Тема ФЕТТ (Формула Единства / Третье Тысячелетие)

Формула единства - задания по годам → .04 Формула единства 2022

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела фетт (формула единства / третье тысячелетие)

Разделы подтемы Формула единства - задания по годам

Формула единства до 2020

Формула единства 2020

Формула единства 2021

Формула единства 2022

Формула единства 2023

Формула единства 2024

Формулы единства 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#74784

Пусть $a + ...+ a = n 1 m$ , где $a ,...,a 1 m$ - натуральные числа. Докажите, что $n$ ! делится на произведение

a1!⋅a2!⋅...⋅am!

Источники: ФЕ-2022, 11.1 (см. www.formulo.org)

Показать доказательство

Давайте для начала докажем вспомогательную лемму: произведение $k$ подряд идущих чисел делится на $k!$

.. (n+ 1)(n+ 2)⋅...⋅(n +k).k!

Заметим, что количество способов выбрать $k$ человек из $k +n$ равно

(n+-k)(n+-k−-1)⋅...⋅(n-+1) k!

Но количество способов - целое число, поэтому числитель делится на знаменатель. Лемма доказана.

Так как $a1+ a2+...+am = n,$ то $n!$ можно представить в виде произведения $a1$ подряд идущих чисел на $a2$ следующих чисел $...$ на $am$ последних чисел:

n!= (1⋅2⋅...a1)⋅((a1+ 1)⋅(a1+ 2)⋅...⋅(a1+ a2))⋅...⋅((n − am +1)⋅...⋅n)

Произведение $ai$ подряд идущих чисел делится на $ai!,$ поэтому $n!$ делится на произведение факториалов $a1!⋅...⋅am!$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#74785

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA ′B′C′D ′$ отметили середину $O$ медианы $AM$ треугольника $AB ′D ′$ . Оказалось, что эта точка удалена от прямых $′ ′ AB ,AD$ и от грани $ABCD$ на расстояние 1 . Найдите объём параллелепипеда.

Источники: ФЕ-2022, 11.2 (см. www.formulo.org)

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $X$ и $Y$ - это основания перпендикуляров, опущенных из $O$ на $AB′$ и $AD′$ . Точка $O$ на медиане $AM$ равноудалена от сторон треугольника $AB ′D ′$ , поэтому она лежит также на биссектрисе; значит, медиана является биссектрисой, поэтому $AB ′ =AD ′.$

$△ADD ′ = △ABB ′$ по катету и гипотенузе, тогда $AB =AD.$ Обозначим длины отрезков $AB = AD$ и $AA ′$ через $x$ и $z$ . Тогда

√ --- √------- AB′ = AD′ = ∘x2-+z2,B′M =D ′M =--2x2,AO = -2x2+-4z2- 2 4

. Taкжe

′ ∘ -2-2----2- OX =OY = B-MAB⋅A′O-(из подобия △AOX и △AB ′M )= 14 x-(xx2++2z2z-)

Расстояние от точки $O$ до основания $ABCD$ в 2 раза меньше, чем расстояние от $M$ до основания $ABCD,$ то есть $OX = z2 = 1$ , откуда легко получается $z =2$ и

x2(x2+ 8)= 16(x2+ 4)

то есть $------ x =∘ 4+ 4√5$ . Объём равен $x2z = 8+8√5$ .

Ответ:

$8+ 8√5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#74786

Решите систему в целых числах:

{ (y2 +6)(x− 1)= y(x2+ 1) (2 ) ( 2 ) x +6 (y− 1)= x y + 1

Источники: ФЕ-2022, 11.3 (см. www.formulo.org)

Показать ответ и решение

Раскроем скобки:

{ y2x− y2+ 6x− 6= yx2+y x2y− x2 +6y = xy2+x

Сложим эти 2 уравнения:

−x2− y2+ 6(x+y)− 12= x+ y

x2+y2− 5(x +y)+ 12= 0

(x2− 5x+ 6)+ (y2− 5y+ 6)= 0

(x− 2)(x− 3)+ (y− 2)(y− 3)= 0

Рассмотрим $f(t)= (t− 2)(t− 3)$ — это парабола с ветвями вверх, $f(t)≥ 0 при t∈ℤ.$ Тогда $f(x)+f(y)≥0,$ а равенство достигается только при

{ f(x) =0 f(y)= 0

То есть при

( [ ||||| x = 2 |{ x = 3 ||| [ |||( y = 2 y = 3

Остаётся только проверить найденные решения, подставив их в изначальную систему.

Ответ:

$(2,2);(3,3);(2,3);(3,2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#74787

Маша нарисовала на клетчатой бумаге по линиям сетки квадрат $n ×n$ клеток, где $n−$ чётное число. В некоторых клетках она провела диагонали, соблюдая два правила: - нельзя проводить две диагонали в одной клетке; - нельзя проводить две диагонали с общим концом.

Какое наименьшее число пустых клеток могло остаться на Машином рисунке?

Источники: ФЕ-2022, 11.4 (см. www.formulo.org)

Показать ответ и решение

Оценка. Разобьём квадрат $n× n$ на $n∕2$ горизонтальных прямоугольников $2×n$ . Докажем, что в каждом из них Маша может провести не более $n+ 1$ отрезка, соблюдая условие задачи. Для каждого такого прямоугольника отметим все узлы сетки, лежащие на средней линии (см. рисунок снизу для $n= 8$ ).

