Миссия выполнима - задания по годам → .11 Миссия выполнима 2025

Имея изначально 30000 руб., можно получить максимум руб. кэшбэком. Но на эти деньги тоже мог быть начислен кэшбэк, который в теории можно было бы дополнительно потратить и получить ещё кэшбэк и так далее. В итоге всего денег будет не больше

Поэтому заведомо получается, что больше 56 наборов пряжи купить не получится, ведь уже больше

А вот 56 наборов можно добыть следующим алгоритмом.

Покупаем сначала 20 наборов, остаётся

Теперь за счёт начисленного кэшбэка нам хватает купить ещё 31 комплект (на изначальные деньги сразу 51 комплект мы бы купить не смогли, потому что кешбэк отличается от скидки начислением денег уже после покупки), остаётся

И оставшихся денег нам хватает заплатить ещё за 5 наборов, ведь

По методу интервалов

Пусть уравнение нашей параболы

Заметим, что на отрезке минимальное значение не может достигаться в точке 2, так как в противном случае на отрезке минимальным значением было бы число 6, что противоречит условию задачи. Таким образом, минимальное значение на отрезке либо в точке 1, либо внутри интервала , что соответствует вершине параболы.

Рассмотрим случай, когда минимальное значение на отрезке достигается в вершине параболы, назовем эту точку Ясно, что в этом случае в точке будет достигаться либо максимальное, либо минимальное значение параболы что невозможно, так как по условию задачи существуют такие точки , что и Таким образом получаем, что Заметим также, что на отрезке парабола не может убывать, так как в таком случае ее минимум достигался бы в точке 2. Следовательно, возрастает при

Рассмотрим случай, когда точка вершины параболы тогда Так как при парабола возрастает, то минимальное значение на отрезке достигается в точке 2 и равно Если вершина параболы лежит вне отрезка , то получаем, что откуда однозначно определяем параболу что противоречит заданному условию Если вершина параболы лежит внутри отрезка Тогда, при изменении аргумента , значение параболы изменяется на 3, при этом что невозможно.

Теперь рассмотрим случай, когда отсюда Так как парабола возрастает на отрезке то получаем тогда минимум на отрезке будет достигаться на одном из его концов, то есть либо либо Первый случай мы уже рассматривали, получив здесь такая парабола тоже не подходит, так как что противоречит условию. Решая систему для второго случая, получим Осталось проверить, что такая парабола действительно подходит. В самом деле, вершина параболы принадлежит отрезку причем минимальное значение на этом отрезке равно а на отрезках и парабола возрастает, принимая минимальный значения в и соответственно.

Достроим тетраэдр до параллелепипеда , проведя через его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей.

Ввиду равенств и все грани этого параллелепипеда будут прямоугольниками, а сам параллелепипед — прямоугольным; точка окажется его центром, а середины рёбер и — центрами граней и соответственно.

Bce эти центры принадлежат сфере, построенной на отрезке как на диаметре. Следовательно, искомый радиус равен

Учитывая, что

получаем

На ОДЗ получаем по основному логарифмическому тождеству уравнение

Поделим на чтобы воспользоваться методом вспомогательного угла:

Вторая серия корней не входит в ОДЗ а первую серию пишем в ответ.

По теореме Бланше симметричность и относительно высоты равносильно конкурентности чевиан то есть и пересекаются на высоте Тогда по теореме Чевы для треугольника

А по теореме Менелая для треугольника и прямой

Из этих двух равенств получаем

Подставляя данные в условии числа,

Сначала подставим число, состоящее из всех единиц, чтобы узнать их количество в

Далее будем рассматривать пятерку чисел, о которой мы будем знать количество единиц в ней, подставив число, состоящее из 5 двоек на позициях рассматриваемой пятерки. Далее в нашей пятерке зафиксируем число на произвольной позиции, относительно которого будем рассматривать пары чисел, подставляя на их позиции число 2. Таким образом, проведя 3 таких операции, мы определим число единиц в каждой такой паре. Значит, если в какой-то паре мы получили ответ, что в ней 0 или 2 единицы, то их позиции определяются однозначно. Зная, какая цифра находится на фиксированной позиции, мы однозначно определяем позиции остальных чисел. Если на все три пары мы получили ответ, что в них находится одна единица, то у нас возможны 2 варианта: либо на фиксированной позиции стоит цифра 2, а в остальных 1, либо наоборот, на фиксированной позиции стоит цифра 1. Зная количество единиц в этой пятерке, мы можем однозначно определить, какой из этих случаев выполняется.

