Тема ФЕТТ (Формула Единства / Третье Тысячелетие)

Формула единства - задания по годам → .04 Формула единства 2022

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела фетт (формула единства / третье тысячелетие)

Разделы подтемы Формула единства - задания по годам

Формула единства до 2020

Формула единства 2020

Формула единства 2021

Формула единства 2022

Формула единства 2023

Формула единства 2024

Формула единства 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#74784

Пусть $a + ...+ a = n 1 m$ , где $a ,...,a 1 m$ - натуральные числа. Докажите, что $n$ ! делится на произведение

a1!⋅a2!⋅...⋅am!

Источники: ФЕ-2022, 11.1 (см. www.formulo.org)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы знаем, как представить n в виде суммы. Попробуем представить n! в виде произведения, используя данные о сумме.

Подсказка 2

Заметим, что мы можем выразить n! как произведение a_1 подряд идущих чисел на a_2 подряд идущих чисел…и так далее…теперь нужно доказать делимость на произведение каждого из факториалов.

Подсказка 3

Быть может, мы сможем разбить произведение на группы, в каждой из которых произведение делится на определенный факториал?

Показать доказательство

Давайте для начала докажем вспомогательную лемму: произведение $k$ подряд идущих чисел делится на $k!$

.. (n+ 1)(n+ 2)⋅...⋅(n +k).k!

Заметим, что количество способов выбрать $k$ человек из $k +n$ равно

(n+-k)(n+-k−-1)⋅...⋅(n-+1) k!

Но количество способов - целое число, поэтому числитель делится на знаменатель. Лемма доказана.

Так как $a1+ a2+...+am = n,$ то $n!$ можно представить в виде произведения $a1$ подряд идущих чисел на $a2$ следующих чисел $...$ на $am$ последних чисел:

n!= (1⋅2⋅...a1)⋅((a1+ 1)⋅(a1+ 2)⋅...⋅(a1+ a2))⋅...⋅((n − am +1)⋅...⋅n)

Произведение $ai$ подряд идущих чисел делится на $ai!,$ поэтому $n!$ делится на произведение факториалов $a1!⋅...⋅am!$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#74785

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA ′B′C′D ′$ отметили середину $O$ медианы $AM$ треугольника $AB ′D ′$ . Оказалось, что эта точка удалена от прямых $′ ′ AB ,AD$ и от грани $ABCD$ на расстояние 1 . Найдите объём параллелепипеда.

Источники: ФЕ-2022, 11.2 (см. www.formulo.org)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте для начала попробуем изучить картинку. Наша точка O равноудалена от прямых AD' и AB', следовательно она лежит на биссектрисе угла ∠D'AB'. Но по условию, O- середина медианы. Что мы тогда можем сказать про треугольник △D'AB'?

Подсказка 2

Верно, он равнобедренный! Тогда AD'=AB'. Значит и прямоугольные треугольники △AA'B' и △AA'D' равны по катету и гипотенузе. Нетрудно видеть, что расстояние от M до плоскости (ABCD) равно удвоенному расстоянию от O до этой же плоскости, т.е. 2. Давайте обозначим длину AB за x и попробуем выразить через нее остальные отрезки...

Подсказка 3

AB' и B'D' можно легко найти из теорем Пифагора. Тогда в треугольнике △D'AB' мы знаем все стороны ⇒ можем воспользоваться формулой для нахождения медианы AM. А что можно сказать про треугольники △AOX и △AB'M?

Подсказка 4

Точно, они подобны! Тогда B'M*AO/AB' = OX = 1, где X- основание перпендикуляра из O на AB'. Мы уже умеем выражать B'M, AO и AB' через x, поэтому мы сможем решить уравнение и найти x. Сделайте это и завершите решение!

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $X$ и $Y$ - это основания перпендикуляров, опущенных из $O$ на $AB′$ и $AD′$ . Точка $O$ на медиане $AM$ равноудалена от сторон треугольника $AB ′D ′$ , поэтому она лежит также на биссектрисе; значит, медиана является биссектрисой, поэтому $AB ′ =AD ′.$

$△ADD ′ = △ABB ′$ по катету и гипотенузе, тогда $AB =AD.$ Обозначим длины отрезков $AB = AD$ и $AA ′$ через $x$ и $z$ . Тогда

√ --- √------- AB′ = AD′ = ∘x2-+z2,B′M =D ′M =--2x2,AO = -2x2+-4z2- 2 4

. Taкжe

′ ∘ -2-2----2- OX =OY = B-MAB⋅A′O-(из подобия △AOX и △AB ′M )= 14 x-(xx2++2z2z-)

Расстояние от точки $O$ до основания $ABCD$ в 2 раза меньше, чем расстояние от $M$ до основания $ABCD,$ то есть $OX = z2 = 1$ , откуда легко получается $z =2$ и

x2(x2+ 8)= 16(x2+ 4)

то есть $------ x =∘ 4+ 4√5$ . Объём равен $x2z = 8+8√5$ .

