Миссия выполнима - задания по годам → .10 Миссия выполнима 2024

Пусть — число людей, не говорящих по-английски, а — число людей, не говорящих по-французски. Тогда из условия людей, не говорящих ни на одном из языков: от , а с другой стороны от .

Откуда , то есть .

Обозначим за , тогда систему можно переписать в виде:

Представим первое неравенство, как тогда получаем

Откуда получаем оценку

При этом равенство достигается в точке области

(являющейся точкой пересечения прямых ).

Заметим, что для

Тогда

Введём декартову систему координат с центром в точке , ось абсцисс — луч , ось ординат — луч , ось аппликат — луч .

Пусть — проекция центра сферы на грань куба. Определим ее местоположение. Так как сфера касается прямых и проходит через точку , то расстояние от точки до прямых и и точки одинаково (обозначим его ). Тогда лежит на луче , который является биссектрисой угла . Осталось учесть условие, что центр сферы касается прямой , то есть нужно проверить, что расстояние от центра до прямой совпадает с радиусом сферы .

Заметим, что есть два случая расположения точки (на рисунке показаны разными цветами):

Случай 1: точка лежит на диагонали .

Тогда из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника получим: , откуда . Значит, центр сферы имеет координаты .

Расстояние до прямой равно . То есть радиус

Случай 2: точка лежит на продолжении луча .

Тогда из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника получим: , откуда . Значит, центр сферы в этом случае имеет координаты .

Расстояние до прямой равно . То есть радиус

Посчитаем

Тогда для корня уравнения . При этом так как , получаем .

Откуда получаем, что кандидатами в корни могут быть только и . Покажем, что они подходят: для этого достаточно проверить, что при подстановке этих значений левая часть примет тот же знак, что и правая. (Так как левая часть всегда равна или )

Для имеем

так как для в силу того, что .

А также

Для имеем

так как

А также

потому что

Значит, оба этих значения — корни.

Случай (стороны треугольника - тройки несмежных сторон):

В таком случае все углы треугольников легко находятся, как , где - два соседних угла шестиугольника.

Тогда получаем, что углы красного треугольника равны , а углы синего - .

Случай (один из углов шестиугольника совпадает с углом треугольника):

Заметим, что это единственное возможное положение в этом случае. Углы синего треугольника равны ; и .

Углы красного треугольника будут равны и .

Условие, что прямая вида касается графика означает равенство функций и равенство производных в точке касания:

Нас интересует, когда эта система имеет ровно корня. Заметим, что система эквивалентна

То есть должна существовать прямая , которая касается графика .

При ее производная монотонная функция, а значит, имеет не более одного решения, тогда и вся система имеет не более одного решения.

При можно заметить, что касательные в точках локального минимума (нашли их как корни производной ) имеют одинаковый коэффициент наклона , а также в этих точках значение функции совпадает в силу чётности. Тогда прямая будет касательной сразу к двум точкам (только к двум точкам, потому что в точке касательная ; в других же точках коэффициент наклона касательной не ).

Возвращаясь к изначальным обозначениям, получаем . То есть искомая касательная это .

Сначала покажем, что последовательностей не хватит.

Построим граф, вершины которого это числа от до , а рёбра между вершинами и проводятся, если в одной из последовательностей числа и были подряд идущими членами.

Так как суммарно во всех -x последовательностях каждое число будет соседом не более других чисел, степень каждой вершины в этом графе не превосходит .

Тогда выберем в графе две несмежные вершины Так как степень каждой из них не более , а всего вершин , то найдется хотя бы вершина , которая не соседствует с обеими вершинами . Тогда множество чисел не будет удовлетворять условию задачи (ни в одна последовательности нет двух или трех подряд идущих членов, которые содержатся в )

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пример на последовательностей опишем пример в терминах графа.

Разделим чисел на две равные группы: например, и .

Отдельно расставим первые чисел в последовательностей длиной , чтобы любые числа были соседями в хотя бы одной из последовательностей. (То есть на языке графов: нужно покрыть путями полный граф на вершинах). И аналогично поступим со второй группой чисел, а потом просто “склеим” последовательности. Например, если первая последовательность в первой группе это , а первая последовательность во второй - это , то склеиваем и получаем .

Опишем построение последовательностей длиной . Поместим вершины в правильный многоугольник и покроем полный граф на этом подмножестве вершин последовательностями (то есть путями проходящими по всем вершинам), идущими зигзагом через многоугольник с поворотом каждого пути на кратный угол. На картинке пример построения последовательностей, для чисел:

Теперь поясним, почему после "склейки"полученные последовательностей будут удовлетворять условию. Какие бы числа , мы ни взяли, либо два из них будут среди чисел от до , либо среди чисел от до . Тогда два числа из одно группы соединены ребром, то есть являются соседями в одной из последовательностей. Этого мы и добивались.