Тема ИТМО (Открытка)

ИТМО - задания по годам → .01 ИТМО 2015 и ранее

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела итмо (открытка)

Разделы подтемы ИТМО - задания по годам

ИТМО 2015 и ранее

ИТМО 2016

ИТМО 2017

ИТМО 2018

ИТМО 2019

ИТМО 2020

ИТМО 2021

ИТМО 2022

ИТМО 2023

ИТМО 2024

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#98583

Известно, что

( 2 2 )( 2 2 ) logxy+ logzt logyz+ logt x = 37 и logyt+logty =5.

Найдите $log z+ log x x z$ .

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

{ x, y, z, t> 0 x, y, z, t⁄= 1

Сделаем замену:

logxy = a logzt= b logy z = c logtx =d

Заметим, что

abcd= 1

Тогда получаем:

( |{ (a2+ c2)(b2+d2)= 37 | bc+b1c = 5 ( abcd= 1

Выразим искомую величину и обозначим ее за $k.$

logzx +logx z = cd+ ab= k

Сделаем преобразования:

{ (a2+ c2)(b2 +d2)= 37 bc +ad= 5

Возведем второе уравнение в квадрат:

(bc+ad)2 = b2c2+ a2d2+ 2abcd= b2c2+ a2d2+ 2= 25

2 2 2 2 b c +a d = 23

Раскроем скобки у первого уравнения:

2 2 2 2 2 2 2 2 a b +a d + bc + cd = 37

a2b2+ 23+c2d2 = 37

a2b2+ c2d2 = 14

Выразим $2 k$ :

k2 = (cd+ ab)2 = c2d2 +a2b2+2abcd =⇒ c2d2 +a2b2 =k2− 2

Подставим $22 2 2 c d +a b$ :

k2− 2= 14 =⇒ k2 = 16 =⇒ k= ±4

Докажем, что если подходит $k= 4,$ то $k= −4$ тоже подходит.

Пусть вместо $z$ у нас $1z.$ Тогда после замены мы получим $− c$ и $− b,$ следовательно, $k= −cd− ab= −k.$ Но если у нас $1z,$ то в первой системе все останется как есть, так как $− c$ и $− b$ превратятся в $c2$ и $b2,$ а во втором уравнении знак минус пропадет, так как там перемножаются $− c$ и $− b.$ Следовательно, при изменении $z$ исходная система верна, а $k$ поменяет знак. Значит, если подходит $k,$ то $− k$ тоже подходит.

Ответ:

$±4$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#97885

Бесконечная числовая последовательность ${a } n$ задана формулой $a =[√6n-+ 1] , n 8$ где запись $[x]$ означает целую часть числа $x.$ Сколько раз в этой последовательности встречается число $72?$