КФУ - задания по годам → .07 КФУ 2025

Существует такой при котором найдётся угол тогда и только тогда, когда

Уравнение из системы равносильно

Но так как

то не удовлетворяет первому неравенству системы.

А корень тривиальной подстановкой уже оказывается подходящим под неравенства системы.

Обозначим Докажем, что

Это неравенство из-за области значений эквивалентно возведённому в квадрат:

Теперь правое неравенство очевидно в силу , а левое тоже в силу

Тогда получаем, что

где

Любочка могла записать уравнение с целыми ненулевыми коэффициентами

которое не имеет корней, поскольку

При этом можно как дописать старший коэффициент -2:

так и дописать коэффициент -6:

причём в обеих случаях получатся подходящие заданные учителем уравнения. Поэтому однозначно восстановить начальное уравнение Любочка уже не может.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Покажем, как можно составлять такие примеры, хотя это необязательно прописывать в решении на олимпиаде.

Пусть верное задание имело вид . Попробуем подобрать и так, чтобы полученное уравнение имело целые корни более, чем при одном значении .

По теореме Виета . Исключим неизвестное из этой системы, поделив первое уравнение на второе. Это можно сделать, так как не равно 0 . Получаем равенство

Значит, надо подобрать две пары целых чисел ( ), для которых суммы обратных величин совпадают.

При этом надо учесть, что уравнение не имеет корней. Это значит, что все значения левой части положительны и, в частности, значение при : .

Имеем

При или эта сумма равна нулю, в то время как первое слагаемое положительно. Значит, . В силу того, что целое, а уравнение — квадратное, . Итак, с должно быть положительным, при этом — отрицательным. Из соотношения следует, что корни имеют разный знак.

Например,

Подставляя пары корней и в теорему Виета, получим, что

Следовательно,

Опустим из точки перпендикуляр на плоскость назовем полученную точку Проведем из точек и перпендикуляры к по теореме о трех перпендикулярах получим одну и ту же точку

Обозначим длину искомого отрезка за Тогда катет полученного прямоугольного треугольника с углом равен

В силу симметрии треугольника точка равноудалена от прямых и на расстояние значит, либо центр вписанной окружности, либо центр одной из вневписанных окружностей треугольника

Найдем расстояние между стороной и центром вписанной окружности

Так как — равносторонний, то высота является медианой, значит, Следовательно, тогда откуда

Рассмотрим случай, когда точка оказалась центром вневписанной окружности:

Тогда получим равносторонний треугольник со стороной Найдем длину высоты значит, откуда

Пусть — касательная из условия. Выразим условия пересечения прямой с каждой из парабол:

Так как прямая является касательной к каждой из них, значит, у каждого уравнения должно быть единственное решение, получаем систему, приравнивая дискриминант каждого уравнения к нулю:

Из первого и третьего уравнений:

Отсюда возможно два случая:

Значение не подходит, так как тогда первая и третья параболы совпадают, что противоречит условию об их различии.

Так как верно:

Получаем 2 случая:

Решения: при при при

Из всех решений подходит только одно: при Получаем единственное значение параметра: