Тема Бельчонок - задания по годам

Бельчонок 2024

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела бельчонок - задания по годам

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#86092Максимум баллов за задание: 7

Три человека независимо задумали по одному целому числу от $1$ до $9$ . Какова вероятность, что произведение этих трёх чисел делится на $10$ ?

Источники: Бельчонок - 2024, 11.1 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем, что такое делимость на 10. Собственно, думать нечего - это делимость на 2, и на 5. Тогда, давайте рассмотрим вероятность противоположного события - что произведение трех чисел не делится на 10. Чему равна вероятность этого события, если мы хотим это выразить через вероятности событий про неделимость 2 и 5(это простые числа, они легче считаются)?

Подсказка 2

Верно, вероятность неделимости на 10 равна сумме вероятностей делимости на 2 и 5 - не делимость и на, и на 5. Осталось посчитать эти вероятности, получить вероятность того, что не делится на 10, вычесть ее из 1 и получить ответ.

Показать ответ и решение

Обозначим событие $A = {$ Произведение $3$ чисел не делится на $10}$ , $B = {$ Среди $3$ чисел нет $5},C = {$ Среди $3$ чисел нет чётного $}.$ Тогда

P(A)= P(B+ C)= P(B)+ P(C)− P (BC )=

(8)3 ( 5)3 (4)3 = 9 + 9 − 9

Вероятность искомого события равна

( )3 ( )3 ( )3 1− 8 − 5 + 4 = -52 9 9 9 243

Ответ:

$-52 243$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#86093Максимум баллов за задание: 7

Известно, что числа $a,b,c,ab + ac + bc c b a$ — целые. Обязательно ли являются целыми все три числа

abac bc c , b ,a ?

Источники: Бельчонок - 2024, 11.2 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте для доказательства этого воспользуемся неочевидным инструментом - симметрическими многочленами. Логика в том, что наши выражения точно рациональны, и при этом, мы знаем такой факт, что если некоторый многочлен с целыми коэффициентами имеет корень p/q (в несократимой записи), то старший коэффициент делится на q. Значит, в идеале, нам хотелось бы придумать многочлен, с целыми коэффициентами, корнями, равным нашим выражениям. Какое условие мы забыли, с учетом леммы выше?

Подсказка 2

Мы забыли условие на то, что у нас свободный член должен быть равен 1, если мы хотим целые корни нашему уравнению, ведь тогда знаменатель q = 1. Ну а какое самое простое уравнение с нашими выражениями в виде корней мы знаем? Верно, просто кубический многочлен с такими корнями. Остается проверить, что он имеет целый коэффициенты.

Подсказка 3

Коэффициенты нашего многочлена будут -(ab / c + bc / a + ca / b), (a^2 + b^2 + c^2), -abc. И да, эти коэффициенты целые, а также старший коэффициент равен 1, а значит, наши выражения — целые.

Показать ответ и решение

Рассмотрим числа $ab,ac,bc c b a$ . По условию их сумма целая, их произведение равно $abc$ — целое, сумма их попарных произведений равна $2 2 2 a + b +c$ — целая. Значит, мы можем составить приведённый многочлен с целыми коэффициентами и корнями $ab ac bc -c ,-b ,a$ :

ab ac bc ab bc ac P(x)=x3− (c-+ b-+ a)x2+ (a2+ b2+c2)x− abc= (x− c )(x− a)(x− b-)

Осталось заметить, что корни рациональны как отношения целых чисел. Если целочисленный многочлен имеет рациональный корень $pq,(p,q)=1$ , то его старший коэффициент делится на $q$ . Поскольку наш многочлен приведённый, корни являются целыми.

Ответ: да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#86094Максимум баллов за задание: 7

По кругу растет шесть деревьев. Утром на каждом дереве сидел один бельчонок. Вечером опять на каждом дереве сидел один из тех же шести бельчат, ни один бельчонок не сидел на том же самом дереве, и не сидел на дереве, которое было соседним с тем, которое он занимал утром. Сколькими способами это можно было сделать?

Источники: Бельчонок - 2024, 11.3 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем, как мы можем упростить задачу. Можно заметить, что картинка симметричная. Как тогда можно переформулировать задачу?

Подсказка 2

Можно решить задачу, в которой каждая белка либо осталась на своем месте, либо перешла на соседнее. Задача стала проще, можно перебрать все случаи

Подсказка 3

Все бельчата могут оставаться на месте, перемещаться по часовой стрелке или против часовой стрелки. Какие случаи могут быть, если пара соседних бельчат поменяются местами?

Подсказка 4

Каждая пара может поменяться, а может остаться на месте. Но один случай мы уже учли. Тогда вариантов 7 + 7 (пары могут образоваться двумя способами). Какой еще случай мы не учли?

Подсказка 5

Случай, когда два противоположных бельчонка остаются на месте, а остальные четыре бельчонка меняются в парах.

