Тема ОММО (Объединённая Межвузовская Математическая Олимпиада)

ОММО - задания по годам → .08 ОММО 2016

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела оммо (объединённая межвузовская математическая олимпиада)

Разделы подтемы ОММО - задания по годам

ОММО 2009

ОММО 2010

ОММО 2011

ОММО 2012

ОММО 2013

ОММО 2014

ОММО 2015

ОММО 2016

ОММО 2017

ОММО 2018

ОММО 2019

ОММО 2020

ОММО 2021

ОММО 2022

ОММО 2023

ОММО 2024

ОММО 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#32961

Пусть $OP$ — диаметр окружности $Ω$ , $ω$ — окружность с центром в точке $P$ и радиусом меньше, чем у $Ω$ . Окружности $Ω$ и $ω$ пересекаются в точках $C$ и $D$ . Хорда $OB$ окружности $Ω$ пересекает вторую окружность $ω$ в точке $A$ . Найдите длину отрезка $AB$ , если $BD ⋅BC = 5$ .

Источники: ОММО-2016, номер 7, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте продлим отрезок OB до пересечения с окружностью ω и назовём точку их пересечения N, аналогично продлим DB и назовем их точку пересечения M. Что тогда можно сказать про углы ABC, DBA и MBN?

Подсказка 2

Дуги OC и OD равны в силу симметрии относительно диаметра OP. Значит, ∠ABC = ∠DBA, а ∠DBA и ∠MBN равны, как вертикальные. Что тогда можно сказать про точки M и C, а также отрезки BC и BM?

Подсказка 3

Точки M и C симметричны относительно перпендикуляра к AB, проходящего через точку B, следовательно, отрезки BC и BM будут равными. По условию нам дано CB*BD = 5, следовательно, MB*BD = 5. На какую теорему нам сразу же намекает такое произведение?

Подсказка 4

Когда мы видим произведение отрезков одной хорды, то сразу же нужно вспомнить теорему о пересекающихся хордах, запишем её: MB*BD = AB*BN. Отлично, теперь у нас появилось нужное нам AB, но также появился отрезок BN, про который нам ничего неизвестно. Подумайте, как можно заменить BN?

Подсказка 5

Давайте заметим, что треугольник APN – равнобедренный, а ∠ABP = 90°, в таком случае отрезок PB является высотой и медианой, а BN = AB.

Показать ответ и решение

Пусть $N$ и $M$ – вторые точки пересечения с окружностью $ω$ прямых $OA$ и $DB$ соответственно. В силу симметрии относительно прямой $OP$ , дуги $OC$ и $OD$ равны. Следовательно, $∠ABC =∠DBA =∠MBN.$

$PIC$

Первое решение.

Обозначим эти равные углы через $α$ . Из вписанности четырёхугольника $CBP D$ получаем, что $∠CPD = ∠CBD = 2α$ . Следовательно, поскольку $P$ – центр $ω$ , имеем $D^A + ^AC = DAC = 2α.$ C другой стороны, $^DA + ^MN = 2∠DBA = 2α$ . Вычитая общую дугу $^DA$ , получаем, что $^AC = ^MN$ , откуда $^AM = ^CN.$

Значит, $∠CAB = ∠ADB$ , и треугольники $ABC$ и $DBA$ подобны по двум углам, откуда $ABBC-= BADB-$ , так что $AB2 = BC ⋅BD =5,AB =√5.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Заметим, что $∠ABP = 90∘$ , как вписанный угол в окружности $Ω$ , опирающийся на её диаметр $OP$ , поэтому $BP$ является высотой и биссектрисой треугольника $AP N$ . Получаем, что точки $M$ и $C$ симметричны относительно прямой $BP$ , так что $BC =BM.$ В окружности $ω$ по теореме о пересекающихся хордах $BA ⋅BN =BD ⋅BM.$ Тогда $AB ⋅AB =BD ⋅BC = 5,$ откуда сразу получаем ответ.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание.

