Тема ОММО (Объединённая Межвузовская Математическая Олимпиада)

ОММО - задания по годам → .12 ОММО 2020

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела оммо (объединённая межвузовская математическая олимпиада)

Разделы подтемы ОММО - задания по годам

ОММО 2009

ОММО 2010

ОММО 2011

ОММО 2012

ОММО 2013

ОММО 2014

ОММО 2015

ОММО 2016

ОММО 2017

ОММО 2018

ОММО 2019

ОММО 2020

ОММО 2021

ОММО 2022

ОММО 2023

ОММО 2024

ОММО 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#36790

Пете необходимо спаять электрическую схему, состоящую из $10$ чипов, соединённых между собой проводами (один провод соединяет два различных чипа; два чипа может соединять не более одного провода), при этом из одного чипа должно выходить $9$ проводов, из одного — $8,$ из одного — $7,$ из двух — по $5,$ из трёх — по $3,$ из одного — $2,$ из одного — $1.$ Может ли Петя спаять такую схему?

Источники: ОММО-2020, номер 10, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так, у нас в задаче нужно какие-то объекты между собой соединять и проверить, получится ли некоторое количество связей у каждого... Что это может означать в контексте графа?

Подсказка 2

Верно! Это же степени вершин! А если посмотреть на вершину степени 9, когда в графе 10 вершин... Что-то у нее не очень много вариантов для выбора соседей... А что по поводу вершин степени 1?

Подсказка 3

Но ведь эти вершины не дают нам никакой информации, с ними все ясно, может их вообще выкинем? Тут мы уже все придумали идейно, осталось аккуратно рассмотреть остальные вершины!

Показать ответ и решение

Первое решение. Каждому чипу соответствует вершина в графе. Тогда в нашем графе $10$ рёбер и есть вершина степени $9,$ которая соединена со всеми. Но тогда её можно выкинуть (уменьшив степени всех на $1$ ) — существование графа без этой вершины эквивалентно существованию искомого. Получим набор степеней $(7,6,4,4,2,2,2,1,0,0).$ Вершины степени $0$ можно не учитывать, поэтому теперь вершина степени $7$ соединена со всеми, выкинем её и получим $(5,3,3,1,1,1,0,0,0,0).$ Повторим действие с вершиной степени $5,$ имеем $(2,2,0,0,0,0,0,0,0,0),$ а такого графа не существует, значит, и искомого не могло быть.

Второе решение. Аналогично первому решению введём граф. Заметим, что если $(d1,d2,...,dn)$ — степени вершин некоторого графа без петель и кратных рёбер, то для каждого $k$ выполнено неравенство

d1 +d2+ ...+ dk ≤k(k− 1)+dk+1+ ...+ dn

Действительно, все рёбра, выходящие из вершин с номерами от $1$ до $k$ делятся на два типа:

$1.$ идущие в вершины с номерами от $k +1$ до $n$ — таких не болыше $dk+1+ ...+ dn;$

$2.$ идущие в вершины с номерами от $1$ до $k$ — таких не больше $k(k−1) 2 ,$ но каждое мы можем посчитать по два раза.

В задаче нас спрашивают, существует ли граф со степенями вершин $(9,8,7,5,5,3,3,3,2,1).$ Предположим, что он существует, и воспользуемся доказанным утверждением для первых пяти вершин:

34= 9+ 8+ 7+5 +5≤ 5⋅4+ 3+ 3+3 +2+ 1= 32

противоречие.

Ответ:

нет

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#37485

При каком наименьшем $n$ существуют $n$ чисел из интервала $(−1;1)$ , таких, что их сумма равна $0$ , а сумма их квадратов равна $30$ ?

Источники: ОММО-2020, номер 2, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Так, нужно выбрать сколько-то чисел, модуль которых меньше единицы... Давайте сделаем самую просящуюся на ум оценку суммы квадратов таких маленьких чисел! Сколько их должно быть минимум? Давайте используем, что их модули маленькие!

Подсказка 2!

2) Тааааак, 30 точно должно быть, но как-то 30 не получается, так как у нас интервал. Может, получится 31... Попробуйте! Ага, это число нечетное... Что можно из этого заключить?

Подсказка 3!

3) Кажется, с 31 не получается построить пример. Давайте докажем, почему? Да-да, либо положительных, либо отрицательных меньше 15! А так как их сумма должна быть 0, как бы из этого получить, что сумма квадратов не получится 30?

Подсказка 4!

