Тема Миссия выполнима - задания по годам

Миссия выполнима 2021

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела миссия выполнима - задания по годам

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#66354

Какие линейные размеры может иметь прямоугольный параллелепипед, если его объем равен $200см3,$ площадь полной поверхности равна $2 300см ,$ а периметр основания равен $50см$ ?

Источники: Миссия выполнима - 2021, 11.2 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Прямоугольный параллелепипед задаётся своими сторонами, так давайте обозначим их переменными x, y, z.

Подсказка 2

Мы получили систему из трёх уравнений с тремя неизвестными, её можно решить методом подстановки.

Показать ответ и решение

Пусть его стороны $a,b,c,$ тогда получаем систему

(| abc= 200 { 2(ab+bc+ ac) =300 |( 2(a+ b) =50

{ b =25− a c = 150−ab= 150−ab a+b 25

150−-200c- 8 c= 25 = 6− c

2 c − 6c+ 8= 0

c= 2 или c =4

Получили два случая.

В первом $c= 2,$ откуда $ab= 100,a +b= 25 ⇐⇒ a= 5,b= 20$ (второй вариант не будем включать из-за симметрии обозначений).

Во втором $c= 4$ и $25−5√17- 25+5√17 ab =50,a+b =25 ⇐⇒ a= ---2--,b= --2---.$

Ответ:

$2$ см $× 5$ см $× 20$ см (с точностью до порядка следования)

или

$4$ см $25−5√17 × 2$ см $25+5√17 × 2$ см (с точностью до порядка следования)

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#96825

При оптимизации штатного расписания в учреждении было сокращено $13$ вакансий, в результате чего их доля в расписании снизилась на $13$ процентных пунктов. Зная, что вакансии в этом учреждении еще остались, определите их количество.

Источники: Миссия выполнима - 2021, 11.1 (см. www.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте обозначим за m количество оставшихся вакансий, а за n — количество работников. Как тогда записать условие на долю?

Подсказка 2

(m+13)/(m+n+130)- m/(m+n) = 0.13. Попробуем преобразать в произведение двух скобок! Нам повезло, что скобки целые — тогда мы решаем уравнение в натуральных числах!

Подсказка 3

(m+n)(m+n+13) = 100n. Какие выводы можно сделать о каждой скобке, на что они должны делиться?

Подсказка 4

Одна из них кратна 25, а другая — 4! Тогда несложно перебрать их значения ;)

Показать ответ и решение

Пусть в учреждении было $m + 13,$ а осталось $m >0$ вакансий. Тогда, если $n$ — число работающих, то

-m-+13-- -m--- 13- m+ n+ 13 − m +n = 100

(m + n)(m +n +13)= 100 ⋅n

Отсюда ясно, что ( $m + n$ ) и ( $m + n+ 13$ ) — натуральные числа, меньшие $100.$ Причём одно из них кратно $25,$ а другое $4.$ Перебором устанавливаем, что $m + n= 12$ либо $m +n = 75.$ В первом случае $12⋅(12+13) n = 100 = 3,$ а во втором: $75⋅(75+13) n = --100---= 66.$

Число оставшихся вакансий $m$ в обоих случаях равно $9.$

Ответ:

$9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#96826

Решите уравнение

sin4φ- cos4φ- sin2x + cos2x = 1

при всех значениях параметра $φ.$

Источники: Миссия выполнима - 2021, 11.3 (см. www.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу запишем ОДЗ! А что, если обозначить квадраты синусов за a и t и выразить нужное нам выражение через них?

Подсказка 2

После приведения к общему знаменателю и выделения полного квадрата в числителе приходим к дроби, равной единице! Что тогда можно сказать о квадратах синусов?

