Тема Бельчонок

Бельчонок - задания по годам → .07 Бельчонок 2025

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела бельчонок

Разделы подтемы Бельчонок - задания по годам

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#120557Максимум баллов за задание: 7

Пусть $x ,x 1 2$ — корни квадратного трехчлена $f(x)= x2− 2x− 1,$ а $x ,x 3 4$ — корни квадратного трехчлена $g(x)= x2 − 3x− 1.$ Найдите все возможные значения выражения $3 3 (g(x1)) f(x3)+ (g(x2))f (x4).$

Источники: Бельчонок - 2025, Вариант 1, 11.1(см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Чтобы найти выражение g(x₁), было бы хорошо выразить g через f! Аналогично и с g(x₂).

Подсказка 2

Итак, найти нам нужно -x₁³ x₃ - x₂³x₄. А в каких формулах встречается произведение корней?

Подсказка 3

Воспользуйтесь теоремой Виета, чтобы через формулы сокращенного умножения выразить нужную нам сумма!

Показать ответ и решение

Заметим, что $g(x)= f(x)− x.$ Так как $f(x )= f(x )= g(x )= g(x )= 0, 1 2 3 4$ легко получаем $g(x )=− x, 1 1$ $g(x )=− x, 2 2$ а также $f(x3)=x3,$ $f(x4)= x4.$

Поэтому исходное выражение

3 3 3 3 A =(g(x1))f(x3)+ (g(x2)) f(x4)= −x1x3− x2x4

Его несложно вычислить прямой подстановкой корней; однако, можно поступить иначе.

Пусть $B = −x3x − x3x . 1 4 23$ Заметим, что

x1x2 =x3x4 = −1

x + x = 2 1 2

x3+ x4 = 3

x31+x32 =(x1+ x2)3− 3x1x2(x1+x2)= 8+ 6= 14

x23+ x24 = (x3+ x4)2− 2x3x4 =9 +2 =11

x61+ x62 =(x31+ x32)2− 2x31x32 =196+ 2= 198

Далее,

3 3 A+ B =− (x1+ x2)(x3+ x4) =−14⋅3 =−42

6 6 3 3 2 2 AB = (x1+x2)x3x4 +x1x2(x3+ x4)=− 198− 11= −209

Поэтому $A$ и $B$ — корни квадратного уравнения $x2+42x− 209=0$ (обратная теорема Виета). Корни этого уравнения $− 21+5√26-$ и $− 21− 5√26.$

Осталось отметить, что если переобозначить, допустим, корни трёхчлена $f(x) :$ $x1$ через $x2,$ а $x2$ через $x1,$ то значения $A$ и $B$ поменяются местами. Это значит, что искомое значение выражения $A$ может принимать оба указанных выше значения.

Ответ:

$− 21± 5√26$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#120561Максимум баллов за задание: 7

Петя выписал на доску два числа: сначала $4,$ затем $6.$ Позже пришёл Толя и стал дальше записывать числа по следующему правилу: очередное число $xn$ — это наименьшее составное число, большее $2xn− 1− xn−2$ , где $xn−1,xn−2$ — это предыдущее и предпредыдущее записанные на доске числа соответственно. Какое число появится на доске $100−$ м?

Источники: Бельчонок - 2025, Вариант 1, 11.2(см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте выпишем первые несколько членов и попробуем придумать более понятную формулу, которой они связаны.

Подсказка 2

x₁ = 4, x₂ = 6, x₃ = 9, x₄ = 14, x₅ = 20... как связаны, например, 4 и 14? Что нужно сделать с 4, чтобы получить 14?

Подсказка 3

Если к 4 добавить 1 и домножить на кое-что, то получится число, близкое к 14.

Подсказка 4

Докажите, что xₖ = (k+1)(k+2)2 - 1 ! А каким методом мы привыкли доказывать такие утверждения, зависящий от k?

Подсказка 5

Докажите равенство по индукции!

Показать ответ и решение

Вычислим первые несколько членов: $x = 8+ 1= 9, x = 12+2 =14, x = 19+ 1=20. 3 4 5$ Теперь покажем по индукции, что начиная с четвёртого члена

(k+ 1)(k+ 2) xk =-----2---- − 1

Базу мы уже проверили, пусть

xk−2 = k(k− 1)∕2− 1, xk−1 = k(k +1)∕2 − 1

Тогда $(k+1)(k+2) 2xk−1− xk−2 = 2 − 2.$ Тогда нужно проверить, что $(k+1)(k+2) 2 − 1$ всегда будет составным числом. Но это $k(k+3) 2 ,$ что делится или на $k,$ или на $k+3,$ что точно $>1.$ Тогда сотым числом будет

101⋅102 x100 =---2---− 1= 5150

Ответ:

$5150$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#120565Максимум баллов за задание: 7

У скольких наборов из $4$ натуральных чисел с суммой $1001$ среди чисел есть равные?

Источники: Бельчонок - 2025, Вариант 1, 11.3(см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть (k, k, a, b) — такой набор. Что можно сказать про a и b? Как по ним построить k?

Подсказка 2

a и b разной чётности. А каким методом привыкли искать количество способов разложить что-то в фиксированную сумму?

Подсказка 3

Воспользуемся методом шаров и перегородок! Только вот следить за тем, чтобы какие-то области были равны, сложно. Так что делать с k?

Подсказка 4

Можно разлагать 1002 в три слагаемых — 2k, a, b+1! Но как быть с тем, что нам нужны именно чётные количества?

Подсказка 5

Можно разложить сначала сумму в 501, а затем все количества умножить на 2!

Показать ответ и решение

Пусть $(k,k,a,b)$ — такой набор. Так как $a +b= 1001− 2k$ нечётно, то числа $a$ и $b$ разной чётности и между собой не равны. Пусть $a$ чётно. Упорядоченной парой $(a,b)$ набор однозначно определяется, поскольку $k$ вычисляется однозначно, а двух пар равных чисел в наборе нет ввиду нечётности суммы.