4) Отлично, осталось дело за малым, построить пример!

Показать ответ и решение

Заметим, что чисел больше $30$ , поскольку сумма квадратов меньше суммы модулей, которая меньше $30$ .

Пусть чисел $31$ . Тогда, не умаляя общности, отрицательных не больше $15$ , то есть их сумма меньше $15$ по модулю, как и сумма положительных (которая ей равна), откуда сумма их квадратов снова меньше $30$ .

То есть чисел хотя бы $32$ . В качестве примера рассмотрим числа $∘-15- ± 16$ (по $16$ каждого вида).

Ответ:

$32$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#43114

В прямоугольном треугольнике $ABC$ на катете $AC$ как на диаметре построена окружность, которая пересекает гипотенузу $AB$ в точке $E$ . Через точку $E$ проведена касательная к окружности, которая пересекает катет $CB$ в точке $D$ . Найдите длину $DB$ , если $AE = 6$ , а $BE =2$ .

Источники: ОММО-2020, номер 4, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В условии фигурирует касательная, очень часто помогает искать какие-то углы, образованные ею) Также не зря окружность построена на AC, как на диаметре: можно поискать какой-то удобный угол, после чего делать какие-то выводы!

Подсказка 2

Т.к. AC является диаметром новой окружности, угол CEA прямой. Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду, поэтому углы CED и A равны.

Подсказка 3

Хотим поискать еще каких-то углов в треугольнике CEB, чтобы найти DB, в этом должен помочь небольшой подсчёт углов) А так же стоит подумать, чем же является DE для треугольника BEC! Не забываем о том, как же искать высоту в прямоугольном треугольнике ABC)

Показать ответ и решение

$PIC$

Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду, поэтому $∠CED = ∠A$ . Так как $∠CEA = 90∘$ как вписанный угол, опирающийся на диаметр $AC$ , то $∠BCE = 90∘− ∠B = ∠A= ∠CED$ .

Отсюда следует, что $△EDC$ равнобедренный: $CD = DE$ . Ещё равнобедренным является треугольник $BDE$ , ведь мы поняли, что $∠DEB =90∘− ∠A$ . Делаем вывод $ED = CD = BD = BC2-$ .

При этом высота прямоугольного треугольника равна среднему геометрическому отрезков гипотенузы, то есть $------- - CE = √BE ⋅AE =2√ 3$ . В итоге получаем $BC = √BE2-+CE2-= 4 =⇒ BD =2$ .

Ответ:

$2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#73596

При каких значениях параметра $a$ уравнение $x3− 11x2+ ax− 8 =0$ имеет три различных действительных корня, образующих геометрическую прогрессию?

Источники: ОММО-2020, номер 7 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте вспомним теорему, которая связывает корни уравнения с его коэффициентами! Теперь надо подумать, как выразить корни уравнения друг через друга при условии, что они образуют геометрическую прогрессию

Подсказка 2

Да, надо использовать теорему Виета и написать систему, которая связывает уравнения и коэффициенты! А ещё три корня выражаются друг через друга: x₁ = b, тогда x₂=bq, x₃=bq². Уже из этого мы можем явно найти второй корень, который равен bq!

Подсказка 3

Верно, второй корень равен 2. Если переобозначить, то первый корень равен 2/q, а третий 2q. Таким образом, опять-таки с помощью теоремы Виета, можно найти a (по теореме Виета a равно сумме попарных произведений корней)

Подсказка 4

Верно, мы получим, что a = 4*(1+q+1/q). А множитель, который равен скобке, можно явно найти из уравнения на сумму корней уравнения!

Показать ответ и решение

Пусть мы нашли такой $a$ , что он подходит, и у нас есть $3$ корня. Тогда можно воспользоваться теоремой Виета для кубического уравнения:

( |{ x1 +x2+ x3 = 11 |( x1x2+ x2x3 +x1x3 = a x1x2x3 = 8.

Не умаляя общности, $x1 < x2 < x3$ . По условию корни образуют геометрическую прогрессию, это значит, что найдутся такие $b,q ⁄= 0$ , что $x = b 1$ , $x = bq 2$ , $x = bq2. 3$ Тогда из $xx x = 8 1 2 3$ получаем, что $b3q3 =8$ , откуда $bq = x =2. 2$ Выразим $x 1$ и $x 3$ при $x = 2 2$ : $x = 2 1 q$ , $x = 2q. 3$

Подставим $x = 2 1 q$ , $x = 2q 3$ в первое уравнение:

2 q + 2+ 2q =11,

2(1q +1+ q)= 11, (∗)

2 2q − 9q+2 =0.

