Тема БИБН (Будущие исследователи - будущее науки)

БИБН - задания по годам → .02 БИБН 2020

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела бибн (будущие исследователи - будущее науки)

Разделы подтемы БИБН - задания по годам

БИБН до 2020

БИБН 2020

БИБН 2021

БИБН 2022

БИБН 2023

БИБН 2024

БИБН 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#68266

На стороне $AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ отмечена точка $O.$ Оказалось, что $AO =BO, CO =OD$ и $∠BOA = ∠COD.$ Пусть $E$ — точка пересечения диагоналей четырёхугольника. Докажите, что $EO$ — биссектриса угла $AED.$

Источники: БИБН-2020, 11.4 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас есть пары равных сторон и равные уголки... Какие равные треугольники можно здесь найти?)

Подсказка 2

AOC и BOD! Теперь подумаем про биссектрису AED. Что означает, что точка лежит на биссектрисе угла?

Подсказка 3

Что точка равноудалена от сторон! А теперь найдите эту точку, зная то, что AOC равен BOD)

Показать доказательство

$PIC$

Сделаем поворот в точке $O$ на угол $AOB.$ Заметим, что треугольник $AOC$ перешёл в треугольник $BOD.$ Значит, эти треугольники равны. Следовательно, их высоты, проведённые к $AC$ и $BD$ равны.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#77813

Решите уравнение

10 4 2 x − 3x + x + 1= 0.

Источники: БИБН-2020, 11.1 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так, чётные степени дали нам явно неспроста, явно намёк за замену. После замены у такой страшной штуки имеет смысл поугадывать корни. Какой корень мы обычно в таких случаях проверяем в первую очередь?

Подсказка 2

Верно, 1 подходит! А теперь, после того, как корни, равные 1, мы вытащили, посмотрите внимательно на оставшийся многочлен. Что можно сказать про его корни? Не забывайте про замену, которую мы сделали в начале и то, какие ограничения она накладывает на новую переменную!

Показать ответ и решение

Сделаем замену: $t= x2,t≥ 0.$ Получим, уравнение:

5 2 t− 3t+ t+ 1= 0

Заметим, что $t= 1$ является корнем и разделив уравнение на $(t− 1),$ получим следующее:

(t− 1)(t4+ t3+ t2 − 2t− 1) =0

Многочлен $t4+ t3+ t2− 2t− 1$ также имеет корень $t=1.$ После деления этого многочлена на $(t− 1)$ получаем уравнение:

(t− 1)2(t3 +2t2+3t+ 1)=0

Многочлен $t3+ 2t2+ 3t+1$ имеет только положительные коэффициенты и поэтому у него нет неотрицательных корней. Таким образом, $t=1$ $−$ единственный корень (кратности $2$ ) и, возвращаясь к переменной $x,$ получаем два корня $x =±1.$

Ответ:

$±1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#101078

Четырнадцать теннисистов сыграли в однокруговом турнире (каждый игрок сыграл с каждым одну партию). Докажите, что найдутся такие три игрока, что каждый из остальных $11$ игроков проиграл хотя бы одному из этой тройки. (Ничьих в теннисе не бывает).

Источники: БИБН-2020, 11.3 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В нашу тройку хотелось бы набрать самых сильных игроков, которые одержали наибольшее гарантированное число побед. Подумайте, а сколько вообще побед гарантированно должно быть в нашей ситуации хотя бы у одного из четырнадцати игроков?

Подсказка 2

Из четырнадцати игроков гарантированно будет один, одержавший семь побед. Этот точно в нашей тройке. Подумайте, как повторить такой же принцип ещё два раза.

Подсказка 3

Давайте рассмотрим всех теннисистов, кроме того, кто одержал 7 побед и тех, кого он победил. Теперь среди оставшихся шести теннисистов выберем «самого сильного». Сколько побед он гарантировано одержал?

Показать доказательство

Сначала покажем, что найдется игрок, одержавший не менее семи побед. Действительно, в противном случае общее число побед всех игроков было бы не более $14⋅6= 84$ . Но общее число побед равно числу всех сыгранных партий, то есть равно $(14⋅13) 2 = 91$ — противоречие.