Сопоставим набору строку $(2k,a,b+1)$ . В ней все слагаемые чётны, а их сумма равна $1002$ . По такой строке набор тоже однозначно восстанавливается. Число таких строк можно посчитать так: выложим ряд из $501$ двухрублёвой монет, в который в два разных промежутка вставлены две перегородки. Числа $2k$ , $a$ и $b+ 1$ будут равны сумме монет (в рублях) до первой перегородки, между перегородками и после второй перегородки соответственно. Так как между монетами $500$ промежутков, есть ровно $2 C500$ способов выбрать два из них.

500! 499⋅500 C2500 = 2!⋅498! =-2---= 124750

Ответ:

$C2 = 124750 500$ наборов

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#120567Максимум баллов за задание: 7

Точка $I$ — центр окружности, вписанной в неравнобедренный треугольник $ABC.$ Луч $AI$ пересекает окружность, описанную около треугольника $ABC,$ в точке $D.$ Окружность, проходящая через точки $C,D$ и $I,$ вторично пересекает луч $BI$ в точке $K.$ Докажите, что $BK =CK.$

Источники: Бельчонок - 2025, Вариант 1, 11.4(см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам нужно доказать, что BK=CK, но это значит, что точка K должна лежать на серединном перпендикуляре к BC. А какая прямая является этим перпендикуляром? Попробуйте найти её на чертеже!

Подсказка 2

Верно, прямая DO является серединным перпендикуляром к BC. Пусть DO пересекает BI в точке L. Но, если K так же принажлежит DO, то что можно сказать про точки K и L?

Подсказка 3

Да, они должны совпадать! Это верно, если точка L лежит на окружности, описанной около CDI. Попробуйте это доказать, используя равенство каких-то всписанных уголков!

Показать доказательство

Пусть $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC.$ Обозначим $∠ABC = β.$

$PIC$

Так как $AI$ — биссектриса угла $BAC,$ то точка $D$ — середина дуги $BC$ окружности, описанной около $ABC.$ Отсюда прямая $DO$ — это серединный перпендикуляр к отрезку $BC.$ Пусть $DO ∩ BI = L,$ тогда $BL =LC,$ то есть треугольник $BLC$ равнобедренный и

1 β ∠LCB = ∠LBC = 2∠ABC = 2

Отсюда

∠ILC = ∠BLC = 180∘− ∠LCB − ∠LBC =180∘− β

С другой стороны,

∠CDI =∠CDA = ∠CBA = β = 180∘− ∠ILC

Таким образом, четырёхугольник $CDIL$ вписанный, то есть точка $L$ лежит на пересечении прямой $BI$ и окружности, описанной около $CDI,$ откуда точки $K$ и $L$ совпадают, то есть $BK = BL= CL = CK.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#120569Максимум баллов за задание: 7

Найдите все тройки $(a,b,c)$ натуральных чисел, для которых

3 3 2 a + b = (abc− 1)

Источники: Бельчонок - 2025, Вариант 1, 11.5(см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видно, что условие инвариантно относительно перестановки a и b. Значит, можно не умаляя общности предположить, что a ≥ b.

Подсказка 2

Давайте для упрощения обозначим bc через t, перенесём всё влево и рассмотрим выражение слева как многочлен от a.

Подсказка 3

Давайте заметим, что при a ≥ t² функция принимает только положительные значения. Значит, осталось исследовать её на отрезке [b; t² - 1].

Подсказка 4

При слишком больших t она на этом отрезке будет отрицательной, чтобы это доказать, узнайте, как располагаются экстремумы функции относительно этого отрезка и найдите её максимум на отрезке.

Показать ответ и решение

Из-за симметрии можно считать, что $a≥b.$ Положим $t= bc$ и перепишем уравнение в виде $F(a) =0,$ где $F(a)=a3 − t2a2 +2ta+b3− 1.$ Если $2 a ≥t ,$ то

2 2 3 F (a)= a (a− t)+ 2ta +b − 1> 0

Если $b≤a ≤t2− 1$ (а, значит, $t≥2),$ то при $t≥ 4$ будет верно неравенство

F (a)< 0

Действительно, точка локального максимума:

{ F′(a0)= 0 F′′(a0) <0

( { 3a20 − 2a0t2+ 2t= 0 ( a0 < t2- 3

√----- a0 = t2−-t4-− 6t< 1 3

функции $F(a)$ не лежит на отрезке $[b,t2− 1],$ поэтому максимальное значение на данном отрезке $F(a)$ принимает на его концах. Вместе с тем, имеем

F(b)= −t2b2 +2b3+ 2tb− 1= −c2b4+ 2b3+ 2cb2− 1= −b2(b2c2− 2b− 2c)− 1< 0,

поскольку $b2c2− 2b− 2c> 0$ при $bc≥ 4,$ а также

F(t2− 1)=− t4+ 2t3 +b3+ 2t2− 2t− 2≤ −t4+ 3t3+ 2t2− 2t− 2 =− t2(t2− 3t− 2)− 2t− 2< 0,

при $t≥4.$

Остаётся случай $2 ≤t≤ 3,$ где находим тройку $(2,1,2).$

Ответ:

$(a,b,c)∈{(1,2,2),(2,1,2)}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#120570Максимум баллов за задание: 7

Точка $C$ с абсциссой $− 2$ принадлежит гиперболе $y = 1. x$ Через $C$ проведены две прямые с угловыми коэффициентами $2$ и $1, 2$ пересекающие гиперболу в точках $A$ и $B$ (отличных от точки $C)$ соответственно. Найдите координаты центра описанной окружности треугольника $ABC.$

Источники: Бельчонок - 2025, Вариант 4, 11.1(см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала найдите такую базовую информацию, как уравнения прямых и координаты точек.

Подсказка 2

Теперь нужно поработать с описанной окружностью. Погодите, но мы же знаем координаты трёх точек, на которых она лежит. Значит, сможем найти все 3 параметра её уравнения.

Показать ответ и решение

Уравнение указанных прямых имеют вид $y = 2(x +2)− 1 2$ и $y = x+-2− 1, 2 2$ т.е.