Показать ответ и решение

Любой рассадке вечером можно сопоставить рассадку, в которой белка, сидевшая на дереве с номером $x$ (нумерация по часовой стрелке), сидит на дереве $(x+ 3)$ по модулю 6 (то есть просто белку переместили на противоположное место). Нетрудно видеть, что это противоположное место является либо тем местом, на котором белка сидела утром, либо соседним с ним. Значит, можно решить задачу, в которой каждая белка либо осталась на своём месте, либо перешла на соседнее.

Пусть изначально белки сидели в порядке $ABCDEF$ . Рассмотрим случаи:

$1)$ Все остаются на своих местах. Тогда есть только один случай ( $ABCDEF$ ).

Если $A$ перемещается вправо на место $B$ , у $B$ есть два варианта действий. $B$ может переместиться влево(на место $A$ ) или переместиться вправо на место $C$ .

$2)$ Рассмотрим движение по кругу. Если $B$ перемещается на место $C$ , то единственный способ для $C$ — переход к $D$ , переход $D$ к $E$ , переход $E$ к $F$ и переход $F$ к $A$ , в результате чего достигается $F ABCDE$ . Каждый бельчонок может также двигаться влево( $BCDEF A$ ). Таким образом, тут два случая.

$3)$ Некоторые бельчата из соседних пар $AB$ , $CD$ , $EF$ меняются местами, оставаясь в той же паре. Если $A$ перемещается на место $B$ , $B$ перемещается на место $A$ . $C$ может остаться на месте, или переместиться на $D$ , $E$ может остаться на месте, или переместиться на $F$ . Это даёт $2⋅2⋅2= 8$ случаев, но бельчата не могут все оставаться на месте, поскольку мы уже посчитали такую возможность в случае $1$ , и, следовательно, здесь $7$ случаев. Кроме этого, могут быть пары $BC,DE,F A$ что даёт еще $7$ случаев.

$4)$ Меняются местами не в соседних парах, а в парах, разделённых одним бельчонком. Если бы $A$ и $B$ поменялись местами, $D$ и $E$ могли бы поменяться местами, и это не было бы учтено предыдущими группировками. При этом два бельчонка, разделяющие пары, сидят на прежних местах. Это может происходить в трёх случаях ( $A$ и $D$ не движутся, $B$ и $E$ не движутся, $C$ и $F$ не движутся).

Всего случаев $1 +2+ 7+ 7+ 3= 20$ .

Ответ: 20

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#86095Максимум баллов за задание: 7

На окружности по часовой стрелке поставлены точки $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ . Известно, что $AE =DE$ . Пересечение отрезков $AC$ и $BD$ обозначим через $P$ . На продолжении отрезка $AB$ за точку $A$ выбрали точку $Q$ так, что $AQ = DP$ . На продолжении отрезка $CD$ за точку $D$ выбрали точку $R$ так, что $AP = DR$ . Докажите, что прямые $P E$ и $QR$ перпендикулярны.

Источники: Бельчонок - 2024, 11.4 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Угол BAP равен углу BDC как вписанный, а значит углы QAP и RDP тоже равны. Треугольники QAP и RDP равны, тогда PQ=QR.

Подсказка 2

Попробуем выделить равные уголки за счет вписанных четырёхугольников ACDE и ABDE. Каким углам равны соответственно RDE и QAE?

Подсказка 3

Что можно сказать про треугольники RDE и EAP, а также EQA и EDP? Они равны по 2 сторонам и углу между ними. Следовательно QE=RE=PE, тогда что можно сказать про точку E?

Подсказка 4

Е — центр описанной окружности, а следовательно PE — часть биссектрисы в равнобедренном треугольнике, а следовательно и часть высоты

Показать доказательство

Отметим равные углы: $∠BAP = ∠BDC,$ как вписанные углы, отсюда следует, что $∠P AQ= ∠P DR.$ Рассмотрим треугольники $△P AQ$ и $△P DR.$ У них равны две стороны и угол между этими сторонами. Следовательно, эти треугольники равны, тогда $PQ = PR.$ Тогда нужно доказать , что $QE$ является частью высоты в равнобедренном треугольнике.

$PIC$

Рассмотрим вписанные четырехугольники $ACDE$ и $ABDE.$ Из вписанности получаем $∠PAE = ∠EDR$ и $∠PDE = ∠EAQ.$ Рассмотрим треугольники $△AP E$ и $△DRE.$ У них равны две стороны и угол между этими сторонами. Следовательно, эти треугольники равны, тогда $PE = ER.$ Используя аналогичные рассуждения для треугольников $△PDE$ и $△QAE,$ получаем что $P E = QE.$

В итоге получили, что точка $E$ равноудалена от вершин треугольника $△P QR,$ то есть является центром описанной окружности равнобедренного треугольника. Следовательно, $PE$ является частью высоты треугольника $△PQR,$ то есть $P E ⊥ QR.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#86096Максимум баллов за задание: 7

Найдите все пары $(a,b)$ натуральных чисел, для которых

3 27ab+(1− a+ b) = 0

Источники: Бельчонок - 2024, 11.5 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте перенесем куб вправо и изменим внутри знак. Тогда, что мы можем сказать про ab, если 3^3 = 27? А что мы можем сказать про то как связаны a и b?

