Тема ТурЛом (турнир Ломоносова)

Турнир Ломоносова - задания по годам → .03 ТурЛом 2021

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела турлом (турнир ломоносова)

Разделы подтемы Турнир Ломоносова - задания по годам

ТурЛом до 2020

ТурЛом 2020

ТурЛом 2021

ТурЛом 2022

ТурЛом 2023

ТурЛом 2024

ТурЛом 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#93344

Пусть $f(x)= |x− 1|.$

Решите уравнение

f(f(f(...(f(x))...)))= 0

(буква $f$ написана $2021$ раз).

Источники: Турнир Ломоносова - 2021, 11.1 (см. turlom.olimpiada.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем поработать с маленьким количеством f. Какие корни будет иметь уравнение, если мы запишем f один раз? А если 2, 3 раза?

Подсказка 2

Если f записана 1 раз, то корнем будет число 1. Если 2 раза — то имеем корни 0, 2. Если же f записана 3 раза — то корнями будут числа -1, 1, 3. Можно ли заметить какую-нибудь закономерность?

Подсказка 3

Если f записана k раз, то корнями уравнения будут числа -k+2, -k+4, …, k-2, k. Докажем это по индукции по k!

Подсказка 4

Подумайте, что необходимо и достаточно сказать про корни уравнения, где f записана k раз, чтобы число a было корнем уравнения, где f записана k+1 раз.

Показать ответ и решение

Обозначим $f(f(f(...(f(x))...))),$ где буква $f$ написана $k$ раз, за $f(k)(x)$ .

Докажем, что корнями уравнения $(k) f (x)= 0$ , являются числа $− k+ 2,− k+ 4,...,k − 2,k.$ Доказывать будем индукцией по числу $k.$

Если $k= 1,$ то корнями $f(x)= 0$ является только число $1$ , что и требовалось.

Пусть мы уже доказали, что корнями $(k) f (x)= 0$ являются числа $− k+ 2,$ $− k+ 4,...,k− 2,k.$ Заметим, что $(k+1) (k) f (a)= f (f(a));$ то есть, для того, чтобы $a$ было корнем уравнения $(k+1) f (x)= 0$ необходимо и достаточно, чтобы $f(a)$ было корнем уравнения $(k) f (x)= 0.$

Значит, $f(a)$ должно равняться одному из чисел $− k+ 2,− k+ 4,...,k− 2,k,$ т.е. расстояние от $a$ до 1 должно равняться $k,k− 2,...$ А это и есть числа $1±k,1± (k − 2),...,$ т.е. числа $− k +1,− k +3,...,k− 1,k+ 1.$ Переход доказан.

Ответ:

$− 2019,− 2017,...,− 1,1,3,...,2021$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#93346

Найдите количество четвёрок положительных целых чисел $(a,b,c,d),$ таких, что $a≤ b≤ c≤ d$ и

a!⋅b!⋅c!⋅d!= 24!

Источники: Турнир Ломоносова - 2021, 11.2 (см. turlom.olimpiada.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу же оценим сверху d в силу нашего равенства. Раз мы имеем дело с факториалами, то сразу хочется посмотреть на делимость левой части на делители числа 24. Как за счёт этого мы можем ограничить наши переменные?

Подсказка 2

Верно! Левая часть делится на 23. Тогда d! точно делится на 23, а значит, и d делится на 23. Получаем, что 23 ≤ d ≤ 24. Теперь у d всего 2 возможных значения. Рассмотрите по отдельности оба случая и проделайте всё по аналогии с другими переменными.

