Тема ИТМО (Открытка)

ИТМО - задания по годам → .05 ИТМО 2019

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела итмо (открытка)

Разделы подтемы ИТМО - задания по годам

ИТМО 2015 и ранее

ИТМО 2016

ИТМО 2017

ИТМО 2018

ИТМО 2019

ИТМО 2020

ИТМО 2021

ИТМО 2022

ИТМО 2023

ИТМО 2024

ИТМО 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#61483

Сколькими способами можно расставить натуральные числа от $1$ до $9$ в квадратной таблице $3× 3$ так, чтобы сумма чисел в каждой строке и в каждом столбце была чётна? (Числа могут повторяться)

Источники: ИТМО 2019

Показать ответ и решение

Будем расставлять в таблицу нули и единицы. Каждый $0$ можно поставить четырьмя способами, а $1$ — пятью. Заметим, что в каждой строчке чётное количество единиц, потому единиц суммарно в таблице может быть $0,2,4,6$ ( $8$ быть не может, поскольку в каждой строчке не более двух). Также заметим, что двух единиц быть не может, поскольку тогда бы они стояли в одной строчке и их было бы по одной в столбце. Разберём остальные случаи

Пусть единиц нет. Тогда имеем $9$ чётных чисел и $9 4$ способов в этом случае.
Пусть единиц четыре. Тогда они стоят на пересечении двух строчек и двух столбцов. Выбираем строчки и столбцы $2 2 C 3 ⋅C3 = 9$ способами, в итоге имеем $5 4 9⋅4 ⋅5$ способов.
Пусть единиц шесть. Тогда оставшиеся нули стоят в разных строчках (в каждой строчке и в каждом столбце должно быть ровно по две единицы). Число способов так расставить нули равно $3!=6$ , откуда имеем $6⋅56⋅43$ .

Ответ:

$49+ 9⋅45⋅54 +6⋅56⋅43$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#67077

Сколькими разными способами можно в таблице $2 ×7$ расставить натуральные числа от 1 до 14 (все по одному разу) так, чтобы сумма чисел в каждом из семи столбцов была нечётна?

Источники: ИТМО-2019, 11.6 (см. olymp.itmo.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какие должны быть два числа, чтобы их сумма была нечетной? Очевидно, одно - четным, другое - нечетным. Кстати, у нас всего 7 четных и 7 нечетных чисел. Сколько способов выбрать, какое по четности число будет в верхней клетке столбцов?

Подсказка 2

Конечно, выбираем из четного или нечетного числа - 2 способа заполнить столбец, но для каждой расстановки в первом столбце подходят все расстановки остальных столбцов, значит, применяем правило умножения и получаем коэффициент 2⁷. Теперь подумаем, сколько способов есть расставить все четные числа в одном из 2⁷ возможных вариантов по четности/нечетности.

Подсказка 3

7 чисел на 7 мест, причём важен порядок -> получили 7! способов. Но не кажется ли вам, что столько же способов и для нечетных чисел, ибо логика действий сохраняется и для них. А еще для каждой расстановки четных чисел подходят все расстановки нечетных чисел, следовательно, 7! возведётся в квадрат. Вспоминаем про коэффициент из 2 подсказки и получаем ответ.

Показать ответ и решение

В каждом столбце стоит одно чётное и одно нечётное число. Где стоит чётное число, а где нечётное, выбирается двумя способами, итого $27$ способов для всей таблицы. Далее, существует $7!$ способов расставить чётные числа по выбранных для них местам и столько же способов расставить нечётные. Итого $7 2 2 ⋅(7!)$ способов.

Ответ:

$27⋅(7!)2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#68083

В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ равна диагонали $AC.$ На меньшей дуге $AD$ описанной окружности треугольника $ABD$ выбрана точка $E$ так, что $AB = AE.$ Найдите угол $∠CED.$

Источники: ИТМО - 2019, 11.5 (см. olymp.itmo.ru)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Продлим отрезок $AC$ за точку $A$ на его длину, получим точку $K.$ Пусть углы $CBA$ и $BCA$ равны по $α.$ Тогда угол $CAD$ равен $α,$ угол $BAC$ — $∘ 180 − 2α.$

$PIC$

Теперь нетрудно вычислить, что углы $BAD$ и $KAD$ равны по $∘ 180 − α,$ то есть точки $B$ и $K$ симметричны относительно $AD.$ Следовательно, угол $DBA$ равен углу $AKD,$ который, в свою очередь, равен углу $AEK,$ поскольку треугольник $AKE$ равнобедренный. Углы $AEK$ и $AED$ в сумме дают $180∘,$ потому что четырёхугольник $ABDE$ — вписанный. Отсюда получаем, что точки $K,E$ и $D$ коллинеарны.