В ходе первого решения мы выяснили, что $∠CDN =∠CAB =∠BDA$ . То есть прямые $DC$ и $DB$ симметричны относительно биссектрисы угла $ADN$ . А во втором решении замечено, что $B$ — середина стороны $AN.$

Тогда оказывается, что точка $C$ лежит на симедиане треугольника $ADN$ . А сама задача тесно связана со следующим фактом: окружность, проходящая через концы одной диагонали гармонического четырёхугольника и центр описанной около него окружности, делит другую его диагональ пополам. Вы могли встретить его в такой задаче: пусть $O$ — центр описанной около треугольника $ABC$ окружности, $M$ — середина стороны $BC,$ описанные около треугольников $AMO$ и $ABC$ окружности вторично пересекаются в точке $D.$ Тогда прямые $AD$ и $AM$ симметричны относительно биссектрисы угла $BAC.$

Ответ:

$√5$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#36910

Решите систему уравнений:

{ x2− xy+ y2 =19; x4+ x2y2 +y4 = 931.

Источники: ОММО-2016, номер 5, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вы тоже это заметили? Сначала написали x²+y², а потом стало x⁴+y⁴, сначала было ху, стало (ху)² -> делаем замену!

Подсказка 2

Да, двойная замена: сумма квадратов - это а, произведение - b. Чтобы получить второе уравнение, достаточно записать a²-b². Когда станет известно, чему равны а и b, сделаем обратную замену.

Показать ответ и решение

Функция $f(x,y)$ двух переменных $x$ и $y$ называется симметрической, если $f(y,x)= f(x,y)$ . В симметрической системе можно сделать замену $2 2 2 u= (x+y) = x + y +2xy,v = xy$ , тогда система эквивалентна:

{ u− 3v =19 2 2 (u − 2v) − v = 931

{ u= 3v+19 (v+ 19)2 − v2 = 931

{ u= 3⋅15+ 19 v = 15

Обратная замена:

{ (x+ y)2 = 64 xy = 15

По обратной теореме Виета решения системы удовлетворяют одному из уравнений: $t2± 8t+15= 0$ , решая которые получаем ответ.

Ответ:

$(3,5),(−3,−5),(5,3),(− 5,−3)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#38869

При каких натуральных $n> 1$ найдутся $n$ подряд идущих натуральных чисел, сумма которых равна $2016?$

Источники: ОММО-2016, номер 3, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подряд идущие числа. Что это такое? Да это же арифметическая прогрессия! Давайте обозначим первый её член за х и вспомним стандартную формулу суммы!

Подсказка 2

Верно, получается условие nx + n(n-1)/2 = 2016. Умножьте на два и попробуйте разложить на множители левую и правую часть.

Подсказка 3

Теперь нужно посмотреть на чётность и нечётность. Так мы сможем определить, какой множитель чему равен!

Показать ответ и решение

Пусть первое из чисел равно $a,$ тогда сумма арифметической прогрессии этих $n$ подряд идущих чисел равна

n(n−-1) a+ (a +1)+ ...+(a+ n− 1)=na + 2 = 2016

что эквивалентно

n(2a+ n− 1) =4032= 26 ⋅32⋅7= 64⋅63

Поскольку $2a$ чётно, то скобки имеют разную чётность, следовательно, чётна ровно одна из них.

Если $n$ чётно, то $6 n≥ 2 =64,$ при этом $2a+ n− 1≥ n≥ 64,$ но из условия на произведение $4032 2a+ n− 1≤ 64 = 63$ получаем противоречие.

Значит, $n$ нечётно и является делителем $2 3 ⋅7 =63,$ то есть может быть равно $1,3,7,9,21,63.$ Легко видеть, что $2a+ n− 1≥ n+ 1= 64$ и каждое чётное значение можно получить выбором $a,$ потому при $n ≤63$ решение относительно $a$ есть всегда, откуда все найденные $n$ подойдут.

