоколадных конфет могло находиться в мешке деда Мороза в момент, когда Петя забирал свои конфеты, если после него еще не менее $10$ детей получили свои конфеты до того, как мешок опустел?

Источники: Росатом - 2021, 11.4, комплект 2 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Итак, заметим, что у нас сравниваются две вероятности. Давайте обозначим шоколадные конфеты за х, фруктовые за у. Попробуем подсчитать, какова вероятность вытянуть две шоколадные и одну шоколадную, одну фруктовую.

Подсказка 2!

Вероятность вытащить 2 шоколадные конфеты - С из x по 2 на С из x+y по 2, так как мы делим подходящие случаи на все возможные. Аналогичным образом подсчитайте вторую вероятность и вспомните про их отношение!

Подсказка 3!

Не забываем про условие о количестве детей и дорешиваем задачу!

Показать ответ и решение

Пусть в мешке было $x$ шоколадных и $y$ фруктовых. Найдём вероятность получить две шоколадные конфеты

-C2x- ----x(x-− 1)-- pchoc = C2x+y = (x+ y)(x+ y− 1)

По условию вероятность для одной шоколадной и одной фруктовой, которая равна

pfr− ch = C1x⋅C1y=-----2xy-----, C2x+y (x+ y)(x+ y− 1)

в три раза больше, так что $3x−3 3(x− 1)= 2y ⇐⇒ y = 2$ . В итоге первое условие задачи эквивалентно нечётности $x$ (чтобы $y$ был целым).

По второму условию, включая Петю, конфеты брали ещё хотя бы $11$ детей. Каждый берёт по две конфеты, откуда

3 x+ y = x+ 2(x− 1)≥ 22 ⇐⇒ 5x≥ 47 ⇐ ⇒ x ≥11

Ответ:

$11$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#48858

Петя написал в своей тетради многочлен $P (x)$ с целыми коэффициентами и предложил Васе угадать его степень. Вася задал Пете два вопроса: «Чему равно значение многочлена при $x= −3$ ?» и «Чему равен остаток от деления многочлена на $(x− n)$ , где $n$ – его степень?». Получив ответы $1$ и $6$ соответственно, Вася уверенно назвал степень многочлена. Как он это сделал? Какова степень многочлена?

Источники: Росатом-21, 11.1 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Из первого условия получаем, что P(-3) = 1. Но как можно использовать второе условие? Попробуйте записать его с помощью теоремы Безу и подставить в полученное уравнение такое значение x, чтобы P(x) был равен какому-то конкретному значению.

Подсказка 2

Отлично! Мы получили, что P(x) = (x-n)Q(x) + 6. А это значит, что P(n) = 6. Тогда мы знаем, что P(-3) = 1, а P(n) = 6. Попробуйте воспользоваться теоремой Безу для целочисленных многочленов.

Показать ответ и решение

Первое условие можно написать в виде $P(−3)= 1$ , для второго получим $P(x)= (x − n)Q(x)+6$ для некоторого многочлена $Q$ . Подставляя $n$ , имеем $P(n)=6$ . Воспользуемся теоремой Безу

P (n)− P(−3)= 6− 1 =5 кратно n+ 3

Поскольку $n≥ 0$ , то $n+ 3= 5$ (иначе $n$ отрицательно), откуда $n= 2.$

Ответ:

$2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#48861

При каких $a$ уравнение $arcsin(cosx)=cos(arcsin(x− a))$ имеет единственное решение?

Источники: Росатом - 2021, 11.5, комплект 1 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Внимательно посмотрим на левую часть. С аркфункциями работать не хочется, поэтому нужно от них избавиться. Нам намного удобнее работать с выражением arccos(cos(x)). Попробуйте привести всё к нему в левой части.

Подсказка 2

Отлично! Левая часть равна π/2 - arccos(cos(x)). Теперь взглянем на правую часть. Тут также хочется избавиться от тригонометрических функций. Обозначьте arcsin(x - a) как за угол α и воспользуйтесь тем, что sin(α) = x - a.

Подсказка 3

Так, теперь мы получили, что левая часть равна √(1 - (x-a)^2). Попробуем изобразить графики полученных функций.(Заметьте, что левую часть можно рассматривать только на отрезке [-π;π], ведь у неё период 2π).

Подсказка 4

Нам нужно только одно решение. То есть можно смотреть только на a от -π до π, а потом записать ответ с периодом 2π. Теперь всего лишь осталось посмотреть, как наша полуокружность движется в зависимости от a, и найти точки, где одно пересечение.

Показать ответ и решение

Изобразим график $y = arcsincosx$ на $[−π,π]$ . Сама функция имеет период $2π$ , поэтому на остальной прямой график будет повторяться

$PIC$

Теперь посмотрим на график правой части $∘ --------2 y = cosarcsin(x− a)= 1− (x− a)$ , который будет полуокружностью

$PIC$

Например, графики будут расположены так при $a0 =− π$

$PIC$

С ростом параметра $a$ оранжевый график перемещается вправо. Достаточно рассмотреть значения $a ∈[−π,π]$ , поскольку оранжевый график может пересекать не более одного “уголка” синего графика (помним про периодичность). Остаётся найти те значения параметра, при которых изменяется количество общих точек на $[−π,π]$ .