Решим квадратное уравнение $2q2− 9q +2= 0.$ $D = 92 − 4⋅2⋅2> 0,$ это значит, что $q,x1,x2,x3$ найдутся. Найдём $a$ :

a= xx + x x +x x = x xx ( 1-+ 1-+-1)= 1 2 2 3 1 3 1 23 x1 x2 x2

q 1 1 1 11 = 8⋅(2 + 2 + 2q)= 4(q+ 1+ q)= 4⋅2-= 22.

Воспользовались $(∗)$ в предпоследнем действии.

Ответ: 22

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#76296

Дан многочлен $F(x)= 1+2x+ 3x2+ 4x3+ ...+ 100x99.$

Можно ли, переставив коэффициенты, получить многочлен $2 3 99 G(x)=g0+ g1x +g2x + g3x + ...+ g99x ,$

такой что для всех натуральных чисел $k≥ 2$ разность $F(k)− G(k)$ не кратна $100?$

Источники: ОММО - 2020, номер 1 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вспомним свойство о том, F(b) - F(a) делится на b - a для многочленов с целыми коэффициентами. Как можно его применить?

Подсказка 2

Заметим, что F(1) = G(1). А, что если подставить 101 в многочлены?

Подсказка 3

Верно! Получится, что F(101) - F(1) делится на 100 и G(101) - G(1) делится на 100. Что получится, если теперь рассмотреть разность этих выражений?

Показать ответ и решение

Предположим противное и пусть такой многочлен $G (x)$ существует. Будем пользоваться следующей известной леммой: если $H(x)$ — многочлен с целыми коэффициентами, то для любых целых $a$ и $b$ число $H(a)− H (b)$ делится на $a− b.$ Тогда числа $F(101)− F(1)$ и $G (101)− G(1)$ делятся на $100,$ а тогда на $100$ делится и их разность:

(F(101)− F(1))− (G(101)− G (1))= (F(101)− G(101))− (F (1)− G(1))

Осталось заметить, что $F(1)= 1+ 2+ ...+ 100= G(1),$ то есть $F (101)− G(101)$ делится на $100.$ Противоречие.

Ответ:

Нельзя

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#77810

Решите систему уравнений

{ 12x2+ 4xy+ 3y2+ 16x= −6 4x2 − 12xy+ y2 +12x− 10y =− 7

Источники: ОММО - 2020, номер 5 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим, что уравнения представляют из себя многочлены степени 2 от двух переменных и не понимаем, что с ними делать. Самое простое и приятное - попытаться выделить полные квадраты. Нам дана система, поэтому можно пробовать комбинировать 2 уравнения, как нам удобно.

Подсказка 2

Подсказка, если не догадались, как скомбинировать уравнения: нужно сложить первое*(3) и второе! И дальше уже магия выделений квадратов, у вас все получится!

Показать ответ и решение

Сложим первое уравнение, умноженное на $3$ , и второе. Получим,

2 2 40x +10y + 60x − 10y = −25

после деления на $10$ и преобразований, получаем: $4(x+ 3)2+(y− 1)2 = 0. 4 2$ Сумма двух квадратов может равняться нулю только в случае, когда каждый из этих квадратов равен нулю. Поэтому, ничего кроме $x= − 3,y = 1 4 2$ не может являться решением нашей системы.

Для окончания решения необходимо проверить, что найденные числа подходят:

{ 12⋅(− 3)2+4 ⋅(− 3)⋅ 1+ 3⋅(1)2+ 16⋅(− 3)= −6 4⋅(− 34)2− 12 ⋅(− 43)⋅2(1) +122⋅(− 3)− 104⋅ 1= −7 4 4 2 4 2

Ответ:

$x =− 3,y = 1 4 2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#77818

Пункты $A$ и $B$ , находящиеся на кольцевой аллее, соединены прямолинейным отрезком шоссе длиной 4 км, являющимся диаметром кольцевой аллеи. Из пункта $A$ из дома по аллее вышел на прогулку пешеход. Через 1 час он обнаружил, что забыл ключи и попросил соседа-велосипедиста поскорее привезти их. Через какое минимальное время он может получить ключи, если скорость велосипедиста на шоссе равна 15 км/ч, на аллее – 20 км/ч, а скорость пешехода – 6 км/ч? Пешеход может идти навстречу велосипедисту.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала поймем, какие у нас в принципе есть возможности для велосипедиста: он может поехать в разные направления по окружности, либо просто по шоссе. Какой случай точно можно убрать?