7 y =2x +2

x 1 y = 2 + 2

Соответственно. Абсциссы $a$ и $b$ точек $A$ и $B$ находятся из уравнений

-1= 2x+ 7 x 2

1= x + 1 x 2 2

они равны $a= 1 4$ и $b= 1.$

Пусть центр окружности, описанной около треугольника $ABC,$ имеет координаты $(α;β),$ и пусть $R$ — радиус этой окружности. Тогда уравнение окружности имеет вид

(x− α)2+ (y− β)2− R2 = 0

Подставив в это уравнение $1 y = x ,$ после преобразований получаем уравнение

x4− 2αx3+ Dx2 − 2βx+ 1= 0,

где через $D$ обозначено выражение $2 2 2 α +β − R .$ Поскольку точки $A,B$ и $C$ принадлежат этой окружности, то их абсциссы удовлетворяют этому уравнению. Подставляя последовательно $x= −2,1$ и $1 4,$ получаем систему

( |{ 16+16α +4D +4β+ 1= 0 |( 1− 2α + D− 2β+ 1= 0 1− 8α + 16D − 128β+ 256 =0

Из второго уравнения находим $D = 2(α +β)− 2.$ Подставляя это выражение в первое и третье уравнения системы, приходим к

{ 16+ 16α +8(α+ β)− 8 +4β+ 1= 0 1− 8α+ 32(α+ β)− 32 − 128β+ 256= 0

{ 8α+ 4β = −3 8α− 32β = −75

Решая полученную систему, находим $β = 2$ и $11 α= − 8 .$

Ответ:

$(− 11;2) 8$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#120571Максимум баллов за задание: 7

Для каждого натурального числа $n∈ ℕ$ возьмём $x = n2+ 300 n$ и $y = n$ НОД $(x,x ). n n+1$ Чему равно максимально возможное значение $yn?$

Источники: Бельчонок - 2025, Вариант 4, 11.2(см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как мы умеем искать НОД у двух чисел? Каким методом можно воспользоваться?

Подсказка 2

Воспользуйтесь алгоритмом Евклида!

Подсказка 3

(n²+300, (n+1)² + 300) = (n²+300, 2n+1). Далее цепочку продолжите сами ;)

Показать ответ и решение

Будем пользоваться соотношениями:

Н ОД(u,v)= НО Д(u±v,v)

НОД (u,2v+ 1)= НО Д(2u,2v+ 1)

Запишем цепочку равенств:

Н ОД(n2+300,(n+ 1)2+300)= НОД(n2+ 300,2n+ 1)=

= НО Д(2n2 +600,2n+ 1)= НОД(600− n,2n+ 1)=Н ОД(1200− 2n,2n +1)= НОД (1201,2n+ 1)

Остаётся заметить, что последняя величина не превосходит 1201, и равенство достигается при $n= 600.$

Ответ:

$1201$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#120572Максимум баллов за задание: 7

Собрав $1001$ орех, бельчата Боря, Вася и Петя решили разделить их. Каждый должен что-то получить, все — разное число орехов, Боря — больше всех. Сколькими способами можно так поделить орехи?

Источники: Бельчонок - 2025, Вариант 4, 11.3(см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте как-то распределим между ними орехи. Каким способом будет удобно считать распределения без дополнительных условий? А какие варианты повторов могут быть?

Подсказка 2

Воспользуемся методом шаров и перегородок, чтобы посчитать общее количество способов распределить. Могут ли при случайном распределении совпасть количество у всех? А если совпали у двух, то сколько у них может быть орехов?

Подсказка 3

Совпасть количества орехов могли только у каких-то двух, и орехов у них может быть любое число от 1 до 500. Осталось лишь аккуратно посчитать количество таких способов и вычесть из общего!

Подсказка 4

Не забудьте про то, что иногда у Бори не наибольшее число орехов. Но это можно исправить.

Показать ответ и решение

Сосчитаем способы без учёта ограничений на повторы и максимум у Бори. Метод шаров и перегородок даёт $C2 =499500 1000$ способов деления.

Теперь вычтем способы с повторами. Так как 1001 не кратно 3, число орехов может совпасть только у двоих, это число $n$ может быть любым от 1 до 500. Для каждого возможного $n$ есть 3 способа распределить $n,$ $n$ и $1000 − 2n$ орехов между троими. Значит, число способов с повторами равно $500⋅3= 1500,$ а без повторов — $499500− 1500 =498000.$

Пусть теперь бельчата делят ”случайно”, так, что каждый получает разное число. Однако дальше они распределение ”исправляют” : тот, кто получит больше всех, меняется своей долей с Борей. Тогда одно и то же ”исправленное” распределение получается из трёх ”случайных”: Боря мог получить максимум либо сразу, либо поменявшись с Васей, либо поменявшись с Петей. Тогда ”исправленных” распределений втрое меньше, чем ”случайных”, т.е. $498000:3 =166000.$

Ответ:

$166000$ наборов

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#120573Максимум баллов за задание: 7

Дана окружность с центром $O$ и точка $A$ вне её. Секущая, проходящая через точку $A,$ пересекает окружность в точках $X$ и $Y.$ Пусть $′ X$ — точка окружности, симметричная точке $X$ относительно прямой $OA.$ Докажите, что точка пересечения прямых $OA$ и $′ X Y$ не зависит от выбора секущей.