Первое такое значение будет в момент первого пересечения при движении оранжевого графика вправо

$PIC$

Заметим, что правая точка оранжевого графика соответствует $x= a+ 1$ , откуда

a+ 1= − π ⇐⇒ a1 =− π − 1 2 2

При дальнейшем движении решение будет только одно вплоть до положения

$PIC$

когда решений становится два. Левая точка оранжевого графика соответствует $x= a− 1$ , откуда

π π a− 1= −2 ⇐⇒ a2 =− 2 +1

Дальше решения будет два вплоть до положения, когда произойдёт касание

$PIC$

Поскольку касательная имеет коэффициент наклона $− 1$ , то на полуокружности это точка $1 1 (a− √2,√2)$ (учитывая смещение на $a$ из центра координат). При этом точка касания лежит на прямой $π y =x + 2$ (левая часть уголка), откуда

1 1 π π √- √2-= a− √2 + 2 ⇐ ⇒ a3 =− 2 + 2

Далее решений не будет вплоть до касания с противоположной стороны уголка в симметричной точке $a4 =− a3 = π2 − √2$ , где решение будет одно. Далее вплоть до $a5 = −a2 = π2 − 1$ решений два. Потом от неё до $a6 = π2 + 1$ решение единственное, а после до $a7 = π$ решений нет.

В итоге для единственности подойдут

a ∈[a1,a2)∪(a5,a6]∪{a3,a4}

Остаётся учесть период и написать ответ.

Ответ:

$[− π− 1+ 2πk,− π + 1+2πk)∪ (π − 1+2πk,π+ 1+ 2πk]∪{− π+ √2+ 2πk,π − √2-+ 2πk} , k∈ ℤ 2 2 2 2 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#61648

Сколько существует пар натуральных чисел $(a,b)$ , у которых $НО К(a,b)= 23 ⋅32⋅5⋅72 = 17640$ , а $НОД(a,b)= 12$ ? (пары неупорядоченные, то есть $(a,b)$ и ( $b,a)$ считайте одинаковыми)

Среди всех таких пар укажите ту, для которой $a +b$ принимает минимально возможное значение, и найдите это значение.

Источники: Росатом - 2021, 11.3, комплект 1 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вспомним основную теорему арифметики - из нее следует, что НОК и НОД это взятие соответственно максимума и минимума по степеням простых множителей в наших двух числах. У наших чисел всего максимум 4 вида простых множителей -2,3,5,7. Попробуйте с этим знанием понять, какие степени этих множителей могут быть в наших числах.

Подсказка 2

Например, в 12 двойка входит во 2 степени, а в 17640 в 3. Тогда получаем min(степень 2 в первом числе, степень 2 во втором числе}= 2,max = 3. Попробуйте применить аналогичное рассуждение к остальным делителям и посчитать количество вариантов!

Подсказка 3

Подумаем о минимальной сумме: Мы знаем, что из основной теоремы арифметики следует, что a⋅b= НОК (a,b)⋅НОД(a,b)= 12⋅17640! Тогда мы знаем произведение чисел. Давайте попробуем понять, когда сумма двух чисел минимальна, если произведение фиксировано!

Подсказка 4

Это происходит, когда числа максимально близки друг к другу! Например, 4*5 = 20 = 10*2, то 4+5 < 2+10. Для того, чтобы строго это доказать, можем обратить к производной этого выражения. Осталось подобрать числа, которые будут максимально близки, при этом давать в произведении 12*17640! И проверку не забыть :)

Показать ответ и решение

Из основной теоремы арифметики следует, что $НО К$ и $НО Д$ двух чисел можно рассматривать как взятие соответственно максимума и минимума по степеням простых множителей в этих двух числах. Пусть $a2,a3,a5,a7$ — степени соответствующих простых в числе $a$ . Пусть $b2,b3,b5,b7$ — степени соответствующих простых в числе $b$ .

Поскольку $2 12= 2 ⋅3$ , то получаем $min{a2,b2}= 2,max{a2,b2}= 3$ , то есть для степеней двоек есть два случая $(a2,b2)= (2,3),(3,2)$ , которые мы считаем одним. Для степеней троек аналогично получаем $(a3,b3)= (1,2),(2,1)$ , для остальных действуем полностью аналогично. В итоге получается $4 2$ случаев. В условии написано, что пары $(a,b)$ неупорядоченные, т.е. $(a,b) =(b,a)$ , поэтому общее число пар должно быть уменьшено вдвое.

Для поиска наименьшей суммы приведём два способа:

Первый способ.