Подсказка 2

Будем считать, что пешеход пошел против часовой стрелки. Тогда он прошел только 6км, что меньше чем длина дуги полуокружности! Значит, как минимум велосипедисту выгоднее поехать тоже против часовой стрелки, нежели по часовой. А дальше какие есть варианты?

Подсказка 3

Теперь либо пешеход идет навстречу велосипедисту по аллее, либо до пункта B, и велосипедист туда же. Посчитайте, когда это произойдет, и просто сравните числа)

Показать ответ и решение

Для определенности будем считать, что пешеход вышел на прогулку по кольцевой аллее против часовой стрелки. В пункте $A$ у велосипедиста есть три возможности:

1. Поехать по аллее против часовой стрелки

2. Поехать по шоссе

3. Поехать по аллее по часовой стрелке

За 1 час прогулки пешеход прошел 6 километров и не дошел до пункта $B$ $(2π− 6$ км $),$ поэтому третий вариант точно дольше первого и его можно исключить.

В первом случае двигаясь по аллее они должны будут преодолеть расстояние 6 км и в случае, если они будут двигаться навстречу друг другу, необходимое время равно $6 6+20$ ч.

Во втором случае при движении навстречу друг другу через $2π−6 -6--$ ч пешеход достигнет пункта $B,$ а велосипедист ещё будет ехать по шоссе $($ поскольку $415-> 2π−66).$ Тогда велосипедист всё время до встречи будет ехать по шоссе и скорость сближения пешехода и велосипедиста всё время будет составлять $15+ 6= 21$ км/ч. Значит, они встретятся через $2π2−12$ ч.

Сравним числа, полученные в 1 и 2 случаях:

3-> 0,23> 0,21> 2⋅3,15−-2 > 2π-− 2 13 21 21

Следовательно, ответ достигается во 2-м случае.

Ответ:

через $2π−-2 21$ часа

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#80580

Найдите наибольший отрицательный корень уравнения

4sin(3x)+ 13cos(3x)= 8sin(x)+11cos(x).

Источники: ОММО - 2020, номер 6 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В уравнении есть косинус и синус тройного угла, так давайте раскроем их по формуле и преобразуем выражение!

Подсказка 2

Смотрите, после переноса всего в одну часть так и просится некоторая замена, но корень из-за косинуса тащить не хочется...что будем с ним делать?

Подсказка 3

Слагаемое с косинусом можно перенести в другую часть и возвести всё в квадрат, чтобы уравнение красиво записать через t = sin(x)². Теперь нужно решить кубическое уравнение ;)

Подсказка 4

К сожалению, корни тут угадать не так просто, поэтому давайте попробуем разложить выражение на скобки!

Подсказка 5

(37t - 1)(20t² - 20t + 1) = 0. Осталось лишь понять, каким же должен быть синус у рассматриваемого в условии решения!

Показать ответ и решение

По формулам синуса и косинуса тройного угла

2 2 4sin(x)(3− 4sin x)+ 13cos(x)(1− 4sin x)=8sin(x)+ 11 cos(x).

2 2 sin(x)(4− 16sin x)+ cos(x)(2− 52 sin x) =0

sin(x)(2 − 8sin2x)= cos(x)(26sin2x− 1)

Возведем все в квадрат и переобозначим $t=sin2x$ .

t(2 − 8t)2 = (1− t)(26t− 1)2

740t3 − 760t2+ 57t− 1= (37t− 1)(20t2− 20t+1)

У этого уравнения корни $137$ , $12 − √15$ и $12 + 1√5$ . Предположим, что наибольший отрицательный корень находится в четвертой четверти. Тогда синус должен быть тоже как можно больше, то есть $sint= −√137$ . Тогда $t=arcsin−√137-$ . Осталось проверить, что он нам подходит. Так как $t$ лежит в четвертой четверти, то $cost>0$ и $cost= √637$ .

( ) 4sin(x)(3− 4sin2x)+13cos(x)(1− 4sin2x)= √1- −12+ 16+ 78 − 312 = 37 37 37

= 58 = 8sin(x)+ 11cos(x). 37

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#102469

Про тетраэдр $PQRS$ известно, что

∘ ∘ PQ =4,SR =6,∠QRS = ∠PSR = 50 ,∠QSR = ∠PRS =40 .