Источники: Бельчонок - 2025, Вариант 4, 11.4(см. dovuz.sfu-kras.ru)

Показать доказательство

Пусть $R$ — радиус окружности, $M$ — точка пересечения $YX ′$ с $OA,$ $P$ — точка пересечения $OX$ и $Y X′.$ Соединим центр окружности $O$ с точками $X$ и $Y.$ Тогда $OX = OY = R.$ Пусть $α =∠XOA, β = ∠OXY.$

$PIC$

Так как точка $′ X$ симметрична точке $X$ относительно прямой $OA,$ а, значит, и относительно диаметра $TQ,$ принадлежащего прямой $AO,$ то

⌣ 1 ⌣ α= ∠XOQ =XQ= 2XX ′= ∠XY X ′

Тогда $∠XAO = β− α$ (теорема о внешнем угле треугольника $OXA.)$ Поэтому из теоремы синусов для треугольника $OXA$ имеем

---R----= ----OA∘----= -OA- (∗) sin(β− α) sin(180 − β) sinβ

Так как $∠Y PX =∠OP M$ (как вертикальные), то $∠Y MO = ∠YXO =β.$ Кроме того, в равнобедренном треугольнике $Y QX$ углы при основании $Y X$ равны, и, следовательно, $∠OY M = β− α.$ Из теоремы синусов для треугольника $YOM$ получаем

--OM---- -R-- sin(β− α) = sinβ

Учитывая $(∗),$ находим $R2 OM = OA,$ что и означает независимость точки $M$ от выбора секущей. Заметим, что расположение точек $X$ и $Y$ не влияет на решение.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#120574Максимум баллов за задание: 7

Натуральные числа $m > n$ таковы, что дробь $3m+2 3n+2$ есть целое число. Докажите, что $m> n2.$

Источники: Бельчонок - 2025, Вариант 4, 11.5(см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Доказать требуемое можно через довольно естественную идею. Давайте поделим m на n с остатком: m = qn + r и покажем, что q ≥ n.

Подсказка 2:

В контексте решения будет выгодно использовать сравнения по модулю 3ⁿ + 2. С их помощью можно упростить числитель.

Подсказка 3:

Если вы правильно применили сравнения, у вас должно возникнуть два случая — при чётном и нечётном q. В обоих случаях стоит представить условие с делимостью как равенство: числитель равен знаменателю, умноженному на некоторое целое. Далее попробуйте сделать какие-то грубые оценки. Например, если покажете, что 2ⁿ > 3^q, то очевидно n > q.

Показать доказательство

Разделим $m$ на $n$ с остатком: пусть $m = nq+ r,$ где $0≤ r< n$ и $q ≥ 1$ (так как $m > n).$ Заметим, что $3n ≡ −2 (mod 3n+2).$ Тогда имеем

m n q qr n 0≡ 3 + 2≡ (3 ) + 2≡(−2) 3 (mod 3 + 2)

Рассмотрим два случая: $q$ четно и $q$ нечетно.

Первый случай. Пусть $q$ четно. Тогда $2q3r+2 =k(3n+ 2).$ Для некоторого натурального $k.$ Тогда имеем $2≡ 2k (mod 3r),$ так как $r< n$ Следовательно, $k= 3rl+ 1$ для некоторого натурального $l.$ Значит, $2q3r+ 2= (3rl+1)(3n +2)$ (подставили $k$ в равенство), то есть $2q = 3nl+ 3n−r+2l> 3n,$ откуда следует, что $q > n.$ Но тогда $m = nq+r >n2,$ что и требовалось.

Второй случай. Пусть $q$ нечетно. Тогда $qr n 2 3 − 2 =k(3 +2),$ поскольку

qr n −2 3 +2 ≡0 (mod 3 + 2)

Так как $r< n,$ получаем $− 2≡ 2k (mod 3r).$ Следовательно, $k= 3rl− 1$ для некоторого натурального $l.$ Значит,

q r r n 2 3 − 2= (3 l− 1)(3 + 2)

то есть $2q = 3nl− 3n−r+ 2l.$ Если при этом $l≥2,$ то для того, чтобы выполнялось равенство, приведенное выше, необходимо, чтобы выполнялось неравенство $2q > 3n,$ так как в этом случае $3nl− 3n−r+2l> 3n⋅2− 3n = 3n.$ Тогда $q >n.$ Если же $l= 1$ ( $l∈ℕ,$ как следствие одного из приведенных выше равенств). Тогда и $r≥ 1.$ Действительно, в противном случае $r= 0$ и $2q = 3n− 3n +2 =2$ и $q =1.$ Но тогда $n < m= nq+ r= n⋅1+ 0= n$ — противоречие. Итак, $l= 1$ и $r≥ 1,$ тогда

q n n−r n n−1 n−1 n−1 n 2 = 3 − 3 +2 ≥3 − 3 + 2= 2⋅3 +2> 2⋅3 > 2

Итак, $q >n.$ Но тогда аналогичным образом, как в первом случае, можно получить, что $m > n2.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#129921Максимум баллов за задание: 7

Три бельчонка Петя, Захар и Дима играли в настольный футбол. В каждой партии играли двое, проигравший уступал своё место третьему игроку. Петя сыграл 6 раз, Захар — 5 раз, Дима — 3 раза. Кто проиграл во второй партии?

Источники: Бельчонок - 2025, Вариант 1, 10.1 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перед нами задача про турнир. Какие данные можно сразу получить?

Подсказка 2

Нам известно, сколько раз сыграл каждый из бельчат. Что можно вычислить, зная эти числа?

Подсказка 3

В каждой партии участвует двое, значит, можно посчитать общее количество партий! Теперь стоит подумать о том, какое наименьшее количество игр может сыграть бельчонок, если проигравший уступал своё место.

Подсказка 4

Могут ли два раза подряд играть одни и те же бельчата?

Подсказка 5

При каком условии Дима сможет поучаствовать только в трёх играх?

Подсказка 6

В каком минимальном количестве игр может принять участие Дима, если будет играть в первом матче? А если он начнет играть только со второго?

Показать ответ и решение

Так как в каждой партии участвовало два игрока, всего было сыграно $6+5+3-=7 2$ партий. Игрок не может пропустить больше одной игры подряд, так как в этом случае получится, что два бельчонка играют подряд два раза, что противоречит условию. Значит, каждый игрок может играть в худшем случае через раз.

Если бы Дима играл в первой партии, то он бы сыграл минимум 4 раза (так как в худшем случае он бы играл еще в третьей, пятой и седьмой партиях). Если он начал играть со второй партии, то для выполнения условий задачи он должен был проиграть все свои партии, иначе у него были бы игры подряд, и получилось бы больше трех игр. Значит, Дима играл во 2, 4 и 6 партиях и проиграл каждую из них, а значит, Дима проиграл и вторую игру. Обозначим имена начальными буквами и покажем, как могла складываться игра.