Ответ:

$8+ 8√5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#74786

Решите систему в целых числах:

{ (y2 +6)(x− 1)= y(x2+ 1) (2 ) ( 2 ) x +6 (y− 1)= x y + 1

Источники: ФЕ-2022, 11.3 (см. www.formulo.org)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Оставлять такие скобки бессмысленно, поэтому раскроем их. Теперь у нас есть одинаковые слагаемые в обоих уравнениях, так что сразу начнем преобразовывать систему и приведем ее к удобному уравнению.

Подсказка 2

Сложим уравнения системы и начнем преобразовывать так, чтобы становилось как можно больше скобок. Совсем необязательно, чтобы все разложилось на множители.

Подсказка 3

(x-2)(x-3)+(y-2)(y-3)=0. Попробуем исследовать функцию f(x)=(t-3)(t-2) и понять, в каких случаях достигается равенство.

Показать ответ и решение

Раскроем скобки:

{ y2x− y2+ 6x− 6= yx2+y x2y− x2 +6y = xy2+x

Сложим эти 2 уравнения:

−x2− y2+ 6(x+y)− 12= x+ y

x2+y2− 5(x +y)+ 12= 0

(x2− 5x+ 6)+ (y2− 5y+ 6)= 0

(x− 2)(x− 3)+ (y− 2)(y− 3)= 0

Рассмотрим $f(t)= (t− 2)(t− 3)$ — это парабола с ветвями вверх, $f(t)≥ 0 при t∈ℤ.$ Тогда $f(x)+f(y)≥0,$ а равенство достигается только при

{ f(x) =0 f(y)= 0

То есть при

( [ ||||| x = 2 |{ x = 3 ||| [ |||( y = 2 y = 3

Остаётся только проверить найденные решения, подставив их в изначальную систему.

Ответ:

$(2,2);(3,3);(2,3);(3,2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#74787

Маша нарисовала на клетчатой бумаге по линиям сетки квадрат $n ×n$ клеток, где $n−$ чётное число. В некоторых клетках она провела диагонали, соблюдая два правила: - нельзя проводить две диагонали в одной клетке; - нельзя проводить две диагонали с общим концом.

Какое наименьшее число пустых клеток могло остаться на Машином рисунке?

Источники: ФЕ-2022, 11.4 (см. www.formulo.org)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Очень часто в задачах на оценку и пример бывает полезно разбить доску на фигуры, в которых удобнее делать оценку. Заметим, что в каждом узле не может «встретиться» более одной диагонали.

Подсказка 2

Можно попробовать выделить ряд узлов и отталкиваться при оценке от него.

Подсказка 3

А что если рассмотреть прямоугольники со стороной 2?

Показать ответ и решение

Оценка. Разобьём квадрат $n× n$ на $n∕2$ горизонтальных прямоугольников $2×n$ . Докажем, что в каждом из них Маша может провести не более $n+ 1$ отрезка, соблюдая условие задачи. Для каждого такого прямоугольника отметим все узлы сетки, лежащие на средней линии (см. рисунок снизу для $n= 8$ ).

$PIC$

В каждом прямоугольнике таких точек $n+ 1$ . Очевидно, любой Машин отрезок задействует не менее одной отмеченной точки. Значит, Маша в каждом таком прямоугольнике сможет провести не более $n+ 1$ отрезков. Таким образом, во всём квадрате $n ×n$ она проведёт не более $(n +1)⋅n∕2$ отрезков. Тогда количество пустых клеток не меньше $n2− n(n+21)= n(n2−1)$ .

Пример. На рисунке снизу показан пример для $n= 8$ (при других чётных $n$ примеры аналогичны).

$PIC$

Посчитаем количество пустых клеток

(2n− 2)⋅(2n−4+ 1) 1+ 5+ 9+...+(2n− 3))= ---------4----- = n(n-− 1) 2 2

Ответ:

$n(n−1) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#74788

Двое играют в карточную игру. У каждого есть колода из 30 карт. Каждая карта красная, зелёная или синяя. По правилам красная карта сильнее зелёной, зелёная сильнее синей, а синяя сильнее красной. Карты одного цвета равны. Колода каждого игрока перед началом партии перемешивается и кладётся перед ним рубашкой вверх. После этого оба открывают по верхней карте своей колоды. Если карты разного цвета, то выигрывает тот, чья карта сильнее. Если карты одинаковые, то они уходят в сброс, а игроки открывают ещё по одной карте - и так до тех пор, пока карты не окажутся различными. Если же обе колоды кончились, а победитель не выявлен, объявляется ничья.

