ИТМО - задания по годам → .02 ИТМО 2016
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан треугольник 
точка 
— центр его вписанной окружности. На лучах 
и 
соответственно отмечены такие точки (отличные
от 
) 
и 
что 
Докажите, что площади треугольников 
и 
равны.
Источники:
Подсказка 1
У нас есть интересное условие: AI = AE = AF... Никакое условие не напоминает?)
Подсказка 2
Лемма о трезубце! Давайте как раз обозначим за D середину дуги BC, и тогда DI = DB = DC. Попробуйте здесь найти подобия)
Подсказка 3
Да, можно доказать, что треугольники DIB и AIE подобны, также как DIC и AIF. Попробуйте записать эти условия подобий через отрезки, и сможете понять, почему площади требуемых треугольников равны)
Рассмотрим точку 
— середину дуги 
описанной окружности треугольника 
. По лемме о трезубце 
.
Треугольники 
и 
подобны, так как это равнобедренные треугольники с равными углами при основании (углы в точке 
равны
как вертикальные, потому что точки 
и 
лежат на одной прямой — биссектрисе угла 
). Аналогично подобны треугольники 
и 
.
Отсюда получаем
(первое равенство из первого подобия, второе — из второго). Раскрывая пропорцию, имеем 
. Из этого равенства следует
требуемое равенство площадей треугольников 
и 
, поскольку углы при вершине 
в треугольниках 
и 
равны как
вертикальные.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан треугольник 
точка 
— центр вписанной окружности, точка 
взята таким образом, что точка 
является
серединой отрезка 
Докажите, что точка 
и центры вневписанных окружностей треугольника 
лежат на одной
окружности.
Источники:
Подсказка 1
У нас есть условие, что A - середина отрезка IA₁, а также есть центры вневписанных окружностей...Какой можно использовать факт или теорему, где тоже какие-то точки являются серединами каких-то отрезков, причем этот факт или теорема связана с центрами вневписанных окружностей?)
Подсказка 2
Лемма о трезубце конечно! Если отметить середины дуг AB, BC и CA, то эти середины дуг являются серединами отрезков IC₁, IA₁ и IB₁ соответственно, где A₁, B₁, C₁ - центры вневписанных окружностей. У нас есть теперь достаточно много середин, которые завязаны на точке I...Что можно в этом случае сделать?
Подсказка 3
Посмотреть на сами серединки дуг и на точку A) Они все уже лежат на описанной окружности треугольника ABC, а дальше становится ясно что делать!
Докажем, что точки 
и лежат на одной окружности с центром в 
Пусть точка 
— центр описанной окружности треугольника 
; 
— такая точка, что 
середина 
; точки 
и 
—
середины дуг 
и 
описанной окружности треугольника 
, а точки 
— центры вневписанных окружностей
треугольника 
, касающихся сторон 
и 
соответственно. Тогда по лемме о трезубце точки 
и 
— середины
и 
соответственно.
В треугольнике 
отрезок 
является средней линией, значит 
. Аналогичные равенства получаем и для остальных
пар отрезков:
и так как 
, получаем
то есть точки 
и лежат на одной окружности с центром в 
, что и требовалось доказать. Заметим, что вместо
последнего абзаца можно было применить преобразование подобия (гомотетию) с центром в точке 
и коэффициентом
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Мальчик Вася выписал в тетрадку ненулевые коэффициенты многочлена 
десятой степени. Затем у получившегося
многочлена вычислил производную и выписал ее ненулевые коэффициенты, и так далее, пока не получилась константа,
которую он также выписал. Какое наименьшее количество различных чисел у него могло получиться? Коэффициенты
выписываются с учетом знака, свободные члены также выписываются, если имеется одночлен вида 
, выписывается
Подсказка 1
Раз уж многочлен P(x) имеет степень 10, то как минимум 1 ненулевой коэффициент у него есть! И стоит он перед... чем? Давайте обозначим его а и посмотрим на то, каким он становится при вычислении производных
Подсказка 2
Стоит он перед x¹⁰, конечно, а иначе у нас многочлен не 10 степени) При вычислении производных он умножается на соответствующую степень х, то есть на 10, 9, и т.д. до 0. Сколько ненулевых чисел получилось? Могли ли какие-то из них быть равны?
Подсказка 3
Конечно они не равны, а ведь не 0, получается как минимум 10 различных чисел у нас есть. Остаётся придумать пример!
Подсказка 4
Давайте просто возьмём тот многочлен, который рассматривали, когда придумывали оценку - а ⋅ x¹⁰, берём любое ненулевое а и побеждаем :)
Оценка: так как многочлен имеет степень 
, у него совершенно точно есть ненулевой коэффициент при 
назовём его 
. Тогда
старший коэффициент производной этого многочлена равен 
, старший коэффициент второй производной равен 
и т.д., старшие
коэффициенты девятой и десятой производных равны 
причем все эти числа, кроме двух последних, различны. Таким образом, 
различных чисел точно есть
Пример:
даёт ровно 10 различных чисел, так как каждый следующий одночлен — производная предыдущего.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите, что для положительных 
выполняется неравенство
Рассмотрим первые две скобки и заметим, что
Тогда мы можем переписать требуемое неравенство в виде
Теперь зафиксируем 
и 
и будем сдвигать 
и 
друг к другу. При этом 
увеличивается, и достигает максимума при
остальные части выражения остаются постоянными. Значит, требуемое равенство будет следовать из неравенства, полученного
подстановкой в него 
то есть
Обозначим 
тогда неравенство превращается в
Взяв производную, можно убедиться, что минимум левой части достигается при 
и равен 
что доказывает требуемое
неравенство. (таким образом, минимум исходного выражения достигается при 
)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Известно, что 
неотрицательные числа такие, что
Докажите, что
Источники:
Подсказка 1
Давайте постепенно пытаться придумать, как пользоваться тем, что нам дали в условии(а может и не всё пригодится). В неравенстве, которое нам нужно доказать, фигурирует целых 4 переменных. Как можно попытаться избавиться от некоторых из них?
Подсказка 2
От квадратов довольно легко избавиться, потому что тогда выражение будет явно меньше. Но нужно, чтобы после этого осталось что-то хорошее. Давайте попробуем добавить что-то и вычесть для этого. Что это может быть?
Подсказка 3
Сначала давайте ещё внимательно посмотрим на неравенство. Справа у нас стоит тройка, но тогда, скорее всего, это результат применения неравенства о средних для трёх чисел. Давайте попробуем добавить и вычесть 2yz. Как это хорошо преобразуется?
Подсказка 4
Верно, тогда можно собрать (y-z)², а 2yz заменить на 2/x из равенства в условии. Давайте теперь вспомним вторую подсказку. К какому хорошему неравенству можно свести выражение?
Подсказка 5
Конечно, к x²+2/x(если убрать квадраты, то выражение будет точно не больше). Теперь остался последний шаг — это грамотно применить неравенство о средних.
Запишем выражение, для которого нам нужно доказать неравенство, и преобразуем его:
По условию известно, что 
Тогда можем заменить 
на 
К тому же будет верна следующая оценка:
Тогда запишем неравенство о средних в следующем виде:
Итого получаем то, что нам нужно было доказать.