$PIC$

Ответ: Дима

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#129922Максимум баллов за задание: 7

Федя записал дробь $4-, 11$ Лена записала дробь $7-, 19$ а Даня записал дробь $a, b$ которая находится в интервале $(4-; 7). 1119$ Каково наименьшее возможное значение $b?$

Источники: Бельчонок - 2025, Вариант 1, 10.2 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Запишите принадлежность числа интервалу при помощи неравенства.

Подсказка 2

Удобно ли работать с двойным неравенством?

Подсказка 3

С двумя отдельными неравенствами явно приятнее работать. Кроме того, давайте сделаем их еще более "приятными": оставьте в одной их частей каждого неравенства 0.

Подсказка 4

Как можно воспользоваться тем, что а и b — целые числа?

Подсказка 5

Нет дробей — нет проблем. Чем нам может помочь знак неравенств?

Подсказка 6

Если целое число больше 0, то какое наименьшее значение оно может принимать? С учетом этого можно получить два нестрогих неравенства.

Подсказка 7

А теперь давайте вернемся к двум неравенствам вида "выражение" > 0. И там, и там есть некоторый повторяющийся элемент. Что можно сделать с двумя отдельными неравенствами в этом случае?

Подсказка 8

Конечно, сложить их! Разве тогда сумма не определится однозначно? Кроме того, с помощью полученных ранее оценок можно оценить пары соответствующих разностей.

Подсказка 9

Если числитель дроби не меньше некоторого значения, то какие значения может принимать сама дробь?

Подсказка 10

Вы знаете, чему равна сумма и меньше какого значения она быть не может. Осталось оценить b и подобрать соответствующее ему а. Не забудьте проверить, что действительно можно получить дробь в нужном диапазоне и мы ничего не упустили!

Показать ответ и решение

Из условия

4- a 7- 11 < b < 19

получаем

11a− 4b> 0 и 7b− 19a> 0

Учитывая, что мы работаем с целыми числами, эти условия принимают вид

11a− 4b≥ 1 и 7b− 19a≥ 1

Рассмотрим разность

7-− 4-= -1-= 7-− a+ a − 4-= 7b− 19a+ 11a−-4b ≥ 1-+-1-= -30- 19 11 209 19 b b 11 19b 11b 19b 11b 209b

Получаем условие на $b:$

-1- ≥-30- 209 209b

b≥ 30

При $b= 30$ и $a= 11$ получаем дробь, удовлетворяющую условию.

Ответ: 30

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#129923Максимум баллов за задание: 7

На окружности случайным образом поставлены 8 точек. Каждая пара этих точек соединена отрезком. Из всех этих отрезков равновероятно выбирают 4 отрезка и красят их в красный цвет. Какова вероятность, что найдётся красный треугольник, вершины которого лежат на окружности?

Источники: Бельчонок - 2025, Вариант 1, 10.3 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Раз просят найти вероятность, значит, стоит вспомнить определение вероятности. Что нужно посчитать?

Подсказка 2

В задачах, где возможны всякие разные равновероятные комбинации, что стоит сделать первым делом?

Подсказка 3

Именно! Подсчитать, а сколько всего у нас этих самых комбинаций есть. С помощью чего можно посчитать, сколько есть вариантов выбрать несколько точек из данных?

Подсказка 4

Нам поможет число сочетаний. Сколько точек нужно выбрать, чтобы получить отрезок? Сколькими способами можно выбрать это количество точек из 28?

Подсказка 5

Сколько всего вариантов выбрать среди них 4 отрезка для окрашивания?

Подсказка 6

Чтобы из отрезков получился треугольник, что должно выполняться?

Подсказка 7

Могут ли у этих отрезков быть не общие вершины?

Подсказка 8

Раз нужно взять 3 точки из восьми, то сколько всего треугольников возможно?

Подсказка 9

Но у нас есть еще и четвертый отрезок. Есть ли для него какие-то ограничения? Как его наличие повлияет на количество благоприятных способов окраски?

Подсказка 10

Раз четвертый отрезок может быть любым, то у нас каждому из треугольников можно подобрать еще на выбор любой из оставшихся отрезков. Что нужно сделать, чтобы найти общее количество разных пар "треугольник-отрезок"? Осталось только найти нужную вероятность. :)

Показать ответ и решение

Всего отрезков $C2= 28. 8$ Количество способов выбрать из 28 отрезков 4 равно $C4 = -28!-= 25⋅26⋅27⋅28. 28 24!⋅4! 24$ Число возможных треугольников равно $C38 =-8!-= 56, 5!⋅3!$ так что число благоприятных способов покрасить 4 отрезка в красный цвет равно $56⋅25,$ так как для каждого треугольника можно покрасить любой из оставшихся 25 отрезков. Искомая вероятность равна

-56⋅25⋅24- =--8- = 8-- 25⋅26 ⋅27⋅28 13⋅9 117

Ответ:

$-8- 117$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#129924Максимум баллов за задание: 7

В треугольнике $ABC$ на стороне $AC$ выбрана точка $D.$ Около треугольников $BDC$ и $ABD$ описаны окружности $ω 1$ и $ω 2$ соответственно. Окружность $ω1$ пересекает сторону $AB$ в точке $E,$ а окружность $ω2$ пересекает сторону $BC$ в точке $F.$ Известно, что $∠ABD =∠DBC.$ Докажите, что $AE = CF.$

Источники: Бельчонок - 2025, Вариант 1, 10.4 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем применить условие на описанные около треугольников окружности. Пусть равные по условию задачи углы будут равны α. Поищем одинаковые уголки, с учётом того, что наши углы для этих окружностей — вписанные.

Подсказка 2

∠AFD опирается на ту же дугу, что и ∠ABD, значит, они равны. Тоже самое можно сказать и про ∠EBD и ∠ECD. Картинка симметрична относительно выбора угла, значит, можем сделать аналогичные выводы для ∠DBC.

Подсказка 3

Мы хотим доказать равенство AE и CF. Возможно, оно получится из равенства каких-то треугольников.