Подсказка 2

Из того, что 27 - куб, следует, что ab - тоже куб, так как справа у нас расположен куб. А что насчет связи a и b? Если у них есть общий делитель, то получается, что по некоторому простому модулю p, для которого a = 0 и b = 0 (mod p), выходит, что 1 = 0, mod p. Значит, p = 1, а значит a и b взаимнопросты. Как мы тогда можем скомбинировать наши результаты?

Подсказка 3

Тогда, a, b - кубы, ведь они взаимнопросты и их произведение - куб(если вам непонятно почему это так, то попробуйте рассмотреть произвольное p^3a и понять почему факт верен). Но тогда, выходит, что 27xy = 1 - x^3 - y^3(x^3 = a, y^3 = b). Хмм, мы пришли к уравнению, которое все же лучше начального, но также непонятно как решать. Давайте попробуем как-то оценить x через y, и быть может из этой оценки будет явно следовать ограниченность количества вариантов(подсказка внутри подсказки - 27xy > 0).

Подсказка 4

Но если у нас 27xy > 0, то x^3 - y^3 - 1 > 0, а значит y <= x - 1. Подставив эту оценку(после переноса всех слагаемых в одну сторону) в уравнение, мы и получим ограниченность количества решений, откуда и будет следовать ответ.

Показать ответ и решение

Во-первых, покажем, что $a$ и $b$ взаимно просты. Пусть это не так, тогда они делятся на какое-то простое число $p$ , а значит и $a− b− 1$ делится на $p$ , но это не так.

Во-вторых, покажем, что $a$ и $b$ — точные кубы. Число $27ab$ — куб, $27$ — куб, значит и $ab$ — куб. Если некоторое простое число входит в $ab$ в степени $3α$ , то оно либо входит в этой же степени в $a$ , а в $b$ — в нулевой, либо наоборот, так как $(a,b)= 1$ . Таким образом, $a$ и $b$ — кубы, ведь все простые множители входят в них в $3$ степени.

Пусть $3 3 a= a1,b= b1$ , тогда извлечём из равенства кубический корень и получим:

3a1b1 = a31 − b31− 1

Зафиксируем $a1$ и сравним с ней $b1$ . Ясно, что $b1 ≤a1− 1$ , потому что иначе правая часть отрицательна, а левая — положительна. Перепишем равенство в виде:

3 3 b1+ 3a1b1 = a1− 1

Нетрудно видеть, что

3 3 3 b1+ 3a1b1 ≤ (a1− 1)+ 3a1(a1− 1)=a1− 1

То есть равенство возможно лишь когда $b1 = a1− 1$ , откуда $b= b31,a= (b1 +1)3$ . Притом эта пара является решением при любом натуральном $b1$ .

Ответ:

$a =(k+ 1)3,b= k3,k∈ ℕ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#86097Максимум баллов за задание: 7

Если сегодня плохая погода, то завтра с вероятностью 1 будет хорошая погода. Если сегодня хорошая погода, то завтра хорошая погода будет с вероятностью 0,4. Какова вероятность, что 7 марта будет хорошая погода, если 3 марта плохая и хорошая погоды равновероятны? (Погода одинаковая весь день и может быть только плохой или хорошей).

Источники: Бельчонок - 2024, 11.1 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть P_n - вероятность хорошей погоды в n-ый день. Как выразить его с помощью P_{n-1}?

Подсказка 2

Заметим, что формула должна быть такой: Если в n-1-й день погода плохая, то в n-й она точно хорошая, а если хорошая, то в n- м дне будет хорошей с вероятностью 0,4.

Подсказка 3

P_n = 0.4 * P_{n-1} + (1 - P_{n-1})

Показать ответ и решение

Обозначим $P n$ вероятность хорошей погоды в день $n$ считая $3$ марта за первый день. Тогда

Pn = 0,4Pn−1+ (1− Pn−1)= 1− 0,6Pn

(Если в $n− 1$ -й день погода плохая, то в $n$ -й она точно хорошая, а если хорошая, то в $n$ -м дне будет хорошей с вероятностью $0,4$ ). По условию $P1 = 1 2$ . Находим последовательно

P2 =0,7

P = 0,58 3

P4 = 0,652,P5 =0,6088

Ответ:

0,6088

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#86098Максимум баллов за задание: 7

Многочлен $P(x)= x4 − x3− x2− 1$ имеет корни $a,b,c,d$ . Многочлен

6 5 4 3 2 Q(x)= x − x − 2x +x +x − x+ 3.

Найдите $Q (a)+ Q(b)+ Q(c)+Q(d).$

Источники: Бельчонок - 2024, 11.2 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Искать значение функции с шестой степенью не очень хочется…а как связать Q(x) c P(x)(хотя бы в корнях)? Быть может, вместо суммы значений функции Q искать что-то другое?