Вокруг тетраэдра описана сфера. Рассмотрим на этой сфере множество всех точек, сумма сферических расстояний от которых до точек $P,Q,R,S$ не меньше $6π$ . Чему равна площадь этого множества?

Замечание. Сферическое расстояние между двумя точками на сфере — длина наименьшей дуги окружности большого круга, соединяющей эти точки.

Источники: ОММО - 2020, номер 8 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте обратим внимание на треугольники PRS и QRS. Они же прямоугольные. А что можно сказать про середину гипотенузы RS и про сферу?

Подсказка 2

Давайте обратим внимание на сумму сферических расстояний от точки R до некоторой точки M и от точки M до S. Кажется, в прошлом пункте мы поняли, что RS — диаметр сферы (если не поняли, срочно вернитесь к прошлой подсказке и поймите). На каких окружностях круга лежат пары точек M, R и S, R? Они различные?

Подсказка 3

Итак, осталось показать, что сумма сферических расстояний M, P и M, Q не меньше 3π. Давайте сделаем следующий трюк. Рассмотрим точку Q₁, симметричную Q относительно центра сферы. Как можно её использовать?

Подсказка 4:

По рассуждениям из предыдущих подсказок сумма сферических расстояний Q, M и M, Q₁ равна 3π. Значит, нужно доказать, что расстояние точек M, P не меньше расстояния точек M, Q₁. Осталось немного подумать и добить задачу.

Показать ответ и решение

$PIC$

Так как

∠QRS +∠QSR = ∠PRS + ∠PSR =90∘,

то треугольники $QRS$ и $PRS$ — прямоугольные с общей гипотенузой $RS$ . Если $O$ — середина отрезка $RS$ , то по свойству медианы прямоугольного треугольника $OP = OQ = OR =OS = 3$ . Следовательно, радиус описанной сферы равен 3, а точка $O$ — её центр.

Обозначим через $d(X,Y )$ сферическое расстояние между точками $X$ и $Y$ . По условию задачи необходимо найти площадь множества $ω$ на сфере, состоящего в точности из точек $M$ , для которых

d(M,P )+d(M,Q)+ d(M, R)+ d(M,S) ≥6π (1)

Поскольку $RS$ — диаметр сферы, то точки $R,M$ и $S$ лежат на одной окружности большого круга; следовательно,

d(R,M)+ d(M, S)= d(R,S)= 3π

Неравенство (1) перепишется в виде

d(M, P)+ d(M,Q )≥3π

Пусть $Q1$ — точка, симметричная точке $Q$ относительно центра сферы $O$ . Так как $Q1$ и $Q$ — концы диаметра сферы, то

d(Q,M )+ d(M, Q )= d(Q,Q ) =3π 1 1

Подставляя $d(M, Q)= 3π− d (M, Q1)$ в неравенство (2), получаем

d(M,P)≥ d(M,Q1)

Так как $PQ = 4⁄= 6$ , то $PQ$ не является диаметром, а потому $Q1 ⁄= P$ . Итак, $ω$ есть множество точек на сфере, сферическое расстояние от которых до одной точки на сфере не превосходит сферического расстояни до другой точки на сфере. В силу симметрии (относительно плоскости, проходящей через центр сферы перпендикулярно отрезку $Q1P$ , $ω$ — половина сферы и её площадь равна

1 ⋅4 ⋅π ⋅32 =18π 2

Ответ:

$18π$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#102470

Про функции $p(x)$ и $q(x)$ известно, что

p(0)= q(0)> 0

′ ∘-′-- √- p (x) q (x)= 2 для любого x∈ [0;1]

Докажите, что если $x∈ [0;1]$ , то

p(x)+ 2q(x)> 3x.

Источники: ОММО - 2020, номер 9 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте переведем задачу на "язык функций" и попробуем доказать, что h(x) = p(x) + 2q(x) - 3x не убывает на [0;1]. Какие инстурменты у нас для этого есть?

Подсказка 2

В случае возрастания производная должна быть неотрицательной! Как её можно посчитать?

Подсказка 3

При помощи условия можно прийти к выражению, зависящего от производной p(x). Осталось лишь понять, почему же выражение неотрицательно!

Показать доказательство

Заметим, что $p(0)+2q(0)>0$ , поэтому для доказательства неравенства достаточно проверить, что функция $p(x)+ 2q(x)− 3x$ возрастает на промежутке $[0;1]$ . Для этого докажем, что её производная на этом промежутке неотрицательна. Это можно сделать двумя способами.