Осталось заметить, что треугольник $CEK$ прямоугольный, потому что медиана равна половине стороны, к которой она проведена. То есть угол $CEK$ прямой, а значит смежный с ним угол $CED$ также прямой.

Второе решение.

Из равнобедренности треугольника $ABC$ и параллельности $BC$ и $AD$ получаем $∠ABC =$ $∠ACB = ∠CAD = α.$

$PIC$

Пусть прямая $BC$ пересекается с описанной окружностью треугольника $ABD$ в точке $F.$ Тогда $ABF D$ — вписанная, т.е. равнобедренная, трапеџия, откуда дуги $AB,AE$ и $DF$ равны. Отсюда $∠ABE = ∠DBF =β.$ $∠EAD =∠EBD = γ,$ так как эти углы опираются на одну дугу. $∠ABD =∠ABE + ∠EBD =β +γ.$ $∠EAC =∠EAD +∠CAD =γ +α.$ Значит, в равнобедренном треугольнике $EAC$ вьполняется равенство $∠ACE = ∠AEC = 180∘−2α−γ.$ Кроме того, $α= ∠ABC = ∠ABF = ∠ABD +∠DBF =2β+ γ$

∠CED = ∠AED − ∠AEC = (180∘− ∠ABD )− 180∘−-α−-γ= 180∘ − β − γ − 90∘+ 2β+-2γ-= 90∘. 2 2

Ответ:

$90∘$

Критерии оценки

Идея какого-либо дополнительного построения и ощутимые продвижения в подсчёте углов оцениваются половиной баллов. Только ответ - 0 баллов за задачу.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#72124

Существует ли многочлен третьей степени такой, что все его корни положительны, а все корни его производной отрицательны, при условии, что и у многочлена, и у производной, есть хотя бы один единственный корень?

Источники: ИТМО-2019, 11.2 (см. rsr-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем придумать пример! Если получится - предъявим, а если не получится - постараемся доказать, что такого многочлена не существует. Какой многочлен сразу приходит в голову, когда говорим, что он 3 степени?

Подсказка 2

Конечно, многочлен x³! Но у него единственный корень = 0, как бы его поправить, чтобы корень был положительным?

Подсказка 3

Можем просто вычесть константу! Положительный корень есть, осталось сделать так, чтобы корни производной были отрицательными. Константа не влияет на производную, тогда если наш многочлен имеет вид (x + a)³ + c, то его производная равна 3(х + а)². Нужно выбрать такое а, чтобы корень получился отрицательный, и потом проверить, что положительные корни функции никуда не пропали (а если пропали, то что надо сделать, чтобы они вновь стали положительными, при этом не поменяв производную?)

Подсказка 4

Так как свободный член не влияет на производную, то мы можем просто его уменьшить, чтобы при отрицательных х функция принимала только отрицательные значения ⇒ корни будут при положительных х (и возможно в 0, но от него точно так же можно избавиться)

Показать ответ и решение

У многочлена $(x+ 1)3− 8$ единственный корень $x= 1$ , а корень его производной $x= −1.$

Замечание. Как придумать пример? Рассмотрим $3 x$ — самый простой многочлен третьей степени. Чтобы у него был положительный корень, отнимем положительную константу, возьмем $3 x − 8$ . Сейчас производная равна $2 3(x+0)$ и ее корень $x =0$ . Если же рассмотрим функцию, например, $3 (x+ 1) − 8$ , получим корень производной, равный $− 1.$

Ответ: да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#79995

Девочка Катя не любит число $239.$ Она выписала несколько различных чисел, ни одно из которых не содержит последовательность цифр $239$ (подряд и именно в таком порядке). Докажите, что сумма обратных к этим числам не больше $30000.$

Источники: ИТМО 2019

Показать доказательство

Количество подходящих $3n+ 1$ -значных чисел не больше, чем $9 ⋅999n :9$ вариантов для первой цифры и не более 999 вариантов для каждой следующей тройки цифр. Каждое из них не меньше $3n 10 .$