Разбив число на 20 таких пятерок, получим, что мы определяем его за ход, но зная общее количество единиц в числе и число единиц в каждой из 19 пятерок, мы можем определить количество единиц в последней пятерке, не тратя на это ход. Следовательно, узнав характеристики 80 чисел можно однозначно определить число

Пусть и — концы отрезка, причем и . Обозначим через величину угла , где — проекция точки Q на ось абсцисс. Тогда , откуда . Если функция , отображающая интервал в интервал , строго возрастает, то отрезок длины 1 можно переместить так, как это указано в условии задачи.

Имеем . Неравенство преобразуется к виду , а исследование функции показывает, что , причем равенство достигается только при . Это значит, что полуинтервал ( ] принадлежит множеству искомых значений .

С другой стороны, при имеем , функция убывает в окрестности числа и движение отрезка не может удовлетворять всем заданным условиям. Покажем также, что, если , то при движении отрезка обязательно был момент, когда выполнялось равенство . В самом деле: для имеем равенства и, как следствие, соотношения и . А при имеем то есть . Ввиду непрерывности изменения величины и делаем вывод о существовании указанного момента.

Обозначим за км/ч скорость велосипедиста, а за км/ч и км/ч — скорости более медленного и более быстрого автобусов соответственно.

Очевидно, что велосипедист сначала встретит более быстрый автобус. Так как это произошло спустя час после начала движения, то велосипедист за это время проедет км, а автобус — км, что в сумме будет равно расстоянию между городами А и Б.

Со вторым автобусом велосипедист встретится еще через минут, то есть, через часа после начала движения. За это время они преодолеют и км соответственно, что тоже вместе будет составлять км.

Таким образом можно получить следующую систему:

Откуда получаем, что скорость велосипедиста составляет км/ч.

Предположим, что такой 73-угольник существует. Если градусная мера каждого угла кратна пяти, то каждый из них не больше то есть любой из внешних углов не меньше Тогда сумма всех внешних углов не меньше но сумма внешних углов в любом выпуклом многоугольнике равна так как, используя формулу суммы углов в -угольнике, можем получить

Противоречие, значит, такого 73-угольника не существует.

Сделаем замену и Тогда система примет вид:

Преобразуем первое уравнение системы:

Значит, возможны два случая: или

Пусть .

И, возвращаясь и получаем и два возможных случая: или так как и — натуральные числа.

Пусть Заметим, что

При этом равенство достигается только при Но это невозможно, так как — натуральное число, а и — отрицательные числа.

Таким образом, подходят только две тройки: или

Заметим, что число делится на Тогда числа и тоже делятся на Также на делится и число Откуда следует, что число

делится на так как каждое из слагаемых суммы, в виде которой можно представить заданное число, тоже делится на А раз у нужного числа есть делитель, отличный от самого себя и то оно не является простым.

Отметим середину стороны точку Продлим луч до пересечения с прямой в точке и луч до пересечения с прямой в точке

Из равенства треугольников и получаем, что

Откуда — равнобедренный треугольник. Аналогично равны треугольники и откуда равнобедренным является треугольник Получаем, что четырёхугольник является ромбом.

Отразим точку относительно диагонали получим точку Так как

То и Получаем, что в равнобедренном треугольнике угол равен значит, треугольник равносторонний.

Треугольник равнобедренный, поэтому то есть трапеция равнобедренная. Из этого получаем, что

То есть

В силу симметрии в ромбе

Прибавим единицу к обеим частям и преобразуем уравнение:

Таким образом,

Числа — целые неотрицательные, при этом выполнено

Используя метод шаров и перегородок ( шаров и перегородки) получаем, что количество различных троек равно

Теперь посчитаем количество способов расставить плюсы и минусы. Количество минусов равно двум или нулю. Существует варианта выбрать расположение двух минусов и вариант, если минусов нет. Таким образом, количество различных троек равняется Каждый из этих вариантов однозначно определяет уникальную тройку что и требовалось.

Решение.

Сравним и Так как — единственный корень, то функция поменяет знак один раз. Заметим, что

Отсюда следует, что ведь

Теперь преобразуем:

Докажем, что

Решим неравенство:

Найдем нули функции. Для этого сперва найдем дискриминант:

Значит корни этого уравнения равны соответственно

Пользуясь методом интервалов, получаем:

Так как ранее мы показали, что то мы получили требуемое.

Пример. Рассмотрим все числа от до включительно, они подходят под условие, потому что произведение любых двух различных больше Количество таких чисел равняется

Оценка. Рассмотрим множества

Заметим, что все эти множеств попарно не пересекаются, а также все числа в них не больше В каждом из этих множеств хотя бы одно число не покрашено в красный, т.к. в каждом множестве одно из чисел является произведением двух других (в том числе Таким образом, получаем, что красных чисел не больше, чем