Подсказка 3

Квадраты синусов равны! Осталось лишь аккуратно учесть ОДЗ ;)

Показать ответ и решение

ОДЗ уравнения определяется условием $sin2 x⋅cos2x⁄= 0$ , т.е. $x⁄= πk,k∈ℤ. 2$ Введем $a =sin2φ$ и $t=sin2x.$ После подстановки получим:

sin4φ cos4φ a2 (1− a)2 sin2x-+ cos2x-=-t + -1− t-=

2 2 2 2 2 = a-(1−-tt()1+−(1t)−-a)t= a-−t−2att+2-t= (a−-t)t−+t2t− t-= 1

Следовательно, $a= t⇔ sin2φ= sin2x⇔ x = ±φ+ πn,n ∈ℤ.$ При $φ ⁄= πk2 ,k∈ ℤ$ решение $x$ принадлежит ОДЗ уравнения, а при $φ = π2k,k ∈ℤ$ решений нет.

Ответ:

При $φ⁄= πk,k∈ ℤ 2$ решение $x= ±φ +πn,n ∈ℤ$ ; при $φ = πk,k ∈ℤ 2$ решений нет.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#96827

В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AK$ и $CM.$ Известно, что середины отрезков $AB,BC$ и $MK$ лежат на одной прямой. Найдите $AB,$ если $BK =4,$ а $KC =5.$

Источники: Миссия выполнима - 2021, 11.4 (см. www.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам даны отрезки, на которые делит сторону биссектриса. Какое её свойство можно применить?

Подсказка 2

Отношение сторон равно отношению отрезков, на которые биссектриса делит третью сторону! Здорово, теперь мы можем записать некоторые равенства отношений. А что можно сказать о точке O на BP, если она лежит на отрезке, соединяющем середины двух сторон?

Подсказка 3

О лежит на средней линии треугольника, значит, является серединой BP! Какую интересную нам фигуру тогда можно заметить на рисунке?

Подсказка 4

O — середина BP и средней линии. Отсюда мы можем заприметить некоторые параллельности и попробовать записать равенства на отношения. А какая теорема может помочь нам в их записи?

Подсказка 5

Используйте теорему Фалеса!

Показать ответ и решение

$PIC$

По свойству биссектрисы $AK : AABC-= BKKC-= 45$ и биссектрисы $CM : BACC-= MABM-.$ Пусть т. $O$ - середина отрезка $MK,$ а т. $P$ - точка пересечения прямых $BO$ и $AC.$ Заметим, что из условия следует, что т. $O$ лежит на средней линии $△ABC$ параллельной $AC.$ Следовательно, по теореме Фалеса $BO = OP$ и четырёхугольник $MBKP$ параллелограмм (диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам). Ещё дважды применяя теорему Фалеса, получим $AMMB- =PACP= BKKC-= 45,$ откуда

AB = 4 ⋅ 4⋅(4 +5)= 144= 5,76 5 5 25

Ответ:

$5,76$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#96828

Приведите пример квадратного многочлена $f(x)$ и кубического многочлена $g(x)$ таких, что уравнению $f(g(x))= 0$ удовлетворяют числа $±1;±2$ и $± 3.$

Источники: Миссия выполнима - 2021, 11.5 (см. www.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обратите внимание на то, что наше уравнение — это по сути квадратное уравнение относительно g(x). Как его тогда можно представить?

Подсказка 2

Тогда оно раскладывается в виде произведения двух скобок. Нам нужно сделать так, чтобы при некоторых из указанных шести корней обнулялась первая скобка, а при остальных — вторая. Как их можно распределить?

Подсказка 3

Попробуйте найти такой кубический многочлен, что в точках -3, 1, 2 он принимает одно значение, а в -1, -2, 3 — другое!