Подсказка 2

Рассмотрите деление многочлена Q на P.

Подсказка 3

Чему равно значение многочлена Q в корнях многочлена P?

Подсказка 4

Заметим, что значение многочлена Q в корнях многочлена P равно значениям в этих же точках соответственно многочлена-остатка при делении Q на P.

Подсказка 5

Осталось лишь найти остаток при делении Q на P и понять, как удобно посчитать получившееся выражение в корнях. Корни найти проблематично, но воспользоваться их связью друг с другом точно стоит!

Показать ответ и решение

Пусть $Q (x)= H(x)P (x)+ R(x)$ . Нетрудно видеть, что при $x =a,b,c,d$ верно $Q(x)= R(x)$ , то есть достаточно найти число $R(a)+ R(b)+ R(c)+ R(d).$

Если поделить столбиком $Q$ на $P$ , получим, что $2 R(x)= x − x +2$ . Значит, нужная нам сумма равна

2 2 2 2 (a + b+ c + d)− (a +b+ c+ d)+ 8=

2 = (a +b+ c+d) − 2(ab+ ac+ad+ bc+bd+ cd)− (a+b+ c+ d)+8

По теореме Виета сумма корней равна $1$ , сумма их попарных произведений равна $− 1$ . Подставляя это, получаем ответ $10$ .

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#86099Максимум баллов за задание: 7

Сколько двузначных натуральных чисел нельзя представить в виде суммы двух палиндромов?

Палиндром - число, читающееся одинаково слева направо и справа налево. Однозначные числа $0,1,...,9$ также считаются палиндромами. Многозначные палиндромы не могут начинаться с 0.

Источники: Бельчонок - 2024, 11.3 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем: если число n можно представить указанным образом, какие числа рядом с ним тоже точно можно?

Подсказка 2

n + однозначное. А еще n + 11. А что делать с n + 10? Сколько таких чисел и чему они равны?

Подсказка 3

Предположим, что число n + 10 = a + b. Какими тогда могут быть a и b?

Показать ответ и решение

Если число $n$ является палиндромом, то числа $n,n +1,n+ 2,...,n +9$ допускают нужное представление. Поэтому числа от $10$ до $20$ могут быть представлены нужным образом:

10= 9+ 1,11= 11+0,12= 11+1,...,20= 11 +9

Если число $n$ двузначное и является палиндромом, то число $n +11$ также палиндром, и может быть представлено как $(n +11)+ 0$ . Например, если $n = 55,n+ 11= 66 =66+ 0$ . Поскольку разность между соседними двузначными палиндромами равна $11$ , это означает, что все такие числа допускают нужное представление. Осталось рассмотреть числа вида $n+ 10$ , где $n$ — палиндром, то есть числа $21,32,43,54,65,76,87,98$ . Пусть число $n+ 10= a+ b$ . Если и $a$ и $b$ двузначные палиндромы, тогда правая часть делится на $11$ , а левая нет. Значит, одно из слагаемых должно быть однозначным, то есть числом из набора $0,1,...,9$ . Но разность $10$ и любого числа из набора не кратна $11$ . Числа $21,32,43,54,65,76,87,98$ нельзя представить как сумму двух палиндромов.

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#86100Максимум баллов за задание: 7

Окружности $w 1$ и $w 2$ пересекаются в точках $A$ и $B.$ Прямая $l$ расположена ближе к $A$ , чем к $B$ , и является общей касательной окружностей $w1$ и $w2$ , касаясь их соответственно в точках $T$ и $R$ . Через точку $A$ проведена параллельно касательной $l$ прямая, пересекающая $w1$ в точке $C,w2$ в точке $D$ . Прямые $TC$ и $RD$ пересекаются в точке $E,$ прямые $T B$ и $CD$ пересекаются в точке $M,$ прямые $RB$ и $CD$ пересекаются в точке $N.$ Докажите, что $TBRE$ — вписанный четырёхугольник.

Источники: Бельчонок - 2024, 11.4 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Поставим цель доказать, что противоположные углы в четырёхугольнике TBRE в сумме дают 180 градусов. Чтобы сделать это, воспользуемся свойствами вписанных четырёхугольников, которые уже есть на картинке, и отметим в них равные уголочки.

Подсказка 2

У нас есть пары углов СТВ, САВ и BAD, BRD, которые опираются на одну дугу. Воспользуется свойствами смежных углов и докажем то, что хотели! Даже свойства касательных не понадобились.

Показать доказательство

Пусть $∠BT E =α,$ а $∠BRE = β.$ Тогда смежные с ними $∠BTC = 180∘− α,∠BRD = 180∘− β.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

$PIC$

Замечание. Точки $M$ и $N$ не подписаны на чертеже, потому что в решении их использовать не будем.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

В силу вписанности $ABCT$ и $ABDR$ получаем

∠BAC = ∠BTC = 180∘ − α, ∠BAD = ∠BRD = 180∘− β

Но $∠BAC$ и $∠BAD$ смежные, поэтому

(180∘ − α)+ (180∘− β)=180∘

Следовательно, $∠BTE +∠BRE =α +β = 180∘,$ так что $TBRE$ вписанный.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#86101Максимум баллов за задание: 7

Найдите множество всех целых значений суммы

x y 3 y + 3 + x,

где $x$ и $y$ — произвольные натуральные числа.