Известно, что у первого игрока в колоде по 10 карт каждого цвета. Второй игрок имеет право взять любую колоду из 30 карт. Может ли он подобрать колоду так, чтобы вероятность его выигрыша была больше 1/2?

Источники: ФЕ-2022, 11.5 (см. www.formulo.org)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Разберемся с ответом. Если мы хотим доказывать, что нет, то нам надо доказывать, что для всевозможных колод у второго вероятность будет меньше 1/2. Это вообще непонятно как делать. А вот если же мы хотим доказывать, что ответ - да, то нам надо привести всего одну «хорошую» колоду. Давайте подумаем, если у нас дано количество синих, красных и зеленых карт каждого человека, то как бы для нас удобно было бы выражать вероятность, ведь наши переменные никак друг от друга не зависят(мы хотим выразить в общем случае вероятность и подставить одну и ту же переменную вместо всех для первого игрока в конце).

Подсказка 2

Наверное было бы удобно делать это рекуррентой, поскольку игра идет по шагам. Мы хотим как-то зафиксировать нашу конструкцию. Давайте подумаем как это можно было бы сделать не вводя кучи переменных. Пусть у нас r, g, b — количество соответственно красных, зеленых и синих карт у первого. Тогда, если мы хотим доказать, что при какой-то колоде все хорошо, то либо нам опять рассматривать все колоды и как-то усреднять (что то же самое, что и доказывать, что ответ «нет», в смысле рассмотрения всевозможных колод), либо брать какую-то конкретную колоду, методом крайнего. Какие колоды при этом кажутся интуитивными в таком случае?

Подсказка 3

Во-первых, интуитивной кажется колода копирующая первого игрока, но чисто навскидку, ситуации симметричны и вряд ли там будет строго больше 1/2 вероятность. Давайте также поймем, что скорее всего число 30 здесь просто так, кроме разве что того, что оно кратно 3. А это значит, что по нашему предположению, мы можем масштабировать колоду, при этом не меняя кардинально конструкцию взятия колоды второму, чтобы было выполнено условие. Но тогда это значит, что мы либо берём какую-то фиксированную долю от колоды для каждого цвета, а если так, то нужны еще согласованности с делимостью на эту долю и это как-то все очень шатко, если мы предполагаем, что можно масштабировать. Это наталкивает нас на мысль, что по хорошему бы брать какое то маленькое (чтобы и для маленьких размеров колод, скажем, меньших 30 условие было выполнено) фиксированное число карт одного цвета, тоже самое с другим, и все остальное - третьего цвета.

Подсказка 4

Чтобы можно было брать маленькое число карт в колоде и все работало, хотелось бы брать по 0 или 1 карте каких-то двух цветов, а все остальное отдавать другому. Ну и при этом понятно, что если мы будем выражать реккурентой нашу вероятность, то если мы, скажем, возьмем 1 зеленый, 1 синий и остальное - красным, то нам надо будет еще выражать как-то реккуренту для подсчета, когда у нас 0 зеленых, 1 синий и остальные - красные, 1 зеленых, 0 синих, остальные - красные, а также 0 зеленых, 0 синих, остальные -красные. Что как бы муторно. Тогда давайте возьмем остальные красными, а одну либо синей, либо зеленой.

Подсказка 5

Теперь надо выбрать - зеленая или синяя, но чисто интуитивно, чтобы вероятность была повыше, нам хотелось бы взять карту, как бы посильнее чем остальные, то есть красные. Ну тогда, давайте возьмем синюю. И теперь будем искать вероятность реккурентно. Напишите эти реккуренты, как мы выяснили, для вероятности, когда одна синяя, а остальные красные и когда только красные.

Подсказка 6

Если вероятность победы второго, когда только красные это v(r, g, b), где r, g, b - кол-во красных, зеленых и синих у первого соответственно, то v(r, g, b) = (g * 1 + r * v(r - 1, g, b)) / (r + g + b) - просто перебираем исходы и варианты, когда победим.

Подсказка 7

Напишите такую же рекурренту для u(r, g, b), где это вероятность когда одна синяя и остальные красные(очевидно, она будет выражаться через себя и v(r, g, b)), после чего попробуйте и для v, и для u найти общий вид реккуренты (очевидно, сначала для v, так как она проще и в итоге, искать надо u), перебирая маленькие значения, после чего задача будет решена.

