Бельчонок 2022

Легко проверить, что пары вида , где n – натуральное число, удовлетворяют условию задачи. Пусть – любая другая пара, удовлетворяющая условию задачи. Рассмотрим два случая.

1) Пусть сначала . Тогда , откуда , где . Очевидно, возможен лишь случай (по чётности), и тогда .

Осталось выяснить, при каких натуральных число будет точным квадратом. Пусть , тогда . Число под корнем должно быть точным квадратом: , т. е. .

Разложим на множители и рассмотрим системы. Учитывая, что и имеют одинаковую чётность, отбросим лишние, останутся системы:

откуда или , .

При значение и подходит . При значение и подойдет . Поскольку , получаем пары и .

2) Пусть теперь , т. е. . Здесь , и мы имеем . Значит, , где . Опять возможен только случай (по чётности), так что .

Пусть , тогда . Выше показано, что число под корнем является точным квадратом только при или . Тогда или . Получаем пары и , первая из которых входит в множество .