Ответ:

$3,7,9,21,63$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#47911

В треугольнике $ABC$ с отношением сторон $AB :AC =5 :4$ биссектриса угла $BAC$ пересекает сторону $BC$ в точке $L.$ Найдите длину отрезка $AL,$ если длина вектора $−→ −→ 4⋅AB +5⋅AC$ равна $2016.$

Источники: ОММО-2016, номер 4, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте пробовать постепенно раскручивать задачу, пользуясь всеми условиями. Нам дана биссектриса треугольника. Какие тогда соотношения можно записать?

Подсказка 2

Верно, можно записать равенство отношений отрезков и сторон, тем более одно из них нам дано. Так же нам дали какую-то странную сумму векторов... Давайте тогда попробуем выразить AL через вектора, может эта сумма там и появится. Как это можно сделать?

Подсказка 3

Ага, можно для начала выразить AL через сумму двух векторов по правилу треугольника. Видим, что фигурируют неизвестные нам вектора, и в данной по условию сумме они не участвуют. Тогда попробуем заменить один из векторов по полученному равенству в 1 подсказке, а далее ещё раз воспользоваться правилом треугольника.

Показать ответ и решение

$PIC$

Поскольку по свойству биссектрисы $BLLC-= AABC-= 54,$ то $−→ −−→ BL= 59BC,$ тогда

( ) −A→L = −A→B +−B→L = −A→B + 5⋅−−B→C = −→AB+ 5 −A→C − −A→B = 9 9

= 4 ⋅−→AB+ 5 ⋅−A→C = 1 (4−A→B+ 5−A→C) 9 9 9

Отсюда $−→ 1 |AL |= 9 ⋅2016= 224.$

Ответ:

$224$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#49603

При каких значениях параметра $a$ уравнение

3 2 x + ax +13x− 6= 0

имеет единственное решение?

Источники: ОММО-2016, номер 8, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если смотреть на левую часть как на функцию от x с параметром a, то становится как-то страшно. Но мы видим, что как функция относительно переменной a она линейна. Что тогда хочется сделать?

Подсказка 2

Можно выразить a через x и построить график этой функции в плоскости xa. Тогда точки пересечения горизонтальной прямой a=const - это в точности корни x нашего уравнения. Постройте график и найдите все такие прямые, которые пересекают график ровно в одной точке!

Показать ответ и решение

Заметим, что $x= 0$ не является решением исходного уравнения. Поэтому оно равносильно уравнению $a= f(x)= −x3−13x+6= −x − 13-+-6 (∗) x2 x x2$ .

Заметим, что $f(x)→ +∞$ при $x → −∞$ и $f(x)→ −∞$ при $x → +∞$ . Также $f(x)$ имеет вертикальную асимптоту $x =0$ .

Производная функции $f(x)$ равна $′ 13 12 x3−13x+12 f(x)= −1+ x2 − x3 = − x3$ . Находим нули числителя: $3 2 2 2 (x − x)+ (x − x)− (12x+ 12) =0 ⇐⇒ (x− 1)(x +x − 12)= 0 ⇐⇒ x∈ {− 4;1;3}$ .

Расставляя знаки для производной по методу интервалов, делаем вывод, что функция $f$

на промежутке $(−∞,− 4]$ убывает от $+∞$ до $61 f(−4)= 8$ .
на промежутке $[−4,0)$ — возрастает от $61- 8$ до $+∞$
на промежутке $(0,1]$ — убывает от $+∞$ до $f(1)= −8$ .
на промежутке $[1,3]$ — возрастает от $− 8$ до $f(3)= − 203$ .
на промежутке $[3,+∞ )$ — убывает от $− 203-$ до $− ∞$ .

$PIC$

Таким образом, функция $f(x)$ принимает каждое своё значение

из промежутка $(−∞;− 8)$ ровно один раз;
$− 8$ - два раза;
из промежутка $20 (−8;−3-)$ - три раза (один раз в точке $x= 1$ , а второй раз - на промежутке $(3,+∞ )$ );
$− 203-$ - два раза;
из промежутка $(− 203 ;681 )$ - один раз
$618-$ - два раза
из промежутка $(681;+ ∞)$ - три раза.

Итак, уравнение $∗ ()$ , а с ним и исходное уравнение, имеет единственное решение при $20-61 a∈ (− ∞;−8)∪(− 3 ; 8 )$ .

