Тема ФЕТТ (Формула Единства / Третье Тысячелетие)

Формула единства - задания по годам → .03 Формула единства 2021

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела фетт (формула единства / третье тысячелетие)

Разделы подтемы Формула единства - задания по годам

Формула единства до 2020

Формула единства 2020

Формула единства 2021

Формула единства 2022

Формула единства 2023

Формула единства 2024

Формула единства 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#91340

Можно ли в выражении $A⋅5n+ B ⋅3n−1+ C$ подобрать натуральные коэффициенты $A,B$ и $C$ так, чтобы ни один из них не делился на 8, но результат при любом натуральном $n$ делился на $8?$

Источники: ФЕ - 2021, 10.1 (см. www.formulo.org)

Показать ответ и решение

Если $n ..2 .$ , то $A⋅5n+ B⋅3n−1+ C ≡A +3B + C (mod 8).$

Если $n$ не делится на 2, то $n n−1 A ⋅5 +B ⋅3 +C ≡ 5A + B+ C (mod 8).$

Тогда если $A = 2$ , $B = 4$ и $C =2$ , то оба выражения делятся на 8.

Ответ: да

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#94758

Петя печатает на экране компьютера пять цифр, среди которых нет нулей. Каждую секунду компьютер убирает начальную из цифр, а в конец дописывает последнюю цифру суммы четырёх оставшихся цифр. (Например, если Петя введёт 12345, то через секунду получит 23454 , потом 34546 и так далее. Но он может ввести и не 12345 , а какие-то другие пять цифр.) В какой-то момент Петя останавливает процесс. Какова минимально возможная сумма пяти цифр, которые могут оказаться в этот момент на экране?

Источники: ФЕ - 2021, 11.1 (см. www.formulo.org)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хм, хотим получить минимально возможную сумму цифр... Какая самая минимальная сумма могла в теории получиться? Какая комбинация цифр тогда должна быть в конце? А можем ли мы её получить?

Подсказка 2

Ага, 00000 мы не можем получить! А могла ли сумма цифр равняться 1? Можем ли получить какую-то из комбинаций такими операциями?

Подсказка 3

Ага, и тут не можем (обратите внимание на сумму цифр)! А можем ли получить сумму 2?

Подсказка 4

А вот тут уже можем! Попробуйте рассмотреть все комбинации с суммой цифр 2 и попробовать восстановить число Пети "обратным ходом".

Показать ответ и решение

Запись 00000 на экране появиться не может, поскольку она может получиться только из 00000 . Запись из четырёх нулей и единицы тоже не может, поскольку тогда последняя цифра не равна остатку от деления суммы четырёх первых на 10.

А вот сумма цифр 2 возможна. Например, “обратным ходом” можно найти пример получения записи 00011 (или 10001):

00011 ← 10001← 91000← 09100← 00910← 20091 ← 72009← 17200 ← 01720← ← 40172 ←24017 ← 52401← 95240← 89524.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#94759

Дан треугольник $ABC.$ $O 1$ — центр его вписанной окружности; $O 2$ — центр окружности, касающейся стороны $BC$ и продолжений двух других сторон треугольника $ABC$ . На дуге $BO2$ описанной окружности треугольника $O1O2B$ отмечена такая точка $D$ , что угол $BO2D$ вдвое меньше угла $BAC.$ $M$ — середина дуги $BC$ описанной окружности треугольника $ABC$ . Докажите, что точки $D,M, C$ лежат на одной прямой.

Источники: ФЕ - 2021, 11.2 (см. www.formulo.org)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Ух, как много всего на картинке... Можно не рисовать сразу вписанную и вневписанную окружности из условия, так как там говорилось только про их центры. И что мы знаем про центры этих окружностей? Можем ли мы найти какие-то углы?

Подсказка 2

Центры окружностей являются точками пересечения биссектрис, а тогда стоит обратить внимание на вершины треугольника, из которых исходят сразу 2 биссектрисы! Углы между ними как раз и можем определить. А что хорошего это даёт?

Подсказка 3

Ага, перед нами вписанный четырёхугольник! Тогда можно перекинуть угол BO₂D. А что там с углом BAC? Чему будет равна его половинка и как воспользоваться серединой дуги, точкой М?

Подсказка 4

Как связаны ∠BCM и ∠BAC? Тогда какой вывод можем сделать об углах ∠BCM и ∠BCD? Задача решена!