Из основной теоремы арифметики следует, что $a⋅b= НОК (a,b)⋅Н ОД(a,b)= 12⋅17640$ . По неравенству о средних при фиксированном произведении чисел их сумма тем больше, чем больше одно число отличается от другого (сумма вида $x+ 1764x0⋅12$ , производная которой равна $1− 1764x0⋅212$ возрастает при $√------- √---- x> 17640 ⋅12= 12 1470$ ). Поэтому нам нужно найти максимально близкое значение к корню из этого произведения. $12$ это общий НОД, так что остаётся составить из имеющихся множителей ближайшее к $√---- 1470≈ 38$ число.

a′ = 2⋅3⋅5= 30→ b′ =49→ a1+ b1 = 79→ a+ b= 12 ⋅79= 948

Второй способ.

Просто сделаем полный перебор для этих восьми пар, чтобы быстро посчитать и забрать свои баллы за задачу

2 1 0 0 3 2 1 2 22 ⋅31⋅50⋅72+23⋅32⋅51⋅70= 12 +17640 =17652 2 ⋅3 ⋅5 ⋅7 +2 ⋅3 ⋅5 ⋅7 = 588+ 360= 948 22 ⋅31⋅51⋅70+23⋅32⋅50⋅72 = 60 +3528= 3588 22 ⋅31⋅51⋅72+23⋅32⋅50⋅70 = 2940+ 72= 3012 22 ⋅32⋅50⋅70+23⋅31⋅51⋅72 = 36 +5880= 5916 22 ⋅32⋅50⋅72+23⋅31⋅51⋅70 = 1764+ 120 =1884 22 ⋅32⋅51⋅70+23⋅31⋅50⋅72 = 180+ 1176 =1356 22 ⋅32⋅51⋅72+23⋅31⋅50⋅70 = 8820+ 24= 8844

Осталось выбрать наименьшую сумму и выписать ответ.

Ответ:

$8$ пар, наименьшее значение суммы равно $948$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#68527

Многочлен $P(x)$ с целыми коэффициентами при $x= 2$ принимает значение $3$ , а при $x= 4$ его значение равно $1$ . Известно, что уравнение $P (n)= n− 1$ имеет целое решение. Найти это решение.

Источники: Росатом - 2021, 10.3 (olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Итак, по условию мы имеем, что P(2) = 3, P(4) = 1 и наш многочлен с целыми коэффициентами. А также при каком-то целом n получаем: P(n) = n-1. Тогда удобно применить теорему Безу для целочисленных многочленов. Что мы можем после этого сказать про n?

Подсказка 2

Отлично! Мы получили, что n-2 делится на n-4 и n-4 делится на n-2. Постойте, но когда такое возможно, что и x кратно y, и y кратно x?

Показать ответ и решение

Заметим, что $P(n)− P(2)= n− 4$ делится на $n− 2$ , что возможно только при $n= 1,3,4$ . При этом по аналогичным соображениям $P (n)− P(4)= n − 2$ делится на $n − 4$ . При $n> 6$ выполнены неравенства $0 <n − 4 <n − 2 <2⋅(n− 4)$ , поэтому $n≤ 6$ . Далее несложным перебором получаем, что делимость возможна только при $n =2,3,5$ . Вспомнив первое условие, понимаем, что возможен только один вариант $n= 3$ .

Ответ:

$n =3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#76662

На ребре $AD$ основания $ABCD$ куба $ABCDA ′B′C′D′$ расположена точка $M$ так, что $AM :AD = 1:3.$ Через точку $M$ и вершины $′ A$ и $′ C$ куба проведена плоскость $P.$ Найти расстояние до плоскости $P$ точки $N,$ расположенной на ребре $AB$ так, что $AN :AB = 1:2,$ если длина ребра куба равна $√-- 2 19.$

Источники: Росатом - 2021, 11.6, комплект 1 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем: у нас есть куб, плоскость, понятная точка и нам надо найти расстояние от этой точки до плоскости(которая задана тремя понятными точками). Нам это намекает явно на то, чтобы посчитать все в координатах с центром в точке А и параллельно сторонам квадрата.

Подсказка 2

Направим ось х вдоль AD, ось у вдоль AB, ось z вдоль AA’. Чтобы не возиться с корнями, обозначим ребро куба через a. Какие нам точки нужны для того, чтобы задать плоскость? Понятны ли нам координаты точки N?

Подсказка 3

Нам нужны точки A’, M, C’. Их координаты мы можем явно выразить через а. А значит, можем найти уравнение этой плоскости. А значит, можем по формуле расстояния от точки до плоскости, можем найти это расстояние, ведь нам все известно.

Показать ответ и решение

Введем декартову систему координат с началом координат в точке $A,$ ось $x$ направим вдоль $AD,$ ось $y$ — на плоскости основания $ABCD$ перпендикулярно оси абсцисс и ось $z$ перпендикулярно плоскости основания.