Показать ответ и решение

Легко видеть, что $d≤ 24.$ Заметим, что правая часть равенства делится на $23$ , а значит, и левая часть должна делиться, откуда $d ≥23.$ Разберём два случая, чему может равняться $d:$

$− d= 24 :$ тогда $a!⋅b!⋅c!=1,$ откуда $a= b= c= 1;$

$− d= 23 :$ тогда $a!⋅b!⋅c!=24= 4!.$

Тогда, аналогично, или $c=4,$ или $c=3;$ разберём эти два случая:

$− c=4 :$ тогда $a!⋅b!= 1,$ откуда $a= b=1;$

$− c=3 :$ тогда $a!⋅b!= 4;$ небольшим перебором убеждаемся, что тогда $a =b =2;$

Итого, получаем три возможные четвёрки решений: $(1,1,1,24),$ $(1,1,4,23),$ $(2,2,3,23).$

Ответ:

$3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#93349

Пусть $O$ — центр описанной окружности остроугольного треугольника $ABC.$ На сторонах $AB$ и $AC$ отмечены точки $P$ и $Q$ соответственно. Оказалось, что описанная окружность треугольника $AP O$ касается прямой $BO,$ описанная окружность $AQO$ касается прямой $CO,$ а периметр треугольника $AP Q$ равен $AB + AC.$ Найдите величину угла $∠BAC.$

Источники: Турнир Ломоносова - 2021, 11.3 (см. turlom.olimpiada.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нужно воспользоваться тем, что BO и СO - касательные. Для этого можно посчитать уголки за счёт теоремы об угле между касательной и хордой. Также за счёт того, что O — центр описанной окружности, мы можем наложить условие на отрезки AO, BO и CO.

Подсказка 2

Отлично! Мы получили, что PB = PO и QO = QC. Пора воспользоваться последним условием на периметр треугольника APQ. Попробуйте записать его и использовать полученные равенства.

Подсказка 3

Сделав это, мы получили, что PQ = PO + OQ. А значит, P, O и Q лежат на одной прямой. Раз так, то мы можем записать условие на то, что ∠POQ развёрнутый. Попробуйте выразить этот угол через ∠BAC.

Подсказка 4

Раз O — центр описанной окружности, то ∠BOC = 2∠BAC. Теперь взглянем на сумму ∠QOC + ∠POB. Выразите её через ∠BAC, используя полученные ранее равенства.

Показать ответ и решение

Поскольку описанная окружность треугольника $APO$ касается прямой $BO,∠P OB =∠P AO.$ Кроме того, поскольку $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC, OA =OB,$ откуда $∠OAB = ∠OBA.$ Значит, $∠POB = ∠PBO,$ откуда $P B = PO.$ Аналогично, $QO = QC.$

По условию, $AP + AQ +PQ = AB +AC,$ то есть $PQ= PB + QC,$ Из предыдущего абзаца мы знаем, что тогда $PQ = PO +OQ,$ т.е. точки $P,$ $O$ и $Q$ лежат на одной прямой.

$PIC$

Осталось посчитать уголки. Например, это можно сделать так:

180∘ =(∠POB + ∠QOC )+∠BOC =

(∠PAO + ∠QAO )+∠BOC =∠BAC +2∠BAC = 3∠BAC

∘ ∠BAC = 60 .

Ответ:

$60∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#93393

Имеется табло $100× 100,$ в каждой ячейке которого находится лампочка; исходно все лампочки выключены. K этому табло подключены $200$ переключателей: по одному на каждую линию (т.е. строку или столбец). Переключатель меняет состояние всех лампочек той линии, к которой он относится: горящие выключает, негорящие — включает. За $1$ минуту $1$ горящая лампочка расходует $1$ единицу энергии.

Саша раз в минуту нажимает на какой-то переключатель. Он хочет нажать на каждый из переключателей ровно по одному разу. Приведите пример, как Саше нажимать на переключатели, чтобы количество израсходованных единиц энергии было минимально. Не забудьте доказать, что в вашем примере количество израсходованных единиц энергии действительно минимально.

Источники: Турнир Ломоносова - 2021, 11.4 (см. turlom.olimpiada.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте на маленькой доске побыть Сашей и заметить, для какой стратегии тратится минимальное количество энергии. А затем доказать это для общего случая!