Источники: Бельчонок - 2024, 11.5 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть сумма из условия равна m, где m - натуральное число (так как х и у натуральные). Для удобства домножим получившееся равенство на 3ху и получим уравнение в натуральных числах. Всё последующее решение задачи — это просто аккуратное рассмотрение делимостей. Например, на что может делиться х?

Подсказка 2

В выражении много троек, проверьте, делится ли х на 3. Это можно сделать от противного.

Подсказка 3

Действительно, х делится на 3, значит можно сделать замену: пусть х = 3z, где z - натуральное число. Подставьте это в равенство и посмотрите какие ещё переменные могут делиться на 3.

Подсказка 4

Верно, либо у, либо z делится на 3. Рассмотрите оба случая и в каждом из них сделайте замену. Тут так же нужно будет подумать, на что могут делиться переменные, и как они относятся друг к другу: может какие-то из переменных делятся на другие?

Показать ответ и решение

Пусть $x + y+ 3= m y 3 x$ — натуральное число. Тогда

2 2 3x + yx+ 9y = 3mxy

Если $x$ не делится на $3$ , то $y$ делится на $3$ . Но в таком случае все члены равенства, кроме $3x2$ , делятся на $9$ , а $3x2$ делится только на $3$ , что невозможно. Значит, $x$ делится на $3$ , то есть $x= 3z$ для некоторого натурального числа $z$ . Имеем

2 2 9z +y z+ 3y = 3myz,

откуда $y$ делится на $3$ или $z$ делится на $3$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть $y = 3w$ . Тогда

z2 +w2z+ w =mwz,

откуда $w$ делится на $z$ . Но в таком случае $w$ делится и на $z2$ , то есть $w= z2u$ для некоторого натурального $u$ . Теперь имеем $1+ z3u2 +u =mzu$ , откуда $u =1$ . Ясно, что число $z2+ 2z$ будет целым только при $z ∈ {1,2}$ , при этом $m ∈ {3,5}$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть $z =3w$ . Тогда $27w2+ y2w+ y = 3myw$ . Как и выше, отсюда следует, что $y$ делится на $w2$ ,то есть $y = w2u$ для некоторого натурального $u$ . Теперь имеем $27+ w3u2+ u= 3mwu$ , откуда $u$ делит $27$ , то есть $u∈{1,3,9,27}$ . При $u= 3,u= 9,u =27$ получаем невозможные равенства

3 3 2 2 3 + w 3 +3 =3 mw

33+w334+ 32 = 33mw

2⋅33 +w336 = 34mw

соответственно. При $u =1$ число $28+w3 m= --3w--$ , откуда $w$ — делитель $28$ , при этом

28+w3 ≡ w3+ 1≡ 0 (mod 3),

то есть $w ≡ −1 (mod 3)$ . Следовательно, $w ∈{2,14}$ , и тогда $m ∈ {6,66}$ .

Ответ:

$3,5,6,66$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#104005Максимум баллов за задание: 7

Дан равносторонний треугольник $ABC,$ на сторонах $AB$ и $BC$ которого выбраны точки $P$ и $Q$ так, что $AP :PB = BQ :QC = 2:1,K$ — точка пересечения отрезков $AQ$ и $CP.$ Найдите градусную меру угла $AKB.$

Показать ответ и решение

Первое решение.

Пусть $BH$ — высота и медиана треугольника $ABC$ . Проведём через вершину $B$ параллельно $AC$ прямую и обозначим точку её пересечения с прямой $CP$ через $D:$

$PIC$

Треугольники $BPD$ и $AP C$ подобны с коэффициентом $12$ , откуда $DB = 12AC = AH$ . Поэтому $ADBH$ — прямоугольник, то есть $∠ADB =90∘$ . Заметим, что треугольники $ABQ$ и $CAP$ равны по двум сторонам и углу. Тогда $∠BDK = ∠DCA = ∠BAK$ . Значит, четырёхугольник $ADBK$ — вписанный, откуда $∠AKB =180∘− ∠ADB = 90∘$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Проведём в треугольнике $ABC$ высоту $CH$ .

$PIC$

Так как $1 BH = 2AB$ , получим $BP 2 BQ BH-= 3 = BC$ . Поэтому треугольники $BP Q$ и $BHC$ подобны, откуда $∘ ∠BP Q = ∠BHC = 90$ . Заметим теперь, что $BQ = AP,AB = CA$ и $∠ABQ =∠CAP =60∘$ . Тогда треугольники $ABQ$ и $CAP$ равны по двум сторонам и углу. Поскольку $∠AQB =$ $∠CPA = 180∘− ∠CPB$ , четырёхугольник $BP KQ$ вписанный, откуда $∠AKB =180∘− ∠BKQ = 180∘ − ∠BP Q =90∘$ .