$PIC$

Обозначим ребро куба через $√ -- a =2 19,$ отношения $AM- 1 AD = 3,$ $AN- 1 AB = 2.$

Выписываем координаты нужных нам точек: $′ A (0,0,a),$ $a M (3,0,0),$ $a N (0,2,0),$ $′ C (a,a,a).$

Находим уравнение плоскости $P$ в виде $Ax+ By+ Cz+ D =0,$ подставив координаты точек $′ ′ M, A,C .$ При этом так как плоскость не проходит через начало координат, то без ограничения общности можно считать, что $D = 1.$

Получим систему:

( a |{ A3 + 1 = 0 |( Ca+ 1 = 0 Aa+ Ba+ Ca+ 1 = 0

Откуда получаем, что

3 3 1 A = −a,B = a,C = −a

Находим расстояние $d$ от точки $N$ до плоскости $P$ по формуле

d = |Ax0√+-B2y0+2Cz0+2-D| A + B + C

где $(x0,y0,z0)$ — координаты точки $N.$

Получим

3 a d = |0+-a∘ ⋅-2 +-0+1|= 9+a9+21-

= -5√--a= -√5-⋅2√19 =5 2 19 2 19

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#76663

Длины всех ребер (боковых и основания) тетраэдра $ABCD$ равны 1 . На ребре $AB$ расположена точка $M$ так, что $AM :AB =1 :3$ . Найти расстояние между скрещивающимися прямыми $CM$ и $AD$ .

Источники: Росатом - 2021, 11.6, комплект 2 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы видим, что нам надо найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, при этом конструкция фигуры понятна и все отрезки известны. Что в таком случае мы привыкли делать?

Подсказка 2

Вводить систему координат с началом в точке A, ось х - вдоль AB, ось у - перпендикулярно оси х и в плоскости треугольника АВС. А ось z - просто перпендикулярно плоскости основания. Чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми, можно найти расстояние между прямой и плоскостью, которая проходит через одну и параллельна другой прямой. Что нам нужно чтобы найти такую плоскость?

Подсказка 3

Верно, чтобы найти такую плоскость, нам нужны оба вектора AD и MC (ведь их векторное произведение - направляющий вектор нормали к плоскости, а вектор нормали к плоскости и коэффициенты канонического уравнения плоскости очень хорошо связаны). Как найти эти векторы? Через что их можно выразить?

Подсказка 4

Заметим, что вектор СМ понятным образом выражается через вектора BC и AB (ведь мы знаем в каком отношении точка M делит AB). А вектор AD понятно выражается через высоту тетраэдра из точки D на ABC, и отрезок AO (O - центр вписанной и описанной окружности треугольника ABC). А вектор AO выражается через CE и AB, где Е - середина AB. Значит, все понятно выражается и остается только это сделать и найти по формуле расстояние от точки прямой до плоскости и записать ответ!

Показать ответ и решение

Введем декартову систему координат с началом координат в точке $A$ , ось $x$ направим вдоль $AB$ , ось $y$ – на плоскости основания $ABC$ перпендикулярно оси абсцисс, а ось $z$ перпендикулярно плоскости основания тетраэдра.

$PIC$

Из условия $1 1 AM = 3AB = 3$ . Пусть $E$ – середина $AB$ . Так как все ребра тетраэдра равны $1$ , то радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника в основании: $√3 R= AO = 3$ .

Радиус окружности, вписанной в основание: $√3 r= EO = 6$ .

Из прямоугольного треугольника $DAO$ находим высоту пирамиды:

∘ --------- ∘----- √- DO = AD2 − AO2 = 1 − 13 =-63-

Высота равностороннего треугольника $ABC$ со стороной $1$ : $√ - CE = -23$ .

Теперь можно выписать координаты всех нужных точек: $A(0,0,0)$ , $√- √- D (12,63,36)$ , $M (13,0,0)$ , $√- C(12,23,0)$ .

Таким образом

√ - √- √- −−→AD ={1,--3,-6};−−M→C = {1,-3,0} 2 6 3 6 2

Напишем уравнение плоскости, проходящей через ребро $AD$ параллельно $CM$ . Найдем вектор, перпендикулярный этой плоскости

−→ −−→ −−→ 1 √3 √6 1 √3 N = AD × MC = {2,6-,-3 } ×{6,-2-,0}=

1 √- √- 1√ - 1 √- 2√6 8√3 √6- √- √- = 12 ⋅({3, 3,2 6}× {3, 3,0})= 12{−6 2,-3-,-3-}=-18-{−3 3,1,2 2}

Уравнение искомой плоскости:

√ - √- −3 3x +y+ 2 2z = 0

Искомая в задаче величина равна расстоянию $d$ от точки $M$ до этой плоскости:

|− 3√31+ 0+ 0| √3- d= --√27-3+1+-8-- =-6-

Ответ:

$√3 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#76664

Боковое ребро правильной треугольной пирамиды наклонено к плоскости ее основания под углом $45∘$ . В пирамиду вписан куб так, что четыре его вершины лежат на основании пирамиды, а другие четыре — на ее боковых гранях. Найти отношение объемов куба и пирамиды.

Источники: Росатом - 2021, 11.6, комплект 3 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте для начала обозначим за a ребро пирамиды. Получается нам нужно выразить объёмы фигур через a. Начнём с пирамиды. Для объёма нам нужны основание и высота. Так как пирамида у нас правильная, то куда падает её высота?