Подсказка 4

Посмотрим на треугольники AED и CFD. С учётом посчитанных ранее углов углов, что у них общего?

Подсказка 5

Углы FAD и AFD равны, значит, треугольник FAD — равнобедренный. Аналогично для треугольника CED. Равные стороны треугольников лежат в искомых треугольниках, значит, мы уже получили две пары равных сторон. Осталось понять, почему углы между этими сторонами окажутся равны.

Подсказка 6

Например, потому что каждый из углов — внешний для треугольника AFD или DEC, которые имеют равные углы при основаниях.

Показать доказательство

Пусть $∠ABD =∠DBC = α.$ Так как $∠ABD$ и $∠AF D$ опираются на дугу $AD$ окружности $ω , 2$ то $∠AFD = ∠ABD = α.$ Кроме того, $∠ECD =∠EBD = α,$ так как они описаются на дугу $ED$ окружности $ω1.$ В треугольнике $AFD$ углы при основании $AF$ равны $α.$

$PIC$

Кроме того, $∠FDC = 2α$ как внешний угол треугольника $AF D.$ Аналогично для треугольника $EDC,$ $∠EDA = 2α.$ В итоге, $∠F DC =∠EDA.$ Поскольку треугольники $EDC$ и $AFD$ — равнобедренные, $ED = DC,$ $AD = DF.$

Следовательно, $△EDA = △DF C.$ Выходит, что $AE =CF.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#129925Максимум баллов за задание: 7

Решите в целых числах уравнение

4 3 x − xy+ y = 0

Источники: Бельчонок - 2025, Вариант 1, 10.5 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какое есть самое особенное целое число? Стоит посмотреть, что будет, если х и у принимают именно это значение.

Подсказка 2

Что будет, если х=0? А если у=0?

Подсказка 3

Теперь, когда рассмотрели "нулевой" случай, вспомним, что должно выполняться, чтобы уравнение в целых числах имело решение. Что должно быть верно и для х, и для у в нашем случае, чтобы нашлась целая пара х и у?

Подсказка 4

Раз справа 0, то слева у чисел обязательно будет общий делитель! Какой из всех делителей стоит выделить и что можно сделать с его помощью?

Подсказка 5

Что особенно в наибольшем общем делителе? Что хорошего выйдет, если сделать замену х и у относительно него?

Подсказка 6

Пусть d — наибольший общий делитель. И пусть x = d ⋅ x₁ и у = d ⋅ y₁. Как связаны х₁ и у₁ с точки зрения целых чисел? Попробуйте подставить эти x и y. Упростите новое уравнение.

Подсказка 7

Получилось очень много d. Что можно сделать? Кроме того, справа все еще 0. Что в нем особенного?

Подсказка 8

Если слева все слагаемые, кроме одного, содержат х₁, а справа стоит 0, то что можно сказать про оставшееся слагаемое?

Подсказка 9

х₁ и у₁ взаимно просты, значит, какой множитель будет кратен х₁?

Подсказка 10

Раз определили, что именно кратно х₁, то можно сделать еще одну замену! Проведите тот же анализ, но уже для другой переменной. Можем так продолжать, пока не упремся в условие взаимной простоте х₁ и у₁.

Подсказка 11

Пусть d = u ⋅ x₁. Если провести анализ относительно у₁, то выйдет, что именно u² кратно у₁. Какую другую переменную стоит взять, чтобы не появился "мешающийся" квадрат?

Подсказка 12

Пусть y₁ = k ⋅ u. По аналогии с у₁ получается делимость для k.

Подсказка 13

И для k = v ⋅ u получается, что х₁ делится на v! Но при каких условиях это может выполняться?

Подсказка 14

у₁ делится на v и x₁ делится на v. Какие значения может принимать v, если х₁ и у₁ взаимно просты?

Подсказка 15

Не только 1, но еще и -1 тоже. Попробуйте подставить это v в последнее полученное уравнение. Получится ли подобрать подходящие u и x₁?

Подсказка 16

Могут ли существовать две различных ненулевых пятых степени от целых чисел, отличающихся на 1?

Показать ответ и решение

Очевидно, что $(0;0)$ является решением уравнения. Если же $x$ и $y$ ненулевые числа, то у них есть НОД, обозначим его за $d.$ Пусть $x =x1d,$ $y = y1d,$ тогда уравнение принимает вид

4 4 2 3 3 x1d − x1y1d +y1d = 0

4 2 3 x1d + y1d − x1y1 = 0

Правая часть этого уравнения делится на $x1,$ значит, и левая должна делиться на $x1,$ то есть $y31d$ должно делиться на $x1.$ Так как $y1$ и $x1$ взаимно просты, $d$ должно делиться на $x1.$ Пусть $d= ux1:$

x6u2+ y3xu − x y = 0 1 11 1 1

x5u2+ y3u − y1 = 0 1 1

Так как правая часть уравнения делится на $u,$ левая часть также должна делиться на $u,$ то есть $y1$ делится на $u.$ Пусть $y1 = ku:$

x51u2+ k3u4− ku =0

x51u +k3u3− k= 0

Отсюда видим, что $k$ также должно делиться на $u,$ пусть $k =vu:$

x51u+ v3u6− vu= 0

3 5 5 v u +x1− v = 0

Отсюда получаем, что $x 1$ делится на $v.$ Но $y = ku= vu2 1$ также делится на $v,$ значит, для выполнения условия взаимной простоты чисел $x 1$ и $y, 1$ $v$ должно равняться $± 1.$ Подставляя это в уравнение, получаем

5 5 ±u +x1∓ 1= 0

Но двух ненулевых пятых степеней, отличающихся на единицу, не существует, так что единственное решение — $(0;0).$

Ответ:

$(x,y)= (0,0)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#129926Максимум баллов за задание: 7

Маша и Петя сыграли по несколько партий в шашки и между собой, и с другими ребятами. Петя играл 6 раз, в одной игре была ничья, в двух — выигрыш, в трех — проигрыш. Маша сыграла 5 раз, у неё было три ничьих и два раза она выиграла. Какое наименьшее число игр с другими ребятами могли сыграть Маша и Петя?