Ответ:

$90∘$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#137265Максимум баллов за задание: 7

Последовательность задана условиями $a =20, 1$ $a = 24, 2$ $a ⋅a =a + 1 n n+2 n+1$ при всех $n ≥1.$ Найдите $a . 2024$

Источники: Бельчонок - 2024, вариант 1, 10.1 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте с помощью данной формулы вычислить еще несколько членов в общем виде.

Подсказка 2

Обратите внимание, как выражается aₙ₊₅.

Подсказка 3

Заметьте, что aₙ₊₅ = aₙ.

Подсказка 4

Соответственно, a₂₀₂₄ = a₄. Осталось вычислить a₄ по заданной в условии формуле.

Показать ответ и решение

Узнаем с помощью формулы из условия, как будет выглядеть $a n+4$ :

an+2+1+ 1 an+4 = an+3+-1=-an+1----= an+1+-an+2+1 = an+1+1-⋅ an+2+1-− 1 =anan+3− 1 an+2 an+2 an+1an+2 an+2 an+1

Следовательно,

an+4+-1 an+4an+3 an+5 = an+3 = an+3 = an

при всех $n.$ Значит,

a + 1 a + 1 a + a + 1 20+ 24+1 45 3 a2024 =a4 =-3a2-= -2a1-= -1-a1a22---= --20⋅24---= 480-= 32

Ответ:

$-3 32$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#137266Максимум баллов за задание: 7

На конкурсе сладкоежек 7 участников были награждены 20 одинаковыми пирожными и 2 одинаковыми тортами. Каждому досталась хотя бы одна сладость. Сколькими способами могли распределиться награды?

Источники: Бельчонок - 2024, вариант 1, 10.2 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам нужно раздать пирожные и торты участникам. С чего выгоднее начать?

Подсказка 2

Верно, с тортов! Ведь их совсем мало, а значит, есть не так уж много вариантов выбрать тех, кому достанется торт! А сколько конкретно?

Подсказка 3

Есть два случая: когда оба куска торта достались одному человеку и когда два разных человека получили по кусочку. В обоих случаях мы можем посчитать количество способов выбрать счастливчиков с помощью формулы сочетаний. А что после этого делать с пирожными?

Подсказка 4

Раздадим каждому, из оставшихся людей по пирожному. Теперь каждому сладкоежке достался десерт, и нам нужно решить, как распределить остальные пирожные. Как это можно сделать?

Подсказка 5

Вспомните задачку о шарах и перегородках!

Показать ответ и решение

Распределение делаем в два шага: сначала раздадим торты, а тем, кому их не досталось, выделим по пирожному; затем распределим среди всех оставшихся пирожные.

Будем рассматривать два случая. На каждом шаге число вариантов второго шага не зависит от результата первого шага, поэтому эти числа перемножаются.

Случай 1. Оба торта достались одному участнику — $7$ вариантов. Остальным $6$ участникам надо выделить $6$ пирожных. Остаётся распределить $14$ пирожных среди всех $7$ участников — это равносильно расстановке $14$ шаров и $7− 1 =6$ перегородок, что даёт $6 6 C14+6 = C20$ способов. Итого получается $6 7C20$ способов.

Случай 2. Торты достались двум разным участникам — $2 C7$ вариантов. Остальным $5$ участникам надо выделить $5$ пирожных. Остаётся распределить $15$ пирожных среди всех $7$ участников — это можно сделать $6 6 C6+15 = C21$ способами. Всего в этом случае имеется $C27C621$ способов.

Ответ:

$C7 ⋅C6 + 7⋅C6 2 21 20$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#137267Максимум баллов за задание: 7

Положительные числа $x,y,z$ таковы, что $xy+yz+ xz = 5xyz.$ Найдите наименьшее значение выражения $x+ y+z.$

Источники: Бельчонок - 2024, вариант 1, 10.3 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам дана связь между суммой попарных произведений и произведением трех чисел. Как это можно переформулировать?

Подсказка 2

Можем сказать, что мы знаем, чему равна сумма чисел, обратных к данным нам. А как ее связать с суммой исходных?

Подсказка 3

Попробуйте посмотреть на (x + y + z)(1/x + 1/y + 1/z).

Подсказка 4

Осталось выразить (x + y + z) и понять, когда неравенство обращается в равенство.

Показать ответ и решение

Первое решение.