Подсказка 8

Не забудьте доказать эти формулы по индукции, найдя базу и сделав переход (быть может сам переход натолкнет вас на вид, как должны выглядеть v и u).

Показать ответ и решение

Рассмотрим колоду, в которой одна синяя карта, а все остальные красного цвета. Найдём в этом случае вероятность выигрыша второго игрока. Пусть $u(r,g,b)−$ вероятность выигрыша, когда у первого игрока $r$ красных карт, $g$ зелёных, $b$ синих, а у второго одна синяя и все остальные красные (при условии $r+ g+ b>0$ ). Также пусть $v(r,g,b)$ - вероятность выигрыша, когда у второго игрока все карты красные.

Легко видеть, что

g⋅1+ r⋅v(r− 1,g,b) v(r,g,b)= ----r+-g+-b-----

при $r+ g+b> 0$ (если у первого выпала зелёная, то второй выиграл, если синяя, то проиграл, если красная, то игроки потратили по одной красной карте и продолжили игру). Ясно также, что $v(0,0,0)= 0$ (в этом случае будет ничья). Отсюда по индукции получаем, что $v(r,g,b)= gg+b$ при $g+ b> 0$ и $v(r,0,0)= 0$ .

Аналогично

u(r,g,b)= g(r+g+-b−-1)+r(1+(r+-g+-b− 1)u(r−-1,g,b))+-bv(r,g,b−-1)) (r+ g+ b)2

(Здесь мы рассматриваем всевозможные пары ходов: одна из $r+ g+b$ карт первого и одна из такого же количества карт второго. Если у первого выпала зелёная, то второй выиграет во всех случаях, кроме одного; если красная, то второй либо выкладывает синюю и побеждает, либо выкладывает красную и попадает в аналогичную игру с меньшим числом карт; если у первого синяя, то второй имеет шанс на выигрыш, только если выложит синюю и попадёт в новую игру со всеми красными). Кроме этого, $u(1,0,0)=1,$ $u(0,1,0)= u(0,0,1)= 0$ .

Легко проверить (догадаться сложнее... можно, например, угадать формулу, вручную посчитав вероятности для малых $r,g,b$ ), что эти равенства задают формулу

(r⋅(g+1) g⋅b g⋅(g− 1)) 1 u(r,g,b)= g-+b+-1 +g-+b−-1 +--g+-b- ⋅r+-g+b-

при $g+ b>1$ . Тогда

u(n,n,n)= 1 +----12--- > 1 2 6n(4n − 1) 2

при всех $n > 0$ , в том числе и при $n = 10$ .

Ответ: да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#74789

Клетки кубической таблицы $7× 7× 7$ (то есть маленькие кубики) пронумеровали по порядку числами от 1 до 343. (Сначала нумеруются клетки верхнего слоя: в первой строке слева направо от 1 до 7, в следующей от 8 до 14, и так далее до 49. Далее в таком же порядке нумеруются Клетки второго слоя и т. А.) После этого из таблицы удалили несколько непересекающихся кубов $2× 2× 2$ , а все оставшиеся числа сложили. Чему может равняться остаток от деления полученной суммы на 8 ?

Источники: ФЕ-2022, 11.6 (см. www.formulo.org)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем выразить числа на удаленном кубе через переменную. Так мы сможем посчитать их сумму.

Подсказка 2

Заметим, что сумма всех числе равна 8a+4*57. Что тогда можем сказать об изменении остатка от деления на 8?

Подсказка 3

Он либо сохраняет, либо изменяет остаток на 4!

Показать ответ и решение

Рассмотрим произвольный вырезаемый куб $2×2 ×2$ . Если наименьшее число обозначить $a$ , то остальные числа будут $a+ 1,a+7,a+ 8,a +49,a+49+ 1,a +49+ 7$ , $a+ 49 +8$ . Значит, их сумма $− 8a +4× 1+ 4× 7+4 ×49= 8a+ 4×57$ , то есть имеет остаток 4 от деления на 8. Значит, вырезание кубиков либо сохраняет суммарный остаток от деления на 8, либо изменяет его на 4. Осталось узнать, чему этот остаток равнялся изначально. Сумма чисел от 1 до 343 равна их среднему арифметическому $(1+343 ) 2 = 172$ на их количество 343. 172 делится на 4 , но не на 8 , а 343 нечётно, поэтому исходный остаток равен 4.

Ответ:

0 или 4

Предыдущая подтема

Следующая подтема