Подсказка 2

Верно, в центр основания правильного треугольника, то есть в центр описанной окружности. Теперь радиус мы можем легко найти, а угол будет как раз тот самый из условия. Отлично, высота найдена. А площадь основания равна площади правильного треугольника. Давайте теперь попробуем разобраться с кубом. Удобно будет ввести ребро куба b и попробовать выразить его через a. Тогда будет победа. Но какую ещё вспомогательную фигуру хочется рассмотреть, учитывая расположение куба?

Подсказка 3

Да, давайте рассмотрим сечение, которое получается из-за куба. Понятно, что это будет треугольник, подобный основанию, и мы даже знаем коэффициент подобия треугольников. То есть мы знаем длину стороны сечения. Как теперь можно вторым способом посчитать это основание?

Подсказка 4

Верно, рассмотрим сечение как треугольник, внутрь которого вписан квадрат. Мы легко можем выразить, как сумму отрезков, сторону треугольника через b. Наконец с помощью равенства из прошлой подсказки выражаем b через a и находим объём куба. Осталось только посчитать отношение, и победа!

Показать ответ и решение

Пусть $a$ – сторона основания, $α= 45∘$ – угол наклона бокового ребра, $H$ – высота пирамиды, $R = AO$ — радиус окружности, описанной около основания. В правильном треугольнике со стороной $a$ радиус описанной окружности: $a√- R= AO = 3$ .

Из прямоугольного треугольника $SAO$ находим высоту пирамиды: $a√- H = AO ⋅tgα = 3$ .

$PIC$

Площадь основания пирамиды

√ - S = 1a⋅a⋅sin(60∘)= a2-3 2 4

Объем пирамиды:

1 1 a2√3 a a3 V1 = 3S⋅H = 3 ⋅-4 ⋅√3-=12

Пусть $b$ ребро вписанного куба и $A1B1C1$ – сечение пирамиды плоскостью верхней грани куба.

$PIC$

Обозначим через $a1$ сторону треугольника этого сечения $a1 =A1B1$ . Треугольники $ABC$ и $A1B1C1$ подобны с коэффициентом подобия: $k = H−b= a−b√3 H a$ .

И поэтому $a = ka= a− b√3 1$ .

Рассмотрим треугольник $A B C 1 1 1$ со вписанной гранью куба.

$PIC$

Сторона

b b 2+√3- a1 =A1K + KN + NB1 = tg60∘ + b+ tg-60∘-=-√3--b

Приравнивая два выражения для $a1$ , находим $b$ : $√ - b = 5+√33a$ .

Так как объем куба $V2 = b3$ , то искомое отношение объемов:

√- V2 (5+3√3a)3 --36√3--- V1 = a3 = (5+√3-)3 12

Ответ:

$--36√3-- (5+ √3)3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#79624

При каких целых $n$ функция $f(x)= cosnx ⋅sin 15x- n2$ имеет период $T = 5π$ ?

Источники: Росатом - 2021, 11.2, комплект 2 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нас интересуют случаи, когда период равен 5π. Как можно выразить это условие для нашей функции?

Подсказка 2

Конечно, значения функции в точках x и x+5π будут одинаковы, так что можно приравнять значения функции. Мы получили тригонометрическое уравнение, которое приводится к виду "произведение трёх множителей = 0" (обратите внимание, что значение косинуса зависит от значения аргумента, так что тут нужно отдельно разобрать два случая). Обычно после этого достаточно просто найти, когда зануляется каждый множитель, но помните, что наша задача - не найти такие x, а выяснить, при каких n выражение зануляется для любых аргументов.

Подсказка 3

Подумайте, при всех ли x значение наших тригонометрических функций может обращаться в 0? Если мы можем выразить x через n, π и k, то можем найти и отношение х к π. Что мы можем сказать о его рациональности?

Подсказка 4

Конечно, у нас получится, что х/π — рациональное число. Но мы всегда можем подобрать такой х, что х/π будет иррациональным числом (например, х=π²). То есть при некоторых х такое выражение всегда ненулевое. Тогда остаётся выяснить, для каких множителей отношение х/π может быть иррациональным, и найти, при каких целых n они могут обращаться в 0.

Показать ответ и решение

Условие задачи равносильно тому, что при всех вещественных $x$

15(x+-5π) 15x- cosn(x+ 5π)⋅sin n2 = cosnx⋅sin n2

(a) если $n$ чётно, то имеем равенство

15(x +5π) 15x cosnx⋅sin---n2---= cosnx ⋅sinn2-

( ) cosnx sin15x+275π-− sin152x = 0 n n

2cosnx⋅cos( 30x-+75π) ⋅sin 75π= 0 2n2 2n2

Найдём нули первых двух косинусов

cosnx =0 ⇔ nx= π +πk (k ∈ℤ) ⇔ x = 1-+ k 2 π 2n n

( ) cos 30x-+75π- =0 ⇔ 30x+-75π-= π+ πm (m ∈ℤ) ⇔ x= n2 + mn2-− 5 2n2 2n2 2 π 60 30 2

В обоих случаях отношение $x$ к $π$ рационально. Поэтому найдется такое значение $x,$ при котором два косинуса не обращаются в ноль (например, $2 x= π$ ). Отсюда следует, что условие задачи равносильно равенству

75π 75π 2 sin2n2 =0 ⇔ 2n2 = πt (t∈ℤ) ⇔ 75= 2n t,

которое не может быть выполнено, так как число $75$ нечетно.