$PIC$

В каждом прямоугольнике таких точек $n+ 1$ . Очевидно, любой Машин отрезок задействует не менее одной отмеченной точки. Значит, Маша в каждом таком прямоугольнике сможет провести не более $n+ 1$ отрезков. Таким образом, во всём квадрате $n ×n$ она проведёт не более $(n +1)⋅n∕2$ отрезков. Тогда количество пустых клеток не меньше $n2− n(n+21)= n(n2−1)$ .

Пример. На рисунке снизу показан пример для $n= 8$ (при других чётных $n$ примеры аналогичны).

$PIC$

Посчитаем количество пустых клеток

(2n− 2)⋅(2n−4+ 1) 1+ 5+ 9+...+(2n− 3))= ---------4----- = n(n-− 1) 2 2

Ответ:

$n(n−1) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#74788

Двое играют в карточную игру. У каждого есть колода из 30 карт. Каждая карта красная, зелёная или синяя. По правилам красная карта сильнее зелёной, зелёная сильнее синей, а синяя сильнее красной. Карты одного цвета равны. Колода каждого игрока перед началом партии перемешивается и кладётся перед ним рубашкой вверх. После этого оба открывают по верхней карте своей колоды. Если карты разного цвета, то выигрывает тот, чья карта сильнее. Если карты одинаковые, то они уходят в сброс, а игроки открывают ещё по одной карте - и так до тех пор, пока карты не окажутся различными. Если же обе колоды кончились, а победитель не выявлен, объявляется ничья.

Известно, что у первого игрока в колоде по 10 карт каждого цвета. Второй игрок имеет право взять любую колоду из 30 карт. Может ли он подобрать колоду так, чтобы вероятность его выигрыша была больше 1/2?

Источники: ФЕ-2022, 11.5 (см. www.formulo.org)

Показать ответ и решение

Рассмотрим колоду, в которой одна синяя карта, а все остальные красного цвета. Найдём в этом случае вероятность выигрыша второго игрока. Пусть $u(r,g,b)−$ вероятность выигрыша, когда у первого игрока $r$ красных карт, $g$ зелёных, $b$ синих, а у второго одна синяя и все остальные красные (при условии $r+ g+ b>0$ ). Также пусть $v(r,g,b)$ - вероятность выигрыша, когда у второго игрока все карты красные.

Легко видеть, что

g⋅1+ r⋅v(r− 1,g,b) v(r,g,b)= ----r+-g+-b-----

при $r+ g+b> 0$ (если у первого выпала зелёная, то второй выиграл, если синяя, то проиграл, если красная, то игроки потратили по одной красной карте и продолжили игру). Ясно также, что $v(0,0,0)= 0$ (в этом случае будет ничья). Отсюда по индукции получаем, что $v(r,g,b)= gg+b$ при $g+ b> 0$ и $v(r,0,0)= 0$ .

Аналогично

u(r,g,b)= g(r+g+-b−-1)+r(1+(r+-g+-b− 1)u(r−-1,g,b))+-bv(r,g,b−-1)) (r+ g+ b)2

(Здесь мы рассматриваем всевозможные пары ходов: одна из $r+ g+b$ карт первого и одна из такого же количества карт второго. Если у первого выпала зелёная, то второй выиграет во всех случаях, кроме одного; если красная, то второй либо выкладывает синюю и побеждает, либо выкладывает красную и попадает в аналогичную игру с меньшим числом карт; если у первого синяя, то второй имеет шанс на выигрыш, только если выложит синюю и попадёт в новую игру со всеми красными). Кроме этого, $u(1,0,0)=1,$ $u(0,1,0)= u(0,0,1)= 0$ .

Легко проверить (догадаться сложнее... можно, например, угадать формулу, вручную посчитав вероятности для малых $r,g,b$ ), что эти равенства задают формулу

(r⋅(g+1) g⋅b g⋅(g− 1)) 1 u(r,g,b)= g-+b+-1 +g-+b−-1 +--g+-b- ⋅r+-g+b-

при $g+ b>1$ . Тогда

u(n,n,n)= 1 +----12--- > 1 2 6n(4n − 1) 2

при всех $n > 0$ , в том числе и при $n = 10$ .

Ответ: да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#74789

Клетки кубической таблицы $7× 7× 7$ (то есть маленькие кубики) пронумеровали по порядку числами от 1 до 343. (Сначала нумеруются клетки верхнего слоя: в первой строке слева направо от 1 до 7, в следующей от 8 до 14, и так далее до 49. Далее в таком же порядке нумеруются Клетки второго слоя и т. А.) После этого из таблицы удалили несколько непересекающихся кубов $2× 2× 2$ , а все оставшиеся числа сложили. Чему может равняться остаток от деления полученной суммы на 8 ?

Источники: ФЕ-2022, 11.6 (см. www.formulo.org)

Показать ответ и решение

Рассмотрим произвольный вырезаемый куб $2×2 ×2$ . Если наименьшее число обозначить $a$ , то остальные числа будут $a+ 1,a+7,a+ 8,a +49,a+49+ 1,a +49+ 7$ , $a+ 49 +8$ . Значит, их сумма $− 8a +4× 1+ 4× 7+4 ×49= 8a+ 4×57$ , то есть имеет остаток 4 от деления на 8. Значит, вырезание кубиков либо сохраняет суммарный остаток от деления на 8, либо изменяет его на 4. Осталось узнать, чему этот остаток равнялся изначально. Сумма чисел от 1 до 343 равна их среднему арифметическому $(1+343 ) 2 = 172$ на их количество 343. 172 делится на 4 , но не на 8 , а 343 нечётно, поэтому исходный остаток равен 4.

Ответ:

0 или 4

Предыдущая подтема

Следующая подтема