Показать ответ и решение

Будем искать такие $f(x)$ и $g(x)$ для которых выполняется

f(g(x))= (g(x)− α)(g(x)− β),

причем, $α= g(−3)=g(1)=g(2)$ , а $β = g(− 2) =g(−1)= g(3),$

где $g(x)= px3+ qx2+ rx +s.$ Система уравнений

{ g(− 3)= g(1) =g(2) g(−2)= g(−1)= g(3)

оказывается недоопределенной и эквивалентна $q = 0$ и $r= −7p.$ Тогда для получения примера функции $g(x)$ достаточно положить $p =1$ и $s= 0.$ В итоге

g(x)=x3+ 0x2− 7x +0,α= −6,β = 6

f(x)=(x+ 6)(x− 6)= x2 − 36

Ответ:

$f(x)= x2 − 36,g(x)= x3− 7x$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#96829

Около шара радиуса $1$ описана правильная $n$ -угольная призма, все ребра которой касаются некоторого другого шара. Докажите, что $n =4$ и найдите объём этой призмы.

Источники: Миссия выполнима - 2021, 11.6 (см. www.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В этой задаче самое главное — связать боковую сторону и сторону многоугольника основания. Так как в основании у нас правильный многоугольник, в который вписана окружность радиуса 1, то чему в этом случае равна сторона основания? А какой факт можно извлечь из того, что вторая сфера касается каждого ребра?

Подсказка 2

В этом случае, сторона равна 2tg(pi/n) — просто опускаем высоту из центра на какую-нибудь сторону и вычисляем. А вот из того, что вторая сфера касается каждого ребра, следует, что прямоугольник боковой стороны является описанным. Осталось связать этот факт и тот, что в призму вписана сфера с радиусом 1, и получим ответ!

Показать ответ и решение

Высота призмы и боковое ребро равны $2$ (диаметру вписанного шара).

$PIC$

Основания призмы являются правильными $n$ -угольниками, описанными около окружностей радиуса $1.$ Согласно известной формуле, сторона основания в этом случае равна $π 2tgn.$

$PIC$

Поверхность шара, касающегося рёбер призмы, пересекает каждую из граней по окружности.

$PIC$

Это значит, что прямоугольники, служащие боковыми гранями, описанные, а потому являются квадратами. Отсюда $2tg πn = 2$ и $n =4.$

Таким образом, призма представляет собой куб $2× 2×2.$

Ответ:

$V = 8$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#96830

Найдите множество значений функции $y = log x. 2x−1$

Источники: Миссия выполнима - 2021, 11.7 (см. www.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем переписать логарифмическую функцию в виде степени. Держать 2х-1 в основании степени нам неудобно, так что давайте введём перемeнную z, и будем решать уравнение относительно y и z!

Подсказка 2

Не забывайте про изначальные ОДЗ! Сразу появляются ограничения на z, а что насчёт возможных значений у?

Подсказка 3

Верно, возможны только у из интервала от 0 до 1! Исследуем функции z^y и 1/2(z+1) и их пересечения на этом интервале.

Подсказка 4

Так как левая часть уравнения — выпуклая вверх функция, то правая часть — либо её касательная, либо находится ниже касательной и пересекает показательную функцию, либо не пересекает вовсе. Проверим, какие значения соответствуют z не из области допустимых значений,и аккуратно с помощью монотонной непрерывности докажем, что в остальных точках решения есть.

Показать ответ и решение

ОДЗ функции: $x> 1,x⁄= 1. 2$ Пропотенцируем уравнение $y = log x 2x− 1$ по основанию логарифма: $(2x − 1)y = x$ и, переобозначив $z =2x− 1$ , получим

y 1 z = 2(z+ 1) при z > 0,z ⁄=1.

Выясним, при каких $y$ данное уравнение имеет решение, удовлетворяющее $z > 0,z ⁄=1.$ Сразу исключим два очевидных случая $y ≤0$ и $y ≥ 1.$

Остается рассмотреть вариант $0< y < 1.$ Заметим, что левая часть уравнения $zy$ для указанных степеней $y$ является выпуклой вверх функцией, т.к.

(zy)′′ = y(y− 1)zy−2 < 0.