Выберем теннисиста, скажем, $A$ , одержавшего не менее 7 побед. Удалим (временно из рассмотрения) $A$ и семерых, проигравших ему. Останется группа из 6 теннисистов. Рассуждая аналогично, в этой группе найдем игрока $B$ , который выиграл не менее трёх партий у игроков из этой группы. Если убрать из рассмотрения $B$ и троих, проигравших ему, останутся два теннисиста. Из этих двоих выберем того, скажем, $C$ , кто победил другого. Тогда тройка игроков $A,B,C$ будет искомой по построению (первые семеро, удаленные из рассмотрения, проиграли $A$ , удаленная группа из троих проиграла $B$ , и последний проиграл $C$ ).

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#108445

Докажите неравенство

α- (π ) sin αcos 2 ≤ sin 4 + α

для всех $[ π] α ∈ 0,2$ .

Источники: БИБН-2020, 11.2 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте для удобства сведём всё к синусам и косинусам от α.

Подсказка 2

Для этого воспользуйтесь формулами синуса суммы и косинуса двойного угла.

Подсказка 3

Теперь в неравенстве есть корень, с которым неудобно работать. Чтобы сделать неравенство более приятным, попробуйте как-то применить идею домножения на сопряжённое.

Показать доказательство

В правой части по формуле синуса суммы имеем

(π ) √2 sin 4 +α = 2-(cosα+ sinα).

К левой части применим формулу косинуса двойного угла

√------- cosα-= -1+√-cosα- 2 2

(здесь мы учли, что $cosα≥ 0 2$ при $α ∈[0,π ] 2$ ). Тогда исходное неравенство запишется в виде

sinα√1-+cosα≤ cosα +sin α⇔ sinα(√1-+cosα− 1) ≤cosα.

Домножив это неравенство на положительное число $√1-+cosα+ 1$ , получим равносильное неравенство

sinα cosα≤ (√1+-cosα-+1)cosα.

При $α = π2$ последнее неравенство верно (оно принимает вид $0 =0$ ), а при $[ α ∈ 0,π2$ ) поделим его на $cosα >0$ и получим равносильное неравенство

sin α≤ √1+-cosα-+1,

которое очевидно (т.к. $sinα ≤1$ ).

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#108446

На координатной плоскости построен график $y = 2020 x$ . Сколько на графике точек, касательная в которых пересекает обе координатные оси в точках с целыми координатами?

Источники: БИБН-2020, 11.5 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Воспольемся уравнением касательной к графику функции. Если касательная пересекает ось Ox в точке (a, 0), а ось Oy в (0, b), то а и b должны быть целыми. Хм.. Как связаны a, b и х0?

Подсказка 2

Подумайте, при каких x₀ числа a и b станут целыми. И раз речь идет о целых, может это связано с делителями 2020?

Показать ответ и решение

Уравнение касательной в точке ( $x ,y 0 0$ ) к гиперболе $y = k∕x$ имеет вид

( 2) y− y0 = − k∕x0 (x − x0),

где $y = k∕x 0 0$ . Из этого уравнения получаются координаты $x 1$ и $y 1$ точек пересечения с осями О $x$ и О $y$ , а именно, $x =2x 1 0$ и $y = 2y 1 0$ . Значит, $2x 0$ — целое число. Пусть $n = 2x 0$ . Тогда

y1 = 2y0 =2k∕x0 = 4k∕n.

Таким образом, $n$ может принимать значение любого делителя числа $4k$ . При $k = 2020$ нам требуется найти количество целых делителей числа

4 4⋅2020= 8080= 2 ⋅5⋅101.

Количество натуральных делителей этого числа равно $20= (4+1)(1 +1)(1+ 1)$ (здесь мы подсчитали количество натуральных делителей, используя степени простых чисел в разложении числа 8080 на простые множители). С учетом отрицательных делителей (соответствующих точкам касания в третьей четверти) получим удвоенное количество, т.е. всего 40 точек.

Ответ: 40

Предыдущая подтема

Следующая подтема