Источники: Бельчонок - 2025, Вариант 4, 10.1 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Количество игр каждого ребёнка фиксировано условием. А как нам сделать так, чтобы с другими ребятами Маша и Петя сыграли наименьшее количество раз?

Подсказка 2

Правильно! Необходимо сделать так, чтобы Маша и Петя как можно больше раз сыграли друг с другом.

Подсказка 3

Какие исходы могли быть в играх между Машей и Петей? Маша ни разу не проиграла, значит, она могла либо выиграть у Пети, либо сыграть с ним в ничью.

Подсказка 4

Можно посчитать, сколько раз Маша выиграла у Пети, оценив количество её побед и его поражений.

Показать ответ и решение

Наименьшее число игр с другими ребятами будет, когда число игр между Машей и Петей наибольшее. Всего в условии говорится про $5+ 6= 11$ игр, но игры, в которых Маша и Петя играли между собой, посчитаны два раза. Так как Маша не проиграла ни в одной игре, в играх между Машей и Петей либо была ничья, либо Маша выиграла. Маша выиграла 2 партии, а Петя проиграл 3. Значит, они могли сыграть 2 партии между собой, а одну игру Петя проиграл кому-то еще. Кроме того, у каждого из них была ничья, эта игра тоже могла быть между ними. Итак, самое большое число игр между Машей и Петей равно 3. Тогда общее число игр, сыгранных Машей и Петей, равно $11− 3 =8.$ Из этих 8 игр 3 игры между Машей и Петей, а остальные $8− 3 =5$ игр с другими ребятами.

Ответ: 5

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#129927Максимум баллов за задание: 7

Четыре бельчонка изучали арифметику. Каждому из них назвали одинаковую пару ненулевых чисел $(a,b).$ Первый бельчонок поделил $a$ на $b,$ второй перемножил свою пару чисел, третий вычел $b$ из $a,$ четвёртый сложил свои числа. Оказалось, что полученные ими результаты образуют арифметическую прогрессию (именно в таком порядке). Найдите все возможные пары чисел $(a,b).$

Источники: Бельчонок - 2025, Вариант 4, 10.2 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Благодаря двум последним членам прогрессии мы можем узнать разность. Как ей следует воспользоваться?

Подсказка 2

Но ведь нам сказано, что числа из условия упорядочены! Составьте систему уравнений, описывающую прогрессию.

Подсказка 3

Из полученных уравнений нетрудно найти b, подставьте его и найдите a.

Показать ответ и решение

Числа $a, b$ $ab,$ $a− b$ и $a+ b$ образуют арифметическую прогрессию с разностью $a+ b− (a− b)=2b.$ Сразу заметим, что $b⁄= 1,$ так как иначе первые два члена прогрессии совпадали бы. Запишем систему уравнений:

(| a { b +2⋅2b= a− b |( ab+2b= a− b

( |{ a = a− 5b | b ( ab= a− 3b

(| 3b 3b ||{ b(1−-b)-= 1− b-− 5b || 3b |( a = 1− b

(| 3b(1− b)= −5b2(1− b) { |( a= -3b- 1− b

Поделим первое уравнение системы на $b(1− b):$

( ||{ b= − 3 5 ||( a = 3b--=− 9 1− b 8

Ответ:

$(− 9;− 3) 8 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#129928Максимум баллов за задание: 7

У двух школьников есть по развёртке куба. Обе развёртки состоят из 6 единичных квадратов (см. рисунок).

Каждый школьник равновероятно красит каждый единичный квадрат своей развёртки в зелёный или красный цвет. Потом они сворачивают развёртки в кубы покрашенными гранями наружу. Какова вероятность, что у них получатся кубы с одинаковой раскраской? Раскраски, совпадающие при повороте кубов, считаются одинаковыми.

Источники: Бельчонок - 2025, Вариант 4, 10.3 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хотим посчитать вероятность, что для этого надо сделать?

Подсказка 2

Мы можем посчитать общее количество возможных раскрасок, а также посчитать количество одинаковых раскрасок.

Подсказка 3

Каждую грань независимо от других можно красить в 2 цвета. Чему же тогда равно количество способов раскрасить развёртку целиком?

Подсказка 4

Так как каждая грань красится независимо, то можно просто перемножить... Получаем, что суммарное число раскрасок двух кубиков — 64² = 4096.

Подсказка 5

Теперь кажется, что надо разбираться со случаями... Сколько есть способов раскрасить по одной грани на обоих кубиках? А по две?...

Подсказка 6

Посчитайте отдельно способы покрасить в один цвет одну грань, две грани и т.д.. Дальше нужно просто сложить разные случаи!

Показать ответ и решение

Пусть все грани у обоих кубов красные, это возможно лишь в одном случае. Покрасить одну грань на каждом кубе в красный цвет можно $2 6 = 36$ способами. Так как каждая грань соприкасается с 4 другими, покрасить в красный цвет две грани с общим ребром можно $6⋅4 2 2 ( 2 ) = 12 =144$ способами. Покрасить в красный две противоположные грани на каждом кубе можно $6⋅12 2 (2 )= 3 = 9$ способами. Случаев, когда три грани красные, и они сходятся в вершине, может быть 8 на каждом кубе, то есть всего $2 8 = 64.$

Три грани могут также образовывать цепочку, средняя грань в ней выбирается 6 способами, крайние 2 способами, всего $6⋅2= 12$ способов, тогда получить такую раскраску на обоих кубиках можно $2 12 = 144$ способами. Если красных граней 4, 5 или 6, то зелёных 2, 1 или 0, поэтому соответствующее число способов удваивается.

