Тема ОММО (Объединённая Межвузовская Математическая Олимпиада)

ОММО - задания по годам → .11 ОММО 2019

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела оммо (объединённая межвузовская математическая олимпиада)

Разделы подтемы ОММО - задания по годам

ОММО 2009

ОММО 2010

ОММО 2011

ОММО 2012

ОММО 2013

ОММО 2014

ОММО 2015

ОММО 2016

ОММО 2017

ОММО 2018

ОММО 2019

ОММО 2020

ОММО 2021

ОММО 2022

ОММО 2023

ОММО 2024

ОММО 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#30987

При каком наименьшем натуральном $k$ выражение

2017⋅2018⋅2019⋅2020 +k

является квадратом натурального числа?

Источники: ОММО-2019, номер 3, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим, что это задача на оценку + пример. В этой задаче пока непонятно, как делать оценку и двигаться в сторону нужного k. Давайте попробуем для начала поискать подходящее k и попробуем какие-то маленькие k перебрать.

Подсказка 2

Для k = 1 попробуем доказать, что оно подходит. Для этого нам потребуется разложить имеющееся выражение как квадрат некоторого числа. Чтобы вам не приходилось оперировать огромными произведениями, давайте для удобства заменим 2017 на n.

Подсказка 3

Тогда нам осталось разложить на множители:

Показать ответ и решение

Достаточно показать, что для $k =1$ условие выполнено, поскольку это наименьшее натуральное число. Действительно, обозначим $n =2017,$ тогда

2 2 n(n+ 1)(n +2)(n +3)+ 1= (n + 3n)(n + 3n+2)+ 1=

2 2 2 2 2 = (n +3n) + 2(n + 3n)+1= (n + 3n +1)

Ответ:

$1$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#38860

В футбольном турнире играли восемь команд: каждая команда по одному разу сыграла с каждой. В следующий круг отбираются команды, набравшие пятнадцать и более очков. За победу даётся $3$ очка, за ничью — $1$ очко, за поражение — $0$ очков. Какое наибольшее количество команд может выйти в следующий круг?

Источники: ОММО-2019, номер 2, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Так, посмотрим, мы хотим посчитать количество команд, получивших хотя бы 15 очков. Но ведь количество очков, разыгрваемое в турнире, ограничено! Сколько баллов у нас за игру получают в сумме обе команды?

Подсказка 2!

Ага, таким образом за каждую игру в сумме разыграли не более 3 баллов. То есть мы можем посчитать, сколько всего очков максимально было разыграно за турнир! И посмотрим, сколько команд "пятнидцатибальников" максимально вместится в наше соревнование...

Подсказка 3!

Не забудем доказать, что столько найдется! Осталось аккуратно построить пример :)

Показать ответ и решение

Всего игр было $8⋅7 = 28 2$ , так что разыграно не более $28⋅3= 84$ очков. Отсюда команд, которые набрали хотя бы $15$ баллов, не больше пяти.

Покажем, что такие пять команд найдутся. Пусть каждая из них выиграла у оставшихся трёх, то есть каждой остаётся набрать $6$ очков до $15$ или выиграть ещё два раза. Расположим эти $5$ команд по кругу. Пусть каждая выиграет у следующей по кругу и идущей через одну, то есть, например, $1$ у $2$ и $3$ или $5$ у $1$ и $2$ . Это эквивалентно построению всех рёбер полученного пятиугольника, а также всех диагоналей, поскольку $2 C5 = 10$ , то их как раз $10$ и каждую мы построим по одному разу.

Ответ:

$5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#39867

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

( 2 2) (2 2) log3 2x − x +2a− 4a + log1∕3x + ax− 2a = 0

имеет два различных корня, сумма квадратов которых меньше $1$ ?

Источники: ОММО-2019, номер 8, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сперва замечаем, что логарифмы можно привести к одному основанию, например, к 3. Тогда их можно развести в разные стороны и из монотонности логарифма можно сделать вывод о равенстве подлогарифмических выражений. Всё ли мы учли?

Подсказка 2

Не-а, обязательно не забываем записать условие на положительность одного из этих выражений! Дальше уже из системы находятся корни. Что надо для них проверить?

Подсказка 3

Правильно, могут ли они совпадать? Оказывается, да, при a = 1/3. Тогда это значение параметра не берём в ответ. Теперь можно подставить найденные корни в систему, решить её, а потом ещё учесть условие на сумму квадратов!