По условию

xy+ yz+ xz =5xyz

Положим $a= 3x, 5$ $b= 3y, 5$ $c= 3z. 5$ Тогда

9- 27- 25(ab+ bc+ ac)= 25abc

Отсюда

1 1 1 a + b + c = 3

Поэтому

3 3 ( 1 1 1 ) 3 9 x+y +z = 5(a+ b+ c)= 5 a+ a + b+ b + c+ c − 3 ≥ 5(6− 3)= 5

В предпоследнем переходе мы использовали неравенство Коши для среднего арифметического и среднего геометрического, которое обращается в равенство при $a= b= c=1.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Заметим, что для любых положительных чисел $x$ , $y$ и $z$ имеет место неравенство

( ) (x +y +z) 1 + 1+ 1 ≥9 x y z

которое при $x= y = z$ обращается в равенство. Действительно, раскрывая скобки, поскольку сумма в каждой скобке не меньше 2, мы получим

(x+ y+z)( 1+ 1+ 1) = 3+( x+ y) +( y+ z) +( z+ x)≥ 9 x y z y x z y x z

Тогда

9 9 9 x+y +z ≥-1+-1+-1 = xy+yz+xz= 5 x y z xyz

Осталось заметить, что числа $x =y =z = 3 5$ удовлетворяют условию задачи и обращают неравенство в равенство.

Ответ:

$9 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#137268Максимум баллов за задание: 7

Дан равносторонний треугольник $ABC,$ на сторонах $AB$ и $BC$ которого выбраны точки $P$ и $Q$ так, что $AP :PB = BQ :QC =2 :1,$ $K$ — точка пересечения отрезков $AQ$ и $CP.$ Найдите градусную меру угла $AKB.$

Источники: Бельчонок - 2024, вариант 1, 10.4 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Очевидно, нам нужно воспользоваться тем, что треугольник — равносторонний. Что хочется провести?

Подсказка 2

Высоту, которая будет и медианой к тому же! Что тогда можно сделать?

Подсказка 3

Попробуйте найти подобные треугольники.

Подсказка 4

Заметим, что треугольники BPQ и BHС подобны. А какие треугольники равны между собой?

Подсказка 5

Обратим внимание на ABQ и CAP. Из их равенства следует нахождение вписанного четырехугольника, откуда можно найти искомый угол.

Показать ответ и решение

Первое решение.

Пусть $BH$ — высота и медиана треугольника $ABC.$ Проведём через вершину $B$ параллельно $AC$ прямую и обозначим точку её пересечения с прямой $CP$ через $D$ (см. рисунок).

$PIC$

Треугольники $BPD$ и $APC$ подобны с коэффициентом $12,$ откуда

DB = 1AC = AH 2

Поэтому $ADBH$ — прямоугольник, то есть $∠ADB = 90∘.$ Заметим, что треугольники $ABQ$ и $CAP$ равны по двум сторонам и углу. Тогда

∠BDK = ∠DCA = ∠BAK

Значит, четырёхугольник $ADBK$ — вписанный, откуда

∠AKB = 180∘− ∠ADB = 90∘

________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Проведём в треугольнике $ABC$ высоту $CH.$

$PIC$

Так как $BH = 12AB,$ получим

BP- 2 BQ- BH = 3 = BC

Поэтому треугольники $BP Q$ и $BHC$ подобны, откуда $∘ ∠BP Q = ∠BHC = 90.$ Заметим теперь, что $BQ = AP,$ $AB = CA$ и $∘ ∠ABQ =∠CAP =60 .$ Тогда треугольники $ABQ$ и $CAP$ равны по двум сторонам и углу. Кроме того,

∠AQB =∠CP A =180∘− ∠CPB

Тогда четырехугольник $BPKQ$ — вписанный, откуда

∘ ∘ ∘ ∠AKB =180 − ∠BKQ = 180 − ∠BP Q =90

Ответ:

$90∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#137270Максимум баллов за задание: 7

Последовательность чисел $a ,a,...,a 1 2 2024$ такова, что $a =a 1 2024$ и $a + a − 1 =a2 n n+1 n+1$ при всех целых $n$ от 1 до 2023. Найдите $a2000.$

Источники: Бельчонок - 2024, вариант 4, 10.1 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Исследуйте последовательность на монотонность. Для этого попробуйте преобразовать представленное в условии равенство, связывающее n-ый и (n+1)-ый члены.

Подсказка 2

Выделите из этого равенства полный квадрат.

Подсказка 3

Вспомните, что по условию a₁ = a₂₀₂₄.

Показать ответ и решение

Из условия следует, что

2 an− an+1 = (an+1− 1)≥ 0

Но тогда

a1 ≥ a2 ≥...≥a2024

Так как $a1 = a2024,$ то все неравенства обращаются в равенства, следовательно, все $ai$ равны 1.

Ответ: 1

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#137271Максимум баллов за задание: 7

Найдите количество строк из 6 натуральных чисел, произведение которых равно 6!.

Источники: Бельчонок - 2024, вариант 4, 10.2 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Разложите 6! на простые множители. Поймите, какой вид имеет каждое число в строке.

Подсказка 2

Каждое число в строке можно представить как произведение 2, 3 и 5 в некоторой степени. Посчитайте, сколько есть вариантов, чтобы сумма степеней у каждого множителя была равна необходимому.

Подсказка 3

Воспользуйтесь методом шаров и перегородок.

