Бельчонок 2024
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Положительные числа 
таковы, что 
Найдите наименьшее значение выражения 
Источники:
Подсказка 1
Нам дана связь между суммой попарных произведений и произведением трех чисел. Как это можно переформулировать?
Подсказка 2
Можем сказать, что мы знаем, чему равна сумма чисел, обратных к данным нам. А как ее связать с суммой исходных?
Подсказка 3
Попробуйте посмотреть на (x + y + z)(1/x + 1/y + 1/z).
Подсказка 4
Осталось выразить (x + y + z) и понять, когда неравенство обращается в равенство.
Первое решение.
По условию
Положим 
Тогда
Отсюда
Поэтому
В предпоследнем переходе мы использовали неравенство Коши для среднего арифметического и среднего геометрического, которое
обращается в равенство при 
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Второе решение.
Заметим, что для любых положительных чисел 
, 
и 
имеет место неравенство
которое при 
обращается в равенство. Действительно, раскрывая скобки, поскольку сумма в каждой скобке не меньше 2, мы
получим
Тогда
Осталось заметить, что числа 
удовлетворяют условию задачи и обращают неравенство в равенство.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