Показать ответ и решение

Уравнение эквивалентно

( 2 2) ( 2 2) log3 2x − x+ 2a− 4a = log3 x + ax − 2a ⇐⇒

{ x2+ax− 2a2 > 0 { (x +2a)(x− a)> 0 2x2 − x+ 2a− 4a2 =x2+ ax− 2a2 ⇐ ⇒ (x − 2a)(x+ a− 1)= 0

То есть корнями будут $x =2a,x= 1− a$ . Корни различны, потому $a⁄= 1 3$ , осталось подставить их в неравенство

{ (2a+2a)(2a− a)> 0 { a⁄= 0 (1− a+2a)(1− a− a)> 0 ⇐⇒ a∈ (− 1,12)

Осталось учесть условие на сумму квадратов

( ) 4a2+ 1− 2a+ a2 < 1 ⇐⇒ a∈ 0,2 5

Ответ:

$(0;1 )∪( 1;2) 3 3 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#43115

Дан треугольник $ABC$ . На отрезках $AB$ и $BC$ выбраны точки $X$ и $Y$ соответственно так, что $AX = BY$ . Оказалось, что точки $A,X,Y$ и $C$ лежат на одной окружности. Пусть $BL$ — биссектриса треугольника $ABC (L$ на отрезке $AC)$ . Докажите, что $XL ∥ BC$ .

Источники: ОММО-2019, номер 7, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумаем, как можно доказать параллельность...нам даны биссектрисы, 4 точки на одной окружности, равные отрезки... на какую теорему, связанную с отрезками и параллельностью это всё намекает?

Подсказка 2

Это всё намекает на отношения, а они - на теорему Фалеса. Попробуем записать отношения, связанные с окружностью(отрезки секущих) и связанные с биссектрисой и как-то записать цепочку неравенств. Ясно, что когда-то в этой цепочке придём к замене BY на AX, а прийти хотим к таким отношениям, чтобы напрямую воспользоваться теоремой Фалеса для прямых XL и BC!

Показать доказательство

$PIC$

Из того, что точки $A,X,Y$ и $C$ лежат на одной окружности, следует, что $BX ⋅BA = BY ⋅BC$ , или $AB :BC = BY :BX$ . Из того, что $BL$ - биссектриса треугольника $ABC$ следует, что $AL :LC =AB :BC$ . Тогда

AL :LC = AB :BC = BY :BX =AX :XB,

откуда по теореме, обратной теореме Фалеса, получаем, что $XL ∥BC$ , что и требовалось.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#43270

Найдите все значения, которые может принимать выражение

3arcsin x− 2arccosy

при условии $x2+ y2 = 1$ .

Источники: ОММО-2019, номер 6 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

x² + y² = 1. Если бы мы рисовали график этой фигуры, мы получили бы окружность радиуса 1, единичную окружность (тригонометрия!) - чистый намек на то, что (x; y) (точка на окружности) - это синус и косинус какого-то угла, например, угла t. То есть x = sin(t), y = cos(t). Теперь нам важно рассмотреть, что произошло с выражением из условия.

Подсказка 2

Рассмотрим 4 вида углов, в зависимости от того, в какой координатной четверти находится t, начнем с первой. Тогда arcsin(sin(t)) = t, arccos(cos(t)) = t. Легко и просто определяем, в каких пределах это выражение лежит. Поработаем со второй координатной четвертью: с arccos(cos(t)) ничего не меняется, а вот arcsin(sin(t)) так просто не получится - ведь итоговое выражение должно лежать в пределах значений арксинуса, а это значит, что мы должны подогнать угол в синусе так, чтобы он был от -π/2 до π/2 (помним, что sin(α) = sin(π-α)).

Подсказка 3

Продолжаем в том же духе, менять что-то вскоре придется и в арккосинусе: так, для 3 и 4 координатных четвертей угол будет от π до 2π, а нам нужно получить арккосинус, то есть от 0 до π. Значит, нужно будет заменить аргумент в арккосинусе на 2π - х (вспоминаем здесь свойства косинуса, а также то, что его период равен 2π).

Подсказка 4

Таким образом, для каждого угла у нас получилось возможные значения выражения из условия - остается только сделать объединение этих отрезков, что и будет нашим ответом.

Показать ответ и решение

Первое решение. Заметим, что $x2+y2 = 1$ тогда и только тогда, когда существует некоторое $φ ∈[0;2π]$ такое, что $x =sin φ,y =cosφ$ . Тогда выражение из условия приобретает вид

3arcsinsin φ− 2arccoscosφ.