Ответ:

$(−∞;− 8)∪(− 20;61) 3 8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#69334

Федерация спортивной борьбы присвоила каждому участнику соревнования квалификационный номер. Известно, что во встречах борцов, квалификационные номера которых отличаются более, чем на 2 номера, всегда побеждает борец с меньшим номером. Турнир для 256 борцов проводится по олимпийской системе: в начале каждого дня борцы разбиваются на пары, проигравший выбывает из соревнований (ничьих не бывает). Какой наибольший квалификационный номер может иметь победитель?

Источники: ОММО-2016, задача 9 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть k минимальный квалификационный номер после какого-нибудь тура. На сколько k может максимум увеличиться?

Подсказка 2

Верно! Максимум на 2. Теперь попробуйте оценить сверху номер победителя, используя эту оценку.

Подсказка 3

Номер победителя точно меньше или равен 17. Можно ли построить пример?

Подсказка 4

Правильно, нельзя! А может ли победить борец с номером 16?

Показать ответ и решение

Заметим, что борец с номером $k$ может проиграть только борцу с номером $k+1$ или $k+ 2$ , поэтому после каждого тура наименьший номер не может увеличиться больше, чем на $2$ номера. На турнире с $256$ участниками $8$ туров, следовательно, номер победителя турнира не превосходит $1+ 2⋅8= 17.$

Предположим, что борец с номером $17$ может победить. Тогда в первом туре должны выбыть борцы с номерами $1$ и $2$ . Это возможно только если борец с номером $1$ проиграл борцу с номером $3$ , а борец с номером $2$ проиграл борцу с номером $4$ . Значит, после первого тура борцы с номерами $3$ и $4$ останутся.

Аналогично, после второго тура останутся борцы с номерами $5$ и $6$ , после третьего: $7$ и $8,...$ , после седьмого: $15$ и $16.$ Значит, в последнем, финальном, бою встретятся борцы с номерами $15$ и $16$ . Противоречие с предположением, что борец с номером $17$ может победить.

Покажем, что борец с номером 16 может победить. Назовём борцов с номерами большими $16$ слабыми. Пусть в туре с номером $k ≤7$ борец с номером $2k− 1$ проиграет борцу с номером $2k+ 1$ , борец с номером $2k$ проиграет борцу с номером $2k+ 2$ , борцы с номерами $2k+ 3,...,16$ победят каких-то слабых борцов, оставшиеся слабые борцы как-то сыграют между собой. Тогда после $7$ туров останутся борцы с номерами $15$ и $16$ , и в финальном бое борец с номером $16$ победит.

Ответ: 16

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#82702

Про действительные числа $x,y,z$ известно, что

xy +z = yz+ x= zx+ y

Докажите, что какие-то два из чисел $x,y,z$ равны.

Показать доказательство

Предположим, что числа попарно различны.

Рассмотрим первую часть равенства:

xy+ z = yz +x

Переносим все слагаемые влево и группируем:

y(x− z)− (x− z)= 0

Выносим $x− z$ за скобки:

(x− z)(y− 1)= 0

Тогда один из множителей $x− z$ или $y− 1$ равен 0. Но, по предположению, все числа попарно различны, поэтому $x − z ⁄= 0.$ Тогда $y =1.$

Аналогичным образом из равенства $yz+x =zx +y$ получаем равенство $(y− x)(z− 1)= 0,$ откуда аналогичными рассуждениями приходим к выводу о том, что $z =1.$

Получилось, что $z =y =1,$ хотя, по предположению, числа $x,y,z$ попарно различны - противоречие.

Тогда получаем, что какие-то два числа из $x,y,z$ равны.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#82713

В $1a$ классе каждого ребёнка попросили написать два числа: количество его одноклассников и количество его одноклассниц (именно в таком порядке; сам себя ребёнок не считает). Каждый ребёнок одно число написал правильно, а в другом ошибся ровно на $2$ . Среди ответов были получены такие: $(13,11),(17,11),(14,14)$ . Сколько мальчиков и сколько девочек в классе?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обратите внимание на чётность записанных чисел. О чем нам может сказать чётность разных чисел в разных ответах?