(b) если $n$ нечётно, то имеем равенство

15(x+ 5π) 15x − cosnx ⋅sin ---n2---= cosnx ⋅sin n2-

( ) cosnx sin15x+275π-+ sin152x = 0 n n

2cosnx⋅sin( 30x+-75π)⋅cos75π= 0 2n2 2n2

Найдём нули первых двух множителей

π x 1 k cosnx =0 ⇔ nx= 2 +πk (k ∈ℤ) ⇔ π = 2n-+ n

( ) 2 sin 30x+2n275π- = 0 ⇔ 30x2+n725π-=πm (m ∈ℤ) ⇔ xπ = n3m0-− 52

В обоих случаях отношение $x$ к $π$ рационально. Поэтому найдется такое значение $x,$ при котором два косинуса не обращаются в ноль (например, $x= π2$ ). Отсюда следует, что условие задачи равносильно равенству

75π- 75π π 2 2 cos 2n2 = 0 ⇔ 2n2 = 2 + πt (t∈ℤ) ⇔ 75 =2n t+2n

75 n2 = 2t+ 1

Так как $75 n2$ — целое, то $n2 = 25$ или $n2 =1,$ отсюда

n ∈{−5;−1;1;5}

Ответ:

$±1, ±5$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#80500

Представить число 2021 в виде суммы трех взаимно простых чисел.

Источники: Росатом - 2021, 11.3, комплект 2 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем идейно сконструировать, что мы вообще хотим. То есть, какая бы ситуация нас устраивала. А устраивала бы нас ситуация, если бы у нас было число x, потом число кратное х, мы бы вычли 1 из второго числа и получили бы искомую тройку. Осталось подобрать такой х.

Подсказка 2

Поскольку все знают разложение на простые номеров ближайших лет(одно из самых полезных знаний на любой олимпиаде), то всем известно, что 2021 = 43 * 47(не очень то сложный был год), а значит можно представить 2021 как сумму 43, 1 и 43 * 46 - 1 и это будет выполнять условие задачи.

Показать ответ и решение

2021 =43⋅47= 43+ 43 ⋅46= 43+ 1+ (43⋅46− 1)

Ответ:

$43+ 1+ (43⋅46− 1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#80502

Петя написал на бумаге некоторый многочлен с неотрицательными целыми коэффициентами и думал, что Вася, задав только два вопроса Пете по телефону, никогда не сможет определить все коэффициенты многочлена. На первый Васин вопрос: «Чему равно значение многочлена при $x= 3?$ » Петя ответил «49». На второй Васин вопрос: «Чему равно значение многочлена при $x= 49?$ » был получен ответ «122455». Вася, немного подумав, назвал Пете все коэффициенты многочлена, который он написал. Какой многочлен придумал Петя?

Источники: Росатом - 2021, 11.1, комплект 2 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так как у нас в задаче упоминается только слово многочлен, то нам для начала надо определить его степень. Заметим, что степень не больше трех, так как 49^4 >= 122455, но при этом третья степень еще меньше. Значит, многочлен имеет вид a_3 * x^3 + a_2 * x^2 + a_1 * x + a_0 = 0. К тому же, так как у нас конкретные значения многочлена в точках, то скорее всего, в какой-то момент нам надо будет рассматривать наше выражение по какому-то модулю. Удобно будет, если мы сможем оценить наши коэффициенты чем-то небольшим, что влезало бы в рассматриваемый модуль. Как можно оценить наши коэффициенты?

Подсказка 2

Во-первых, можно точно сказать, что 49 >= a_i(так как f(3) = 49). При этом, f(49) = 4 = x_0 (mod 49). А значит, a_0 = 4, так как a_0 <= 49. Подставьте a_0 в наши равенства и попробуйте также посмотреть на коэффициенты, которые получаются. При этом, так как a_0 != 0, то a_1, a_2, a_3 < 49. При этом, есть уравнение 49^2 * a_3 + 49 * a_2 + a_1 = 2499.

Подсказка 3

Но тогда выходит, что a_1 = 0, а тогда система линейных уравнений на a_2, a_3 решается единственным образом.

Показать ответ и решение

Пусть он задумал $f(x)=∑ a xn n n$ . Так как $f(3)≥ 3na n$ , то для $n> 3$ верно, что $a =0 n$ . Значит, $f(x)= ax3+ a x2+a x+ a 3 2 1 0$ .

Заметим, что $f(3) =49≥ ai$ для любого $i$ . Так как $f(49)=122455 ≡4 ≡a0 (mod 49).$ Так как $f(3)= 49≥ a0$ , то $a0 = 4$ .

27a3+ 9a2 +3a1 = 45

9a3+ 3a2 +a1 = 15

Значит, $a3,a2,a1 <49$ .