Это значит, что её график лежит строго ниже любой касательной к нему (кроме точки касания) и для случая, когда правая часть уравнения $1 2(z+ 1)$ является касательной к графику при $1 y = 2$ , уравнение $y 1 z = 2(z+1)$ корней среди $z > 0,z ⁄=1$ не имеет.

Во всех оставшихся случаях $zy$ будет пересекаться с прямой $12(z +1)$ при $z >0,z ⁄=$ $1.$

Действительно, в случае $0 <y < 12$ касательная, проведённая к $zy$ в точке $z =1,$ оказывается в некоторой левой окрестности точки касания выше прямой $12(z+ 1),$ а следовательно, и сам график $zy$ находится выше прямой $12(z+ 1)$ в некоторой (возможно меньшей) левой окрестности точки $z = 1.$ Однако в точке $z = 0$ функция $zy$ обнуляется и её график становится уже ниже прямой $12(z+ 1).$ В силу непрерывности обеих функций строго внутри интервала $(0,1)$ найдётся точка пересечения их графиков.

В случае $12 < y < 1$ будет наблюдаться аналогичная ситуация: в некоторой правой окрестности точки касания $z = 1$ график $zy$ находится выше прямой $12(z+1).$ Однако,

y xl→im+∞ 1-z---= xl→im+∞2zy− 1 =0, 2(z+ 1)

следовательно, рано или поздно график функции $zy$ станет ниже прямой $1(z+1), 2$ и в силу непрерывности обеих функций на луче $(1,+ ∞ )$ найдётся точка пересечения их графиков.

Ответ:

$(0;1 )∪( 1;1) 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#96831

Пекарня планирует перейти на округление чеков в меньшую сторону (покупатель будет платить $p$ рублей за товар ценой в $p$ рублей с копейками). В связи с этим коммерческий директор выбрал $100$ чеков и подсчитал, что выручка при таком округлении снизилась бы на $1%.$ Известно, что чеков на сумму менее $10$ рублей не было, и что все цены в пекарне кратны $10$ копейкам. Каким наибольшим (среди этих чеков) могло быть количество чеков на сумму более $100$ рублей каждый?

Источники: Миссия выполнима - 2021, 11.8 (см. www.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем, а какое вообще количество может потерять пекарня с одного чека? А со всех?

Подсказка 2

С одного чека теряет не более 90 копеек, значит, мы можем оценить потери со всех чеков и с помощью условия оценить сумму всех чеков!

Подсказка 3

Отлично, теперь попробуем посчитать сумму всех чеков другим способом. Что, если ввести переменную, отвечающую за количество чеков на сумму от 100 рублей? Сколько тогда пекарня могла получить после округления?

Подсказка 4

Если больших (на сумму от 100 рублей) было n, то после округления пекарня получила бы не меньше, чем 100n + 10*(100-n). Теперь, исходя из условия, мы можем оценить сумму чеков до округления! Здорово, ведь эту сумму можно сравнить с суммой из подсказки 2 ;)

Показать ответ и решение

Чек на сумму более $100$ рублей будем называть большим. Заметим, что при округлении одного чека пекарня теряет не более $90$ коп., а при округлении $100$ чеков — не более $90$ руб. Поэтому чеки были выбраны на общую сумму, не превышавшую $9000$ руб.

Пусть ровно $n$ чеков из выбранных были большими. Тогда при округлении всех $100$ чеков пекарня получила бы не меньше, чем $100⋅n+ 10⋅(100− n)=90⋅n +1000$ рублей. Следовательно, без округления получено не меньше, чем $90⋅n+1000 100⋅(90⋅n+1000) 0,99 = 99$ руб. Наибольшее целое, удовлетворяющее неравенству $100⋅(90⋅n+1000) -----99-----< 9000,$ равно $87.$ И оно, действительно, могло быть реализовано на чеках. Например, при $87$ чеках на сумму $100,9$ руб. каждый, $12$ чеках на сумму $16,9$ руб. каждый и одном чеке на сумму $18,9$ руб.

Ответ:

$n =87$