Подсказка 2

Если в каждом ответе одно число написано правильно, а другое отличается ровно на 2, то четность ответа всегда сохраняется. Что мы тогда можем сказать о поле детей, давших эти ответы?

Подсказка 3

Обратите внимание на первые два ответа. Учитывая чётность, помимо того, что дети А и Б одного пола, какой вывод можно сделать из того, что второе число в ответе совпадает, а первое различается на 4?

Подсказка 4

Было бы полезно попробовать пойти от противного, и предположить, что А и Б — мальчики. Какое противоречие условию тогда возникает?

Показать ответ и решение

Первое решение.

Обозначим детей, давших ответы $(13,11),(17,11),(14,14)$ через А, Б, В соответственно. Заметим, что если в классе $m$ мальчиков, то первое число в ответах девочек имеет ту же чётность, что и $m$ , а в ответах мальчиков - противоположную. Следовательно, дети А и Б одного пола, а В - другого.

Первые числа в ответах А и Б отличаются на 4, значит, они оба неправильные. Таким образом, количество одноклассников у А и Б равно 15 , а количество одноклассниц - 11 .

Если А и Б - мальчики, то в классе 16 мальчиков и 11 девочек. При этом у девочки В тогда 16 одноклассников и 10 одноклассниц, и ее ответ $(14,14)$ противоречит условию. Значит, А и Б девочки, и в классе 15 мальчиков и 12 девочек. ______________________

Второе решение.

Пусть какой-то ребёнок написал числа $(m,d)$ . Если бы оба числа он написал правильно, то он бы написал один из четырёх вариантов: $(m − 2,d),(m + 2,d),(m,d− 2),(m,d +2)$ .

Тогда, если этот ребёнок — мальчик, то существует четыре варианта количества мальчиков и девочек в классе: $(m − 1,d),(m + 3,d),(m +1,d− 2)$ и $(m +1,d+2)$ .

Аналогично, если этот ребёнок — девочка; возможные варианты в этом случае: $(m − 2,d+ 1),(m + 2,d +1),(m,d− 1),(m,d +3)$ .

Таким образом, каждый из ответов даёт нам восемь вариантов, сколько мальчиков и девочек могло быть в классе, один из которых должен быть верным:

для $(13,11)$ это $(12,11),(16,11),(14,9),(14,13),(11,12),(15,12),(13,10),(13,14)$ ;

для $(17,11)$ это $(16,11),(20,11),(18,9),(18,13),(15,12),(19,12),(17,10),(17,14)$ ;

для $(14,14)$ это $(13,14),(17,14),(15,12),(15,16),(12,15),(16,15),(14,13),(14,17)$ .

Осталось заметить, что только вариант $(15,12)$ встречается во всех трёх строчках.

Ответ: 15 мальчиков и 12 девочек

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#90832

В равнобедренной трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ $(AD > BC)$ боковая сторона равна 20 см, угол $BAC$ равен $45∘.$ Пусть $O$ — центр окружности, описанной вокруг $ABCD$ . Оказалось, что прямые $OD$ и $AB$ перпендикулярны. Найдите длину основания $AD$ трапеции.

Источники: ОММО-2016, номер 4, (см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $E$ — середина $AB.$ Тогда $OE ⊥AB$ и $OD ⊥ AB.$ Значит, $O, E$ и $D$ лежат на одной прямой и $OE$ — серединный перпендикуляр к $AB.$ Значит, $AD = DB$ и если $∠BAD = α,$ то $∘ ∠ADB = 180 − 2α.$

$PIC$

Из вписанности $ABCD$ следует, что $∘ ∠BDC =∠BAC =45 ,$ и значит,

α =∠BAD = ∠CDA = 225∘− 2α

и $∠BAD = 75∘.$ Тогда

AE AB 20√2 AD = cos∠AED-= 2cos75∘ = √3+-1

Замечание.