Показать доказательство

Заметим, что углы $O BO 1 2$ и $O CO 1 2$ прямые (как углы между биссектрисами смежных углов), поэтому $B,O ,C,O 1 2$ лежат на одной окружности, и

1 ∠BCD = ∠BO2D = 2∠BAC

$PIC$

Но угол $BCM$ тоже равен $12∠BAC$ (поскольку опирается на половину дуги $BC$ ), так что точки $D,M,C$ лежат на одной прямой.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#94760

Однажды Валера вышел из дома, дошёл пешком до дачи, покрасил там 11 досок забора и вернулся домой через 2 часа после выхода. В другой раз Валера с Ольгой пошли на дачу вместе, вдвоём покрасили 8 досок забора (не помогая и не мешая друг другу), вместе ушли и вернулись домой через 3 часа после выхода. Сколько досок успеет покрасить Ольга в одиночку, если ей надо вернуться домой через полтора часа после выхода? Физические способности Валеры и Ольги, их трудолюбие и условия работы неизменны.

Источники: ФЕ - 2021, 7.3 (см. www.formulo.org)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Кажется, произошло что-то странное — вдвоём за большее время персонажи успели выполнить меньше работы... Как думаете, почему так?

Подсказка 2

Дело в том, что скорость "совместной" ходьбы равна меньшей из скоростей путников! Надо бы тогда понять, сколько времени они потратили на дорогу.

Подсказка 3

Можно ввести переменные, а можно просто пооценивать. Если Валера за 2 часа успел 11 досок покрасить, то во второй раз он красил доски не более скольких часов? Тогда какое минимальное количество времени занимала дорога до забора вместе с Ольгой? Какой вывод делаем?

Показать ответ и решение

Странный результат (вдвоём за большее время персонажи успели выполнить меньше работы) объясняется разным временем, затраченным на ходьбу, ведь скорость «совместной» ходьбы равна меньшей из скоростей путников. Во второй раз Валера работал не более чем $-8 2⋅11$ часов, значит, на путь они затратили хотя бы $16 17 3− 11 = 11 > 1,5$ часов. Значит, за полтора часа Ольга не успеет даже дойти до дачи и вернуться.

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#94761

Территория Тридесятого царства состоит из всех целых чисел. Княжеством будем называть множество вида ${ak+ b|k∈ ℤ}$ , где $a ⁄=0$ и $b−$ некие целые числа (то есть бесконечную в обе стороны арифметическую прогрессию). Царь хочет разделить всю территорию царства, кроме чисел 3 и 10 , на бесконечное количество непересекающихся княжеств. Возможно ли это?

Источники: ФЕ - 2021, 10.4 (см. www.formulo.org)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Разбить все числа на княжества означает придумать правило, по которому мы их будем добавлять в княжества. Давайте для начала подумаем, чем схожи и чем отличаются числа 3 и 10.

Подсказка 2

Чётное и нечётное, делится на 3 и даёт остаток 1... Давайте попытаемся отдельно разбить чётные и нечётные числа. Одно из ключевых свойств — делимость. Попробуйте разбить все чётные числа кроме 0 (в том числе 10) на непересекающиеся княжества.

Подсказка 3

Для этого можно воспользоваться делимостью — брать число в княжество в том случае, если оно делится на какое-то число, а на другое не делится. Тогда 0 никуда не попадёт!

Подсказка 4

Тут можно поиграться со степенями двойки — брать число в княжество, если оно делится на 2ⁿ, но не делится на 2ⁿ⁺¹. Чему в таком случае будут равны a и b? И останется только придумать, как исключить 3 и 10 при помощи того, что 0 не в княжествах.

Подсказка 5

Выходит, что a = 2ⁿ⁺¹, b = 2ⁿ. А чтобы исключить 3 и 10, нужно сделать "сдвиг" княжеств. Брать число в них не в случае делимости, а в случае каких-то остатков от деления.

Показать ответ и решение

Будем отдельно разбивать чётные числа и нечётные, тогда надо дважды разбить прогрессию без одной точки. Покажем, как это сделать для нечётных: поместим нечётное число $x$ в княжество $s$ , если $x− 3$ кратно $s 2$ , но не кратно $s+1 2$ . Для чётных аналогично.

Ответ: да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#94762

Соревнование по бегу на непредсказуемую дистанцию проводится следующим образом. На круглой беговой дорожке случайным образом (с помощью вращающейся стрелки) выбираются две точки $A$ и $B$ , после чего спортсмены бегут из $A$ в $B$ по более короткой дуге. Зритель купил билет на стадион и хочет, чтобы спортсмены пробежали мимо его места (тогда он сможет сделать удачную фотографию). Какова вероятность, что это случится?