Всего вариантов раскраски одного куба $6 2 = 64,$ двух $2 64 .$ Искомая вероятность равна:

2(1+ 36+ 144+ 9)+64+ 144 380+208 147 P = ---------642----------= --642--= 1024

Ответ:

$-147 1024$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#130003Максимум баллов за задание: 7

В остроугольном треугольнике $ABC$ точка пересечения высот обозначена $H.$ Точка $N$ — середина $AC.$ Через точки $A,$ $H,$ $N$ проведена окружность $ω1,$ а через точки $C,$ $H,$ $N$ проведена окружность $ω2.$ Прямая $AB$ пересекает окружность $ω1$ в точке $P,$ прямая $BC$ пересекает окружность $ω2$ в точке $Q.$ Прямые $PH$ и $QH$ пересекают окружности $ω2$ и $ω1$ в точках $R$ и $S$ соответственно. Докажите, что

1) точки $R,$ $S,$ $N$ лежат на одной прямой;

2) треугольники $ARS$ и $CRS$ имеют одинаковую площадь.

Источники: Бельчонок - 2025, Вариант 4, 10.4 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Пункт 1, подсказка 1

Залог успеха любой геометрической задачи — рисунок. Построив рисунок, подумайте, что приблизило бы нас к решению задачи? Может, получится найти какие-то прямые углы?

Пункт 1, подсказка 2

Да, из рисунка похоже, что угол HNS — прямой. Попробуйте подумать, как это можно доказать. Можно ли его выразить через другие углы?

Пункт 1, подсказка 3

Угол HNS можно выразить через углы HSN и SHN. Осталось продолжить цепочку выражений, чтобы упростить задачу. Обратите внимание, какие из углов опираются на одну дугу окружности или являются острыми углами прямоугольного треугольника. Что вы можете сказать об HNR?

Пункт 2, подсказка 1

Обратите внимание на треугольники, которые вместе составляют треугольники ARS и CRS. Может, площади каких-то из них равны?

Показать доказательство

Проведём высоты треугольника $ABC$ из точек $A$ и $C.$

$PIC$

$1)$ Найдём $∠HNS :$

∠HNS =180∘− ∠HSN − ∠SHN

Заметим, что $∠HSN = ∠HAN$ как опирающиеся на одну дугу $HN$ окружности $ω . 1$ Отметим, что так как углы смежные, то

∘ ∠SHN = 180 − ∠QHN

Итак,

∠HNS = 180∘ − ∠HAN − (180∘ − ∠QHN )

Т.к. по условию $H,$ $Q,$ $C,$ $N$ лежат на окружности $w2,$ то $∠HAN$ можно записать как $∠CAH,$ а

180∘− ∠QHN =∠QCN

Получаем

∘ ∠HNS =180 − ∠CAH − ∠QCN

Т.к. $∠CAH$ — острый угол прямоугольного треугольника, то

∠CAH =90∘− ∠BCA

Но $∠QCN =∠BCA.$ Следовательно,

∠HNS =180∘− (90∘− ∠BCA )− ∠BCA =90∘

Аналогично найдём $∠HNR :$

∠HNR =180∘− ∠HRN − ∠RHN =

∘ ∘ ∘ ∘ =180 − ∠HCN − (180 − ∠PHN )= 180 − ∠HCA − (180 − ∠BAC )=

= 180∘− (90∘− ∠BAC )− ∠BCA = 90∘

Итак,

∠SNR = ∠HNS + ∠HNR = 90∘+90∘ = 180∘

Таким образом, точка $N$ принадлежит $RS.$

2) Заметим, что

△ARS = △ARN + △ANS

△CRS = △CRN +△CNS

Заметим, что $SARN = SCRN,$ $SANS = SCNS,$ так как в обоих случаях пары треугольников имеют равные высоты и основания.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#130004Максимум баллов за задание: 7

Наибольший общий делитель натуральных чисел $n$ и $m$ равен $d.$ Известно, что $n +m2+$ $d2 =dnm.$ Найдите $n$ и $m.$

Источники: Бельчонок - 2025, Вариант 4, 10.5 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как нам может помочь наибольший общий делитель при решении уравнения?

Подсказка 2

Введите замену через НОД: n = d·x, m = d·y.

Подсказка 3

Кажется, это тупик... Или нет? Можно ли сделать еще одну замену при помощи d?

Подсказка 4

Попробуйте посмотреть на делимость.

Подсказка 5

Докажите, что x делится на d. Введите k = x/d и проанализируйте делимость (k + 1) на y.

Подсказка 6

Попробуйте оценить d. Может ли оно быть равно 2?

Подсказка 7

Подставьте k = ay - 1, преобразуйте выражение и получите из него неравенство, предположив, что d ≥ 2.

Подсказка 8

Попробуйте получить противоречие с натуральностью x.

Подсказка 9

Рассмотрите d = 1. Какие целые решения имеет уравнение m² + 1 = n(m - 1)?

Подсказка 10

Для того, чтобы его решить, стоит подумать в сторону делимости.

Подсказка 11

Например, ясно, что m² + 1 делится на m - 1. Что из этого следует?

Подсказка 12

Докажите, что тогда и m + 1 делится на m - 1. Попробуйте поработать с этой делимостью.

Подсказка 13

Рассмотрите разность m-1 и m+1. Получается, что это число m+1 тоже делит! Дело осталось за малым, перебрать два значения m.

Показать ответ и решение

По условию $n= d⋅x,$ $m =d ⋅y,$ где $x,y$ — натуральные взаимно простые числа. Тогда

2 2 2 3 dx +d y +d = d xy

2 2 x+dy + d= d xy

Отсюда $x$ делится на $d.$ Пусть $x= kd.$ Подставим в полученное уравнение:

kd+ dy2+d =d3ky

k+ y2+ 1= d2ky

Отсюда $k+ 1$ делится на $y.$ Пусть $k+1 =ay,$ то есть $k= ay− 1.$ Подставляя, получаем

ay +y2 = d2y(ay− 1)

a+ y = d2(ay− 1)

Если $d≥ 2,$ то $a+ y ≥ 4(ay− 1),$ следовательно,

y +4≥ a(4y − 1)≥ (4y − 1)

Отсюда получаем $5≥ 3y.$ Тогда $y = 1,$ $5≥ 3a,$ $a =1.$ Подставляя эти значения в равенство $k= ay− 1,$ находим $k= 0$ и $x= 0.$ Но $x$ — натуральное число. Противоречие. Следовательно, $d< 2,$ то есть $d= 1.$