$cos75∘$ можно посчитать из уравнения $cos150∘ =2cos275∘− 1$ и знания, что $cos75∘ >0$

Ответ:

$-20√2 √3-+ 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#92786

На доске написано число $27$ . Каждую минуту число стирают с доски и записывают на его место произведение его цифр, увеличенное на $12$ . Например, через минуту на доске будет написано число $2 ⋅7 +12= 26$ . А что окажется на доске через час?

Источники: ОММО - 2016, 10.2 (см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Запишем числа, которые будут получаться в течение некоторого времени:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 27−−→ 26−−→ 24−−→ 20−−→ 12−−→ 14 −−→ 16 −−→ 18−−→ 20−−→ 12−−→ ...

Число 20 повторилось, значит, процесс зациклится. Через 3 минуты после начала на доске будет записано 20, и через каждые 5 минут оно снова будет появляться. Тогда через $3+ 5⋅11 =58$ минут на доске запишут число 20. Можно продолжить цепочку:

58 59 60 ...−−→ 20−−→ 12−−→ 14

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#98294

Вычислите

4 2arctg 2+arcsin5.

Показать ответ и решение

Первое решение.

Обозначим $arctg2$ через $α,arcsin4∕5$ через $β$ . Заметим, что $β ∈(0,π∕2)$ , a $2 2 ( 2 ) 2 2 tg β = sin β∕ 1− sin β = 4∕3$ , откуда $tgβ =4∕3$ ; также $tgα = 2,α ∈(0,π∕2)$ .

Находим:

2tgα 2⋅2 4 tg(2α)= 1−-tg2α-= 1−-22-= −3 -tg(2α)+tgβ- --−-4∕3+-4∕3-- tg(2α+ β)= 1− tg(2α)tgβ = 1− (− 4∕3)⋅(4∕3) = 0

Наконец, поскольку $0< α< π∕2,0< β <π∕2$ , то $0< 2α+ β < 3π∕2$ . Значит, $2α+ β = π$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Отметим на координатной плоскости точки $O(0,0),A(3,0),B(3,4),C(− 5,10)$ , $D (− 5,0)$ . Поскольку угловой коэффициент прямой $OB$ равняется $4∕3$ , а угловой коэффициент прямой $BC$ равняется $− 3∕4$ , получаем, что $∠OBC = 90∘$ .

$PIC$

В треугольнике $OAB :∠OAB = 90∘,AB = 4,BO = 5$ ; значит, $∠AOB = arcsin4∕5$ . В треугольнике $OBC :∠OBC = 90∘,BO = 5,BC = 10$ ; значит, $∠BOC =arctg2$ . В треугольнике $∘ OCD :∠ODC = 90$ , $DO = 5,BC = 10$ ; значит, $∠COD = arctg2$ .

Таким образом,

arcsin4∕5+2arctg2 =∠AOB +∠BOC + ∠COD =∠AOD =π

Ответ:

$π$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#114365

Карлсон написал дробь $5. 8$ Малыш может:

- прибавлять любое натуральное число к числителю и знаменателю одновременно,

- умножать числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число.

Сможет ли Малыш с помощью этих действий получить дробь, равную $3 5?$

Показать ответ и решение

Заметим, что при обоих разрешённых действиях дробь не уменьшается и всегда остается меньше единицы.

Действительно, от второго действия величина дроби не меняется, осталось проверить первое действие.

Пусть на некотором шаге имеется дробь $a∕b$ , где $a< b$ . Мы из нее получаем дробь $a+k b+k$ , тогда $a +k <b+ k$ . Чтобы доказать неравенство

a a +k b < b+-k

просто перемножим крест-накрест, получив

a(b+ k)<b(a+k),

что равносильно

ak< bk

Последнее неравенство очевидно следует из $a< b$ .

Итак, дробь уменьшаться при действиях Малыша не может. Но исходная дробь $5∕8$ больше, чем $3∕5$ . Значит, у Малыша не выйдет получить дробь, равную $3∕5$ .

Ответ: нет

Предыдущая подтема

Следующая подтема