Росатом 2021
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Источники:
Подсказка 1
Заметим, что каждая скобка при домножении на сопряженное равна по модулю 1. То есть, скобки построены так, что при домножении, скажем, первой скобки на sinx - sqrt(1 + sin^2(x)) получится -1. Но тогда, так как у нас есть наше равенство и факт про домножение на сопряженное, мы получаем, что (sqrt(1 + sin^2(x)) - sinx) * (sqrt(1 + cos^2(2x)) - cos2x) = 1. Чем схожи полученное и начальные равенства? Если у них так немало схожего, то что нужно с ними сделать?
Подсказка 2
Верно, вычесть из начального полученное. Тогда у нас выйдет, что sinx * sqrt(1 + cos^2(2x)) + cos2x * sqrt(1 + sin^2(x)) = 0. Но тогда, разнеся это по разным частям, можно возвести в квадрат и получить(после преобразований), что sin^2(x) = cos^2(2x). Остается решить такое уравнение(к примеру заменой на квадрат синуса) и получить корни. Правда ли, что все корни точно подойдут?
Подсказка 3
Конечно, это неправда, ведь мы сделали неравносильный переход возведения в квадрат, при котором появляются новые корни, а это значит, что какие-то из наших корней могут не подойти. Надо просто подставить найденные корни в начальное уравнение и проверить равенство левой и правой части.
Заметим, что . Значит,
Вычтем из изначального неравенства это.
Пусть . Тогда
. Значит,
, либо
Если , то
Если , то
Если , то
Если , то
Специальные программы

Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!