ИТМО - задания по годам → .08 ИТМО 2022

Подсказка 1

Раз у нас в многочлене стоит x^2, то на что это может намекать? Какую-то симметрию может быть...

Подсказка 2

Пусть y - корень P(x^2). Тогда ведь и -y тоже будет корнем! Тогда у нас все корни разбиваются на пары...но их нечетное число. Значит? какой корень есть среди них?

Подсказка 3

0! Т.к. для него пара - он сам. А теперь подумайте про корни самого P(x). Какие корни можно получить из корней P(x^2)?

Подсказка 4

Если y - корень P(x^2), то y^2 - корень P(x)! Т.к. у нас было n пар таких корней и один 0, то у P(x) хотя бы n+1 неотрицательных корней! Можно ли теперь оценить кол-во корней у его производной?

Подсказка 5

Между каждой парой соседних корней P(x) должен находится корень P'(x), откуда их хотя бы n! Осталось привести пример, когда эта оценка достигается)

Подсказка 1

Новая операция, придуманная Васей, конечно, прекрасна, но работать с ней неудобно, давайте несколько преобразуем её. Если сказать, что a = e^ln(a), тогда Васина операция примет вид a✱b = e^(ln(a)b). Что мы получим, если возьмем натуральный логарифм от данной операции?

Подсказка 2

ln(a✱b) = ln(a)ln(b). Такое обилие натуральных логарифмов явно намекает нам, что удобнее всего будет работать, если мы приведем наше выражение к новому основанию e.

Подсказка 3

Далее несколько раз воспользуемся свойствами логарифма и преобразуем произведения выражений под логарифмом в сумму логарифмов, а отношения - в разность.

Подсказка 4

В итоге должно получится ((ln(a) + ln(b))*(ln(a) + ln(b)) - ln(a)a - ln(b)b) / (ln(a)b). Попробуйте дойти от данного выражения до ответа путем несложных алгебраических преобразований.

Подсказка 1

По задаче нам нужна делимость на максимальную степень тройки. Но давайте переформулируем задачу на язык теории чисел, чтобы лучше понять, как нам решать задачу. Как это можно сделать?

Подсказка 2

Верно, это значит, что наше число делится на n-ую степень, но не делится на (n+1)-ую. Через сравнения тут решить, наверное, не получится. Но можно же попробовать выразить наше число в явном виде через сумму, где будет видна степень тройки. Какую формулу хорошо бы не побояться применить?

Подсказка 3

Да, конечно, это формула бинома Ньютона. Можно представить 4=3+1 и раскрыть скобки. Достаточно раскрыть первые 5-6 скобок, потому что в дальнейшем степени будут большими, а вот первые члены можно проанализировать, выделив степени тройки. Осталось только найти член в выражении, который не будет делиться на большую степень тройки в отличие от других, и победа!

Подсказка 1

Если вы здесь, то вы нарисовали картинку, поздравляю вас! А не кажется ли вам, что здесь слишком много окружностей и хочется от них избавиться... Может пора вспомнить про инверсию?

Подсказка 2

У нас есть сразу две окружности, проходящие через центр окружности O₃, поэтому разумно будет делать инверсию относительно нее. Тогда окружности O₁ и O₂ перейдут в параллельные прямые L₁ и L₂. Точка A перейдет в себя (т.е. A'=A). А куда перейдут точки B и C?

Подсказка 3

Верно, из-за подобия они перейдут друг в друга! Значит AC=A'B'=AB'. Окружность O₄' касается прямых L₁ и L₂ в точках A и B', поэтому AB'- это просто расстояние между прямыми L₁ и L₂. Как будем его искать?

Подсказка 4

Давайте опустим перпендикуляр OH на прямую L₁. Тогда точка H является образом точки, диаметрально противоположной точке O на окружности O₁, при нашей инверсии. Значит OH*2b=a² ⇒ OH=a²/2b. Найдите расстояние от точки O до прямой L₂ и завершите решение!

Подсказка 1

Нам нужно доказать необычное неравенство, поэтому придётся немного поколдовать. Понятно, что надо будет как-то пользоваться неравенствами о средних. Но пока непонятно как. У нас есть информация по поводу суммы x, y и z. А как можно по-другому переписать это неравенство для получения нужных степеней и коэффициентов?

Подсказка 2

Давайте ещё немного вспомогательных намёков. Сумма чисел у нас равна пяти. Тогда удобно сделать и количество слагаемых пять штук. А учитывая, что x и y во второй степени, как хорошо бы преобразовать равенство?

Подсказка 3

Верно, можно записать его в виде x/2 + x/2 +y/2 +y/2 +z=5. Думаю, что у вас получилось! А теперь осталось только применить неравенство между средним арифметическим и средним квадратическим для такого набора и неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим. Аккуратно посчитайте, и победа!

Подсказка 1

У нас уже есть три отношения, но очень хочется заполучить еще и четвертое... Давайте попробуем найти t = OD'/OD. Для этого введем систему координат с центром O и базисными векторами OA, OB и OC. Какие координаты имеют наши точки в этой системе?

Подсказка 2

Очевидно, что A (1, 0. 0), B (0, 1, 0) и C (0, 0, 1). Значит A' (1/a, 0, 0), B' (0, 1/b, 0), C' (0, 0, 1/c). Т.к. ABCD- параллелограмм, то вектор CD = BA = OA-OB. Чему тогда равен вектор OD?