493a3+492a2+49a1 = 124551

492a3+49a2+ a1 =2499

Значит, $.. a1.49$ и $a1 = 0$

49a3+a2 = 51

Значит, $a2 ≡ 2 (mod 49)$ и $a2 =2$ , а $a3 =1$ .

Ответ:

$x3+ 2x2+4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#90862

Решите неравенство

-sin2x- |cos2x| ≤ 2|sinx|− |cos2x|.

Источники: Росатом - 2021, 11.2, комплект 1 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Записав ограничение на cos2x, сразу же домножим на |cos2x| и перенесём всё в левую часть. Теперь выражение в левой части выгладит довольно знакомым. Что же это?

Подсказка 2

Верно! Это же полный квадрат. А значит, мы получаем, что (|sinx|-|cos2x|)² <= 0. Тогда во что переходит наше неравенство?

Подсказка 3

Да, точно! В равенство. Теперь мы имеем уравнение вида |f(x)| = |g(x)|. А его мы уже с лёгкостью можем решить, перезаписав в виде f(x) = ±g(x).

Показать ответ и решение

ОДЗ: $cos2x ⁄=0$

Домножим на положительное число $|cos2x|$ .

2 2 2 sinx − 2|sinx||cos2x|+ cos 2x= (|sin x|− |cos2x|) ≤ 0

Значит, $|sin x|= |cos2x|$ . Значит, либо $sinx =1− 2sin2x$ , либо $sin x= 1− 2 sin2x$ . Из квадратных уравнений мы получаем, что $sinx= ±1 ± √5 2 2$ .

Так как $|sinx|≤ 1$ , то $sinx$ либо $1− √5 2 2$ , либо $− 1 + √5. 2 2$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#90863

Решите уравнение

( ∘ -----2-)( ∘ -----2-) sinx + 1+ sin x cos2x+ 1+cos 2x = 1.

Источники: Росатом - 2021, 11.2, комплект 3 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим, что каждая скобка при домножении на сопряженное равна по модулю 1. То есть, скобки построены так, что при домножении, скажем, первой скобки на sinx - sqrt(1 + sin^2(x)) получится -1. Но тогда, так как у нас есть наше равенство и факт про домножение на сопряженное, мы получаем, что (sqrt(1 + sin^2(x)) - sinx) * (sqrt(1 + cos^2(2x)) - cos2x) = 1. Чем схожи полученное и начальные равенства? Если у них так немало схожего, то что нужно с ними сделать?

Подсказка 2

Верно, вычесть из начального полученное. Тогда у нас выйдет, что sinx * sqrt(1 + cos^2(2x)) + cos2x * sqrt(1 + sin^2(x)) = 0. Но тогда, разнеся это по разным частям, можно возвести в квадрат и получить(после преобразований), что sin^2(x) = cos^2(2x). Остается решить такое уравнение(к примеру заменой на квадрат синуса) и получить корни. Правда ли, что все корни точно подойдут?

Подсказка 3

Конечно, это неправда, ведь мы сделали неравносильный переход возведения в квадрат, при котором появляются новые корни, а это значит, что какие-то из наших корней могут не подойти. Надо просто подставить найденные корни в начальное уравнение и проверить равенство левой и правой части.

Показать ответ и решение

Заметим, что $(sin x+∘1-+-sin2x)(− sinx+ ∘1-+sin2x)= 1$ . Значит,

( ∘-----2-)( ∘--------) − sin x+ 1+ sin x − cos2x+ 1 +cos22x =1

Вычтем из изначального неравенства это.

∘-------- ∘------- 2sinx 1+ cos22x+ 2 1 +sin2xcos2x= 0

∘ -----2-- ∘ ----2-- sinx 1+ cos 2x= − 1+sin xcos2x

2 2 2 2 sin x(1+ cos 2x)=(1+ sin x)cos 2x

sin2x+ sin2xcos22x= cos22x+ sin2xcos22x

sin2x= cos22x= (1− 2sin2x)2

Пусть $2 t=sin x$ . Тогда $2 4t − 5t+ 1= (4t− 1)(t− 1)= 0$ . Значит, $sin x= ±1$ , либо $1 sinx =± 2.$

Если $sinx =1$ , то

( ∘ -------)( ∘ -------) √- √ - sinx + 1+ sin2x cos2x+ 1+ cos22x = (1+ 2)(− 1+ 2)=1.

Если $sinx =− 1$ , то

( ∘ -------)( ∘ -------) √ - √- sinx + 1+ sin2x cos2x+ 1+cos22x = (−1 + 2)(−1+ 2)⁄= 1?!

Если $sinx = 12$ , то

( ∘-----2-)( ∘ -----2--) 1 √5 1 √5 sinx+ 1 +sin x cos2x+ 1+ cos 2x = (2 +-2 )(2 +-2-)⁄=1?!

Если $1 sinx =− 2$ , то

( ∘ -------)( ∘ --------) √- √ - sin x+ 1+ sin2x cos2x + 1+ cos22x = (− 1+ -5)(1+ --5)=1. 2 2 2 2

Ответ:

$arcsin1, arcsin(− 1) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#90864

Докажите, что число $x = − sin π 1 18$ является корнем кубического уравнения $8x3− 6x− 1= 0$ . Найдите два других его корня.