Источники: ФЕ - 2021, 11.5 (см. www.formulo.org)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Надо бы понять, при каких расположениях точек А и В спортсмены пробегут мимо зрителя. Попробуйте нарисовать круговую дорожку и поотмечать такие пары точек, попробовать выявить критерий.

Подсказка 2

Давайте примем длину дорожки за единицу и обозначим длины дуг по часовой стрелке от А и В до зрителя за x и y. При каком условии на х, y спортсмены пробегут мимо зрителя?

Подсказка 3

Можем просто записать условие, что длина дуги, проходящая мимо зрителя, меньше длины второй дуги. Остаётся найти вероятность! Какие значения могут принимать x, y? Может быть, можем изобразить множество, соответствующее всем парам (x, y)? А каким будет множество подходящих пар?

Подсказка 4

Ага, множество пар — квадратик со стороной 1! И множество подходящих пар тоже можем изобразить: для этого нужно раскрыть модуль у нашего критерия на подходящие А и В. И остаётся посчитать площади и найти геометрическую вероятность!

Показать ответ и решение

Отождествим каждую точку дорожки с её расстоянием до зрителя по часовой стрелке. Тогда пары $(A,B)$ можно отождествить с парами чисел из $[0,1)$ (длину всей дорожки примем за единицу). При этом вероятность того, что $(A,B)$ принадлежит некоторому подмножеству $[0,1)×[0,1)$ , равна площади этого подмножества. Нас интересует множество таких $(A,B)$ , что $1 |A− B|> 2$ (в этом случае кратчайшая дуга проходит через 0), это пара треугольников общей площадью $1 4$ :

$PIC$

Ответ: 0,25

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#94763

На плоскости нарисован равносторонний треугольник и три окружности с центрами в его вершинах, причём радиус каждой из окружностей меньше высоты треугольника. Точка плоскости красится в жёлтый цвет, если она лежит внутри ровно одной из окружностей; в зелёный, если внутри ровно двух; в синий, если внутри всех трёх:

$PIC$

Оказалось, что жёлтая площадь равна 1000 , зелёная 100 , а синяя — 1 . Что больше: сторона треугольника или суммарная длина зелёных отрезков, лежащих на сторонах треугольника?

Источники: ФЕ - 2021, 11.6 (см. www.formulo.org)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам дали площади всех частей. Давайте попробуем выразить с их помощью площадь треугольника, ведь тогда сможем найти его сторону!

Подсказка 2

Жёлтую площадь внутри треугольника так просто не найти... Но зато сможем найти площади частей кругов, лежащих внутри треугольника (если найдём сумму площадей всех кругов), а потом вычтем лишние площади. Стоит заметить, что картинка симметричная, поэтому зелёные площади делятся сторонами треугольника пополам!

Подсказка 3

Отлично, площади треугольника и его сторону (он ведь равносторонний) нашли! Осталось её сравнить с суммой длин отрезков. Попробуйте выразить длины всех зелёных отрезков при помощи стороны треугольника и радиусов окружностей. И сравнить их сумму со стороной треугольника.

Подсказка 4

У вас наверняка получилось сравнение r₁ + r₂ + r₃ V 2a (V - неизвестный знак). Сумму радиусов мы не знаем, но что мы можем найти из известной нам суммы площадей кругов? А при помощи какого неравенства можно перейти к этому?

Подсказка 5

Из суммы площадей кругов мы знаем сумму квадратов радиусов! А какое неравенство связывает сумму чисел и сумму их квадратов? Тогда что будет больше?

Подсказка 6

Поможет неравенство о среднем арифметическом и средним квадратическим или неравенство КБШ (Коши-Буняковского-Шварца)! Остаётся только подставить числа и проверить, действительно ли (2а)² > 3(r₁² + r₂² + r₃²).

Показать ответ и решение

Сумма площадей трёх кругов равна $1000+ 2⋅100 +3⋅1= 1203$ ; сумма площадей трёх «линз» равна $100+ 3⋅1= 103$ («линза» - это пересечение двух кругов). Площадь треугольника равна $S1− S2+S3$ , где

$S1 =1203∕6$ — сумма площадей трёх 60-градусных секторов,

$S2 =103∕2$ — сумма площадей половинок трёх «линз», лежащих внутри треугольника; $S3 = 1$ — площадь синей области.

Действительно, при таком подсчёте каждая жёлтая область внутри треугольника посчитана 1 раз, каждая зелёная: $2− 1=1$ раз, синяя область: $3− 3+1 =1$ раз.