Подсказка 3

Верно, OA-OB+OC! Тогда D (1, -1, 1) ⇒ D' (t, -t, t). Можно заметить, что плоскость α задается в нашей системе координат уравнением ax + by + cz = 1. Поэтому верно равенство at - bt + ct = 1 (Просто подставили точку D' в это уравнение). Итого, t = 1/(a - b + c). А что мы вообще хотели...

Подсказка 4

Нам нужно найти отношение объемов. Мы умеем легко это делать для тетраэдров, поэтому предлагаю разбить нашу пирамиду OA'B'C'D' на два тетраэдра OA'B'C' и OA'C'D'. Тогда V(OA'B'C'D')/V(OABCD) = V(OA'B'C')/V(OABCD) + V(OA'C'D')/V(OABCD). Т.к. ABCD- параллелограмм, то V(OABCD) = 2V(OABC) = 2V(OACD). А чему равно отношения V(OA'B'C')/V(OABC) и V(OA'C'D')/V(OACD)?

Подсказка 5

Т.к. тетраэдры с общим трехгранным углом относятся так же, как произведение отношений соответствующих сторон, то V(OA'B'C')/V(OABC) = 1/abc. Найдите оставшееся отношение и завершите решение!

Подсказка 1

Нам дали уж слишком какое-то магическое число, но каждое его слагаемое похоже на какой-то комбинаторный подсчёт. Может быть, у нас получится объяснить, как получить каждое из этих слагаемых?

Подсказка 2

1-ое слагаемое: эта формула нам так и кричит, что в ней выбрали 4 вершины многоугольника без учёта их порядка. А как выбор 4-ёх вершин связан с диагоналями?

Подсказка 3

2-ое слагаемое: с помощью какого предположения было получено первое слагаемое? Заметьте, что почти каждое следующее слагаемое стоит со знаком минус, а значит, они как-то уточняют нашу первоначальную оценку.

Подсказка 4

2-ое слагаемое: давайте вспомним, что у нас в условии правильный многоугольник, попробуйте порисовать разные правильные многоугольники и диагонали в них, чтобы найти такую точку, в которой всегда пересекаются много диагоналей, что это за точка?

Подсказка 5

2-ое слагаемое: верно, это центр нашего многоугольника. Остаётся только посчитать, сколько раз мы посчитали её и вычесть так, чтобы по итогу в нашем подсчёте точка осталась учтена.

Подсказка 6

3-е слагаемое: оно явно содержит похожие диагонали на те, которые мы выбирали, когда рассуждали про центр, потому что в нём тоже фигурирует n/2. Может быть стоит опять порассуждать про такие диагонали?

Подсказка 7

3-е слагаемое: первый множитель в слагаемом это n/2, давайте тогда зафиксируем какую-то диагональ, проходящую через центр многоугольника. Попробуйте понять, что означают остальные множители, последовательно распутывая, за что отвечает каждый из множителей.

Подсказка 8

3-е слагаемое: верно, слева и справа от диагонали осталось по n/2-1 точке. А значит, вторым действием мы скорее всего выбрали с одной из сторон одну из точек. Почему тогда последний множитель не такой же, а имеет на 2 точки меньше? Понятно, что, выкинув 2 точки с другой стороны, мы запретили какие-то 2 диагонали, остаётся понять - какие?

Подсказка 9

3-е слагаемое: кажется, что пока наши рассуждения задают только пару диагоналей и проблем не видно, но можно ли как-то для этой пары найти однозначно третью диагональ, которая бы проходила через их точку пересечения?

Подсказка 10

3-е слагаемое: да, можно, если отразить симметрично вторую диагональ относительно "центральной".

Подсказка 11

3-е слагаемое: а вы заметили, что на самом деле это слагаемое содержит в себе удвоенное количество ситуаций, про которые мы рассуждали? Ведь, когда мы брали диагональ-1 с концами по разные стороны от "центральной" диагонали и отражали её, то получалась диагональ-2, которая тоже может быть посчитана нашими рассуждениями, а так как симметричная для 2-ой диагонали - 1-ая, то мы посчитали всё дважды. А сколько раз мы посчитали такие ситуации в 1-ом слагаемом?

Подсказка 12

Верно, по 3 раза, потому что там мы выбираем неупорядоченную пару диагоналей, а в наших рассуждениях мы получали неупорядоченные тройки диагоналей (если учесть, что мы посчитали их дважды), а значит 1 наша тройка содержит по 3 пары. Но вычесть всё равно придётся удвоенное количество, поэтому мы победили!!!

Подсказка 1

Очень часто в задачах, где нужно считать сумму чисел, помогает рассмотреть ситуацию отдельно для горизонталей и для вертикалей. Так как нам нужен максимум суммы чисел во всей таблице, то попробуем найти максимум для суммы чисел на горизонталях и на вертикалях.

Подсказка 2

Пусть в строке находится x черных 8-x белых. Теперь мы можем посчитать сумму во всех строках. Для того чтобы максимизировать такую сумму, нам нужно минимизировать сумму восьми квадратов с фиксированной суммой. Как?

Подсказка 3

Сумма квадратов чисел уменьшается при сближении этих чисел к их среднему арифметическом, поэтому для целых чисел минимум достигается, когда семь из восьми чисел равны 3, а оставшееся равно 2. Теперь мы можем проделать аналогичные действия с вертикалями и построить пример!