Источники: Росатом - 2021, 11.2, комплект 4 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

На что похож sin(pi/18)? На разделенный на три аргумент sin(pi/6), чье значение нам известно. Также, мы знаем корнем какого уравнения у нас является -sin(pi/18) - кубическое уравнение. В какой формуле у нас связаны кубическим уравнение угол и утроенный угол?

Подсказка 2

Собственно, в выражении тройного угла. Тогда выходит, что у нас sin(-pi/6) = 3 * x_1 - 4 * x_1^3, где x_1 = -sin(pi/18). Значит, 3 * x_1 - 4 * x_1^3 = -1/2. Откуда и следует требуемое. Теперь давайте поймем, как нам получить еще два корня. Правда ли, что нам подойдут все корни, которые по модулю 2pi, после умножения на 3, будут равны -pi/6?

Подсказка 3

Да, это правда. Ну тогда, нам надо найти такие корни. Значит, нам надо найти корни вида sin(pi * k / 18), которые после умножения на 3 дадут требуемое условие. Нетрудно понять(к примеру, перебором), что это корни sin(11pi/18) и sin(23pi/18).

Показать ответ и решение

Вспомним, что $sin3x =3sin x− 4 sin3x$ . Значит,

1 π 3 − 2 = sin− 6 = 3x1− 4x1

8x31− 6x1− 1= 0

По аналогии, если $11π- x2 = sin18$ , то

1 11π 3 −2 = sin-6-= 3x1− 4x1

8x31− 6x1− 1= 0

и если $23π- 5π x3 = sin 18 = sin18$ , то

− 1 = sin23π= 3x1− 4x31 2 6

8x31− 6x1− 1= 0

Значит, у нас есть корни

x1 = − sin π-= sin− π 18 8

x2 = sin11π 18

23π 5π x3 = sin 18 = − sin18

Ответ:

$sin11π-,sin 23π- 18 18$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#100251

На столе лежит колода игральных карт $36$ листов. Два опытных игрока Кондрат и Игнат (каждый из них всегда делает правильный ход) начинают игру по следующим правилам. В начале игры каждый из игроков совершенно случайно называет одну из цифр от $1$ до $3.$ Их сумма определяет (на всю игру) максимальное число карт, которые при очередном ходе игроки могут забрать со стола. Игрок не может при своем ходе не взять со стола карту. Выигрывает тот из игроков, кто сможет забрать последнюю карту в колоде. Начинает всегда Кондрат. Какая вероятность победы Игната?

Показать ответ и решение

Введем событие $A$ - выигрывает Игнат. Количество упорядоченных случайных пар ( $m,n$ ), где $m = 1,2,3;n= 1,2,3$ , равно девяти. Случайная величина $m+ n$ принимает значения от 2 до 6 c вероятностями:


$m+ n$	2	3	4	5	6

$p$	$19$	$29$	$39$	$29$	$19$

Рассмотрим пять гипотез.

Гипотеза $H1 :m + n= 2,P (H1 )= 19$ . Если игрок при своем ходе сможет оставить на столе число карт кратное трем, то ему обеспечен выигрыш. В противном, это сможет сделать соперник и обеспечить свой выигрыш. При первом ходе Кондрат этого сделать не может, следовательно, $( ) P AH1 = 1$ .

Гипотеза $H2 :m + n= 3,P (H2 )= 29$ . Если игрок при своем ходе сможет оставить на столе число карт кратное четырем, то ему обеспечен выигрьш. В противном, это сможет сделать соперник и обеспечить свой выигрыш. При первом ходе Кондрат этого сделать не может, следовательно, $( ) P HA =1 2$ .

Гипотеза $H3 :m + n= 4,P (H3 )= 3 9$ . Если игрок при своем ходе сможет оставить на столе число карт кратное пяти, то ему обеспечен выигрыш. В противном, это сможет сделать соперник и обеспечить свой выигрыш. При первом ходе Кондрат этого сделать может, забрав со стола одну карту, следовательно, $P(-A) = 0 H3$ .

Гипотеза $H4 :m + n= 5,P (H4 )= 2 9$ . Если игрок при своем ходе сможет оставить на столе число карт кратное шести, то ему обеспечен выигрыш. В противном, это сможет сделать соперник и обеспечить свой выигрыш. При первом ходе Кондрат этого сделать не может, следовательно, $P( A-)= 1 H4$ .

Гипотеза $H :m + n= 6,P (H )= 1 5 5 9$ . Если игрок при своем ходе сможет оставить на столе число карт кратное семи, то ему обеспечен выигрыш. В противном, это сможет сделать соперник и обеспечить свой выигрыш. При первом ходе Кондрат этого сделать может, забрав со стола одну карту, следовательно, $P(-A) = 0 H5$ .

Наконец,

n=∑5 ( ) ( ) P(A )= P Hf P A-- = 1+-2+2-= 5. f=1 Hf 9 9

Ответ:

$5 9$