Тема БИБН (Будущие исследователи - будущее науки)

БИБН - задания по годам → .01 БИБН до 2020

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела бибн (будущие исследователи - будущее науки)

Разделы подтемы БИБН - задания по годам

БИБН до 2020

БИБН 2020

БИБН 2021

БИБН 2022

БИБН 2023

БИБН 2024

БИБН 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#68255

На боковых сторонах $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ взяты точки $M$ и $N$ соответственно, такие, что $AN = BN$ и $∠ABN = ∠CDM$ . Докажите, что $CM = MD$ .

Показать доказательство

Из равенства $AN =BN$ следует, что $∠ABN = ∠BAN$ в равнобедренном треугольнике $ABN$ .

$PIC$

Тогда по условию задачи $∠CDM = ∠BAN?$ и значит? около четырехугольника $AMND$ можно описать окружность. Поэтому $∘ ∠MAD = 180 − ∠MND = ∠CNM$ .

В трапеции углы при боковой стороне дают в сумме $∘ ∘ 180 =⇒ ∠MAD = 180 − ∠MBC$ . Таким образом, в четырехугольнике $MBCN$ сумма углов при вершинах $B$ и $N$ тоже равна $∘ 180$ и поэтому около $MBCN$ можно описать окружность. Следовательно, $∠MCN = ∠MBN = ∠CDM$ , а значит, треугольник $CMD$ тоже равнобедренный, и $CM = MD$ .

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#69042

Дан треугольник $ABC$ , вписанный в окружность $ω$ . Точка $M$ — основание перпендикуляра из точки $B$ на прямую $AC$ , точка $N$ — основание перпендикуляра из точки $A$ на касательную к $ω$ , проведенную через точку $B$ . Докажите, что $MN ∥BC$ .

Источники: БИБН - 2016, 11.3

Показать доказательство

$PIC$

Рассмотрим четырехугольник $ANBM$ . Около него можно описать окружность (с диаметром $AB$ , так как углы $ANB$ и $AMB$ — прямые). Значит, $∠BNM =∠BAC$ (по свойству вписанных углов). Далее, угол между касательной через точку $B$ и хордой $BC$ также равен углу $BAC$ (по свойству угла между касательной и хордой). Таким образом, отрезки $NM$ и $BC$ имеют одинаковые углы с касательной и поэтому параллельны.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#70794

На доске вначале было записано $n$ чисел: $1,2,...,n.$ Разрешается стереть любые два числа на доске, а вместо них записать модуль их разности. Какое наименьшее число может оказаться на доске после $(n − 1)$ таких операций

(a) при $n= 111;$

(b) при $n =110?$

Источники: БИБН-2016, 8.3 (см. www.unn.ru)

Показать ответ и решение

(a) Достаточно привести алгоритм получения нуля, поскольку меньше получить невозможно. Итак, сначала поделим числа кроме единицы на пары $(2,3),...(110,111),$ написав в них разности, получим набор $1,1,...1$ из $56$ единиц, включая первоначальную. Далее разбиваем числа на пары и в каждой паре получаем в качестве разности $0,$ затем с нулями можно делать что угодно.

(b) Пример на получение единицы можно вывести из предыдущего пункта, только делить будем на пары $(1,2),(3,4),...(109,110),$ откуда получится $55$ единиц, то есть помимо $27$ нулей в разности получится дополнительная единица — далее от неё уже никак не избавиться, можно просто по очереди вычесть из неё все нули.

Остаётся показать, что ноль получить не выйдет. Действительно, изначально сумма всех чисел $110⋅111 1+ ...+ 110 = --2--= 55 ⋅111$ нечётна. При применении операции $a+b → |a− b|$ в этой сумме её чётность не поменяется, поскольку $a +b≡2 a− b,$ значит, её чётность не меняется. Тогда и оставшееся число будет нечётным и не равно нулю.

Ответ:

(a) $0$ ;

(b) $1$ .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#47912

Существует ли $9$ -угольная пирамида, на ребрах которой можно выбрать направления (стрелки) так, чтобы сумма всех $18$ векторов-ребер равнялась нулевому вектору?

Показать ответ и решение

Рассмотрим систему координат с центром в основании высоты пирамиды, одну из осей направим вдоль самой высоты. Тогда длина проекции на эту ось, то есть соответствующая координата, каждого вектора будет равна нулю для рёбер из основания и иметь одинаковое по модулю значение для боковых рёбер — длина высоты с положительным или отрицательным знаком.

Чтобы сумма векторов была нулевой необходимо, чтобы сумма этих координат (соответствующая координата суммы) была равна нулю.

Пусть длина высоты равна $h$ и $n$ координат из $9$ ненулевых положительны, тогда эта координата равна

h⋅n− h⋅(9− n)= h⋅(2n− 9)⁄=0

Но поскольку $2n− 9⁄= 0,n∈ ℕ$ по чётности, а также $h> 0$ из условия, значит, нулевой сумма векторов-рёбер быть не может.

Ответ:

нет

Следующая подтема