Показать ответ и решение

Разложим $6!$ на простые множители:

4 2 1 6!= 2 ⋅3 ⋅5

Значит, каждое число в строке имеет вид

2a⋅3b⋅5c

Cтроку можно закодировать тройками показателей, первая состоит из 6 показателей степени у двойки с суммой 4, вторая — у тройки с суммой 2, третья — у пятёрки с суммой 1. Методом шаров и перегородок находим, что троек первого вида $C44+5,$ второго — $C22+5,$ третьего — $C11+5.$ Тогда количество строк равно

C44+5 ⋅C22+5 ⋅C11+5 =15876

Ответ:

$C4 ⋅C2 ⋅C1= 15876 9 7 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#137272Максимум баллов за задание: 7

Для положительных чисел $x,$ $y,$ $z$ и $t$ найдите минимальное значение выражения

( 1)3 ( 1)3 ( 1)3 ( 1)3 N = x+ y + y +z + z+ t + t+ x

Источники: Бельчонок - 2024, вариант 4, 10.3 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам нужно найти минимальное значение выражения. Это намек, что можно применить какие-то известные нам неравенства!

Подсказка 2

Применим неравенство о средних для каждой скобки по отдельности. Что можно сделать далее?

Подсказка 3

А что, если применить неравенство о средних еще раз?

Подсказка 4

В неравенстве о средних равенство достигается при равных числах. Помним, что мы дважды применили неравенство!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Воспользуемся неравенством о средних в каждой скобке:

( ∘ -)3 ( ∘ -)3 ( ∘ -)3 ( ∘ -)3 N ≥ 2 x + 2 y + 2 z + 2 t =M y z t x

Теперь применим неравенство о средних для полученной суммы $M :$

(x y z t)38 M ≥ 32⋅ y ⋅z ⋅t ⋅x =32

Равенство достигается при $x= y =z = t= 1.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Воспользуемся неравенством $a3+b3 ≥ 14 ⋅(a+ b)3,$ верным для $a,b> 0.$ Применяя его трижды, получим

a3+b3+ c3+d3 ≥((a +b)3+(c+ d)3)≥ 1-⋅(a+b +c+ d)3 16

Данное неравенство верно для $a,b,c,d> 0.$ Тогда

-1 ( 1 1 1 1)3 N ≥ 16 ⋅ x + y + y+ z + z+ t + t+ x = M

По неравенству о средних

( ∘ ----------------)3 M ≥ 1-⋅ 88⋅ x⋅ 1⋅y⋅ 1 ⋅z⋅ 1⋅t⋅ 1 16 x y z t

83 M ≥ 16 = 32

Равенство достигается при $x= y =z = t= 1.$

Ответ: 32

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#137273Максимум баллов за задание: 7

Пусть $BC$ — наибольшая сторона в треугольнике $ABC,$ в котором проведены высоты $AA 1$ и $BB . 1$ Биссектриса $∠C$ пересекает описанную около треугольника $ABC$ окружность в точке $L,$ высоту $AA1$ — в точке $P,$ $BB1$ — в точке $Q.$ Найдите градусную меру угла $ACB,$ если известно, что $AP = LQ.$

Источники: Бельчонок - 2024, вариант 4, 10.4 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $α =∠BCL,$ $β =∠ALC,$ $γ = ∠BLC.$

$PIC$

Докажем равенство треугольников $ALP$ и $BLQ.$ Заметим, что $AP =LQ$ по условию и $AL= LB$ как хорды, на которые опираются равные углы. Кроме того,

∠AP L= ∠A1PC = 90∘− α =∠B1QC = ∠BQL

По теореме синусов

AP AL LB LQ sin∠ALP-= sin∠AP-L = sin∠BQL-= sin-∠LBQ-

Тогда $sin∠ALP = sin∠LBQ.$ Но $∠ALP =∠ABC <90∘$ и

∠LBQ = 180∘− ∠BLC − ∠BQL =

= 90∘ − ∠BAC + α< 90∘− ∠BAC +∠ACB ≤90∘

Последнее неравенство верно, поскольку $BC ≥ AB.$ Значит, углы $ALP$ и $LBQ$ — острые, следовательно, равные, поскольку их синусы равны. Получаем, что треугольники $ALP$ и $BLQ$ равны по стороне и 2 углам. Следовательно, $∠LAP = ∠QLB = γ.$ Из треугольника $ALP$

∘ ∘ β+ γ+ 90 − α = 180

∘ β+ γ = 90 +α

Из четырехугольника $ALBC$

β+ γ = 180∘− 2α =90∘+ α

α= 30∘

Тогда $∘ ∠ACB = 60 .$

Ответ:

$60∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#137274Максимум баллов за задание: 7

Cуществует ли функция $f,$ заданная на множестве всех действительных чисел и принимающая действительные значения, и действительное число $a,$ такие, что $f(a)=− 2$ и $f(f(x))= xf(x)+ 2x$ для любого действительного $x?$