Бельчонок - задания по годам → .06 Бельчонок 2024

Обозначим событие Произведение чисел не делится на , Среди чисел нет Среди чисел нет чётного Тогда

Вероятность искомого события равна

Рассмотрим числа . По условию их сумма целая, их произведение равно — целое, сумма их попарных произведений равна — целая. Значит, мы можем составить приведённый многочлен с целыми коэффициентами и корнями :

Осталось заметить, что корни рациональны как отношения целых чисел. Если целочисленный многочлен имеет рациональный корень , то его старший коэффициент делится на . Поскольку наш многочлен приведённый, корни являются целыми.

Любой рассадке вечером можно сопоставить рассадку, в которой белка, сидевшая на дереве с номером (нумерация по часовой стрелке), сидит на дереве по модулю 6 (то есть просто белку переместили на противоположное место). Нетрудно видеть, что это противоположное место является либо тем местом, на котором белка сидела утром, либо соседним с ним. Значит, можно решить задачу, в которой каждая белка либо осталась на своём месте, либо перешла на соседнее.

Пусть изначально белки сидели в порядке . Рассмотрим случаи:

Все остаются на своих местах. Тогда есть только один случай ().

Если перемещается вправо на место , у есть два варианта действий. может переместиться влево(на место ) или переместиться вправо на место .

Рассмотрим движение по кругу. Если перемещается на место , то единственный способ для — переход к , переход к , переход к и переход к , в результате чего достигается . Каждый бельчонок может также двигаться влево(). Таким образом, тут два случая.

Некоторые бельчата из соседних пар , , меняются местами, оставаясь в той же паре. Если перемещается на место , перемещается на место . может остаться на месте, или переместиться на , может остаться на месте, или переместиться на . Это даёт случаев, но бельчата не могут все оставаться на месте, поскольку мы уже посчитали такую возможность в случае , и, следовательно, здесь случаев. Кроме этого, могут быть пары что даёт еще случаев.

Меняются местами не в соседних парах, а в парах, разделённых одним бельчонком. Если бы и поменялись местами, и могли бы поменяться местами, и это не было бы учтено предыдущими группировками. При этом два бельчонка, разделяющие пары, сидят на прежних местах. Это может происходить в трёх случаях ( и не движутся, и не движутся, и не движутся).

Всего случаев .

Отметим равные углы: как вписанные углы, отсюда следует, что Рассмотрим треугольники и У них равны две стороны и угол между этими сторонами. Следовательно, эти треугольники равны, тогда Тогда нужно доказать , что является частью высоты в равнобедренном треугольнике.

Рассмотрим вписанные четырехугольники и Из вписанности получаем и Рассмотрим треугольники и У них равны две стороны и угол между этими сторонами. Следовательно, эти треугольники равны, тогда Используя аналогичные рассуждения для треугольников и получаем что

В итоге получили, что точка равноудалена от вершин треугольника то есть является центром описанной окружности равнобедренного треугольника. Следовательно, является частью высоты треугольника то есть

Во-первых, покажем, что и взаимно просты. Пусть это не так, тогда они делятся на какое-то простое число , а значит и делится на , но это не так.

Во-вторых, покажем, что и — точные кубы. Число — куб, — куб, значит и — куб. Если некоторое простое число входит в в степени , то оно либо входит в этой же степени в , а в — в нулевой, либо наоборот, так как . Таким образом, и — кубы, ведь все простые множители входят в них в степени.

Пусть , тогда извлечём из равенства кубический корень и получим:

Зафиксируем и сравним с ней . Ясно, что , потому что иначе правая часть отрицательна, а левая — положительна. Перепишем равенство в виде:

Нетрудно видеть, что

То есть равенство возможно лишь когда , откуда . Притом эта пара является решением при любом натуральном .

Обозначим вероятность хорошей погоды в день считая марта за первый день. Тогда

(Если в -й день погода плохая, то в -й она точно хорошая, а если хорошая, то в -м дне будет хорошей с вероятностью ). По условию . Находим последовательно

Пусть . Нетрудно видеть, что при верно , то есть достаточно найти число

Если поделить столбиком на , получим, что . Значит, нужная нам сумма равна

По теореме Виета сумма корней равна , сумма их попарных произведений равна . Подставляя это, получаем ответ .

Если число является палиндромом, то числа допускают нужное представление. Поэтому числа от до могут быть представлены нужным образом:

Если число двузначное и является палиндромом, то число также палиндром, и может быть представлено как . Например, если . Поскольку разность между соседними двузначными палиндромами равна , это означает, что все такие числа допускают нужное представление. Осталось рассмотреть числа вида , где — палиндром, то есть числа . Пусть число . Если и и двузначные палиндромы, тогда правая часть делится на , а левая нет. Значит, одно из слагаемых должно быть однозначным, то есть числом из набора . Но разность и любого числа из набора не кратна . Числа нельзя представить как сумму двух палиндромов.

Пусть а Тогда смежные с ними

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание. Точки и не подписаны на чертеже, потому что в решении их использовать не будем.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

В силу вписанности и получаем

Но и смежные, поэтому

Следовательно, так что вписанный.

Пусть — натуральное число. Тогда

Если не делится на , то делится на . Но в таком случае все члены равенства, кроме , делятся на , а делится только на , что невозможно. Значит, делится на , то есть для некоторого натурального числа . Имеем

откуда делится на или делится на .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть . Тогда

откуда делится на . Но в таком случае делится и на , то есть для некоторого натурального . Теперь имеем , откуда . Ясно, что число будет целым только при , при этом .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть . Тогда . Как и выше, отсюда следует, что делится на ,то есть для некоторого натурального . Теперь имеем , откуда делит , то есть . При получаем невозможные равенства

соответственно. При число , откуда — делитель , при этом

то есть . Следовательно, , и тогда .

Первое решение.

Пусть — высота и медиана треугольника . Проведём через вершину параллельно прямую и обозначим точку её пересечения с прямой через

Треугольники и подобны с коэффициентом , откуда . Поэтому — прямоугольник, то есть . Заметим, что треугольники и равны по двум сторонам и углу. Тогда . Значит, четырёхугольник — вписанный, откуда .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Проведём в треугольнике высоту .

Так как , получим . Поэтому треугольники и подобны, откуда . Заметим теперь, что и . Тогда треугольники и равны по двум сторонам и углу. Поскольку , четырёхугольник вписанный, откуда .