Разберём несколько случаев:

- $φ∈ [0;π]: 2$ тогда $arcsin sinφ= φ,arccoscosφ= φ$ , a $3arcsinsinφ − 2arccoscosφ = 3φ − 2φ = φ$ следовательно, при $φ ∈[0;π] 2$ выражение (*) принимает все значения из промежутка $[0;π] 2$ ;

- $φ∈ [π;π] 2$ : тогда $arcsinsinφ =π − φ,arccoscosφ =φ$ , a $3arcsinsinφ − 2 arccoscosφ= 3(π − φ)− 2φ= 3π− 5φ;$ следовательно, при $φ ∈[π;π] 2$ выражение (*) принимает все значения из промежутка $[−2π;π] 2$ ;

- $[ 3π] φ∈ π; 2$ : тогда $arcsin sinφ= π− φ,arccoscosφ= 2π− φ$ , a $3arcsinsinφ− 2arccoscosφ =3(π− φ)− 2(2π− φ)= −π− φ;$ следовательно, при $[ 3π-] φ ∈ π;2$ выражение (*) принимает все значения из промежутка $[ 5π ] −2 ;−2π$ ;

- $[3π- ] φ∈ 2 ;2π$ : тогда $arcsinsin φ= φ− 2π,arccoscosφ = 2π − φ$ , a $3arcsinsin φ− 2arccoscosφ= 3(φ − 2π)− 2(2π− φ)= −10π+ 5φ;$ следовательно, при $[3π ] φ ∈ 2 ;2π$ выражение $(∗)$ принимает все значения из промежутка $[ 5π ] − 2 ;0$ .

Суммируя всё вышесказанное, получаем, что выражение $(∗)$ при $φ∈ [0;2π]$ принимает все значения из промежутка $[ 5π-π ] − 2 ; 2.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Переберём случаи

$x,y ≥ 0$ . $π arcsinx ∈[0,2]$ и $√----2 cos(arcsinx)= 1− x = y$ . Тогда $arcsinx= arccosy$ и $π 3arcsinx− 2arccosy =arcsinx∈ [0,2].$
$x ≥0 ≥y$ . $π arcsinx∈ [0,2]$ и $√ ----- cos(arcsinx)= 1− x2 =− y$ . Тогда $π − arcsinx= arccosy$ и $3arcsinx− 2arccosy =5arcsinx− 2π ∈ [−2π,π2].$
$y ≥0≥ x$ . $arcsinx∈ [− π2,0]$ и $√ ----- cos(arcsin x)= 1− x2 =y$ . Тогда $arcsinx= − arccosy$ и $3arcsinx− 2arccosy =5arcsinx∈ [− 5π2 ,0].$
$x,y ≤ 0$ . $arcsinx ∈(− π2,0]$ и $√----- cos(arcsinx)= 1− x2 = −y$ . Тогда $π +arcsinx= arccosy$ и $3arcsinx− 2arccosy =arcsinx− 2π ∈[− 5π2 ,−2π].$

Ответ:

$[− 5π,π]. 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#48739

Что больше:

23 41- 71- 1 или 93 + 165 + 143?

Источники: ОММО-2019, номер 1, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Конечно, можно привести правую часть неравенства к общему знаменателю, но нужно ли… Можем ли мы как-то оценить каждое слагаемое справа по отдельности?

Подсказка 2

Давайте попробуем как-то оценить сумма справа! Например, заметим, что 93 это почти 92 (23*4), 165 почти 164 (41*4), а 143 почти 142 (71*2). Попробуйте применить это знание на практике!

Подсказка 3

23/93 < 1/4; 41/165 < 1/4; 71/143 < 1/2. Что можно сказать про сумму?

Показать ответ и решение

Первое решение.

Можно, конечно, привести всё к общему знаменателю, но делать этого не хочется, поскольку надо будет много считать. Давайте лучше оценим каждое слагаемое по отдельности:

23 23 1 93 < 92 = 4

41 41 1 165 < 164 = 4

71-< 71-= 1 143 142 2

Складывая эти три неравенства, получаем, что сумма дробей меньше $14 + 14 + 12 = 1.$ _______________________________

Второе решение.