Подсказка 2

Давайте посмотрим на ситуацию спустя некоторое число n минут. Пусть Саша нажал на i переключателей на строках и на j на столбцах. Тогда сколько лампочек горит в данный момент? А когда такое количество является минимальным?

Подсказка 3

В выражении для числа горящих лампочек число n = i + j является фиксированным, а произведение ij - нет. А когда произведение является минимальным при фиксированной сумме? Значит, как нужно действовать Саше?

Показать доказательство

Докажем, что если Саша переключает последовательно строки и столбцы, то количество затраченной энергии будет минимально. Для этого докажем даже более сильный факт: при таком алгоритме количество горящих лампочек в каждую минуту минимальное из возможных.

Пусть Саша нажал на $n$ переключателей, из них $i$ относились к строкам, а $j$ — к столбцам. Тогда сейчас горят $100i+100j− 2ij$ лампочек: $100i$ лампочек в $i$ выбранных Сашей строках, $100j$ — в столбцах, $ij$ — лампочки на их пересечении (их Саша уже выключил). Сумма $100i+100j =100(i+ j)= 100n$ зависит только от номера текущей минуты. Хорошо известно, что если $i+ j$ фиксировано, то произведение $ij$ тем больше, чем меньше $|i− j|$ . Осталось заметить, что если переключать последовательно строки и столбцы, то $|i− j|$ на каждом шаге минимальное из возможных: $0$ для чётных $i+j$ и $1$ для нечётных.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#93394

Фрэнк придумал способ кодирования чисел. Число $n$ кодируется числом $a n$ по следующим правилам: $a = 1; 1$ $a n$ получается из $a n−1$ так: Фрэнк смотрит, какие разряды в десятичной записи числа $n$ отличаются от соответствующих разрядов числа $n − 1,$ и увеличивает в десятичной записи числа $an−1$ на $1$ только самый левый из этих разрядов (при этом $9$ становится $0,$ а если разряда ещё не было, то Фрэнк считает, что в нём стоял $0$ ). Например, $a9 =9,$ $a10 = 19,$ $a11 = 10,$ $a12 =11.$ Найдите $k,$ если известно, что $ak = 2021.$

Источники: Турнир Ломоносова - 2021, 11.5 (см. turlom.olimpiada.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы прибавляем 1 к какому-то разряду числа, при этом 0 → 1, 9 → 0, на какую операцию это похоже? Давайте пойдём от обратного - как получилось число 2021? Сколько раз прибавляли 1 к каждому из разрядов?

Подсказка 2

Конечно, операция является прибавлением 1 к разряду по модулю 10! Изначально у нас было число 0, тогда c₁ ≡₁₀ 2 раза добавили 1 к разряду тысяч, c₂ ≡₁₀ .... А сколько всего проделано операций? Не забудьте учесть, что меняется только левый разряд!

Показать ответ и решение

Что происходит, когда при увеличении $n− 1$ на $1$ меняются $s$ последних разрядов? Можно посмотреть на это так: мы к каждому из $s$ последних разрядов прибавляем $1$ по модулю $10.$ Способ кодирования Фрэнка состоит в том, что вместо прибавления $1$ ко всем разрядам мы прибавляем $1$ только к самому левому из них.

Тогда и способ декодирования становится понятен: как получилось число $ak = 2021?$ Мы $c1 ≡ 2$ раз прибавляли $1$ к разряду тысяч, $c2 ≡ 0$ — к разряду сотен, $c3 ≡ 2$ — к разряду десятков, $c4 ≡ 1$ — к разряду единиц. Тогда число $k$ получается, когда мы $c1 ≡ 2$ раз прибавляли $1$ к разряду тысяч, $c1+ c2 ≡2$ — к разряду сотен, $c1+ c2+c3 ≡ 4$ — к разряду десятков, $c1+ c2+c3+ c4 ≡ 5$ — к разряду единиц. Получается, что ответ $2245.$

Ответ:

$2245$

Предыдущая подтема

Следующая подтема