Без каких-либо раздумий аккуратно считаем и забираем свои баллы за эту задачу:

23 41- 71- 93 + 165 + 143 =

23⋅165-⋅143+-93⋅41-⋅143+-93⋅165⋅71 = 93⋅165 ⋅143 =

542685+ 545259+1089495 = -------2194335-------=

[ ] = 2177439= 65983- <1 2194335 66495

Ответ:

$1$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#49600

При каких значениях параметра $a$ уравнение

( 2 ) (2 2) log2 2x +(2a+ 1)x− 2a − 2 log4x +3ax+ 2a = 0

имеет два различных корня, сумма квадратов которых больше $4?$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пока у нас есть логарифмы нам не очень удобно работать. Давайте заметим, что 2log₄x=log₂x, поэтому нам нужно решить уравнение вида log₂a=log₂b ⇒ a=b. Тогда у нас остается квадратное уравнение относительно x. Нельзя ли у него угадать корни?

Подсказка 2

Давайте преобразуем наше уравнение: x²+(1-a)x-2a(1+a). Тогда из теоремы Виета нетрудно заметить корни -(1+a) и 2a. Сумма их квадратов равна 5a²+2a+1. Нам нужно, чтобы она была больше 4. Какие решения нам это дает?

Подсказка 3

Верно, a < -1 и a > 3/5! Кажется, что мы уже решили нашу задачу, но мы забыли учесть ОДЗ логарифма. Подставьте наши корни -(1+a) и 2a в уравнение x²+3ax+2a² и найдите a, при которых эти значения будут больше 0!

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение

( 2 ) (2 2) log2 2x +(2a+ 1)x− 2a = log2x +3ax+ 2a

2 2 2 2 2 2x + (2a +1)x− 2a =x + 3ax+ 2a ⇐ ⇒ x + (1− a)x− 2a− 2a = 0 ⇐⇒

(x+a +1)(x − 2a)= 0 ⇐⇒ x= 2a,x= −a − 1

Чтобы корни были различны, нужно $2a⁄= −a− 1 ⇐⇒ a⁄= − 13$ . Условие на сумму их квадратов

4a2+ a2+2a+ 1= 5a2+2a +1> 4 ⇐⇒ 5a2+2a− 3> 0 ⇐⇒ (a+1)(5a − 3)> 0

То есть $a< −1$ или $a> 35$ . Остаётся учесть ОДЗ. В силу равенства логарифмов достаточно написать условие на положительность только для одного из аргументов (проверить, что для решений $2a,− a− 1$ оно положительно)

(2a)2+ 3a⋅2a+2a2 > 0 ⇐⇒ a⁄= 0

(a+ 1)2− 3a(a+1)+ 2a2 = −a+ 1> 0 ⇐ ⇒ a < 1

В итоге $3 a∈ (−∞, −1)∪(5,1).$

Ответ:

$(−∞;− 1)∪(3;1) 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#77821

В школе имеется три кружка: по математике, по физике и по информатике. Директор как-то заметил, что среди участников кружка по математике ровно $1 6$ часть ходит ещё и на кружок по физике, а $1 8$ часть – на кружок по информатике; среди участников кружка по физике ровно $1 3$ часть ходит ещё и на кружок по математике, а ровно $1 5$ – на кружок по информатике; наконец, среди участников кружка по информатике ровно $1 7$ часть ходит на кружок по математике. А какая часть участников кружка по информатике ходит на кружок по физике?

Источники: ОММО - 2019, 11.9

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Тут самое важное не запутаться в вычислениях. Для этого удобно будет обозначить кол-во информатиков за x. Как можно теперь выразить кол-во человек например в кружке по математике?

Подсказка 2

Из кол-ва людей, которые ходят в два кружка, мы умеем получать кол-во людей в самом кружке! Вот как здесь поступим: раз x на информатике, то x/7 на инфе и на математике. А тогда, 8x/7 - кол-во человек на математике, потому что x/7 должно быть 1/8 от этого кол-ва! Проделайте аналогичные действия со всеми кружками и получите нужную долю)

Показать ответ и решение

Пусть участников кружка по информатике $x;$ тогда детей, которые ходят одновременно на кружок по математике и информатике $x; 7$ тогда участников кружка по математике $8x- 7 ,$ а детей, которые ходят одновременно на кружок по математике и по физике $−$ $4x 21;$ тогда участников кружка по физике $4x 7 ,$ а детей, которые ходят одновременно на кружок по информатике и по физике $−$ $4x 35.$

Ответ:

$-4 35$

Предыдущая подтема

Следующая подтема